COMPLEMENTI SULL INTEGRAZIONE DEFINITA ED IMPROPRIA

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1 COMPLEMENTI SULL INTEGRAZIONE DEFINITA ED IMPROPRIA G. DI MEGLIO Indice Introduzione. Condizioni di Integrbilità ed Interpretzione Geometric dell Integrle Definito.. Condizioni di Integrbilità e loro Interpretzione Euristic.2. Interpretzione Geometric dell Integrle Definito 6 2. Integrli Impropri ed Vlore Principle L Integrle Improprio 2.2. Esempi Significtivi L Integrle Vlore Principle di Cuchy * 7 3. Criteri d Integrbilità Impropri Criterio di Convergenz di Cuchy Criteri di Integrbilità per Funzioni non negtive Funzioni Sommbili e Criteri di Sommbilità 26 Riferimenti bibliogrfici 29 Introduzione In queste note propongo lcuni complementi ll teori dell integrzione definit ed impropri propost in ul ed in [MS]. Il primo prgrfo è dedicto ll generlizzzione dell condizione di integrbilità di un funzione itt in un comptto ed ll su interpretzione euristic. Il secondo prgrfo è dedicto ll questione dell estensione dell nozione di integrle definito d lcuni csi non previsti dll teori di Riemnn, i.e. lle funzioni itte su intervlli non comptti e lle funzioni non itte. In tle prgrfo sviluppimo il cosiddetto integrle improprio, mettendone in luce le ffinità e le differenze con l integrle di Riemnn, ed ccennimo ll integrle vlor principle. Nel terzo prgrfo definimo il concetto di funzione sommbile, mostrimo che funzioni sommbili sono nche improprimente integrbili e fornimo dei semplici criteri di sommbilità (bsti su tecniche di confronto).. Condizioni di Integrbilità ed Interpretzione Geometric dell Integrle Definito.. Condizioni di Integrbilità e loro Interpretzione Euristic. Come ftto in ul, scelt un decomposizione D = { = < < < N < N = Dte: luglio 28.

2 2 G. DI MEGLIO b} di un intervllo comptto [, b], ponimo: mp D := m n n n=,...,n = m {, 2,..., N N }. Tle numero non negtivo si chim mpiezz dell decomposizione D e rppresent l lunghezz del più mpio intervllo tr quelli in cui punti consecutivi di D suddividono [, b]. Rigurdndo le dimostrzioni dei teoremi sull integrbilità delle funzioni continue e delle funzioni monotòne, ci ccorgimo che bbimo provto molto più di qunto ci spettssimo: inftti, in entrmbi i csi bbimo mostrto che: () ε >, δ > : D decomposizione di [, b] con mp D < δ, S f (D) s f (D) < ε (in cui δ er fornito dl Teorem di Cntor sull Continuità Uniforme oppure ε δ = f(b) f() + ), mentre rigore necessitssimo solo di ffermre che: ε >, D decomposizione di [, b] : S f (D) s f (D) < ε. Ciò non è fftto strno, in qunto è possibile provre che l () è condizione necessri e sufficiente per l integrbilità di un funzione itt in un intervllo comptto; in ltri termini risult: Proposizione (Condizione di Integrbilità) Si f : [, b] R itt in [, b]. L f è integrbile secondo Riemnn in [, b] se e solo se vle l (). Per ottenere un ulteriore condizione di integrbilità, l posto delle somme integrli superiori ed inferiori possimo considerre lcune somme integrli intermedie. In prticolre, scelt un decomposizione D = { = < < < N < N = b} e fissti rbitrrimente N punti ξ,..., ξ N [, b] in guis che: (2) n =,..., N, ξ n [ n, n ], ponimo: σ f (D; ξ,..., ξ N ) := N f(ξ n ) ( n n ) n= e chimimo tle quntità somm integrle di Riemnn reltiv d f rispetto ll decomposizione D ed i punti ξ,..., ξ N. Dto che: n =,..., N, m n := inf f f(ξ n) sup f =: M n, [ n, n] [ n, n] risult evidente che sussistono le disuguglinze: s f (D) σ f (D; ξ,..., ξ N ) S f (D) per ogni scelt di punti ξ,... ξ N che rispettino l (2); d ltro cnto, se f è integrbile secondo Riemnn in [, b], nche il numero λ := f() d soddisf le disuguglinze: s f (D) λ S f (D). Con mnipolzioni lgebriche immedite pervenimo fcilmente : s f (D) S f (D) σ f (D; ξ,..., ξ N ) λ S f (D) s f (D), di modo che l disuguglinz: (3) σ f (D; ξ,..., ξ N ) λ S f (D) s f (D) Cfr. con l definizione di funzione integrbile in [MS].

3 COMPLEMENTI SULL INTEGRAZIONE DEFINITA 3 vle per ogni decomposizione D ed ogni scelt dei punti ξ,..., ξ N che soddisfno (2). Dll (3) e dll Proposizione ricvimo immeditmente l prim prte dell dimostrzione del seguente: Teorem (Condizione di Integrbilità) Si f : [, b] R itt in [, b]. L f è integrbile in [, b] se e solo se esiste un numero λ R tle che: (4) ε >, δ > : In tl cso, risult: D decomposizione di [, b] con mp D < δ e ξ n [ n, n ] (n =,..., N), σ f (D; ξ,..., ξ N ) λ < ε. f() d = λ. Dimostrzione. Rimngono d provre l impliczione, ossi che dll (4) consegue l integrbilità di f in [, b], e l uguglinz tr λ e l integrle di f esteso d [, b]. Comincimo dll impliczione. Occorre e bst dimostrre che in corrispondenz di ε > è possibile determinre un decomposizione D tle che: S f (D) s f (D) < ε. Fissimo ε > : in corrispondenz di ε/4 > esiste un δ > tle che: σ f (D; ξ,..., ξ N ) λ < ε 4 per ogni decomposizione D con mpiezz minore di δ e per ogni scelt dei punti ξ n ; fisst un sifftt decomposizione D e scelte due n-uple di punti ξ,..., ξ N e ξ,..., ξ N, per disuguglinz tringolre bbimo: σ f (D; ξ,..., ξ N ) σ f (D; ξ,..., ξ N) σ f (D; ξ,..., ξ N ) λ + σ f (D; ξ,..., ξ N ) λ < ε 4 + ε 4 = ε 2. Per proprietà degli estremi superiore ed inferiore possimo scegliere i punti ξ n in modo che M n ε 4(b ) < f(ξ n) M n ed i punti ξ n in guis che m n f(ξ n) < m n + ; conseguentemente, bbimo: ε 4(b ) σ f (D; ξ,..., ξ N ) = N f(ξ n ) ( n n ) n= N ε > M n ( n n ) 4(b ) n= ε = S f (D) 4(b ) ( N ) = S f (D) ε 4 σ f (D; ξ,..., ξ N ) < s f (D) + ε 4 N ( n n ) n=

