Calcolo integrale in due e più variabili

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1 Clcolo integrle in due e più vribili 9 dicembre Definizione di integrle Il primo psso st nell definizione e determinzione dell integrle per funzioni due vribili prticolrmente semplici: le funzioni costnti su rettngoli. Chimimo rettngolo il prodotto crtesino di due intervlli [, b[ [c, d[= R. Se considerimo un prtizione di [, b[ in sottointervlli medinte i punti x 0 =, x 1, x 2,...x n = b, ed un prtizione di [c, d[ in sottointervlli medinte i punti y 0 = c, y 1, y 2,...y m = d, ottenimo un prtizione del rettngolo inizile [, b[ [c, d[ in n m rettngoli più piccoli R ik = [x i 1, x i [ [y k 1, y k [. Definizione 1 Un funzione f che ssum su ogni rettngolo R ik vlore costnte λ ik, è un funzione costnte su rettngoli in R. Conviene mplire tle funzione su tutto R 2 ponendol ugule 0 fuori del rettngolo R. In tl modo, può essere descritt in form comptt usndo le funzioni crtteristiche dei rettngoli R ik : χ ik (x, y) = 1 se (x, y) R ik, e 0 ltrimenti. Così risult: f(x, y) = λ 11 χ 11 (x, y) + λ 12 χ 12 (x, y)...λ nm χ nm (x, y) = n m λ ik χ ik (x, y). k=1 1

2 Per le funzioni costnti su rettngoli si definisce fcilmente il reltivo integrle. Definizione 2 L integrle dell funzione f sopr definit è il numero f(x, y)dxdy = n m λ ik µ(r ik ) = k=1 n m λ ik (x i x i 1 )(y k y k 1 ). (1) k=1 Pssimo or ll integrle di un generic funzione f. Definizione 3 Dt un funzione f, è detto supporto dell funzione l chiusur dell insieme in cui f è divers d 0: supp(f) = Cl( x : f( x) 0) dove si è indicto con Cl l chiusur dell insieme. Il supporto di un funzione è ovvimente un chiuso; se è nche limitto, llor è un comptto, in tl cso si dice che l funzione è null l di fuori di un comptto, o, più brevemente, che è supporto comptto. Si dt llor un funzione f definit nel comptto R e limitt. Considert un qulsisi prtizione σ di R, clcolimo gli estremi inferiori e superiori di f in ognuno dei rettngoli R ik determinti d σ: sino e ik := inf{f(x, y) (x, y) R ik } e E ik := sup{f(x, y) (x, y) R ik }. Costruimo or le due funzioni costnti su rettngoli: h(x, y) := n m k=1 e ikχ ik (x, y); g(x, y) := n m k=1 E ikχ ik (x, y). Si osserv subito che h è un minornte di f (ossi tle che per ogni (x, y) R risult h(x, y) f(x, y)), 2

3 g è un mggiornte di f (ossi tle che per ogni (x, y) [, b] risult g(x, y) f(x, y)) e infine che h è un minornte di g, e quindi che h(x, y)dxdy g(x, y)dxdy. Indichimo con s σ l integrle di h, che è usulmente chimto somm inferiore di f reltivo σ, e con S σ l integrle di g, detto somm superiore. Notimo esplicitmente che, per costruzione, questi due vlori dipendono esclusivmente dll funzione f e dll prtizione σ (si ved l fig. 1 ). () (b) Figur 1: Somme inferiori e superiori Or, qundo si pss d un prtizione σ d un prtizione σ 1 più fine, è immedito osservre che (in fig. 1 b è rppresentto il cso delle somme inferiori): s σ s σ1 S σ1 S σ ; (2) e che, in generle, ogni somm inferiore è minore o ugule d ogni somm superiore. Ne deriv che, indicti con Σ l insieme delle somme inferiori e con Σ + l insieme delle somme superiori, sup{σ } inf{σ + }. (3) In ltri termini, gli insiemi Σ e Σ + sono seprti. Si dnno or due csi: o nell disuguglinz precedente vle il segno =, e llor Σ e Σ +, oltre che seprti, sono contigui, oppure no. Ciò spieg l seguente 3

