L integrale di Mengoli Cauchy e il teorema fondamentale del calcolo integrale

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1 SCIENTIA Interntionl Review of Scientific Synthesis ISSN Quderni di Mtemtic 215 Mtemtic Open Source L integrle di Mengoli Cuchy e il teorem fondmentle del clcolo integrle Mrcello Colozzo

2 L nozione di integrle definito sviluppt in quest dispens, permette di risolvere il problem dell ricerc dell primitiv di un funzione continu in un intervllo chiuso e limitto. Premettimo l seguente definizione: Definizione 1 Se f : [,b] R è un funzione continu in [,b] R, l integrle definito di f esteso ll intervllo chiuso e limitto [, b] si dice integrle di Mengoli-Cuchy dell funzione f: dove σ D = Σ n 1 k= f (ξ k)( k+1 k ) è un somm integrle reltiv f. b f ()d = lim δ σ D, (1) Ci si può chiedere se si possibile estendere l definizione (1) funzioni dotte di punti di discontinuità nell intervllo di integrzione. Ad esempio, ssegnt l funzione: chiedimoci f () = e 1/ 2, (2) H senso l integrle e 1/ 2 d? (3) L domnd (3) è ben post, gicchè l funzione integrnd non è definit in =. Tuttvi: e 1/ lim + 2 = t= 1 t 2 lim t + e = t +, onde = è un punto di discontinuità eliminbile. Inftti, prolungndo f per continuità: g() = { e 1/ 2, se, se =, (4) ssumimo f ()d = g()d (5) Il secondo membro dell (5) h senso in virtù dell continuità dell funzione (2). Ne consegue che l estensione dell definizione (1) funzioni dotte di punti di discontinuità eliminbili, non present lcun problem. Vicevers, i csi più critici sono quelli in cui l funzione integrnd present uno o più punti di discontinuità di second specie nell intervllo di integrzione. Ad esempio: Ponimoci l questione: f () = ln H senso l integrle (6) ( ln ) d? (7) f è definit in X = (,+ ), risultndo non negtiv in (,1]. Studimo il suo comportmento in un intorno destro di = : lim +f () = ln+ = ( ) = = +, + onde = è un punto di discontinuità di second specie per f. In fig. 1 riportimo il grfico dell funzione in [, 1]. 1

3 y Figur 1: L funzione f () = ln diverge positivmente per +. A questo punto, provimo clcolre le somme integrli dopo ver equiprtizionto (cfr.??) l intervllo [, 1]: Abbimo: k= k = k, (k =,1,2,...,n) n n 1 ( ) k + k+1 σ D (n) = f ( k+1 k ) = 1 n 1 ( ) 2k +1 f, (8) 2 n 2n dove - per migliorre l visulizzzione grfic dell ndmento del termine n-esimo dell successione {σ D } n N {} - bbimo preso ξ k pri ll medi ritmetic degli estremi del k-esimo intervllo [ k, k+1 ]. Ad esempio, per n = 15 ottenimo l ndmento riportto in fig. 2. k= Σ n Figur 2: Andmento dell somm integrle σ D reltiv ll funzione f () = ln e ll intervllo [,1]. Il numero di punti dell decomposizione è n = 15. Per n = 25 ottenimo il grfico di fig. 3. 2

4 Σ n Figur 3: Andmento dell somm integrle σ D reltiv ll funzione f () = ln e ll intervllo [,1]. Il numero di punti dell decomposizione è n = 25. Questi risultti suggeriscono l seguente rispost ll domnd (7): ( ln ) d = +, (9) che è un risultto rgionevole, gicchè il rettngoloide { T = (,y) R 2 < 1, y ln }, è un insieme illimitto. Tuttvi, osservimo che tle circostnz non è un condizione sufficiente per l divergenz dell integrle. Considerimo, d esempio, l funzione: e riformulimo l domnd: f () = 1 (1) H senso l integrle d? (11) Anche in questo cso l funzione integrnd diverge positivmente per +, come illustrto nel grfico di fig. 4. Utilizzndo l (8) ottenimo per n = 15 il grfico di fig. 5. Per n = 25 ottenimo il grfico di fig. 6. Questi risultti suggeriscono l seguente rispost ll domnd (7): pur essendo il rettngoloide T = d = 2, (12) { (,y) R 2 < 1, y 1 }, un insieme illimitto. In ultimo, notimo che non sempre è possibile rppresentre grficmente un rettngoloide. Ad esempio, considerimo l seguente funzione: f () = 2sin 1 cos 1, (13) 3

5 y Figur 4: L funzione f () = 1 diverge positivmente per +. Σ n Figur 5: Andmento dell somm integrle σ D reltiv ll funzione f () = 1 e ll intervllo [,1]. Il numero di punti dell decomposizione è n = 15. 4