4 4 G. DI MEGLIO d cui trimo: Ne consegue: come volevmo. S f (D) s f (D) < σ f (D; ξ,..., ξ N ) σ f (D; ξ,..., ξ N) + ε 2. S f (D) s f (D) < σ f (D; ξ,..., ξ N ) σ f (D; ξ,..., ξ N) + ε }{{} 2 < ε 2 = ε, Infine, provimo l uguglinz λ = f() d. Sfruttndo l disuguglinz tringolre trovimo: λ f() d σ f (D; ξ,..., ξ N ) λ + σ f (D; ξ,..., ξ N ) f() d per ogni decomposizione D ed ogni scelt di punti ξ n soddisfcenti l (2). Fissto ε >, in corrispondenz del numero positivo ε/2 esiste un δ > tle che per ogni decomposizione D con mpiezz minore di δ e per ogni scelt di punti ξ n scelti in conformità ll (2) vlgono le (3) e (4); pertnto, possimo fissre due decomposizioni D e D con mpiezz minore di δ in modo che: σ f (D ; ξ,..., ξ N) λ < ε 2 σ f (D ; ξ,..., ξ N ) f() d < ε 2 ; considert l decomposizione D = D D, nch ess h mpiezz minore di δ e perciò, scelti ξ n che soddisfno l (2) negli intervllini di D, risult: conseguentemente risult: σ f (D; ξ,..., ξ N ) λ < ε 2 σ f (D; ξ,..., ξ N ) f() d < ε 2 ; λ per ogni ε > e d ciò segue l sserto. f() d < ε 2 + ε 2 = ε Il precedente Teorem h un interpretzione euristic 2 prticolrmente utile in mbito fisico ed ingegneristico: Osservzione : L (4) si può euristicmente interpretre come un relzione di ite, cioè: σ f (D; ξ,..., ξ N ) = f() d, mp D + l qule vle indipendentemente dll scelt di punti ξ n [ n, n ] (per n =,..., N). Ciò signific che l integrle di Riemnn può essere pprossimto rbitrrimente bene usndo un qulsisi somm di Riemnn σ f (D; ξ,..., ξ N ) reltiv d un decomposizione D con mp D sufficientemente piccol. 2 Avvertimo il lettore che ess può essere res rigoros generlizzndo opportunmente l nozione di ite; tle proposito si può consultre [P].

5 COMPLEMENTI SULL INTEGRAZIONE DEFINITA 5 Questo rende più o meno lecito il pssggio dl discreto l continuo (nel gergo dei Fisici) nell nlisi, d esempio, del comportmento di sistemi meccnici: tl proposito si può vedere l esempio riportto di seguito. Esempio : Considerimo un st sottile A di lunghezz L > formt d mterile non necessrimente omogeneo. Possimo schemtizzre l st come un intervllo [, L] dell sse rele, il cui mterile si present con un densità linere puntule λ() >. Considerimo il problem di clcolre l sciss A del centro di mss di A. Scelt un decomposizione D dell intervllo [, L] con d := mp D piccol, possimo pensre gli intervllini [, ],..., [ N, N ] come piccoli trtti dell st A; visto che d è sufficientemente piccol, possimo pprossimre ognuno dei trtti [ n, n ] con un punto mterile P n vente sciss ξ n [ n, n ] nel qule è concentrt un mss µ n ; in tl modo, stimo pprossimndo il sistem continuo A con il sistem discreto S = {(ξ n, µ n ), n =,..., N}. Per noti ftti, il centro di mss del sistem discreto S h sciss che soddisf l seguente relzione: (5) S N µ n = n= N µ n ξ n, in cui l somm N n= µ n rppresent l mss totle µ del sistem. Dto che i trtti in cui è divis l st sono sufficientemente piccoli, possimo ritenere che l densità dello n-esimo trtto si pressoché costnte ed ugule ll densità λ(ξ n ) clcolt nel punto ξ n : in tl modo, l mss µ n coincide col prodotto λ(ξ n )( n n ) e bbimo: µ n= N λ(ξ n ) ( n n ) n= = σ λ (D; ξ,..., ξ N ) cioè µ si pprossim con un opportun somm di Riemnn reltiv ll funzione λ(). Anlogmente, ogni ddendo di N n= µ n ξ n si può pprossimre con λ ( ξ n )ξ n ( n n ) e perciò: N µ n ξ n n= N λ(ξ n ) ξ n ( n n ) n= = σ ϕ (D; ξ,... ξ N ) cioè il secondo membro dell (5) coincide con un somm di Riemnn reltiv ll funzione ϕ() = λ(). Infittendo sempre più l decomposizione D, i.e. mndndo mp D +, il sistem discreto S pprossim sempre meglio il sistem continuo A e possimo ritenere che il suo centro di mss S pprossimi sempre meglio il centro di mss A ; d ltro cnto, entrmbe le somme σ λ (D; ξ,..., ξ N ) e σ ϕ (D; ξ,... ξ N ) pprossimno gli integrli L λ() d ed L ϕ() d = L λ() d. Mettendo insieme i due comportmenti possimo ffermre che il centro di mss di A soddisf l relzione: A L λ() d = L λ() d,

6 6 G. DI MEGLIO formlemente ottenut pssndo l ite l (5) per mp D +, d cui l regol: che si us nell prtic. A = L λ() d L λ() d Osservzione 2: L sciss del centro di mss di un sistem linere esteso coincide con l medi integrle dell funzione sull intervllo [, L] pest rispetto ll densità linere λ..2. Interpretzione Geometric dell Integrle Definito. Le considerzioni che proponimo qui di seguito sono purmente euristiche e non verrnno sistemte in un qudro teorico generle. Tuttvi, con un po di sforzo, è possibile elborre un teori (l cosiddett Teori dell Misur di Peno 3 Jordn 4 ) nell mbito dell qule tli considerzioni sono del tutto lecite. Il lettore interessto d pprofondire questo tem può leggere [AT, cp. XI]. Considerimo un funzione f : [, b] R itt ed integrbile secondo Riemnn su [, b]. Abbimo osservto lezione che, se f() ovunque in [, b], le somme integrli inferiori s f (D) e le somme integrli superiori S f (D) coincidono con l re (nel senso dell Geometri Elementre) di lcuni insiemi pini detti plurirettngoli 5 : in prticolre, s f (D) coincide con l re di un plurirettngolo P (D) inscritto nell regione: R f = { (, y) R 2 : b e y f() } (dett rettngoloide -o trpezoide- di bse [, b] reltivo d f) ed S f (D) coincide con l re di un plurirettngolo P (D) circoscritto tle regione. Abbimo ltresì osservto che tli misure pprossimno (le S f (D) per eccesso, le s f (D) per difetto) quell che può essere rgione chimt l re del rettngoloide R f e che ll infittirsi dell decomposizione D deve perciò versi: s f (D) = re(r f ) = S f (D). mp D mp D Or, dto che s f (D) = f() d = S f (D) e visto che ci spettimo un sort di unicità del ite nche (e soprttutto!) in questi rgionmenti mp D mp D euristici, è evidente che: f() d = re R f, ossi l integrle definito esteso d [, b] dell funzione non negtiv f restituisce l re del rettngoloide reltivo d f di bse [, b] (cfr. Fig. ). Cos succede se f() ovunque in [, b]? Innnzitutto, notimo che in tl cso l integrle definito f() d è non positivo, dunque esso non può coincidere con l misur di un re 6... Tuttvi, geometricmente l cos sembr ndre posto 3 Giuseppe Peno ( ), mtemtico e logico itlino che h fornito l ssiomtizzzione complet dei numeri nturli. A lui è intitolto il Diprtimento di Mtemtic dell Università di Torino. 4 Mrie Ennemond Cmille Jordn ( ), mtemtico frncese. 5 Si chim plurirettngolo ogni sottoinsieme del pino R 2 che si ottiene giustpponendo un numero finito di rettngoli coi lti prlleli gli ssi. 6 Perchè le ree nel senso dell Geometri Elementre sono quntità.

