Corso di Laurea in Ingegneria per l Ambiente e il Territorio - sede distaccata di Latina Corso di Analisi Matematica (2 modulo) - a.a.

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1 Corso di Lure in Ingegneri per l Ambiente e il Territorio - sede distcct di Ltin Corso di Anlisi Mtemtic ( modulo) -.. 3/4 APPUNTI INTEGRATIVI SUGLI INTEGRALI GENERALIZZATI Ricordimo che gli integrli impropri, in qunto limiti di integrli definiti, possono essere pplicte le vrie regole di integrzione, quli le proprietà dditiv, di linerità, le regole di integrzione per prti e per sostituzione ecc., purché esse bbino significto sull rett mplit. Poiché gli integrli generlizzti sono ottenuti come limiti di integrli definiti, il primo psso consiste nel suddividere l intervllo di integrzione in un numero di sottointervlli tle che ogni integrle su ognuno di tli sottointervlli poss essere clcolto trmite un sol operzione di limite. Se, d esempio, voglimo clcolre l integrle sull inter rett di un funzione ovunque continu, spezzeremo l rett in due semirette rbitrrie (, ] [, + ) e procederemo l clcolo dell integrle nel seguente modo: f() d = f() d + f() d = lim α α f() d + lim β + β f() d. Quindi, l teori dell integrzione impropri, nell sostnz, si pplic funzioni continue su intervlli che non sino chiusi e limitti, nel senso che le funzioni in esme potrebbero presentre discontinuità o non essere definite sul bordo dell intervllo limitto, oppure essere definite su intervlli illimitti. In entrmbi i csi, l teori dell integrzione delle funzioni continue su intervlli chiusi e limitti risult indegut, in qunto, in prtic, mentre per tli funzioni il vlore dell integrle definito è sicurmente finito, nel cso di funzioni o di intervlli illimitti l integrle potrebbe divergere o ddirittur non esistere. Seguendo questo spirito, è llor chiro che possimo clcolre gli integrli definiti di funzioni prolungbili per continuità o che bbino discontuità di slto, in qunto, come è fcile comprendere intuitivmente, nche per esse l integrle definito converge. Srà inftti sufficiente costruire un nuov funzione, ottenut prolungndo fino gli estremi l funzione in esme, che risulterà, in tl modo, continu su intervlli chiusi e limitti e ll qule si potrà pplicre l teori già not. Il prolungmento dell funzione non vri il vlore dell integrle in esme, in qunto, poiché l funzione h un limite finito, il prolungmento consiste nel clcolre un re lgebric di un figur che differisce dll precedente per un rettngolo di ltezz finit e di bse vente lunghezz null, l cui re, pertnto, è null. Srà quindi sufficiente occuprsi dell integrzione di funzioni dotte di (un numero finito di) punti di infinito e di funzioni continue su un intervllo illimitto. Si ricordi, infine, che, per funzioni positive (m il discorso è nlogo per le funzioni negtive), l integrle esiste sempre (finito o infinito), in qunto limite di funzione monotòn, qule è l funzione integrle. Esempio (integrzione per prti) Clcolre Γ(n + ) = n e d ; n IN. ()

2 Considerimo innnzitutto il cso n =, integrndo per prti: e d = e + + e d = e + =, ( dove si è sfruttto il limite lim n e ) = n IN e si è dottt l utile convenzione + (fcilmente dttbile l clcolo di integrli impropri di qulsisi tipo) F () + := lim F () F (). + Per dimostrre l () in generle, osservimo che, integrndo per prti, Γ(n + ) = Pertnto n e d = n e + + n Γ(3) = Γ() = n e d = nγ(n), n IN. Γ(4) = 3Γ(3) = 3 = 3! Γ(5) = 4Γ(4) = 4 3! = 4!. Γ(n + ) = n e d = nγ(n) = n! L importnte formul ricorsiv trovt permette di legre il fttorile di un numero intero un integrle improprio. Questo consente di estendere il concetto di fttorile un generico numero rele positivo, trmite l cosiddett funzione Gmm di Eulero, che cquist un notevolissim importnz nell nlisi e nelle sue ppliczioni: Γ(α + ) = α e d, α IR +. Tli integrli convergono, in qunto, per il criterio del confronto, α e n e, α IR +, dove n è il più piccolo dei numeri interi mggiori o uguli di α e, come bbimo ppen dimostrto, l integrle in [, + ) di ogni funzione n e converge. A prte i csi in cui α IN e ltri prticolri vlori, non è possibile, in generle, clcolre esplicitmente i vlori dell Gmm. Esistono però tbelle che riportno tli vlori. Inoltre, è fcile verificre che, per ogni α >, vle l regol ricorsiv Γ(α + ) = α Γ(α). Inoltre, come già visto, Γ(n + ) = n!.