6 1.96 Σ n Figur 6: Andmento dell somm integrle σ D reltiv ll funzione f () = 1 e ll intervllo [,1]. Il numero di punti dell decomposizione è n = 25. y 1 2 Π 2 Π 1 Figur 7: Andmento del grfico dell funzione f () = 2sin 1 cos 1 nell intervllo [ 2 π, 2 π]. 5

7 che è non regolre in =, gicchè lim f (). Il grfico di f compie infinite oscillzioni che non si smorzno in ogni intorno di =, come possimo vedere dll fig. 7. L impossibilità di trccire il grfico in un intorno di =, rende ltrettnto impossibile visulizzre il rettngoloide reltivo f, l cui bse contiene il punto di discontinuità =, come mostrto in fig. 8. y 1 2 Π 2 Π 1 Figur 8: Tenttivo di visulizzzione del rettngoloide di bse [ 2 π, 2 π] reltivo ll funzione f () = 2sin 1 cos 1. Possimo tuttvi tentre il clcolo delle somme integrli, eseguendo l operzione di pssggio l limite per δ. Procedendo l solito modo ottenimo l ndmento riportto in fig. 9 che mostr l convergenz verso il vlore 8/π 2, per cui: 2/π 2/π ( 2sin 1 cos 1 ) d = 8 π 2 Dgli esempi visti vedimo che nel cso di funzioni con punti di discontinuità di second specie nell intervllo di integrzione [, b], non sempre le somme integrli risultno convergenti per δ, essendo δ l norm di un rbitrri decomposizione di [, b]. Tle problem fu ffrontto e risolto d Riemnn per un prticolre clsse di funzioni, i.e. le funzioni integrbili secondo Riemnn. L integrle di tli prticolri funzioni si chim integrle di Riemnn. Successivmente Lebesgue generlizzò ulteriormente l estensione dell nozione di integrle. Ci occuperemo di ciò in un cpitolo successivo. Dopo quest lung premess, dimostrimo il teorem: Teorem 2 (Teorem di Torricelli-Brrow) Hp. f : X R è continu nell intervllo X R. Th. f è dott di funzioni primitive. Preso d rbitrio il punto X, le primitive di f sono tutte e sole le funzioni: l vrire dell costnte c in R. F () = c+, (14) 6

8 Σ,Μ T Μ T 8 Π n Figur 9: Andmento dell somm integrle σ D reltiv ll funzione f () = 2sin 1 cos 1 e ll intervllo [ 2 π, 2 π]. Il limite dell somm integrle è 8 π 2. Dimostrzione. Il teorem è dimostrto se riuscimo provre che F () = f (). A tle scopo determinimo l incremento dell funzione F in corrispondenz dell incremento dell vribile indipendente con tle che (+ ) X. F = F (+ ) F () = c+ = = = = c Nell ultimo pssggio bbimo pplicto l proprietà dditiv dell integrle definito. Per il teorem dell medi: 1 + ξ [,+ ] = f (ξ) Cioè: 1 + = f (+θ ), ( θ 1) Quindi: F = f (+θ ) Eseguendo l operzione di pssggio l limite per : onde l sserto. F lim = lim f (+θ ) = f (), f è continu 7

9 Osservzione 3 L (14) è indipendente dll scelt del punto X. Inftti per ogni X { }: c+ = c+ vendo incorporto in c l integrle + = c + che è un costnte. c def = c+, Per qunto precede, le primitive di f sono determinte meno di un costnte dditiv. Sussiste l seguente definizione: Definizione 4 L funzione F () =, (15) ottenut dll (14) per c =, si chim funzione integrle dell funzione f, di punto inizile. Dl teorem di Torricelli-Brrow segue il corollrio: Corollrio 5 Un primitiv di un funzione continu f : X R è univocmente determint dl suo vlore ssunto in un punto X. G() = G( )+ (16) Dimostrzione. Se G() è un primitiv di f, ess è un elemento dell fmigli (14), onde Riesce: γ R G() = γ + G( ) = γ + = γ, } {{} = d cui l (16). L formul (16) è estremmente efficce, gicchè permette di determinre l integrle b f ()d senz ricorrere l limite delle somme integrli. Inftti l integrle b f ()d si ottiene dll (16) ponendo =, = b: b f ()d = G(b) G(), (17) d cui vedimo che è possibile determinre l integrle conoscendo un qulunque primitiv di f. A questo punto osservimo che mentre il teorem di Torricelli-Brrow fornisce un soluzione l problem dell esistenz dell primitiv di un funzione continu, l formul risolutiv (17) permette di clcolre l integrle definito dell suddett funzione f ttrverso un qulunque primitiv di f. È per questo che il teorem di Torricelli-Brrow è noto nche come teorem fondmentle del clcolo integrle e l (17) come formul fondmentle del clcolo integrle. Denotndo con F un qulunque primitiv di f, sussistono le seguenti notzioni equivlenti: b b f ()d = [F ()] b f ()d = F () b 8