UTILIZZO DEL PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALE PER ANALISI DI STRUTTURE IPERSTATICHE CALCOLO DI SPOSTAMENTI ESERCIZIO 1

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1 UTILIZZO DEL RINIIO DEI LVORI VIRTULE ER NLISI DI STRUTTURE IERSTTIHE LOLO DI SOSTMENTI ESERIZIO L struttur indict in fig., compost d un unic st sezione circolre pien di dimetro d, simmetric rispetto ll sse centrle verticle s-s, è soggett d un forz orizzontle nel punto centrle. Risolvere l struttur nell ipotesi di comportmento elstico, e verificre snervmento l sezione più sollecitt. s b B D s ig. E Dti: = 00 mm b = 000 mm α = 33 = kn d = 60 mm (sezione circolre) Mterile: cciio (E = 0000 M, G = M, σ sn = 380 M) Si trtt di un struttur pin crict nel suo pino, formt d un unic st, vente 3 gdl. I vincoli sono due incstri, cui corrispondono 6 grdi di vincolo. L st è tre volte ipersttic e non lbile. Sull bse di quest nlisi, possimo impostre un sistem di 3 equzioni nelle 3 zioni ipersttiche, che possimo d esempio mettere in evidenz in uno dei due incstri. Osservimo però che l struttur è simmetric rispetto ll sse s, e che che il crico è un crico ntisimmetrico rispetto ll sse di simmetri dell struttur. Sfruttndo l simmetri dell struttur rispetto ll rett s, possimo dividere l struttur in due prti simmetriche e limitrci considerrne un metà (d esempio l prte di sinistr) crict d un crico pri / ed individure come ipersttiche le zioni interne in corrispondenz dell sse di simmetri (fig. ).

2 oiché ci trovimo nel cso di struttur simmetric (geometricmente) soggett crichi ntisimmetrici, l unic zione ipersttic divers d zero nell sezione di simmetri è l zione di tglio X (l unic componente ntisimmetric delle tre possibili zioni interne N. M e T), che quindi costituisce l unic incognit del problem (e che possimo scegliere con un verso picere). b/ B T / M N SISTEM DEGLI SOSTMENTI (RELE) B x X / Incognit ipersttic ig. er determinre X, pplichimo il LV, considerndo l struttur rele rppresentt sopr per il sistem degli spostmenti (fig. ) e l struttur crict con l sol X res unitri per il sistem delle forze (fig. b). x SISTEM DELLE ORZE (ITTIZIO) B ig. b

3 ZIONI INTERNE Le zioni interne nei vri trtti del SISTEM DI SOSTMENTI vlgono, con le seguenti convenzioni, N N T T M M trtto B) 0 x b / N T X M Xx Trtto B) 0 y N cos X sin T X cos sin b y M X ( y cos) sin Le zioni interne nei vri trtti del SISTEM DI ORZE sono le seguenti: Trtto B) 0 x b / N ' 0 T ' M ' x Trtto B) 0 y 3

4 N' sin T' cos b M ' y cos Si noti che le zioni interne precedenti vrebbero potuto ottenersi semplicemente dlle equzioni delle zioni interne dell struttur rele, ponendo X= e non considerndo il contributo del crico /. LIZIONE DEL LV Or si può pplicre il LV considerndo il lvoro interno compiuto dlle zioni interne dell struttur fittizi (sistem delle forze) per le deformzioni dell struttur rele (sistem degli spostmenti). Il lvoro esterno compiuto dlle rezioni vincolri in del sistem di forze srà pri zero, essendo nulli gli spostmenti e l rotzione del vincolo in nel sistem di spostmenti (incstro perfetto). Il lvoro esterno compiuto dll forz unitri in (sistem di forze) srà pri zero, essendo nullo lo spostmento verticle del punto nel sistem di spostmenti (tle spostmento è nullo poiché il crico è ntisimmetrico e l struttur simmetric). vremo quindi, con = re dell sezione = 87 mm J = momento d inerzi dell sezione = 6367 mm E = modulo di Young del mterile G = modulo elstico tglio del mterile b / b / cos X sin X cos sin X Xx 0 dx x dx sin dy cos dy G EJ E G 0 0 b X Xycos y sin b ( y cos) dy EJ Dove è il fttore di tglio, che dipende dll form dell sezione (=. per l sezione circolre). Svolgendo gli integrli si ottiene b ( ) X E G cos 3 EJ 3 3 sin b b b b ( cos ) ( cos cos E G 3 ) EJ