3 L Gmm di Eulero può essere definit nche per α > e perfino per numeri complessi. Non ci soffermeremo però su questi csi. Ulteriori proprietà dell Gmm di Eulero possono essere trovte su molti testi, quli, d esempio, [GCB, pp. 5/9], [GRT, pp. 36/38]. Esempio n. bis (linerità) Dll esempio precedente e dll proprietà di linerità degli integrli discende immeditmente che tutti gli integrli un generico polinomio di grdo n) convergono. Inftti P n ()e d (dove P n rppresent P n ()e d = k= n k k e d = n k k e d = k= n k k!. k= Esempio n. (sostituzione) Si clcoli log n () d n IN. Si osservi, innnzitutto, che, nell intervllo (, ], log() < ; pertnto, log() = log(). Operndo l sostituzione t = log(), d cui = e t ; d = e t dt ; lim t() = + ; t() =, si ottiene [ log n ()] d = t n e t dt = + per qunto visto nell esempio precedente. t n e t dt = n!, Esempio n. 3 Si clcoli log n () d n IN. Operndo l sostituzione t = log(), d cui = e t ; d = e t dt ; lim t() = + ; t() =, si ottiene log n () d = ( t) n e t dt = ( ) n + In prticolre, si ricv che log() d =, t n e t dt = ( ) n n!. come si può verificre nche direttmente, tenendo conto che, integrndo per prti, log() d = [ log() ] = lim + log() =. Esempio n. 4 (frtti semplici) Si clcoli ( ) d. 3

4 L funzione integrnd present due singolrità, in e in. Essendo positiv, il suo integrle esiste. Utilizzndo il metodo dei frtti semplici, riscrivimo l integrle: [ ( ) d = + ] + ( ) d = = log() log( ) = = lim log() + lim + + lim log( ) lim = +. Esercizio n. Clcolre e d (Suggerimento: operre l sostituzione t = e ). Rispost: +. I = Poiché Esempio n. 5 Si clcoli vremo log d ; I = I = log() b log d ; I 3 = < < ; < b < +. log d = log( log() ) + C, + log d ; I 4 = b d = log( log() ) lim log( log() ) = ; + log d ; log() d = lim log( log() ) log( log() ) = ± d cui I = ; I 3 = + ; I 4 = b log() d = lim log( log() ) log( log() ) = +. + prti: Esempio n. 6 Si vogli clcolre d. Poiché l funzione h un punto di infinito in =, clcolimo l integrle spezzndolo in due d = d + lim log b b d = + lim + log b lim b d + 4 = lim log b lim b lim + d = log = +. +

5 Si osservi che i due limiti in b e sono tr loro indipendenti. Pertnto non è possibile risolvere l form indetermint e l integrle non esiste. Se però si osserv che l funzione integrnd è dispri, si potrebbe supporre che, in nlogi con gli integrli definiti di funzioni continue su intervlli chiusi e limitti, il sottogrfico dell funzione nell intervllo (, ] bbi stess re del soprgrfico dell funzione nell intervllo [, ) e che, pertnto, ci si debb spettre un integrle ugule zero. Fccimo però vedere che, second di come si leghino i limiti di e di b, l integrle può ssumere qulsisi vlore dell rett mplit. ) Considerimo b = k, k >. In tl cso, si h d = lim log(k) + lim log = lim log k = log k, + + che ssume vlori positivi per k >, negtivi per < k <, mentre per k = l integrle si nnull. b) Considerimo b = α, α IR +. In tl cso, si h d = lim + log (α ) lim log = + lim log α = + + se α (, ) se α (, + ) se α = L unico cso in cui l integrle si nnull corrisponde qundo e b tendono nello stesso modo. Questo modo di clcolre l integrle, priori, non h nessun motivo di essere ritenuto il modo corretto di clcolre l integrle in oggetto. È però, come dicevmo, l unico che fornisce un rispost che v incontro ll intuito. Esso corrisponde clcolre l integrle operndo su intervlli simmetrici rispetto. Tle modo di clcolre l integrle prende il nome di integrle secondo Cuchy e il vlore ottenuto prende il nome di vlore principle dell integrle (si ved, d esempio, [GRT, pp. 98/]).. L esempio mostrto comport ltre due importnti osservzioni: Osservzione Qundo si procede l clcolo di un integrle di un funzione pri su un intervllo simmetrico rispetto ll origine, si esso limitto o illimitto, si può scrivere f() d = = f() d + f() d + f() d = f() d. f( ) d( ) + f() d = È evidente che, se il secondo integrle converge, diverge o non mmette limite, nlogmente si comport il primo integrle. Pertnto, possimo dire, nche per gli integrli impropri, che, per le funzioni pri, f() d = f() d, qulsisi si l esito del limite secondo membro. Qulor si bbi che fre con integrli di funzioni dispri su intervlli simmetrici, essi non esistono oppure si nnullno. Il primo cso è stto già mostrto nel precedente esempio e corrisponde l cso in cui l integrle nell intervllo (, ) non esiste oppure diverge. Poiché, come già 5