7 COMPLEMENTI SULL INTEGRAZIONE DEFINITA 7 y R f b Figur. Rettngoloide R f di un funzione non negtiv in [, b]. come nel cso precedente ptto di cmbire qulche segno. Invero, sfruttndo le proprietà degli estremi inferiore e superiore, stvolt le quntità S f (D) = s f (D) e s f (D) = S f (D) pprossimno l re dell regione: R f = { (, y) R 2 : b e y f() } cioè risult s f (D) = re(r f ) = S f (D); dunque: mp D mp D f() d = re R f. Inoltre, se convenimo di chimre rettngoloide generlizzto l regione: R f = { (, y) R 2 : b e f() y } l regione compres tr le rette di equzione = ed = b, l sse delle scisse ed il grfico di f (l qule stvolt è situt nel semipino delle ordinte negtive!), si vede che R f è simmetrico di R f rispetto ll sse delle scisse e dunque conserv l stess re di R f ; d ciò segue che: f() d = re R f, cioè che l integrle fornisce un re con segno del rettngoloide generlizzto (cfr. Fig. 2). Considerimo, infine, il cso in cui f può cmbire segno in [, b]. Introducimo le funzioni f ± : [, b] R, dette rispettivmente prte positiv e prte negtiv di f ponendo: f + () := m{, f()} e f () = min{, f()}. Distinguendo un po di csi si vede che: f + () = f() se e solo se f() ed f + () = se e solo se f(), f () = f() se e solo se f() ed f () = se e solo se f(), f() = f + () + f () ovunque in [, b],

8 8 G. DI MEGLIO y b R f Figur 2. Rettngoloide generlizzto R f di un funzione non positiv in [, b]. f() = f + () f () ovunque in [, b], f ± sono itte ed integrbili secondo Riemnn in [, b] se e solo se f lo è; inoltre, il rettngoloide generlizzto di f, i.e. l insieme: R f = {(, y) R 2 : f () y f + ()}, coincide con l unione insiemistic dei due rettngoloidi R f + ed R f, i quli non si sovrppongono (se non in lcuni trtti del bordo, che hnno re null). Dto che: bbimo: f() d = f + () d = re R f + f () d = re R f f + () d + = re R f + re R f, f () d cosicché nel cso f cmbi segno il suo integrle coincide con l somm lgebric di due ree con segno, l un (quell positiv) reltiv l rettngoloide di f +, l ltr (quell negtiv) reltiv f (cfr. Fig. 3). Osservzione 3: Osservimo esplicitmente che, nche nel cso generle in cui f cmbi segno in [, b], l integrle f() d non coincide con l misur dell re del rettngoloide generlizzto di f. Per lumeggire tle circostnz, nlizzimo il seguente esempio. Si f() := sin definit in [, 2π]. Il rettngoloide generlizzto di f è: R f = {(, y) R 2 : π e y sin } {(, y) R 2 : 2π 2π e sin y } e si vede che esso h re >. D ltr prte, risult: 2π sin d = [ cos ] 2π = + =,

9 COMPLEMENTI SULL INTEGRAZIONE DEFINITA 9 y R f + R f b Figur 3. Rettngoloide generlizzto R f segno in [, b]. di un funzione che cmbi cosicchè non è possibile rislire ll re di R f sfruttndo semplicemente l integrle di f. Osservzione 4: In generle, però, è possibile clcolre l re di R f sfruttndo un ltro integrle. Inftti, si h: f() d = f + () d = re R f + + re R f = re R f, f () d cosicché l re del rettngoloide generlizzto R f coincide con l integrle del vlore ssoluto di f esteso d [, b], cioè re R f = re R f. Ciò import che nel cso precedente, i.e. f() := sin con 2π, risult: re R f = = 2π π sin d sin d + 2π = [ cos ] π + [cos ] 2π π = ( + ) + ( + ) = 4. π sin d 2. Integrli Impropri ed Vlore Principle Nell prtic mtemtic pur ed pplict occorre spesso considerre integrli definiti che non ricdono nell mbito di pplicbilità dell teori di Riemnn. Vlgno i seguenti esempi: Esempio 2: L probbilità che un misur con medi m e devizione stndrd σ > ssum vlore mggiore di un dto M R si può esprimere medinte

10 G. DI MEGLIO l integrle: M σ ( m) 2 2π e 2σ 2 d in cui l integrndo è continuo, m è definito in un intervllo non comptto. Esempio 3: Gli integrli: /2 d, log d sono di funzioni continue, m esse né sono definite ovunque negli intervlli d integrzione (perché non sono definite in ) né rimngono itte in essi (perché divergono in ). Esempio 4: L integrle: rctn d è l integrle di un funzione continu e itt, m l intervllo di integrzione non è comptto. In questo prgrfo ci occupimo del problem dell estensione dei risultti sull integrzione definit in modo d comprendere nche i csi presentti negli esempi. 2.. L Integrle Improprio. Comincimo dre lcune definizioni: Definizione Si f : [, b[ R (qui può essere nche b = + ). Si dice che f è improprimente integrbile su [, b[ se ess è integrbile secondo Riemnn su ogni comptto [α, β] [, b[ e se esiste finito il: b In tl cso, si pone per definizione: f(t) d t. f() d := b f(t) d t e l quntità l primo membro si chim integrle improprio di f esteso ll intervllo [, b[. Definizione 2 Si f :], b] R (in cui può essere pure = ). Si dice che f è improprimente integrbile su ], b] se ess è integrbile secondo Riemnn su ogni comptto [α, β] ], b] e se esiste finito il: + In tl cso, si pone per definizione: f(t) d t. f() d := + f(t) d t e l quntità l primo membro si chim integrle improprio di f esteso ll intervllo ], b].