5 Sostituendo i vlori numerici X = 0,6995 = 69,95 N Se si trscurno tglio e zione normle, e quindi si eliminno i primi due termini si numertore che denomintore, si ottiene X = 0,6998 = 69,98 N Quindi è qusi null l influenz dell zione di tglio ed nche, per l struttur in esme, dell zione normle. Sostituendo il vlore trovto di X nelle espressioni delle zioni interne, si ottengono le seguenti equzioni: B) 0 x b / N 500N T X 70 N M Xx 70 x Nmm B) 0 y N cos X sin = 5 N T X cos sin = 30 N b y M X Xy cos sin = y Nmm D cui si possono ottenere i digrmmi delle zioni interne: 5

6 N T M ig. 3 er l zione flettente M si sono riportti i vlori positivi dll prte delle fibre tese. L prte destr dell struttur originri (fig.) vrà dei digrmmi simili m ntisimmetrici, e quindi con zioni interne di segno opposto. d esempio l zione normle nell prte di destr srà di compressione ed il momente flettente nel trtto orizzontle srà tle d tendere le fibre superiori. Di digrmmi si osserv che l sezione più sollecitt è quell dove il momento flettente vle Nmm e dove l zione normle vle 5 N. d H sse neutro K ig. In tle sezione (fig. ) nei punti H (fibre superiori) e K (fibre inferiori) le tensioni vlgono rispettivmente: 6

7 d M N H 0,8, M J d M N K 0,8,0. 9 M I Il punto più sollecitto è pertnto K dove K, 9 M Il coefficiente di sicurezz snervmento in tle punto risult pri sn 380,9 90,7 7

8 ESERIZIO L struttur indict in fig., compost d un st sezione qudrt cv, è soggett simultnemente: - d un coppi (rppresentt dl vettore con doppi frecci in figur) gente su un pino ortogonle l pino dell struttur; - d un crico termico rppresentto dll vrizione dell tempertur dl vlore di riferimento (T0= 0 ) i vlori +T sulle fibre superiori (più vicine ll osservtore) e -T sulle fibre inferiori (più lontne dll osservtore). nlizzre l struttur nell ipotesi di comportmento elstico, e verificre snervmento l sezione più sollecitt. ibre superiori s h T ibre inferiori s +T R ig. Dti: R = 00 mm = 50 mm h = 5 mm = 00 knmm T =5 Mterile: cciio (E = 0000 M, G = M, σ sn = 50 Mp; =.0E-6 - ) L struttur è simmetric rispetto ll rett s-s, ed è soggett crichi (coppi ) ed effetti termici genti fuori dl pino (entrmbi ortogonli l pino dell struttur). Sfruttndo l simmetri dell struttur rispetto ll rett s-s, possimo dividere l struttur in due prti simmetriche (fig. ) e limitrci considerrne un metà (d esempio l prte di sinistr) 8

9 crict d un coppi pri /, ed individure come ipersttiche le zioni interne in corrispondenz dell sse di simmetri. i trovimo nel cso di struttur simmetric (geometricmente) e soggett crichi simmetrici genti fuori dl pino. onsiderndo l sezione sull sse di simmetri, non verrnno pertnto ttivte le componenti di zioni interne M e T gicenti sul pino dell struttur e srnno inoltre nulle le componenti ntisimmetriche delle zioni interne (tglio e momento torcente) gicenti sul pino ortogonle l pino dell struttur. oiché inoltre l componente medi dell vrizione di tempertur è null, le fibre bricentriche dell trve non si llungno (o ccorcino) e non è dunque presente nell sezione di simmetri l componente normle N. L unic zione intern presente nell sezione dell trve in corrispondenz dell sse di simmetri è pertnto il momente flettente gente fuori dl pino dell struttur. Il momento flettente ortogonle l pino dell struttur (rppresentto dl vettore X in fig. ) costituisce quindi l unic incognit del problem. s / SISTEM DEGLI SOSTMENTI (RELE) X q + ZIONI TERMIHE s R ig. er determinre X, pplichimo il LV, considerndo l struttur rele rppresentt sopr per il sistem degli spostmenti (fig. ) e l struttur crict con l sol X res unitri per il sistem delle forze (fig. b). 9

10 SISTEM DELLE ORZE (ITTIZIO) q R ig. b ZIONI INTERNE Le zioni interne nel SISTEM DI SOSTMENTI vlgono 0 q / M X cos M t cos sin X sin Le zioni interne nel SISTEM DI ORZE vlgono 0 q / M cos M t sin LIZIONE DEL LV Or si può pplicre il LV considerndo il lvoro interno compiuto dlle zioni interne dell struttur fittizi (sistem delle forze) per le deformzioni dell struttur rele (sistem degli spostmenti). Il lvoro esterno compiuto dlle rezioni vincolri ll incstro del sistem di forze srà pri zero, essendo nulli gli spostmenti e l rotzione del vincolo incstro nel sistem di spostmenti (incstro non cedevole). Il lvoro esterno compiuto dll coppi unitri pplict (sistem di forze) srà pri zero, essendo null l rotzione 0