6 nlizzto nel precedente esempio, l osservzione geometric spingerebbe dire che gli integrli di funzioni dispri su intervlli simmetrici debbno essere nulli, occorre un metodo di integrzione prticolre, dovuto Cuchy, che consiste, in sostnz, nell integrre su intervlli simmetrici che ricoprono l intervllo (, ). Il secondo cso si h qundo l integrle su (, ) converge. In tl cso, inftti, l integrle su (, ) fornisce un vlore opposto e l somm dà. Esempio n. 7 d = d = rcsin() = π. Esercizio n. Clcolre Rispost: π. + d Osservzione Per gli integrli impropri si riscontrno situzioni riconducibili lle serie numeriche. Si ricorderà che, per le serie numeriche convergenti, m ssolutmente divergenti, è possibile riordinre gli ddendi in modo tle d ottenere qulsisi vlore dell rett mplit, per l somm. Le serie ssolutmente convergenti, invece, sono tli che l loro somm non dipende dl riordinmento scelto. L proprietà corrispondente per gli integrli impropri consiste nell ssolut integrbilità: un funzione dispri ssolutmente integrbile su un intervllo simmetrico è tle che il suo integrle è nullo, mentre un funzione dispri non ssolutmente integrbile è tle che il suo integrle improprio può ssumere qulsisi vlore dell rett mplit, second di come si operino i limiti. L funzione f() = /, inftti, non è ssolutmente integrbile in [, ]: d = d = +. Esempio 8 L funzione f() = tn è dispri. Clcolimo l integrle π π tn d = lim π + tn d + = lim π + [ log cos ] lim b π b tn d = + lim [ log cos ] b b π = lim log(cos ) + lim [ log(cos b ) = +. π + b π = L integrle, dunque, non esiste, se non secondo Cuchy. Osservzione 3 Negli integrli su intervlli illimitti, se l funzione mmette un limite, per ±, diverso d, l integrle sicurmente diverge. Nel cso in cui il limite dell funzione è ± (studimo il cso in cui lim f() = + ; nlogmente si trtternno gli ltri csi), possimo + 6

7 dire che, comunque fisst M >, esiste un tle che, >, f() M. Pertnto, per il criterio del confronto, f() d M d = +. Considerimo or il cso lim f() = l IR {}. Per fissre le idee, ponimo l >. Possimo ± dire che, d esempio, esiste un tle che >, f() l. Pertnto, per il criterio del confronto, f() d l d = +. Sembrerebbe, dunque, che, in nlogi con le serie, l condizione lim f() = costituisc ± un condizione necessri (sicurmente non sufficiente) per l convergenz di integrli su intervlli illimitti. Contrrimente ll intuito, quest ffermzione non è ver. Come mostr il prossimo esempio, esistono funzioni che non mmettono limite per ±, m il cui integrle converge. Esempio 9 Clcolimo f() d, dove n + n 4 ( n) se [n n, n), n IN {, } 3 f() = n n 4 ( n) se [n, n + n ], n IN {, } 3. ltrove Tle funzione, come mostrto nell figur, è non negtiv, null dppertutto, trnne in intervlli, centrti in n IN, l cui lunghezz, l crescere di n, decresce come ; in tli intervlli l funzione n3 si comport in modo linere; il suo grfico h pendenz n 4 nel semi-intervllo sinistro e pendenz n 4 nel semi-intervllo destro. Pertnto l funzione, in corrispondenz di n, ssume vlore n. In ognuno di tli intervlli il sottogrfico h re pri quell di un tringolo di bse e di ltezz n, n3 cioè. Pertnto, l integrle (che esiste, in qunto l funzione è non negtiv) può essere clcolto n tenendo conto solo degli intervlli in cui l funzione non si nnull. Avremo quindi f() d = + n= n+ n 3 n n 3 f() d = + n= n. Poiché l serie ultimo membro, come noto, converge, converge nche l integrle in esme, nonostnte il limite dell f, per +, non esist. Un esempio simile può essere trovto su [GRE, pp. /3]. I CRITERI DI INTEGRABILITÀ Richimimo il criterio del confronto, vlido per funzioni di segno costnte (per semplicità le ssumeremo non negtive), si per intervlli limitti che per intervlli illimitti. 7