11 COMPLEMENTI SULL INTEGRAZIONE DEFINITA Osservzione 5: Notimo esplicitmente che l ipotesi di integrbilità sui comptti [α, β] contenuti nel dominio ssicur che f è itt in ogni intervllo del tipo [α, β]. Tuttvi, ciò non ssicur in lcun modo che f si itt in tutto il suo insieme di definizione. Tle comportmento, d esempio, è quello esibito dlle funzioni / in ], ] ed /( log ) in ], /2]. Le precedenti due definizioni si possono combinre tr loro ottenendo vrizioni sufficienti coprire ulteriori csi di interesse: Definizione 3 Si f :], b[ R (in cui può versi nche = e b = + ). Si dice che f è improprimente integrbile in ], b[ se esiste un punto ξ ], b[ tle che f è improprimente integrbile in ognuno dei sottointervlli ], ξ] e [ξ, b[. In tl cso si pone: f() d := ξ = + f() d + ξ ξ f() d f(t) d t + y b y ξ f(t) d t e l quntità l primo membro si chim integrle improprio di f esteso d ], b[. Osservzione 6: L esistenz di un punto ξ ], b[ in modo che f risulti improprimente integrbile in ], ξ] ed in [ξ, b[ implic che per ogni punto ], b[ l f risult improprimente integrbile in ], ] ed in [, b[. Scelto rbitrrimente ], b[ con ξ (perché se = ξ non c è null d dimostrre!), llor o < < ξ oppure ξ < < b; per fissre le idee, supponimo che cd tr ξ e b. Per ipotesi, f è certmente integrbile in [ξ, ] e dunque per ogni < ξ ed ogni y > si h: y f(t) d t = f(t) d t = ξ y ξ f(t) d t + f(t) d t ξ ξ f(t) d t f(t) d t per proprietà dditiv; quindi, il ftto che iti + ξ esistno entrmbi finiti implic l esistenz e l finitezz di y b y f(t) d t e y y b ξ + f(t) d t f(t) d t e f(t) d t. Ciò import che f è improprimente integrbile in ], ] ed in [, b[. Osservzione 7: Osservimo esplicitmente che se f è improprimente integrbile in ], b[, il vlore dell integrle improprio f() d non dipende in lcun modo

12 2 G. DI MEGLIO dll scelt del punto : inftti, per proprietà dditiv si h: + f(t) d t + y b y f(t) d t = + + y b = + ξ y ξ ξ f(t) d t + f(t) d t ξ ξ f(t) d t + y b f(t) d t f(t) d t y ξ f(t) d t. Definizione 4 Sino c (, b) ed f : (, b) {c} R. 7 Si dice che f è improprimente integrbile in (, b) se ess è improprimente integrbile in ognuno dei due sottointervlli (, c[ e ]c, b). In tl cso, si pone per definizione: f() d := c f() d + c f() d e l quntità l primo membro è dett integrle improprio di f esteso ll intervllo (, b). Osservzione 8: L definizione precedente si generlizz in mnier del tutto ovvi l cso in cui nell intervllo (, b) ci si più di un punto c in cui f non è definit (o ttorno l qule f non è itt). Ad esempio, se f è definit in (, b) {c, c 2 } (con < c < c 2 < b), llor f è dett improprimente integrbile in (, b) se ess è improprimente integrbile in ogni sottointervllo (, c [, ]c, c 2 [ e ]c 2, b) ed in tl cso si pone: c f() d = f() d + f() d + f() d c c 2 con l integrle l primo membro detto integrle improprio di f esteso d (, b). Rgionndo come nell Osservzione precedente, cioè combinndo opportunmente le definizioni ppen dte, si riesce dre significto l simbolo di integrle in un pletor di csi non coperti dll teori stndrd dell integrle di Riemnn. Inoltre, si vede che l integrle improprio gode nch esso di lcune buone proprietà lgebriche: d esempio, l proprietà dditiv, l linerità ed i risultti di confronto rimngono vlide nche nel cso di integrli impropri. Ciò, fondmentlmente, discende dlle proprietà dei iti e dll seguente: Osservzione 9: Considerimo, mo di modello, il cso dell integrle improprio di un funzione f improprimente integrbile in [, b[. Dett F : [, b[ R l funzione integrle di f con piede in, cioè quell definit in [, b[ ponendo: F () := c2 f(t) d t, 8 l integrbilità in senso improprio di f in [, b[ equivle ll convergenz di F per b ; inftti, per definizione si h: f() d = b f(t) d t = b F (). 7 Ricordo che col simbolo (, b) si denot un qulsisi intervllo di estremi, b R. 8 Si noti che l f è integrbile sul comptto [, ], dunque l funzione integrle F è ben definit.

13 COMPLEMENTI SULL INTEGRAZIONE DEFINITA 3 Invece, l non integrbilità in senso improprio di f in [, b[ equivle ll non regolrità od ll divergenz dell funzione F per b. Per questi motivi, si dice tlvolt che f h integrle convergente, oppure divergente ovvero non regolre in b. È poi immedito provre l: Proposizione 2 Sino < b R ed f : [, b[ R integrbile improprimente su [, b[. Se f si può prolungre su b in modo che il suo prolungmento f si itto ed integrbile secondo Riemnn su [, b], llor l integrle di f esteso d [, b] coincide con l integrle improprio di f esteso d [, b[, cioè risult: f () d = f() d. Dimostrzione. Dto che f () = f() per ogni [, b[, dette F ed F le funzioni integrli di f ed f con piede in, risult: F () = f (t) d t = f(t) d t = F () per ogni [, b[; visto che f è itt ed integrbile su [, b], il Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle implic che F è continu in [, b] e perciò: come volevmo. f () d = F (b) = b F () = b F () = f() d, Muttis mutndis, lo stesso rgomento dell dimostrzione precedente mostr che in tutti gli ltri csi si verific l medesim cos. Possimo dunque ffermre, del tutto in generle, che vle il seguente ftto: Teorem 2 Se un funzione f, definit in (, b) con < b R eccezion ftt l più per un numero finito di punti, si può prolungre d [, b] ottenendo un funzione f itt ed integrbile secondo Riemnn in [, b], llor l integrle di Riemnn di f esteso d [, b] coincide con l integrle improprio di f esteso d (, b), cioè: f () d = f() d. Osservzione : Dl Teorem precedente consegue immeditmente che l integrle improprio è un generlizzzione dell integrle di Riemnn. Tuttvi, per lcuni motivi che presto vedremo, l integrle improprio è un generlizzzione imperfett dell integrle di Riemnn Esempi Significtivi. Esempio 5: Considerimo l integrle: α con α >, il qule è improprio perché l integrndo è definito in ], ] e non si mntiene itto intorno. d

14 4 G. DI MEGLIO Un semplice clcolo mostr che: se α, e che: t α d t = se α = ; pertnto risult: + [ α t α ] = α ( α) t d t = [log t ] = log { t α d t = α, se < α < +, se α e perciò l funzione / α è improprimente integrbile in ], ] se e solo se < α < ed il suo integrle vle: α d = α. Osservzione : Osservimo esplicitmente che l Esempio precedente si può usre per stbilire l sombilità di funzioni potenze del tipo: f() := α, con R, in intervlli impropri che bbino come estremo. Ad esempio, per studire se f è integrbile in [, [ (con < ) possimo sfruttre l integrzione per sostituzione per stbilire: α d = τ= t = = y= = y + = t α d t τ α y τ α d τ cosicché le funzioni potenz / α sono sempre integrbili intorno d se < α < e non lo sono per α. Esempio 6: Considerimo l integrle: α con α >, il qule è improprio perché l integrndo è definito in [, + [, che non è comptto. Un semplice clcolo mostr che: se α, e che: t α d t = [ α t α ] τ α d d τ d τ τ α d τ = α ( α ) t d t = [log t ] = log

