Il calcolo integrale: intro

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2 Il clcolo integrle: intro Le ppliczioni del clcolo integrle sono svrite: esistono, inftti, molti cmpi, dll fisic ll ingegneri, dll iologi ll economi, in cui si f lrgo uso degli integrli. Per fornire l ide intuitiv del concetto crdine del clcolo differenzile, ossi l derivt, imo introdotto il prolem dell tngente; llo stesso modo, per presentre l ide di integrle trtteremo il prolem del clcolo dell re. Si immgini di dover clcolre l re dell regione S sottostnte l curv y = f(x) d, rppresentt in figur.

3 Come si evince dll precedente figur S rppresent l regione compres tr il grfico dell funzione f e le rette verticli x = e x = : Nel tenttivo di clcolre l re dell regione S, ci domndimo: qul è il significto dell prol re? L domnd è semplice per regioni con i lti rettilinei; d esempio per un rettngolo l re è semplicemente il prodotto dell se per l ltezz. Per un poligono, l re si trov suddividendolo in tringoli, come in figur, e sommndo l re dei tringoli così ottenuti. Invece, non è fftto semplice trovre l re di regioni delimitte d contorni curvilinei.

4 Illustrimo l ide nell esempio seguente: si y = x 2 l prol rppresentt in Figur; supponimo di voler clcolre l re dell regione sottostnte l curv delimitt dlle rette x = 0 e x = 1, utilizzndo dei rettngoli. Si noti suito che essendo S l regione sottostnte il grfico e delimitt dlle rette x = 0 e x = 1, mmetterà re compres tr 0 e 1; tle risultto si potev nche giungere immginndo di rcchiudere S in un qudrto di lto 1; prtire d tle riflessione, cerchimo un stim migliore. Supponimo di dividere S in quttro strisce S1; S2; S3; ed S4 disegnndo le rette verticli x =1/4 ; x =1/2; e x =3/4 come in Figur

5 Possimo pprossimre ogni strisci con un rettngolo vente l stess se dell strisci e ltezz pri l lto destro dell strisci, così come mostrto in Figur. In ltre prole, le ltezze di questi rettngoli sono i vlori dell funzione f(x) = x 2 nell estremo destro dei sotto intervlli [0; 1/4]; [1/4; 1/2]; [1/2; 3/4] e [3/4; 1]:

6 Ogni rettngolo h se ¼ e le ltezze sono (1/4) 2,(1/2) 2,(3/2) 2 e 1 2. Se indichimo con R 4 l somm delle ree di questi rettngoli pprossimti, ottenimo R 4 =0, M dll figur è chiro che l re A di S è minore di R 4 e dunque A<0, Se, invece di usre questo tipo di pprossimzione, ne usssimo un ltr crtterizzt d rettngoli le cui ltezze sono i vlori di f nell estremo sinistro dei sotto intervlli, come mostrto in figur L somm delle ree di questi rettngoli pprossimnti è L 4 =0,21875; inoltre, essendo l re di S mggiore di L 4 ottenimo un stim per difetto ed un per eccesso di A: 0,21875<A<0, Ripetendo quest procedur con un numero mggiore di strisce, si ottiene un stim sempre migliore di A.

7 Il metodo di esustione L'ide di se del concetto di integrle er not d Archimede di Sircus, vissuto tr il 287 ed il 212.C., ed er contenut nel metodo d lui usto per il clcolo dell're del cerchio o del segmento di prol, detto metodo di esustione. L're del cerchio è determint costruendo un successione di poligoni che ssomiglino sempre di più l cerchio. Ad esempio, un successione di poligoni regolri con numero crescente di lti: in figur, un pentgono, un esgono e un ottgono. A second che si scelgno poligoni iscritti o circoscritti nell circonferenz, l're di quest risulterà essere pprossimt inferiormente o superiormente. Entrme le scelte portno comunque l limite ll're del cerchio.

