Cinematica ed equilibrio del corpo rigido

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1 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione inemtic ed equilirio del corpo rigido rtteristiche di sollecitione efiniione delle crtteristiche Esempio 1: trve rettiline Esempio : struttur di trvi nel pino Esempio 3: crico distriuito 006 Politecnico di orino 1

2 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione rtteristiche di sollecitione rtteristiche su rre e trvi (1/5) I corpi che finor imo considerto erno di form qulsisi; di essi rppresentvmo i segmenti che univno punti notevoli quli collegmenti tr corpi, punti di pplicione del crico esterno, punti di vincolo. Qundo, invece, i corpi sono di form llungt, cioè si estendono ssilmente per lunghee grndi rispetto lle dimensioni trsversli (10, 0, 30 volte..), il segmento può rppresentre l line d sse del corpo Politecnico di orino

3 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione rtteristiche su rre e trvi (/5) on è detto che il solido llungto de vere dimensione trsversle costnte. imensione trsversle dell seione lunghe i limitimo qui corpi llungti d sse rettilineo. 5 rtteristiche su rre e trvi (3/5) Solidi llungti rettilinei di questo tipo vengono chimti, second di form e pplicione: ssi leri rre rvi L sse cui si f riferimento è, per rgioni che sono spiegte nelle leioni sulle trvi, l line che contiene i ricentri di tutte le seioni rette Politecnico di orino 3

4 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione rtteristiche su rre e trvi (4/5) Inoltre, e nche questo srà chiro in seguito, il clcolo di sollecitione / resisten / deformione viene eseguito prtire dll conoscen di fore e momenti pplicti in corrisponden del ricentro dell seione rett, y o sulle seioni di estremità 7 rtteristiche su rre e trvi (5/5) o ll interno; fore e momenti interni l solido per essere messi in eviden (e clcolti) richiedono che si esegu un tglio secondo un seione rett: y y Politecnico di orino 4

5 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione Superficie entrnte e uscente (1/) Sull superficie uscente rispetto ll sse longitudinle questi sono i versi positivi di: : sforo ssile o normle : tglio : momento flettente y 9 Superficie entrnte e uscente (/) e sull superficie entrnte sono invertiti; qundo i versi sono quelli indicti, i vlori,,, sono positivi. y Politecnico di orino 5

6 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione Relioni differenili L equilirio verticle e ll rotione di un trtto di lunghe infinitesim d: d q d d = 0 d d d d d = q d d d d d d q d... d d... d = 0 q d d d q= crico per = d 11 unità di lunghe Rppresentione Usulmente si disegn, per comodità, solo l sse: y y I vlori delle crtteristiche dell sollecitione si determinno medinte le equioni di equilirio Politecnico di orino 6

7 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione Procedimento di clcolo Lo schem di clcolo è sempre lo stesso: lcolo delle reioni vincolri lcolo delle crtteristiche di sollecitione rccimento dei digrmmi di crico normle, tglio, momento flettente (nel pino) Lo studio di tre semplici strutture pine ci permetterà or di cpire le modlità di pplicione più convenienti dei principi generli enunciti. In csi tridimensionli l crtteristiche sono 6; è usule che si de introdurre nche il solo momento torcente. 13 rtteristiche di sollecitione 006 Politecnico di orino 7

8 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione Esempio 1: reioni vincolri Esempio 1: F F Sppimo già che le reioni vincolri sono: H =F V = F V F = 15 Esempio 1: crtteristiche (1/9) el trtto : F P F F P F Politecnico di orino 8

9 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione Esempio 1: crtteristiche (/9) È evidente che l equione contenente meno termini, e quindi più reve d scrivere e clcolre, è quell reltiv l corpo (,P). Perciò: F = 0 F = 0 F = 0 = F = F = F omento rispetto P otte che il momento rispetto d : = 17 Esempio 1: crtteristiche (3/9) I vlori di,, sono ltrettnte funioni d digrmmre l vrire dell sciss lungo l sse. igrmm di nel trtto : F F =F di sopr: positivi di sotto: negtivi P Politecnico di orino 9

10 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione Esempio 1: crtteristiche (4/9) igrmm di : I segmenti ricordno che il vlore di, d ogni sciss Z, è dto in scl dll lunghe dei segmenti. In questo cso: = F =costnte. F F =F P 19 Esempio 1: crtteristiche (5/9) igrmm di : i segmenti rppresentno in scl i vlori di. = F di sopr: positivi di sotto: negtivi Politecnico di orino 10