15 COMPLEMENTI SULL INTEGRAZIONE DEFINITA 5 se α = ; pertnto risult: { + t α d t = α, se α > +, se < α e perciò l funzione / α è improprimente integrbile in [, + [ se e solo se α > ed il suo integrle vle: Esempio 7: Considerimo l integrle: e α d = α. log β d improprio in qunto l intervllo d integrzione non è comptto. Fissto un punto > e, clcoo: se β e: e log t log β t d t u=log t = ξ = β = β u β d u [ u β ] log ( log β log t log t d t u=log = t u d u = [log u ] log = log log se β = ; dunque: { + e t log β t d t = β, se β > +, se < β ; conseguentemente, l funzione /( log β ) è improprimente integrbile in [e, + [ solo se β > e: e log β d = β. Esempio 8: Considerimo l integrle: e log β d con β >, il qule è improprio perché l integrndo è definito in ], e] non comptto e non si mntiene itto intorno. )

16 6 G. DI MEGLIO Fissto un punto < < e, clcoo: se β e: e t log β t d t u=log t = log e = β = β u β [ u β ] d u log ( log β t log t d t u=log = t log u d u = [log u ] log = log log se β = ; dunque: { e + t log β t d t = β, se < β < +, se β Conseguentemente, l funzione /( log β ) è improprimente integrbile in ], e] solo se < β < ed in tl cso si h: e Esempio 9: Considerimo l integrle: log β d = β. log β d che è improprio perché l integrndo è definito in ], + [ non comptto e non è itto intorno d. Per qunto detto più sopr, gli integrli impropri: ). e log β d e e log β d esistono, rispettivmente, solo se < β < e solo se β > ; dunque, poiché non esiste lcun vlore di β per il qule esistno contempornemente entrmbi gli integrli impropri, concludimo che /( log β ) non è improprimente integrbile in ], + [. Esempio : Considerimo l integrle: rctn d, il qule è improprio perché l funzione integrnd è definit in un intervllo non comptto.

17 COMPLEMENTI SULL INTEGRAZIONE DEFINITA 7 Fissto per comodità ξ =, per < < y bbimo: y rctn t d t = [t rctn t] t + t 2 d t [ = t rctn t 2 log( + t2 ) ] = 2 log( + 2 ) rctn, y rctn t d t = [t rctn t] y t + t 2 d t [ = t rctn t 2 log( + t2 ) = y rctn y 2 log( + y2 ), ] y cosicché: y y + rctn t d t = rctn t d t = + e perciò l funzione rctn non è improprimente integrbile in R L Integrle Vlore Principle di Cuchy *. Un ulteriore generlizzzione dell integrle di Riemnn si ottiene considerndo quello che si chim integrle vlore principle (o integrle di Cuchy ): Definizione 5 Sino < b R, c ], b[ ed f : [, b] {c} R. Si dice che f è integrbile in [, b] nel senso del vlore principle (o nel senso di Cuchy) se e solo se ess è integrbile secondo Riemnn in ogni intervllo del tipo [, c r] e [c + r, b] (con r > piccolo ) e se esiste finito il: In tl cso si pone: v. p. r + c r f() d = r + f() d + c r c+r f() d. f() d + f() d c+r ed il primo membro si chim integrle vlore principle di f esteso ll intervllo [, b]. Definizione 6 Sino < b R ed f :], b[ R. Si dice che f è integrbile in ], b[ nel senso del vlore principle (o nel senso di Cuchy) se ess è integrbile secondo Riemnn in ogni intervllo [ + r, b r] (con r > piccolo ) e se esiste finito il: In tl cso si pone: v. p. r + r +r f() d = r + f() d. r +r f() d,

18 8 G. DI MEGLIO ed il primo membro si chim integrle vlore principle di f esteso d ], b[. Definizione 7 Si f : R R. Si dice che f è integrbile in R nel senso del vlore principle (o nel senso di Cuchy) se ess è integrbile secondo Riemnn in ogni intervllo del tipo [ R, R] (con R > ) e se esiste finito il: R + R R f() d. In tl cso, si pone: R v. p. f() d = f() d R + R ed il primo membro si chim integrle vlore principle di f esteso d R. Osservzione 2: Come nei csi precedenti, nche le Definizioni 5 7 possono essere combinte per ottenere l definizione dell integrle vlore principle in csi non coperti dlle stesse. Ad esempio, l integrle vlore principle dell funzione /( 2 ) esteso d R si definisce ponendo: v. p. 2 d = R +,r + r R r R f() d + f() d + f() d. +r +r Osservzione 3: L differenz principle tr l integrle improprio e l integrle vlore principle è che per il clcolo di quest ultimo si omettono dl clcolo o si utilizzno per il clcolo intervlli con un certo grdo di simmetri. Per chirire tle ffermzione, soffermimoci dpprim sul cso di un funzione f : R R integrbile secondo Riemnn su ogni comptto contenuto in R. Nel clcolo dell integrle improprio di f si consider, in fin dei conti, l integrle di f esteso d un qulsisi intervllo [, y], i.e.: y f(t) d t, e poi si mndno indipendentemente e y + ; d ltr prte, nel clcolo dell integrle vlore principle di f si consider l integrle di Riemnn di f esteso d intervlli simmetrici [ R, R], cioè: R R f(t) d t e poi si mnd R +. Anlogmente, considerimo un funzione f : [, b] {c} R itt ed integrbile secondo Riemnn sui comptti contenuti in [, c[ ed in ]c, b]. Nel clcolo dell integrle improprio di f si consider l somm: f(t) d t + y f(t) d t, il che equivle d escludere dl computo dell integrle il generico intervllo ], y[ [, b] contenente il punto singolre c, e successivmente si mndno indipendentemente c ed y c + ; invece, nel clcolo dell integrle vlore principle di f

19 COMPLEMENTI SULL INTEGRAZIONE DEFINITA 9 si consider l somm: c r f(t) d t + f(t) d t, c+r il che equivle d escludere dl computo dell integrle il generico intorno simmetrico ]c r, c + r[ [, b] contenente il punto singolre c, e successivmente si mnd r +. Considerzioni del tutto simili vlgono nel cso di f :], b[ R, in cui si us per clcolre l integrle vlore principle l intervllo [ + r, b r] simetrico rispetto l punto medio +b 2. Quindi, in generle, nei csi bse possimo ffermre che l integrle vlore principle di f si clcol come quello improprio, m ggirndo i punti singolri od vvicinndosi d essi in mnier simmetric. L Osservzione precedente mostr che l integrle vlore principle può essere considerto come un cso prticolre di integrle improprio; ciò è vero in generle ed il risultto che segue gett luce sul legme tr i due tipi di integrli: Proposizione 3 Se f è integrbile in senso improprio in (, b) llor ess è integrbile nche nel senso del vlore principle ed i due integrli coincidono, i.e.: v. p. f() d = f() d. Dimostrzione. Fccimo l dimostrzione nel cso coperto dll Definizione 5. Supponimo che f : [, b] {c} R si improprimente integrbile in [, b]: ciò, per definizione signific che esistono i due integrli impropri: c f() d = c f(t) d t e c f() d = y c + y f(t) d t ; fcendo nei due iti i cmbimenti di vribile = c r ed y = c + r, si ottiene: c c f() d = c r r + f() d = r + c+r f(t) d t f(t) d t, onde, visti i teoremi sulle operzioni coi iti, trimo: che è l tesi. v. p. f() d = r + = = c c r f() + f() d f() d + c f() c+r f() d Il vicevers, in generle, non vle; in ltre prole, esistono funzioni integrbili nel senso del vlore principle che non sono dotte di integrle improprio. Gli esempi che seguono illustrno il verificrsi di tle circostnz. Esempio : Abbimo già mostrto che rctn non è improprimente integrbile in R.