8 Introduzione storic Nel XVII secolo lcuni mtemtici trovrono ltri metodi per clcolre l're sottes l grfico di semplici funzioni, e tr di essi figurno d esempio Fermt (1636) e Nicolus Merctor(1668). Nel dicissettesimo e diciottesimo secolo Newton, Leiniz, Johnn Bernoulli scoprirono indipendentemente il teorem fondmentle del clcolo integrle, che ricondusse tle prolem ll ricerc dell primitiv di un funzione. L definizione di integrle per le funzioni continue in tutto un intervllo, introdott d Pietro Mengoli ed espress con mggiore rigore d Cuchy, venne post su se divers d Riemnn in modo d evitre il concetto di limite, e d comprendere clssi più estese di funzioni. Nel 1875 Gston Droux mostrò che l definizione di Riemnn può essere enuncit in mnier del tutto simile quell di Cuchy, purché si intend il concetto di limite in modo un po' più generle. Per questo motivo si prl di integrle di Cuchy-Riemnn. Il simolo che rppresent l'integrle nell notzione mtemtic fu introdotto d Leiniz ll fine del XVIII secolo. Il simolo si s sul crttere ſ (esse lung), letter che Leiniz utilizzv come inizile dell prol summ, in ltino somm, poiché questi considerv l'integrle come un somm infinit di ddendi infinitesimli.

9 Primitive e integrzione indefinit Definizione: Si dice che un funzione f : X R è dott di primitiv, se esiste un funzione F definit in X, ivi derivile, tle che: F x = f x, x X Proposizione: Se F è un primitiv di f, llor, c R, F + c è nch ess un primitiv di f Dimostrzione. L dimostrzione di tle sserto è immedit se si tiene presente che un funzione costnte in X h derivt null in ogni punto di X. Proposizione: Se f è definit in un intervllo X, llor due primitive di f differiscono per un costnte. Dimostrzione: Se F e G, inftti, sono due primitive di f, l funzione F - G è derivile in X e risult: F G x = f x f x = 0, x X pertnto F - G è costnte in X e l tesi è dimostrt.

10 Definizione. Si I un intervllo di R ed f un funzione definit nell intervllo I di R; l insieme di tutte le primitive dell f in I si chim integrle indefinito dell f e si denot con f x dx Osservzione. L operzione di integrzione indefinit può considerrsi come invers dell operzione di derivzione. Non isogn, tuttvi, dimenticre che l operzione di integrzione indefinit, qundo è possiile, ssoci d un funzione un clsse di funzioni; mentre l operzione di derivzione d ogni funzione ssoci un sol funzione. Definizione. L integrle indefinito è l opertore inverso dell derivt perché ssoci ll funzione integrnd f(x) l insieme di tutte e sole le funzioni primitive di f(x) stess.

11 Proposizione: L integrle indefinito è un opertore linere Inftti gode delle seguenti due proprietà: Proprietà di linerità: un costnte moltiplictiv si può trsportre dentro o fuori del segno di integrle indefinito k f x dx = k f x dx Proprietà di dditività: l integrle di un somm lgeric di due o più funzioni è ugule ll somm lgeric degli integrli delle singole funzioni Cominndo insieme le due proprietà si h: f 1 x + f 2 (x) dx = f 1 x dx + f 2 x dx k 1 f 1 x + k 2 f 2 (x) dx = k 1 f 1 x dx + k 2 f 2 x dx

12 Nozione di integrle per un funzione rele continu Si consideri l prtizione P di un intervllo chiuso [;] in n sottointervlli [x k-1 ;x k ] di ugule mpiezz, e si consideri un funzione continu f(x) definit su [;]. Per ogni intervllo dell prtizione si possono definire due punti: m k = inf f(x) e M k = sup x x k 1,x k x x k 1,x k f(x) che corrispondono ll'ordint minore m k nell'intervllo e ll'ordint mggiore M k dell'intervllo. Si definisce somm integrle inferiore reltiv ll prtizione P il numero: n s P = m k x k x k 1 k=1 Ammettendo che f ssum vlori positivi nell'intervllo, l somm integrle inferiore è l somm dei rettngoli inscritti ll regione del pino. Anlogmente, si definisce somm integrle superiore reltiv ll prtizione P il numero: n S P = M k x k x k 1 k=1