4 Definizione 4 Si f un funzione definit nel comptto R e limitt; f è integrbile secondo Riemnn (o brevemente integrbile) su R se In tl cso, si pone sup{σ } = inf{σ + } = α. R f(x, y)dxdy = α. (4) Un definizione nlog, ftte le dovute modifiche, vle nche nel cso di n vribili. Anlogmente l cso dell integrle in un vribile, bbimo il seguente risultto, conseguenz immedit dell definizione: Teorem 1 Condizione necessri e sufficiente perché un funzione f limitt e supporto comptto si integrbile è che per ogni ɛ > 0 esistno funzioni h e g costnti su rettngoli, h minornte di f e g mggiornte, tli che g(x, y)dxdy h(x, y)dxdy < ɛ. 2 Misur di un insieme L definizione dt consente di prlre di misur di un insieme I. Definizione 5 Un insieme limitto I R 2 è misurbile (secondo Peno- Jordn) se l su funzione crtteristic χ I è integrbile. In tl cso l misur di I è µ(i) = χ I (x, y)dxdy. In bse ll definizione di funzione integrbile, ciò signific che esistono funzioni h e g costnti su rettngoli, con h χ I g tli che g(x, y)dxdy h(x, y)dxdy < ɛ, entrmbe determinte d un prtizione σ del sostegno comptto. Se chimimo interni i rettngoli R i;k dell prtizione formti d soli punti 4

5 () (b) Figur 2: Rettngoli interni e di frontier interni ll insieme I, esterni quelli formti d soli punti esterni e di frontier quelli che contengono lmeno un punto dell frontier di I, l migliore funzione minornte h vrrà 1 sui rettngoli interni e 0 su tutti gli ltri, e l migliore mggiornte g vrrà 0 sui rettngoli esterni e 1 su tutti gli ltri. Così, l funzione differenz g h vrrà 1 sui soli rettngoli di frontier, e 0 ltrove. Quindi, poiché [g(x, y h(x, y)]dxdy = g(x, y)dxdy h(x, y)dxdy < ɛ, possimo concludere che un insieme I è misurbile se l su frontier I è ricopribile d un plurirettngolo di misur minore di ɛ (fig. 2, b). E infine, dt l rbitrrietà di ɛ, Teorem 2 I R 2 è misurbile secondo Peno-Jordn se e solo se l su frontier I è di misur null. Esempi e controesempi Un esempio di insieme non misurbile è l insieme {(x, y) : x [0, 2], 0 y 1 + d(x)}, dove d è l funzione di Dirichlet. Un esempio importnte di insieme misurbile è il seguente. Si g un funzione integrbile su [, b] e che per il momento ssumimo positiv. Allor l insieme I = {(x, y) R 2 : x [, b], 0 y g(x)} è 5

6 misurbile e risult µ(i) = b g(x)dx. Il risultto è dovuto l ftto che, il questo cso, i plurirettngoli inscritti e circoscritti ssociti ll misur di I sono gli stessi plurirettngoli inscritti e circoscritti che definiscono l integrle secondo Riemnn dell funzione g. Il risultto precedente può essere generlizzto. Se h e g sono entrmbe integrbili in [, b], l insieme I = {(x, y) R 2 : x [, b], h(x) y g(x)} è misurbile in qunto differenz di due insiemi misurbili, e risult µ(i) = b [g(x) h(x)]dx. Un esempio di questo cso si h considerndo un disco I = {(x, y) : x 2 + y 2 1}, il cui bordo può essere espresso medinte le due funzioni h(x) = 1 x 2, g(x) = 1 x 2. Infine, si può generlizzre ulteriormente il risultto, togliendo l ipotesi di positività. Se inftti g e h non fossero positive, possimo sempre considerre le funzioni trslte g + k e h + k, con k costnte scelt in modo che le nuove funzioni risultino positive. Si I k l insieme individuto dlle nuove funzioni. Ovvimente, µ(i) = µ(i k ), e risult ugule b [g(x) + k h(x) k]dx = b [g(x) h(x)]dx. Insiemi del tipo descritto sono detti normli rispetto ll sse delle y, o y- semplici (in Adms). Anlogmente si possono definire gli insiemi normli rispetto ll sse delle x (o x-semplici). 6