20 2 G. DI MEGLIO D ltr prte, l disprità dell integrndo rende di bnle verific l uguglinz: v. p. rctn d = R R + R rctn d =, cosicché rctn è integrbile su R nel senso del vlore principle. Esempio 2: Abbimo già osservto che l funzione / non è improprimente integrbile in ], ] e ciò import che ess non è integrbile in senso improprio nemmeno sull intervllo [, ]. D ltr prte, l disprità dell integrndo rende di bnle verific l uguglinz: v. p. d = r + r d + r d =, cosicché / è integrbile su [, ] nel senso del vlore principle. 3. Criteri d Integrbilità Impropri 3.. Criterio di Convergenz di Cuchy. Un volt cpito che l integrbilità in senso improprio equivle ll convergenz di opportune funzioni integrli, possimo stbilire un criterio di integrbilità bsto sul criterio di convergenz di Cuchy. Prendimo d esempio un cso modello, potendosi il discorso generlizzre in mnier bbstnz immedit: Teorem 3 (Criterio di Cuchy per l Integrle Improprio) Si f : [, b[ R (qui può essere nche b = + ) un funzione integrbile secondo Riemnn sui comptti [α, β] [, b[. L f è improprimente integrbile in [, b[ se e solo se è soddisftt l seguente proprietà: 2 (6) ε >, I intorno di b :, 2 [, b[ I, f(t) d t < ε. Dimostrzione. Abbimo già osservto che f è improprimente integrbile su [, b[ se e solo se l funzione integrle F con piede in è convergente in b (d sinistr ovvimente); d ltr prte, tle funzione è convergente in b se e solo se ess soddisf l proprietà di Cuchy: ε > : I intorno di b :, 2 [, b[ I, F ( 2 ) F ( ) < ε, l qule coincide con l (6) per l proprietà dditiv dell integrle, che ssicur: F ( 2 ) F ( ) = 2 f(t) d t. Il Criterio di Cuchy è difficilmente pplicbile nell prtic m le sue conseguenze, come vedremo, sono di vst portt. Un delle prime conseguenze è quell riportt nell seguente: Osservzione 4: Dl Criterio di Cuchy segue immeditmente che se b R ed f : [, b[ R è itt intorno b, llor f è improprimente integrbile in [, b[. Inftti, se esistono M e δ > tle che f() M in [, b[ ]b δ, b + δ [, ptto di prendere < 2 [, b[ ]b δ, b + δ [ per disuguglinz tringolre e proprietà di confronto bbimo: 2 2 f() d f() d M( 2 ) ;

21 COMPLEMENTI SULL INTEGRAZIONE DEFINITA 2 in corrispondenz di ε > è possibile determinre δ = min{δ ε, M+ } > in modo che per ogni < 2 [, b[ ]b δ, b + δ[ si h: 2 f() d M M + ε < ε, perciò f soddisf il Criterio di Cuchy per l Integrle ed è improprimente integrbile in [, b[ Criteri di Integrbilità per Funzioni non negtive. Un delle clssi di funzioni che mggiormente ci interessno è quell costituit dlle funzioni non negtive nel proprio intervllo di definizione. L interesse in tli funzioni risiede nel ftto che esse godono di numerose buone proprietà rispetto ll integrzione impropri. Ciò è, ben vedere, conseguenz del seguente e semplicissimo: Lemm (Monotòni delle Funzioni Integrli) Sino f : (, b) R un funzione itt ed integrbile sui comptti contenuti in (, b) ed (, b). Posto: F () := f(t) d t per (, b), se f() [risp. ] ovunque in (, b) llor F è crescente [risp. decrescente] in (, b). Dimostrzione. Fccimo l dimostrzione nel cso f() ovunque. Scelti < 2 (, b), per proprietà dditiv e per confronto bbimo: sicché F ( ) F ( 2 ). F ( 2 ) F ( ) = = 2 2 f(t) d t f(t) }{{} Il Lemm implic che l funzione integrle: F () := d t f(t) d t f(t) d t è monotòn, dunque regolre in b; pertnto, l integrle improprio f() d o è convergente, cosicché f è improprimente integrbile in [, b[, oppure è divergente, ed f non è improprimente integrbile in [, b[. Un ltr conseguenz del Lemm è il fondmentle: Teorem 4 (Criterio del Confronto) Sino f, g : [, b[ R funzioni integrbili sui comptti contenuti in [, b[, ivi non negtive e tli che f() g() in [, b[. Vlgono i seguenti ftti: i) se g è improprimente integrbile in [, b[, tle è nche f e risult: f() d g() d. ii) se f non è improprimente integrbile in [, b[, llor nche g non lo è.

22 22 G. DI MEGLIO Dimostrzione. Dette F e G, rispettivmente, le funzioni integrli di f e g con piede in, F e G sono crescenti in [, b[ e perciò sono entrmbe regolri in b e tendono l proprio estremo superiore. Provimo l i. Per ogni [, b[ si h: F () G() b g(t) d t = g() d, quindi l integrle improprio di g è un mggiornte di F ; ciò import che F converge in b e che: f() d = b F () come volevmo. Provimo l ii. Per confronto, bbimo: F () = f(t) d t g() d, g(t) d t = G() in [, b[; per monotòni, se f non è improprimente integrbile in [, b[, risult F () + per b e ciò implic, per confronto, G() + ; dunque g non è improprimente integrbile in [, b[. Osservzione 5: L ipotesi f() g() in [, b[ può essere leggermente indebolit, richiedendo che l disuguglinz si soddisftt solo in un opportuno intorno sinistro [b δ, b[. Inftti, fissto ]b δ, b[ trovimo: F () = = = δ δ δ f(t) d t f(t) d t + f(t) d t + f(t) }{{} b δ g(t) b δ δ d t g(t) d t f(t) d t g(t) d t } {{ } =:C = C + G(), g(t) d t cosicché se G converge in b nche F vi converge, dunque f è improprimente integrbile in [, b[, e vicevers se F diverge in b nche G vi diverge, cosicché g non è improprimente integrbile in [, b[. Il Criterio del Confronto h un versione sintotic, l qule risult molto utile nelle ppliczioni: Proposizione 4 (Criterio del Confronto Asintotico) Sino f, g : [, b[ R funzioni integrbili sui comptti contenuti in [, b[, ivi non negtive e tli che: f() = l ], + [. b g() llor o f e g sono entrmbe integrbili improprimente in [, b[ oppure entrmbe non lo sono.