11 corrispondente dell sezione nel sistem di spostmenti (tle rotzione è null poiché l struttur ed il crico sono simmetrici). q q Rd h G l X Rd T T E J X m 0 0 sin cos ) sin ( sin cos ) cos ( 0 dove (re medi) (perimetro medio) ) ( h h l h J m vremo quindi, con J = momento d inerzi dell sezione = mm l = perimetro medio dell sezione =80 mm m = re medi dell sezione = 050 mm lcolndo l integrle e risolvendo l equzione in X si ottiene: l h G E J T l h G E J l h G EJ X m m m X = knmm Not l incognit ipersttic X, si possono clcolre le zioni interne nelle vrie sezioni dell struttur, individure l sezione (ed il punto) più sollecitto, ed effetture l verific snervmento.

12 0 ESERIZIO 3 L struttur di figur è soggett due forze ( = kn) genti nel pino dell struttur. Si richiede di. trccire i digrmmi delle zioni interne;. effetture l verific snervmento nell sezione ritenut più critic; 3. clcolre lo spostmento verticle del punto. Mterile: cciio; sn =70 M; E =0 G; = 0.3 B Si trtt di un struttur pin crict nel suo pino e formt d un unico elemento. L struttur h geometri simmetri polre con polo nel punto. Le zioni interne e le rezioni vincolri sono quindi esclusivmente quelle genti sul pino dell struttur. L struttur è tre volte ipersttic e non lbile. Sull bse di quest nlisi, è possibile impostre un sistem di 3 equzioni in 3 incognite ipersttiche (rezioni vincolri), che possimo d esempio mettere in evidenz in uno dei due incstri. E tuttvi possibile semplificre l nlisi se considerimo come incognite ipersttiche le componenti di zioni intern nell sezione. Evidenzimo innzitutto le zioni interne potenzilmente esistenti nell sezione, che corrispondono lle tre zioni interne gicenti sul pino dell struttur e dei crichi (fig. ).

13 v B v ig. Su tle schemtizzzione dell struttur in esme possimo or effetture nell ordine le seguenti operzioni: ) Ruotimo il sistem (struttur + crichi) dell fig. rispetto ll sse verticle v-v, ottenendo così il sistem di fig. 3

14 B o o ig. ) Ruotimo il sistem (struttur + crichi) dell fig. rispetto ll sse orizzontle o-o, ottenendo così il sistem di fig. 3. onfrontndo il sistem di fig. 3 con il sistem d studire (fig. ), notimo che l struttur è identic, mentre i crichi sono opposti. B ig. 3 In lterntiv, si rriv llo stess configurzione di fig. 3 effettundo un rotzione di 80 ttorno l polo.

15 3) er ottenere un sistem (struttur + crichi) identico l sistem in esme (rppresentto in fig. ), cmbimo i segni di tutti i crichi esterni pplicti (nel nostro cso le due forze ). mbiernno di conseguenz nche i segni delle zioni interne nell sezione, ottenendo cosi il sistem di fig., identico (si come struttur che come crichi pplicti) l sistem d studire di fig.. B ig. questo punto possimo confrontre il sistem in esme (fig. ) con quello ottenuto dopo i pssggi ppen descritti (fig. ); è evidente come l unic zione intern possibile risulti il momento flettente in qunto su due strutture identiche e soggette gli stessi crichi non possono essere presenti zioni interne differenti (quli, nel cso specifico, l zione normle e l zione di tglio). E quindi sufficiente studire un delle due prti di struttur, con un sol incognit ipersttic X (momento flettente nell sezione ), come illustrto in fig. 5. 5

16 X B Unic incognit ipersttic ig. 5 er determinre X, pplichimo il LV, considerndo l struttur rele rppresentt in fig. 5 per il sistem degli spostmenti e l struttur crict con l sol X res unitri per il sistem delle forze. I sistemi degli spostmenti e delle forze sono rppresentti in fig. 6 Sistem di spostmenti Sistem di forze x X = kn + ig. 6 6

17 L equzione dei lvori virtuli è infine d cui X = 3685 Nmm I digrmmi delle zioni interne sono pertnto i seguenti: 36.8 knmm kn 36.8 knmm knmm M T Le sezioni più sollecitt sono le sezioni gli incstri e B, nelle quli lo sforzo normle mssimo (sulle fibre più distnti dll sse neutro) vle Lo sforzo tngenzile mssimo (ll sse neutro) è pri 7

18 Il coefficiente di sicurezz llo snervmento vle pertnto er clcolre lo spostmento del punto in direzione verticle utilizzimo ncor il LV (fig. 7). Sistem di spostmenti Sistem di forze knmm x = kn + ig. 7 8

19 L equzione dei lvori virtuli è: dll qule possimo clcolre lo spostmento richiesto 9