13 L somm integrle superiore è quindi l somm delle ree dei rettngoli circoscritti ll regione. Si pong: m < f x < M, x [, ] si dimostr che per ogni coppi di prtizioni P e Q di [;] si h: m < s P < S Q < M( ) Per ogni possiile prtizione P di [;] si definiscono: δ = s P, = S(P) Dl lemm precedente si può dedurre che gli insiemi δ e Σ sono seprti cioè: s<s L'ssiom di completezz di R fferm che llor esiste lmeno un numero rele ξ pprtenente R tle che: s ξ S Se vi è un unico elemento di seprzione ξ tr δ e Σ llor si dice che f(x) è integrile in [,] secondo Riemnn. L elemento ξ si indic con: ξ = f x dx e si chim integrle definito di f in [;]. I numeri e sono detti estremi di integrzione ed f è dett funzione integrnd. L vriile di integrzione è un vriile mut, e dx è detto differenzile dell vriile di integrzione.

14 Integrle secondo Riemnn DEFINIZIONE: L'integrle secondo Riemnn di f nell'intervllo chiuso e limitto [;] è definito come il limite per n che tende d infinito dell somm integrle: σ n = f(t n k ) k=1 dett somm integrle di Riemnn. Se tle limite esiste, è finito e non dipende dll scelt dei punti t k, si h: n f x dx = lim σ n = f(t n n s ) s=1 L'esistenz di un unico elemento seprtore tr δ e Σ nell definizione è equivlente richiedere che: s(p) = S(P) = f x dx L funzione limitt f è integrile in [;] se e solo se per ogni ε>0 esiste un prtizione P di [;] per cui si h: S P s(p) < ε Se l funzione integrile f(x) è positiv llor l'integrle ssume il significto di re dell regione, mentre se l funzione f cmi segno su [;] llor l'integrle rppresent un somm di ree con segno diverso n

15 Teorem dell medi Il teorem dell medi integrle è un teorem che mette in relzione le nozioni di integrle e di funzione continu per le funzioni di un vriile rele. Un funzione continu f definit su un intervllo h come immgine ncor un intervllo: il teorem dell medi integrle stilisce che l medi integrle di f è un vlore incluso nell'intervllo immgine. Il concetto di medi integrle è un generlizzzione dell'ide di medi ritmetic. L'ide è quell di clcolre il vlore medio ssunto d un funzione su un intervllo [,] clcolndo l medi ritmetic dei vlori che l funzione ssume su un insieme finito (molto grnde) di punti distriuiti uniformemente nell'intervllo, cioè si suddivide l'intervllo in N sottointervlli [x k, x k+1 ] tutti di lunghezz (-)/N e si clcol l medi: f x 0 + f x f(x N ) N quest può essere scritt nche come 1 N i=0 N f(x i) Dll definizione di integrle di Riemnn segue che considerndo quntità N sempre mggiori di punti, quest espressione convergerà l vlore che viene chimto medi integrle di f. 1 f x dx

16 Teorem Se f: [, ] R è continu e integrile llor esiste un punto z pprtenente d [,] tle che o equivlentemente detto 1 f x dx = f x dx = f(z) f(z) Essendo f continu in [,], per il teorem di Weierstrss ess è dott di mssimo M e di minimo m su [,], quindi si vrà m f(x) M Dll proprietà di monotoni dell'integrle risult mdx f x dx Mdx Nei memri destr e sinistr dell disuguglinz stimo integrndo un funzione costnte, quindi imo Anlogmente mdx = m Mdx = M dx = m( ) d x = M( )

17 Si ottiene quindi m( ) ovvero, se >, sup [,] m 1 f x dx M( ) f x dx M Per il teorem dei vlori intermedi, f deve ssumere in [,] tutti i vlori compresi tr f x = M e inf f x = m [,] Quindi in prticolre esisterà un punto z pprtenente d [,] tle che f z = 1 f x dx