23 COMPLEMENTI SULL INTEGRAZIONE DEFINITA 23 Dimostrzione. Dll definizione di ite con ε = l 2 > segue immeditmente che esiste un δ > tle che: f() g() l < l l 3l g() < f() < g() per ogni [, b[ ]b δ, b + δ[; detto ξ un punto di [, b[ ]b δ, b + δ[, le disuguglinze l 3l 2 g() < f() < 2 g() vlgono in [ξ, b[ e ciò, per il Criterio del Confronto, implic l contemporne convergenz o divergenz dei due integrli impropri: f() d ξ ξ e L tesi segue per proprietà dditiv dell integrle. g() d. Osservzione 6: Nelle ipotesi del Criterio del Confronto Asintotico bbimo supposto tcitmente che g() > lmeno in un opportuno intorno sinistro di b (ltrimenti, l funzione f()/g() non srebbe ben definit intorno b). Volendo ovvire questo ftto, è possibile sostituire l ipotesi: f() = l ], + [. b g() con l relzione f() = lg() + o ( g() ) per b. Il Criterio del Confronto Asintotico h come pressoché immedit conseguenz due criteri di integrbilità bsti sull ordine di infinito/infinitesimo. Proposizione 5 (Criterio dell Ordine di Infinito) Sino < b R ed f : [, b[ R un funzione non negtiv in [, b[ ed integrbile sugli intervlli [α, β] [, b[. Se f è un infinito in b d ordine p >, i.e.: llor: b b p f() = l ], + [, () se p <, llor f è improprimente integrbile in [, b[; (2) se p, llor f non è improprimente integrbile in [, b[. Proposizione 6 (Criterio dell Ordine di Infinitesimo) Sino R ed f : [, + [ R un funzione non negtiv in [, + [ ed integrbile sugli intervlli [α, β] [, + [. Se f è un infinitesimo in + d ordine p >, i.e.: llor: + p f() = l ], + [, () se p >, llor f è improprimente integrbile in [, + [; (2) se p, llor f non è improprimente integrbile in [, + [. Provimo il primo dei due, potendosi rgionre nlogmente per l ltro.

24 24 G. DI MEGLIO Dimostrzione. Supponimo che b p f() l > per b. Per definizione di ite, in corrispondenz di ε = l/2 esiste δ > tle che per ogni [b δ, b[ risult: b p f() l < l 2 l 2(b ) p f() 3l 2(b ) p. Se p <, dll disuguglinz superiore segue che f è mggiort d un funzione potenz improprimente integrbile in [b δ, b[ (cfr. Esempio 5 ed Osservzione ) e tnto bst per concludere l integrbilità di f in [, b[ vi il Criterio del Confronto. Anlogmente, se p, dll disuguglinz inferiore segue che f è minort d un funzione potenz non improprimente integrbile in [b δ, b[ (cfr. Esempio 5 ed Osservzione ) e tnto bst per concludere l non integrbilità di f in [, b[ per confronto. Le ipotesi delle Proposizioni precedenti si possono re un po per includere qulche cso d interesse; inftti, vle il: Teorem 5 (Criterio dell Ordine di Infinito Migliorto) Sino < b R ed f : [, b[ R un funzione non negtiv in [, b[ ed integrbile in ogni [α, β] [, b[. Se f è un infinito d ordine inferiore d un p < in b, llor f è improprimente integrbile in [, b[. Se f è un infinito d ordine non inferiore d in b, llor f non è improprimente integrbile in [, b[. Teorem 6 (Criterio dell Ordine di Infinitesimo Migliorto) Si f : [, + [ R un funzione non negtiv in [, + [ ed integrbile in ogni [α, β] [, + [. Se f è un infinitesimo d ordine superiore d un p > in +, llor f è improprimente integrbile in [, + [. Se f è un infinitesimo d ordine non superiore d in +, llor f non è improprimente integrbile in [, + [. Osservzione 7: Ricordimo che un funzione non negtiv f è un infinito d ordine non inferiore d in b se e solo se un minorzione del tipo b f() m con m > sussiste in un opportuno intorno sinistro di b. Anlogmente, un funzione non negtiv f è un infinitesimo d ordine non superiore d in + se e solo se un minorzione del tipo: f() m con m > sussiste in un opportuno intorno sinistro di +. Provimo di nuovo il primo, potendosi rgionre nlogmente per l ltro. Dimostrzione. Supponimo f si un infinito d ordine inferiore d / b p con p < per b, ossi che: b p f() =. b In corrispondenz di ε = possimo determinre un intorno sinistro di b in cui risult: b p f() < f() < b p

25 COMPLEMENTI SULL INTEGRAZIONE DEFINITA 25 con p < ; d ciò e dl Criterio del Confronto si tre l integrbilità di f in [, b[. Anlogmente, supponimo che f si un infinito d ordine non inferiore d in b: ciò ccde qundo esiste un intorno sinistro di b in cui risult: b f() m f() m b ; d ciò e dl Criterio del Confronto si tre che f non è integrbile in [, b[. Esempio 3: Il Criterio dell Ordine di Infinitesimo Migliorto si può pplicre, d esempio, per stbilire che le funzioni: sin 2 e cos 2 sono improprimente integrbili su [, + [ (con > ). Inftti, entrmbe le funzioni sono continue (e dunque integrbili sugli intervlli comptti contenuti in [, + [) ed infinitesime ll infinito d ordine superiore 3/2 >. Esempio 4: Più in generle, le funzioni: sin α e cos α sono improprimente integrbili su [, + [ (con > ) se α > e non lo sono se α <. Inftti, entrmbe le funzioni sono continue (e dunque integrbili sugli intervlli comptti contenuti in [, + [) ed infinitesime ll infinito d ordine superiore α+ 2 > se α > ; mentre sono infinitesime d ordine non superiore d se α <. Osservzione 8: Per α = si dimostr che entrmbe le funzioni dell Esempio precedente non sono improprimente integrbili su intervlli del tipo [, + [ (con > ). sin Provimo, titolo d esempio, che non è integrbile in senso improprio su [π/2, + [. sin Innnzitutto, osservimo che, essendo ovunque in [π/2, + [, l integrle improprio di tle funzione è regolre in + e che il suo vlore può, norm del Teorem Ponte, essere clcolto scegliendo un rbitrri successione R n + e pssndo l successione di termine generle R n sin π/2 d l ite per n +. Considerimo R n = nπ con n N {} e l successione di termine generle: I n := nπ π/2 sin d.