11 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione igrmm di : il momento vri linermente = F Esempio 1: crtteristiche (6/9) = F 1 igrmm di : notte che l penden del digrmm di momento è il tglio, = { = F d = d = F penden negtiv tglio negtivo = F Esempio 1: crtteristiche (7/9) 006 Politecnico di orino 11

12 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione 006 Politecnico di orino 1 3 el trtto : P F - F ( ) F 0 F 0 F = = Esempio 1: crtteristiche (8/9) 4 ( ) ( ) F F F 0 F F 0 F = = = = = Segue: Esempio 1: crtteristiche (9/9)

13 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione Esempio 1: digrmmi (1/3) I digrmmi delle crtteristiche di sollecitione si completno come segue: F Sollecitione normle 5 Sollecitione di tglio : Esempio 1: digrmmi (/3) F F ot ene: in, dov è pplict F, il slto di vle: F F = F! Politecnico di orino 13

14 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione Esempio 1: digrmmi (3/3) Sollecitione di momento flettente : penden d = = F d penden d = = F d mx = F 7 rtteristiche di sollecitione 006 Politecnico di orino 14

15 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione Esempio : Esempio : reioni vincolri (1/) F / 45 9 Esempio : reioni vincolri (/) 45 F / / V H V V = 0 = F = F ( ) ( ) H V Politecnico di orino 15

16 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione Esempio : crtteristiche (1/6) rtto : crtteristiche di sollecitione 45 P F ( ) Equilirio secondo l sse: F = 0 ( ) = F Equilirio ortogonle ll sse: F = 0 ( ) ( ) = F ( ) 31 Esempio : crtteristiche (/6) rtto : crtteristiche di sollecitione P omento ttorno l polo P: F = 0 ( ) = F ( ) 45 F ( ) Politecnico di orino 16

17 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione rtto : crtteristiche di sollecitione 45 F ( ) Esempio : crtteristiche (3/6) = 0 = F = F ( ) ( ) ( ' ) 33 Esempio : crtteristiche (4/6) rtto : crtteristiche di sollecitione V = F ( ) / Politecnico di orino 17

18 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione Esempio : crtteristiche (5/6) el trtto possimo evitre di scrivere esplicitmente equioni poiché sppimo che V F = ( ) / Lo sforo normle rest nullo nel pssre ttrverso, perché in non c è un crico esterno ssile e nche perché, comunque, l ppoggio in non può generre crichi ssili. 35 Esempio : crtteristiche (6/6) el pssre ttrverso, il tglio suisce un vriione pri F. V = F ( ) / In il tglio vle: / = V = F Il momento vri linermente dl vlore in l vlore ero in Politecnico di orino 18

19 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione Sollecitione normle (1) Esempio : digrmmi (1/7) = 0 = 0 = F ( ) F ( ) 37 Sollecitione normle () Esempio : digrmmi (/7) = 0 = 0 = F ( ) F ( ) Politecnico di orino 19

20 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione Sollecitione normle (3) Esempio : digrmmi (3/7) = 0 = 0 = F ( ) F ( ) 39 Esempio : digrmmi (4/7) Sollecitione di tglio : / = F = F ( ) ( ) F F ( ) = F ( ) Politecnico di orino 0

21 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione Esempio : digrmmi (5/7) Sollecitione di momento flettente : = F ( ) 41 Esempio : digrmmi (6/7) Il momento in non cmi di vlore = F ( ) = F ( ) Politecnico di orino 1

22 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione Esempio : digrmmi (7/7) e il digrmm completo del momento : = F ( ) = F ( ) 43 rtteristiche di sollecitione 006 Politecnico di orino

23 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione Esempio 3: q Esempio 3: reioni vincolri (1/) rve con crico q uniformemente distriuito 45 Reioni vincolri: per simmetri, uguli q Esempio 3: reioni vincolri (/) V V = V = q V Politecnico di orino 3

24 omportmento meccnico dei mterili rtteristiche di sollecitione rtteristiche di sollecitione: Esempio 3: crtteristiche q V = q = 0 = q q = q q 47 igrmmi di tglio e momento : Esempio 3: digrmmi tglio q momento q Politecnico di orino 4