18 Teorem fondmentle del clcolo integrle Il teorem fondmentle del clcolo stilisce un'importnte connessione tr i concetti di integrle e derivt per funzioni vlori reli di vriile rele. L prim prte del teorem è dett primo teorem fondmentle del clcolo, e grntisce l'esistenz dell primitiv per funzioni continue. L second prte del teorem è dett secondo teorem fondmentle del clcolo, e consente di clcolre l'integrle definito di un funzione ttrverso un delle sue primitive. Un prim versione del teorem è dovut Jmes Gregory, mentre Isc Brrow ne fornì un versione più generle. Isc Newton, studente di Brrow, e Gottfried Leiniz completrono successivmente lo sviluppo dell teori mtemtic in cui è mientto il teorem

19 Teorem di Torricelli-Brrow o I teorem fondmentle del clcolo integrle Si f(x) un funzione integrnd, continu in un intervllo chiuso e limitto [,], llor l funzione integrle con x F x = f t dt è derivile in [,] e l derivt dell funzione integrle coincide con l funzione integrnd; si h cioè: F x = f(x) Dimostrzione Ricordimo che un funzione è derivile se esiste ed è finito il limite del rpporto incrementle l tendere 0 dell incremento Δx dell vriile indipendente. Determinimo il rpporto incrementle F x + x F(x) x e osservimo che x+ x F x + x = f t dt

20 Si h llor: F x + x x F(x) = x+ x x f t dt f t dt x Per l proprietà dditiv dell integrle: x+ x F x + x F(x) f t dt f t dt = x x x x+ x x f t dt + f t dt f t dt x = x Per il teorem dell medi esiste un x [x,x+ x] tle che x = x+ x x x f t dt x x x x f ( x) f ( t) dt x f ( x) f ( x) x Clcolimo il limite del rpporto incrementle per x che tende zero e si h, per l ipotesi di continuità, lim f ( x) f ( x) x 0 D cui si può concludere che F x = f(x)

21 Formul di Newton-Leinitz o secondo teorem fondmentle del clcolo integrle Si f:, R un funzione che mmette un primitiv F su [,]. Se f è integrile si h: f x dx = G(x) = G G() Tle relzione è dett formul fondmentle del clcolo integrle. Dimostrzione x Per il primo teorem fondmentle, l funzione F x = f t dt, x, è un primitiv di f: precismente l primitiv null in. D ltro cnto, se ψ x = F x + c. M, essendo F = 0, si ottiene ψ = c e quindi ψ x ψ = F x = f t dt. D qui l sserto ponendo x =. x

22 L nozione di integrle in lcuni concetti di fisic Clcolo dell mss di un corpo rettilineo sottile con densità linere vriile Si consideri un corpo rettilineo C tnto sottile rispetto ll lunghezz che esso poss essere schemtizzto in un intervllo [,] e l distriuzione dell mss di C poss essere suppost linere, ossi dipendente solo dll lunghezz. In tle situzione, l distriuzione dell mss di C è not se in ogni trtto di C, schemtizzile in un intervllo I =,, si conosce l mss. Possimo definite un funzione rele μ nell insieme degli intervlli chiusi e limitti inclusi in [,] che soddisfi le seguenti proprietà: 1. Se I e J sono due intervlli venti in comune un estremo, llor μ I + μ J = μ I J (proprietà di finit dditività dell mss) 2. ε > 0, δ > 0 μ I < ε (proprietà di continuità dell mss) Definizione Il corpo C si dice omogeneo se, per ogni trtto I di C è costnte il rpporto tr l mss di I e l lunghezz del trtto I μ(i) Densità linere m(i)

23 Il rpporto μ(i) m(i) Fornisce l mss di un qulunque trtto del corpo C di lunghezz unitri. Se il corpo C è omogeneo, not l densità linere ρ, l mss di un qulunque suo trtto I è il prodotto tr ρ e l lunghezz di I. In prticolre μ C = ρ Se il corpo C non è omogeneo, l vrire del trtto I di C vri il rpporto μ(i) m(i) Fissto I, tle rpporto, che esprime l densità che il trtto I vree se fosse omogeneo e vesse come mss μ(i), si chim densità medi del trtto I. Spesso conviene riferirsi ll densità di un trtto infinitesimo. Per fr ciò st considerre il limite per m(i) che tende 0, ottenendo così l densità linere di C nel punto x. ρ x = lim m(i) 0 μ(i) m(i)