8 Criterio del confronto ) Sino f, g continue in [, b), < < b + e tli che f() g() [, b). Allor g integrbile f integrbile ; f non integrbile g non integrbile. ) Sino f, g continue in (, b], < b < + e tli che f() g() (, b]. Allor g integrbile f integrbile ; f non integrbile g non integrbile. Questo criterio risult essere molto utile nel momento in cui si bbino delle funzioni cmpione di confronto. Si può, d esempio, prendere come funzione cmpione in (, b] se IR α f() = b in [, b) se b IR α. in (, b] se = oppure in [, b) se b = + α Inftti, il comportmento di tli funzioni è noto: b ( ) α d = { < + se α < = + se α Avremo pertnto α d = { < + se α > = + se α ; >. Corollrio n. Si f non negtiv e tle che, nell intervllo limitto [, b], bbi un solo punto singolre. Se esiste un costnte K > tle che f() con α <, llor l funzione è integrbile in [, b]. Se esiste un costnte H > tle che f() K α [, b] { }, H α [, b] { }, con α, llor l funzione non è integrbile in [, b]. Corollrio n. Si f non negtiv in [, + ), >. Se esiste un costnte K > tle che f() K α [, + ), con α >, llor l funzione è integrbile in [, + ). Se esiste un costnte H > tle che f() H α [, + ), 8

9 con α, llor l funzione non è integrbile in [, + ). costnte. Riportimo nche i criteri del confronto sintotico, nch essi vlidi per funzioni di segno Primo criterio del confronto sintotico ) Sino f, g continue in [, b), < < b + ; se, per b, f() g(), llor f integrbile g integrbile. ) Sino f, g continue in (, b], < b < + ; se, per +, f() g(), llor f integrbile g integrbile. Osservzione n. 4 Per, è utile, i fini dell ppliczione del criterio sintotico, ricordre l cten di infinitesimi equivlenti: sin rcsin tn rctn log(+) e sinh settsinh () nonché cos ; ( + ) α + α. Inoltre, qundo si consideri un limite per, IR, si possono eventulmente pplicre tli formule, operndo l sostituzione t = e osservndo che, per, t. Secondo criterio del confronto sintotico ) Sino f, g continue in [, b), < < b + ; se, per b, f = o(g), llor g integrbile f integrbile; f non integrbile g non integrbile. ) Sino f, g continue in (, b], < b < + ; se, per +, f = o(g), llor g integrbile f integrbile; f non integrbile g non integrbile. Richimimo infine il criterio di ssolut integrbilità, che può essere pplicto funzioni di segno qulsisi. Criterio di ssolut integrbilità Si f funzione continu, di segno qulsisi, nell intervllo [, b), oppure nell intervllo (, b]. Se l funzione è ssolutmente integrbile, llor ess è integrbile. In formule, b f() d converge b f() d converge o, nlogmente, b f() d < + b f() d < +. 9