26 26 G. DI MEGLIO Tenendo presente che l funzione / è decrescente, bbimo: π n sin I n = d + π/2 }{{} k= =:C n (k+)π C + k= kπ n = C + (k + )π k= n = C + k= (k + )π (k+)π kπ sin (k + )π d (k+)π kπ (k+)π kπ sin sin d d ( ) k sin d n = C + (k + )π ( )k[ cos(kπ) cos ( (k + )π )] k= n = C + (k + )π ( )k[ ( ) k 2 ] k= n 2 = C + (k + )π = C + 2 π k= n k= h=k+ = C + 2 π = C }{{ π } π =C k + n h=2 n h= h h ; ne consegue che I n C + 2 π s n, in cui C è un costnte ed s n è l somm przile n-esim dell serie rmonic [DM,.4]. Dto che l serie rmonic diverge positivmente, d I n C + 2 π s n per confronto segue I n + ; dunque: + π/2 sin t t d t =nπ = n + = n + I n = + ; nπ π/2 sin t t d t e perciò l funzione sin non è improprimente integrbile in [, + [ Funzioni Sommbili e Criteri di Sommbilità. L seguente definizione è fondmentle: Definizione 8 (Funzioni Sommbili) Si dice che un funzione f è sommbile in (, b) se e solo se l funzione f è improprimente integrbile in (, b). L importnz dell precedente definizione risiede nel seguente:

27 COMPLEMENTI SULL INTEGRAZIONE DEFINITA 27 Teorem 7 (Criterio di Integrbilità per Funzioni Sommbili) Se f è sommbile in (, b), llor ess è pure improprimente integrbile in (, b) e risult: f() d f() d. Dimostrzione. Considerimo, come modello, il cso di un funzione f : [, b[ R. Dto che f è sommbile in [, b[, per il Criterio di Cuchy per l integrle improprio bbimo: 2 ε >, I intorno di b :, 2 [, b[ I, f(t) d t < ε e dll disuguglinz tringolre per l integrle di Riemnn: 2 2 f(t) d t f(t) d t segue immeditmente che per l integrle di f vle il Criterio di Cuchy; dunque f è improprimente integrbile in [, b[. Per mostrre l disuguglinz, bst ricordre che: f(t) d t f(t) d t e l sserto segue pssndo l ite per b. Osservzione 9 (Funzioni Integrbili m non Sommbili): Notimo esplicitmente che si possono costruire esempi di funzioni improprimente integrbili su un intervllo m ivi non sommbili. Pertnto il Teorem esprime un condizione sufficiente, m nient fftto necessri, ll integrbilità impropri. Per lumeggire tle circostnz, considerimo l integrle improprio: π/2 sin d. Sfruttndo l definizione con il ite ed integrndo per prti con fttore differenzile sin, trovimo: π/2 sin d = R sin R + π/2 [ = R + cos ] R = cos R R + R d π/2 R R π/2 π/2 cos 2 cos 2 d. d Il primo ddendo nel ite ll ultimo membro è infinitesimo per R + ; d ltro cnto, si h: cos 2 2 per [π/2, + [, con l funzione mggiornte improprimente integrbile in tle intervllo, cosicché l integrle improprio di cos esiste finito (per Criterio 2 del Confronto) e l funzione cos è sommbile per il Criterio di Sommbilità; ne 2

28 28 G. DI MEGLIO consegue: π/2 sin d = cos R R + R = π/2 cos 2 R cos π/2 2 d R cosicché l funzione sin è improprimente integrbile. D ltr prte, sin non è un funzione sommbile, poiché l integrle improprio di sin non converge. Osservzione 2: Il Teorem 7 iut convincersi che l integrle improprio è un generlizzzione imperfett dell integrle di Riemnn, poiché per l integrle di Riemnn vle esttmente l proprietà oppost (cioè, se f è integrbile secondo Riemnn in [, b] tle è pure f ). Per convincersi che, in generle, l proprietà enuncit nel Teorem 7 non vlg per l integrle di Riemnn bst meditre sul seguente semplice esempio. Sppimo che l funzione d di Dirichlet (l qule ssume vlore sugli irrzionli e sui rzionli) non è integrbile secondo Riemnn su [, ]. Considerimo l funzione f : [, ] R definit ponendo f() := d() /2: tle funzione ssume vlore /2 [risp. /2] sugli irrzionli [risp. sui rzionli] e non è integrbile secondo Riemnn in [, ] (poiché se lo fosse risulterebbe integrbile nche d() = f() + /2). D ltr prte, però, bbimo f() = /2 identicmente in [, ] cosicché f è costnte ed integrbile secondo Riemnn in [, ]. Tutti i criteri di convergenz stbiliti per gli integrli impropri di funzioni non negtive si trsformno in criteri di sommbilità, semplicemente considerndo l posto di un generic funzione non negtiv il vlore ssoluto f dell funzione f dell qule si vuole provre l sommbilità. Ad esempio, molto utili nell prtic sono i criteri di sombilità per ordine di infinito/infinitesimo che riportimo qui di seguito: Proposizione 7 (Sommbilità per Ordine di Infinito) Sino < b R ed f : [, b[ R un funzione integrbile sugli intervlli [α, β] [, b[. Se f è un infinito in b d ordine p >, i.e.: llor: b p f() = l ], + [, b () se p <, llor f è sommbile in [, b[; (2) se p, llor f non è sommbile in [, b[. Teorem 8 (Sommbilità per Ordine di Infinito Migliorto) Sino < b R ed f : [, b[ R un funzione integrbile in ogni [α, β] [, b[. Se f è un infinito d ordine inferiore d un p < in b, llor f è sommbile in [, b[. Se f è un infinito d ordine non inferiore d in b, llor f non è sommbile in [, b[. Proposizione 8 (Sommbilità per Ordine di Infinitesimo) Sino R ed f : [, + [ R un funzione integrbile sugli intervlli [α, β] d

29 COMPLEMENTI SULL INTEGRAZIONE DEFINITA 29 [, + [. Se f è un infinitesimo in + d ordine p >, i.e.: llor: + p f() = l ], + [, () se p >, llor f è sommbile in [, + [; (2) se p, llor f non è sommbile in [, + [. Teorem 9 (Sommbilità per Ordine di Infinitesimo Migliorto) Si f : [, + [ R un funzione integrbile in ogni [α, β] [, + [. Se f è un infinitesimo d ordine superiore d un p > in +, llor f è sommbile in [, + [. Se f è un infinitesimo d ordine non superiore d in +, llor f non è sommbile in [, + [. Riferimenti bibliogrfici [AT] Alvino, A. & Trombetti, G. (999) Elementi di Mtemtic I, Liguori, Npoli. [DM] Di Meglio, G. (27) Complementi sulle Serie Numeriche [reperibile su [MS] Mrcellini, P. & Sbordone, C. (998) Anlisi Mtemtic Uno, Liguori, Npoli. [P] Prodi, G. (975) Lezioni di Anlisi Mtemtic I, Bollti Boringhieri, Torino. [PS] Pgni, C. D. & Sls, S. (25) Anlisi Mtemtic - second edizione, Znichelli, Bologn. Guglielmo Di Meglio, PhD Scuol Politecnic e delle Scienze di Bse Università degli Studi di Npoli Federico II pizzle Tecchio Npoli ITALY emil: guglielmo.dimeglio@unin.it