24 Nei csi migliori, l densità linere di C è definit in tutto [,] ed è ivi un funzione continu. Può nche ccdere che ess non si definit in qulche punto x, : per esempio qundo il corpo present un sldtur in x e le prti sinistr e destr di x present un sldtur in x e le prti sinistr e destr di x sono di mterile diverso. Nell mggior prte dei csi concreti, l densità linere di C è un funzione generlmente definit in [,], limitt ed è continu in tutti i punti in cui è definit. Dl punto di vist mtemtico l distriuzione di mss h l espressione: μ I = ρ x dx Proposizione Se un corpo C h come densità linere l funzione ρ(x), generlmente definit in [,] limitt e continu in tutti i punti in cui ess è definit, necessrimente l distriuzione di mss di C è dt dll espressione μ I = ρ x dx

25 L torre Eiffel Perché l ingegnere Gustve Eiffel diede ll su oper più fmos proprio quell form? Nel 2004, due ricerctori sttunitensi Ptrick Weidmn e Iosif Pinelis, hnno trovto un equzione cui è legt l elegnz e l perfezione dell imponente oper rchitettonic. Il monumento h un se qudrt di 125m di lto d cui si innlzno 4 pilstri che confluiscono in un unic colonn, vi vi più sottile e concv l crescere dell ltezz. Eiffel studiò l sgom sezione per sezione, clcolndo per ciscun il peso che l struttur dovev reggere. Trscurndo l effetto del vento, per ogni sezione questo peso coincide con quello dell porzione di edificio sovrstnte l sezione stess.

26 Se ρ è l densità del ferro e A(h) è l re dell sezione qudrt ll quot generic h, llor il volume infinitesimle di uno strto di ltezz dh è A h dh. Essendo g l ccelerzione di grvità, il peso dell prte compres tr x e l ltezz H dell torre è H ρ g A h d x Considerto il peso mssimo che l struttur sottostnte può reggere, vle l equzione H x ρ g A h d = P A x dove P è l pressione mssim che può essere sopportt. Risolvendo l equzione, si ottiene A(x) che è un funzione esponenzile. A(x) indic come vri l sezione orizzontle l vrire dell ltezz e permette di ricvre il profilo dell struttur, che può essere descritto dll funzione di semilto y dell sezione l vrire dell quot, ossi dll funzione y = 1 2 A(x)

27 Eppure l sgom dell torre Eiffel non è esttmente esponenzile nche se il suo profilo ssomigli un curv esponenzile decrescente. Questo perché Eiffel non trscurò l presenz del vento. L pressione che il vento esercit sull torre è un fttore molto importnte per l equilirio del sistem. Inftti ffinché l struttur si in equilirio è necessrio che l pressione del vento si controilncit dll tensione tr gli elementi dell costruzione. Questo si trduce in un equzione integrle non linere le cui soluzioni forniscono precismente l sgom dell struttur, esponenzile trtti con due differenti esponenti. Uno studio pulicto sull rivist Comptes rendus mecnique h spiegto nche perché l se dell torre è così estes: Eiffel non er proprio sicuro dei suoi clcoli e llor preferì esgerre un po llrgndo l se.

28 Il clcolo delle ree L integrle definito f x dx rppresent geometricmente l re dell regione di pino limitt dl grfico dell funzione y=f(x) e dll sse x nell intervllo [,]. Di due grfici si può vedere che il segno dell re è negtivo se l prte di pino si trov l di sotto dell sse x mentre è positivo se l prte di pino è l di sopr dell sse x.