10 Osservzione n. 5 Poiché, ovvimente, l funzione f è non negtiv, per studirne l integrbilità è possibile pplicre d ess i criteri di integrbilità per le funzioni di segno costnte. Pertnto, considert un funzione f, continu nell intervllo in cui si vuole clcolre l integrle e un funzione g, continu e positiv, vremo i seguenti criteri: ) Si f() g() [, b), < < b +. Allor g integrbile f ssolutmente integrbile f integrbile. ) Si f() g() (, b], < b < +. Allor g integrbile f ssolutmente integrbile f integrbile. 3) Si f() g() [, b), < < b +. Allor g non integrbile f non integrbile ssolutmente. 4) Si f() g() (, b], < b < +. Allor g non integrbile f non integrbile ssolutmente. 5) Si f tle che, nell intervllo limitto [, b], bbi un solo punto singolre. Se esiste un costnte K > tle che f() K α [, b] { }, con α <, llor l funzione è ssolutmente integrbile (e quindi integrbile) in [, b]. Se esiste un costnte H > tle che f() H α [, b] { }, con α, llor l funzione non è ssolutmente integrbile in [, b]. 6) Si f continu in [, + ), >. Se esiste un costnte K > tle che f() K α [, + ), con α >, llor l funzione è ssolutmente integrbile (e quindi integrbile) in [, + ). Se esiste un costnte H > tle che f() H α [, + ), con α, llor l funzione non è ssolutmente integrbile in [, + ). 7) Se, per b, f() g(), llor g integrbile in [, b), < < b + f ssolutmente integrbile (e quindi integrbile). 8) Se, per +, f() g(), llor g integrbile in (, b], < b < + f ssolutmente integrbile (e quindi integrbile). 9) Se, per b, f = o(g), llor g integrbile in [, b), < < b + f ssolutmente integrbile (e quindi integrbile). ) Se, per +, f = o(g), llor g integrbile in (, b], < b < + f ssolutmente integrbile (e quindi integrbile).

11 Esempio n. Studimo, come utile esercizio, l integrbilità di lcune funzioni esposte nei precedenti esempi. L funzione f() = ( ) non è integrbile in (, ], < <, in qunto, per, ( ) e quest ultim funzione non è integrbile in lcun intervllo limitto vente come estremo ; nlogmente, f non è integrbile in [, ), < <, in qunto, per, ( ) e quest ultim funzione non è integrbile in lcun intervllo limitto ( ) vente come estremo. L funzione f() = e non è integrbile in (, ], in qunto, per, e e quest ultim funzione non è integrbile in (, ]. L funzione f() = log non è integrbile in intervlli del tipo [, ), < <, oppure (, b], < b < +, in qunto, ponendo = + t, si h, per (cioè per t ), log = ( + t) log( + t) t e quest ultim funzione non è integrbile in lcun intervllo limitto nell vribile t vente come estremo, che corrisponde un intervllo limitto nell vribile vente come estremo. L funzione f() = risult integrbile in [, ) e quindi, dt l su simmetri, in (, ), in qunto, per, = ( + )( ) = / e quest ultim funzione è integrbile in [, ). L funzione f() = è integrbile in [, + ) e quindi, per simmetri, in IR, in qunto, + per +, + e quest ultim funzione è integrbile in [, + ). ( ), m ( ) = o log Osservzione n. 6 Per +, log = o +α Dunque non è possibile stbilire, trmite il Corollrio, se l funzione f() =, α >. si integrbile log o no in [b, + ), b >. Ne bbimo però stbilito l non integrbilità direttmente, nell Esempio 5. Tle funzione, non essendo sintotic d lcun potenz α, può essere utilizzt come un ulteriore funzione cmpione, non integrbile, rispetto ll qule pplicre i criteri di confronto sopr descritti. Lo studio priori dell integrbilità h senz ltro notevole importnz nel cso in cui l funzione non risulti integrbile. Inftti, in tl cso, un, volte semplice, stim dell ndmento dell funzione permette di evitre il conto esplicito dell integrle, che può nche essere lungo, noioso e/o complicto. M si pprezz in pieno l utilità del criterio del confronto sintotico nel cso in cui non si possibile scrivere in form esplicit le primitive dell funzione integrnd e, di conseguenz, non si possibile clcolre esplicitmente l integrle.

