Daniela Tondini

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1 Dniel Tondini Fcoltà di Medicin veterinri CdS in Tutel e benessere nimle Università degli Studi di Termo 1

2 IDICI DI FORMA Dopo ver nlizzto gli indici di posizione e di vribilità di un distribuzione nlizzimo lcuni spetti dell form di un distribuzione dell qule si considerno due crtteristiche, precismente l simmetri e l curtosi. Due distribuzioni venti stess posizione e vribilità, inftti, possono differire per form; l form dipende dl vlore delle modlità più piccole (o più grndi) del vlore centrle dell distribuzione. Un curv di frequenz unimodle e simmetric che ssume l crtteristic form cmpn è not con il nome di curv normle o gussin. Tle curv rppresent l più importnte distribuzione sttistic continu, l cui crtteristic principle è che medi, mod e medin coincidono. Un distribuzione si dice simmetric, invece, se non è possibile individure (nlizzndo un istogrmm) un sse verticle che tgli l distribuzione in due prti speculrmente uguli. y f(m )=f(m e )=f(m o ) F 1 F 2 Se cresce, l curv si bbss perché si deve llrgre i lti; se decresce l curv si lz perché si deve restringere i lti. O M e M =M e =M o M e + x

3 L simmetri rppresent lo spostmento del vertice dell distribuzione dll sse centrle: verso sinistr per vlori di simmetri positivi e verso destr per vlori di simmetri negtivi. Si consider un distribuzione come perfettmente normle qundo present un vlore di 0 reltivmente ll simmetri; nonostnte questo, lcuni utori, dt l potenz dei test utilizzti per clcolrl, suggeriscono di considerre ccettbili vlori di simmetri compresi tr 0,5 e 0,5 per un buon normlità e tr 1 e 1 per un qusi normlità. In prticolre, un distribuzione unimodle è: - simmetric se M =M e =M o ; - simmetric positiv se M o <M e <M (in tl cso l distribuzione present il rmo destro più llungto rispetto quello sinistro, ovvero present un cod verso destr in qunto sono presenti più modlità positive); - simmetric negtiv se M <M e <M o (in tl cso l distribuzione present il rmo sinistro più llungto rispetto quello destro, ovvero present un cod verso sinistr in qunto sono presenti più modlità negtive).

4 ASIMMETRIA POSITIVA M o M e M CODA LUGA A DESTRA ASIMMETRIA EGATIVA CODA LUGA A SIISTRA In entrmbi i csi, l medi ritmetic si trov sempre nell cod più lung M M e M o

5 L indice di simmetri, quindi, è quel vlore che cerc di fornire un misur dell mncnz di simmetri di un distribuzione. In prticolre, per distribuzioni unimodli viene utilizzto l indice di simmetri di Person, dto d: d cui segue: P M M o 3 M Me P M M o 0 0 M M M M o o 0 0 (distribuzione simmetric positiv) (distribuzione simmetric negtiv) Osservimo che, per rendere dimensionle l misur dell simmetri, ovvero per rendere l indice di simmetri un numero puro, e quindi confrontbili le simmetrie tr due distribuzioni espresse in unità di misur diverse, occorre dividere l differenz tr Medi e Mod per l devizione stndrd.

6 Il coefficiente di simmetri, vlido per tutte le distribuzioni, invece, è quello di Person dto d: n 3 xi M ni i Indice di Person Il cubo deriv dl ftto che le differenze negtive elevte l cubo restno negtive; se vessimo il qudrto non vremmo informzioni rispetto distribuzioni negtive

7 Per determinre il coefficiente di simmetri in un distribuzione qulsisi si può utilizzre nche l seguente relzione di Fisher: n 3 x M n i i i1 1 3 Indice di Fisher Distribuzione simmetric ??? distribuzione simmetric??? distribuzione con simmetri null distribuzione con simmetric positiv distribuzione con simmetric negtiv Esistono distribuzioni non simmetriche con indice di simmetri nullo; in tl cso, per stbilire l simmetri occorre verificre che Mod, Medi e Medin sino uguli tr di loro.

8 Esempio Considerimo tre studenti A, B, C che nei primi 9 esmi hnno riportto i seguenti voti (=9): A B C Misurre l form dell distribuzione dei voti di ciscuno studente trmite l indice di Fisher. Occorre, in primo luogo, determinre l medi e l devizione stndrd.