29 Esempio Ad esempio che voglimo clcolre l re dell regione di pino rffigurt, compres tr l sse x e l curv di equzione f x = x 3 4x 2 + 3x doimo considerre l intervllo [0,3]. Questo intervllo deve essere diviso in due intervlli: nell intervllo [0,1] l prte di pino si trov l di sopr dell sse x e quindi h segno positivo, mentre nell intervllo [1,3] l prte di pino è l di sotto dell sse x quindi ssume segno negtivo. Pertnto doimo risolvere due integrli: 0 1 x 3 4x 2 + 3x dx 1 3 (x 3 4x 2 + 3x)dx

30 Are tr due curve Ci ponimo or il prolem di determinre l re dell regione di pino limitt di grfici di due funzioni y=f(x) e y=g(x) nell intervllo [,] Come si vede di grfici l re si ottiene come differenz tr l re del trpezoide individuto d f nell intervllo [,] e l re del trpezoide individuto d g nell intervllo [,]. Pertnto, l re cerct risult essere espress dll formul f x dx g x dx NB. Si noti che l formul vle se f(x)>g(x) ltrimenti l differenz v invertit.

31 Integrli delle funzioni pri e dispri Si f(x) un funzione dispri, ossi tle che f(-x)=-f(x) e si consideri il suo integrle in un intervllo simmetrico rispetto ll origine f x dx E intuitivo e si potree dimostrre che l integrle risult nullo: inftti ricordndo il significto geometrico di integrle definito, l integrle rppresent l somm lgeric delle due ree (ros e lu). Per l simmetri del grfico di f(x), tli ree risultno equivlenti e quindi hnno, in vlore ssoluto, l stess misur. Poiché un si trov l di sopr e un l di sotto dell sse x, le loro misure vrnno segni opposti e l loro somm lgeric srà perciò zero.

32 Si invece, y=f(x) un funzion pri il cui grfico, rppresentto in figur, è simmetrico rispetto ll sse y. In questo cso le due ree equivlenti vnno sommte. Pertnto: f ( x) dx 2 f ( x) dx 0

33 Solidi di rotzione Dt l funzione y = f(x) continu nell intervllo [,] e non negtiv e il trpezoide esteso ll intervllo [,]. Se fccimo ruotre il trpezoide ttorno ll sse x di un giro completo ottenimo un solido di rotzione.

34 Dividimo l intervllo [,] in n prti uguli, ognun di lunghezz h =. In ogni intervllo considerimo il minimo m i e il mssimo M i di f(x) e disegnimo i rettngoli inscritti e circoscritti l trpezoide di ltezze m i e M i. Nell rotzione complet intorno ll sse delle x, ogni rettngolo descrive un cilindro circolre retto di ltezz h e rggio di se m i o M i. L somm dei volumi degli n cilindri con se il cerchio di rggio m i pprossim per difetto il volume del solido di rotzione inizile e l somm dei volumi degli n cilindri con se il cerchio di rggio M i pprossim per eccesso il volume dello stto solido. Ottenimo così due vlori pprossimnti il volume v n e V n. Qundo n i due vlori sono uguli: lim v n = lim V n = π n n f 2 x dx n

35 Solidi di rotzione Ad esempio, il volume del solido ottenuto dll rotzione complet ttorno ll sse x dell regione di pino delimitt dl grfico dell funzione y = e x con x pprtenente ll intervllo [-1,1]. 1 V = π e x 2 dx = π e 2 e

36 Definizione Dto un solido limitto d due pini perpendicolri ll sse x, che intersecno l sse x stesso nei punti di sciss e. Si inoltre S(x) l re dell sezione del solido ottenut con un pino perpendicolre ll sse x pssnte per (x,0); llor il volume V del solido è dto dll formul.: V = π f 2 x dx

37 Clcolo del volume del solido con il metodo delle sezioni Determinimo il volume del solido che h come se il segmento prolico limitto dll prol di equzione x=y 2-4 e dll sse y, le cui sezioni con pini perpendicolri ll sse x sono semicerchi Si determin dpprim l re dell sezione del solido ottenut con un pino perpendicolre ll sse x e pssnte per il punto di coordinte (x,0). Tle sezione è un semicerchio. Indichimo con AB il suo dimetro. Risolvendo rispetto y si ricv: y = ± x + 4 Quindi le coordinte di A e B sono x, ± x + 4. Il rggio del semicerchio è llor r = 1 2 AB = 1 2 x + 4 = x L re del semicerchio è: S = 1 2 πr2 = π 2 x + 4 Il volume del solido è: 0 π V = x + 4 dx = 4π 2 4