12 Esempio n. Stbilire l integrbilità in IR dell funzione f() = e. Tle funzione, dett funzione gussin, ssume un notevolissim importnz in Clcolo delle Probbilità e in Fisic (d esempio, entr in gioco nell teori degli errori di misur, m nche in lcune leggi fisiche fondmentli). Essendo f simmetric, srà sufficiente studirne l integrbilità in [, + ). Come si può evincere dll figur sotto riportt, e e per [, ] e e e per [, + ). Spezzimo l integrle nel seguente modo: e d = e d + e d. Il primo integrle è senz ltro finito, in qunto integrle definito di funzione continu su un intervllo chiuso e limitto. Al secondo integrle si pplic il criterio del confronto: e e in [, + ) e d Pertnto l funzione gussin risult integrbile in IR. Esiste un metodo semplice e stuto per clcolre e d < +. e d, m richiede l conoscenz dell teori dell integrzione generlizzt per funzioni di due vribili. Pertnto non lo riportimo in queste note. Il lettore interessto può trovre l dimostrzione, d esempio, in [BPS, pp. 474/475] e in [GRT, pp. 94/95]. Si ottiene e, per l simmetri dell funzione, e d = π e d = π. Osservzione n. 6 Così come esistono serie numeriche ssolutmente divergenti, m convergenti, esistono nche funzioni ssolutmente non integrbili, m integrbili, come mostr il prossimo esempio. Esempio n. Studire l integrbilità dell funzione f() = sin nell intervllo (, + ). Poiché l funzione è prolungbile per continuità in, possimo concludere che l integrle [ dell π ) funzione nell intervllo (, ], < < +, esiste finito. Studimo pertnto l integrle in, + (dove si è scelto π Poiché π solmente per utilità di clcolo), operndo per prti: sin cos d = cos Dunque, l funzione f() = sin + π cos π cos d = π d., l ultimo integrle converge in bse l criterio di ssolut integrbilità. risult integrbile nell intervllo (, + ). Si può dimostrre che sin d = π.

13 V osservto che, però, tle funzione non è ssolutmente integrbile. L dimostrzione può essere trovt, d esempio, in [EG, pp. 87/88] o in [GRT, pp. /]. Esempio n. 3 Determinre l integrbilità dell funzione f() = sin( ) nell intervllo [, + ). Riscrivimo l integrle: sin( ) d = π sin( ) d + π sin( ) d π (dove si è scelto il punto per opportunità di clcolo). Osservto che il primo ddendo esiste finito, in qunto integrle di funzione continu su un intervllo chiuso e limitto, studimo il secondo integrle, operndo per prti: π sin( ) d = cos( ) + π π cos( ) d = cos( ) π d. L ultimo integrle converge, per il criterio di ssolut integrbilità, in qunto cos( ). [, + ). Esercizio n. 3 Determinre l integrbilità dell funzione f() = cos( ) nell intervllo I due integrli esminti sin( ) d ; cos( ) d sono detti integrli di Fresnel e intervengono nell teori dell diffrzione, in Ottic. Si può dimostrre che sin( ) d = cos( ) d = π. Esempio n. 4 Determinre l integrbilità nell intervllo (, ] dell funzione f() = 3/ tn sin. Sfruttndo l cten di infinitesimi equivlenti (), possimo dire che, per, f() 3/ = ( 3 ) =. Essendo quest ultim funzione integrbile in (, ], nche l funzione in esme è integrbile in tle intervllo, in virtù del criterio del confronto sintotico. 3

14 BIBLIOGRAFIA [Av] A. Avntggiti - Anlisi Mtemtic - Ambrosin [GCB] G.C. Brozzi - Mtemtic per l Ingegneri dell Informzione - Znichelli -. [BPS] M. Brmnti, C.D. Pgni, S. Sls - Mtemtic - Znichelli -. [GRT] A. Ghizzetti, F. Rosti - Anlisi Mtemtic - Msson [GRE] A. Ghizzetti, F. Rosti - Esercizi e complementi di Anlisi Mtemtic - Msson [EG] E. Giusti - Anlisi Mtemtic - Libreri Scientific G. Pellegrini

15 Figur.9.8 e e Figur 5

16 ESERCIZI DI VERIFICA ) Dire se esiste il seguente integrle improprio e, in cso ffermtivo, clcolrlo: I = e + d. Suggerimento: operre l sostituzione t =. Rispost: integrbile. I = e. ) Dire qule delle due funzioni f() = 4 ; g() = 4 è integrbile in (, ) e clcolrne l integrle. Rispost: g() d = π 4. 3) Dire se esiste l integrle nell intervllo (, + ) dell funzione f() = sin /3 ( + ). Rispost: integrbile. 4) Discutere per quli vlori del prmetro rele α l funzione f() = α sin 3 tn è integrbile in (, ). Rispost: α > 3. 6