9 n xi X i M 24,11; M 25,89; M 25 A B C xi A 2 i 2 A M A 1 594,78 581, 29 13, 49 3,67 A 2 B 677,89 670, 29 7,6 2,76 B 2 C 631, ,67 2,58 C

10 n 3 xi M i1 1A ,91 68,91 68,91 0, ,67 949, ,87 33,75 33,75 33, ,18 0 B 9 2,76 921,02 189, C 9 2,58 917,17 154,53 0 Quindi le distribuzioni hnno rispettivmente simmetri negtiv, simmetri positiv ed simmetri null (in quest ultimo cso, però, non è detto che l distribuzione si simmetric: M 25 M 0 M ) C e o C

11 Esempio Dt l seguente distribuzione bimodle (=14): 5; 7; 11; 22; 25; 24; 20; 14; 13; 8; 7; 5; 4; 1 determinre l indice di simmetri di Fischer. Per poter utilizzre l precedente formul occorre determinre, in primo luogo, si l medi ritmetic si l devizione stndrd. Risult, pertnto: M n xi i ,86 14 x 2 i M i 1 7,71

12 d cui segue: 5 11, , ,86 147, , ovvero ci si trov in presenz di un distribuzione con simmetri positiv; l curv, pertnto, present un cod più lung destr, ovvero sono mggiori le modlità positive. Osservimo, inoltre, che risult: M =11,86 M e =9,5 M o =5 e 7 (distribuzione bimodle) 1; 4; 5; 5; 7; 7; 8; 11; 13; 14; 20; 22; 24; 25 sequenz ordint

13 Esempio Dt l seguente distribuzione unimodle (=40): x i F.A M o =40 determinre l indice di simmetri di Fisher. Occorre, in primo luogo, determinre l medi e l devizione stndrd. Risult, pertnto:

14 M n xi ni i xi ni 2 i 2 M 1 21,4 16 5,4 2 2,32 n 3 x M n 678 1, ,6 i i i1 1 3 Quindi l distribuzione h simmetri positiv e l curv present un cod più lung destr ovvero sono mggiori le modlità positive

15 LA CURTOSI L curtosi rppresent lo schiccimento dell cmpn dell distribuzione: un vlore di curtosi negtivo indic un distribuzione «più schiccit» verso il bsso rispetto ll curv normle (curv plticurtic o iponormle); un vlore di curtosi positivo indic un distribuzione «più ppittit» rispetto ll curv normle (curv leptocurtic o ipernormle). L Curtosi, pertnto, si può clcolre solo per distribuzioni unimodli simmetriche

16 LA CURTOSI L indice di Curtosi di un distribuzione simmetric, quindi, misur lo «spessore» delle code di un funzione di densità, ovvero il grdo di ppittimento di quest ultim rispetto ll distribuzione normle. L indice di Curtosi di Person è dto d: n 4 x M n i i i1 2 4 Indice di Curtosi di Person curv normle o gussin o normocurtic o mesocurtic: gli elementi dell distribuzione si distribuiscono in modo normle intorno ll medi ritmetic curv ipernormle o leptocurtic (più ppuntit): gli elementi dell distribuzione sono concentrti nelle immedite vicinnze dell medi ritmetic curv iponormle o plticurtic (più ppittit): l dispersione dei vlori intorno ll medi ritmetic è molto mpi

17 LA CURTOSI L indice di Curtosi di Fisher, invece, è dto d: n 4 x M n i i i Indice di Curtosi di Fisher d cui segue: curv normle o gussin o normocurtic o mesocurtic: gli elementi dell distribuzione si distribuiscono in modo normle intorno ll medi ritmetic curv ipernormle o leptocurtic (più ppuntit): gli elementi dell distribuzione sono concentrti nelle immedite vicinnze dell medi ritmetic curv iponormle o plticurtic (più ppittit): l dispersione dei vlori intorno ll medi ritmetic è molto mpi

18 LA CURTOSI Esempio Dt l seguente distribuzione unimodle (=11): Intervlli F.A =11 determinre l indice di curtosi di Fisher. Occorre, in primo luogo, determinre i vlori centrli degli intervlli. Risult, pertnto: Intervlli F.A. Vlori centrli , , ,5 =11

19 LA CURTOSI Occorre or determinre si l medi ritmetic si l devizione stndrd: M n xi ni i1 2,53 7,55 12,53 7,5 37,5 37,5 82, , ,5 7,5 3 7,5 7,5 5 12,5 7, ,69

20 LA CURTOSI d cui segue: 113, ,5 7,5 3 7,5 7,5 5 12,5 7, , , 4 ovvero ci si trov in presenz un distribuzione iponormle (più ppittit rispetto ll curv normle). Osservimo, inoltre, che risult: M = M e = M o =5---10