Luciano Battaia. Versione del 3 dicembre L.Battaia. Integrali impropri

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1 Lucino Btti Versione del 3 dicembre 200 In quest not presento le definizioni e lcune proprietà degli integrli, con prticolre rigurdo l motivo di certe scelte nelle definizioni. Il concetto di integrle o è un generlizzzione non bnle del concetto di integrle di Riemnn, e ritengo che solo un riflessione ccurt sul significto delle definizioni dte poss contribuire d evitre errori nche grossolni. Non sono proposte qui le dimostrzioni dei vri risultti, che si possono trovre su un qulunque mnule di nlisi delle funzioni di un vribile. Pg. di 7

2 Pg. 2 di 7 Definizioni Integrzione su intervlli illimitti Integrle o di funzioni illimitte Perchè queste definizioni? Un proprietà specile Due esempi interessnti Conclusioni Definizioni L integrle di Riemnn risolve il problem dell misur di insiemi pini in un grnde numero di csi, m non è sufficiente per le ppliczioni, nche in csi di frequente interesse. Solo l teori dell integrzione secondo Lebesgue risult essere pienmente soddisfcente, si dl punto di vist prtico che d quello teorico. Tr l ltro con l teori di Lebesgue si risolve nche il problem dell integrzione di funzioni che, per l integrbilità secondo Riemnn, sono troppo discontinue ; l integrle di Lebesgue h nche numerosi ltri vntggi dl punto di vist teorico. Considert comunque l complessità dell teori dell integrle secondo Lebesgue, è possibile introdurre invece un estensione del concetto di integrle di Riemnn, sufficiente trttre lcuni csi più comuni: si trtt del concetto di integrle o, in cui si esminno i csi di funzioni definite su intervlli illimitti, oppure illimitte in prossimità di un numero finito di punti. Considereremo seprtmente i due csi citti.

3 .. Integrzione su intervlli illimitti Nei csi più comuni cpit di considerre qusi esclusivmente funzioni continue su semirette oppure sull inter rett rele. Poichè però non cost nessun ftic in più considerre nche funzioni che sino solo integrbili (e quindi mgri discontinue), trtteremo direttmente questo cso. Definizione (Integrle o su intervlli illimitti) Si f : I = [, + [ R un funzione integrbile secondo Riemnn in ogni intervllo [c, d] contenuto in I. Allor h senso, t I, f(x) dx. Pg. 3 di 7 Se lim f(x) dx = l R, t + l funzione si dice integrbile in senso o, o generlizzto, in I e si pone + f(x) dx = lim t + f(x) dx = l

4 Pg. 4 di 7 Anlog definizione se l funzione gode delle stesse proprietà in I =], ], che port ll considerzione dell integrle f(x) dx = lim f(x) dx, u u nell ipotesi che il limite esist finito. Se poi l funzione gode delle stesse proprietà ddirittur in tutto R, llor si può definire l integrle + f(x) dx come somm degli integrli f(x) dx e + f(x) dx, purchè entrmbi gli integrli esistno, ciscuno per proprio conto, finiti, ovvero purché esistno finiti i due limiti lim f(x) dx e lim f(x) dx. t + u u Osservzione.. Bisogn prestre prticolre ttenzione l ftto che l integrle o + f(x) dx

5 è definito medinte due limiti che vnno clcolti seprtmente e che devono esistere, entrmbi, finiti. A titolo d esempio considerimo l funzione f(x) = x (su tutto R). Per vlutre l integrle o + x dx, dobbimo clcolre, seprtmente, 0 lim x dx e lim x dx. t t + t 0 Il primo limite vle, mentre il secondo vle +, per cui l integrle richiesto non esiste o, come si us dire, diverge. Se vessimo clcolto, invece, lim t + x dx, vremmo ottenuto 0, e questo non srebbe stto il vlore dell integrle proposto, lmeno secondo l definizione che bbimo dto. Vedremo in seguito (prgrfo 2) il perché dell scelt ftt nel definire questo tipo di integrle o. Pg. 5 di 7.2. Integrle o di funzioni illimitte Considereremo inizilmente un funzione illimitt in prossimità di un solo punto, x 0, di un intervllo [, b], e integrbile secondo Riemnn in un qulunque sottointervllo di [, b]\{x 0 }; successivmente estenderemo tle definizione funzioni illimitte

6 in prossimità di un numero finito di punti di un intervllo [, b]. Avvertimo che, in molti csi, il punto x 0 coincide con uno dei due estremi dell intervllo di integrzione. Definizione (Integrle o di funzioni illimitte) Si f : I = [, b] \ {x 0 } R un funzione integrbile secondo Riemnn in ogni intervllo [c, d] contenuto in I. L funzione può nche essere illimitt in un intorno di x 0. Se t e u sono punti di I, con t < x 0 e u > x 0, hnno senso, rispettivmente, gli integrli f(x) dx, t < x 0 e Se, ciscuno per proprio conto, esistono finiti i limiti lim t x 0 u f(x) dx, u > x 0. f(x) dx e lim u x + 0 u f(x) dx, llor si pone f(x) dx = lim t x 0 f(x) dx + lim f(x) dx u x + 0 u Pg. 6 di 7 Se x 0 coincide con oppure con b, bst considerre uno solo dei due integrli e limiti precedenti. Se invece di un unico punto x 0, ce ne sono un numero finito con le stesse crtteristiche, bsterà spezzre l integrle in corrispondenz di ciscuno dei punti, esttmente come ftto con x 0.

7 Pg. 7 di 7 Osservzione.2. Bisogn prestre prticolre ttenzione l ftto che l integrle o f(x) dx è definito medinte due limiti che vnno clcolti seprtmente e che devono esistere, entrmbi, finiti. A titolo d esempio considerimo l funzione g(x) = /x, in [, ]. Per clcolre l integrle o dobbimo clcolre, seprtmente, lim t 0 x dx, dx x e lim u 0 + t x dx. Il primo limite vle, mentre il secondo vle +, per cui l integrle richiesto non esiste o, come si us dire, diverge. Se vessimo clcolto, invece, lim t 0 + x dx + x dx, vremmo ottenuto zero, e questo non srebbe stto il vlore dell integrle proposto. Vedremo fr poco (prgrfo 2) il perché dell scelt ftt nel definire questo tipo di integrle o. t

8 Pg. 8 di 7 2. Perchè queste definizioni? È logico e nturle chiedersi perchè le definizioni menzionte nelle osservzioni. e.2 non sino d considerrsi corrette: in fondo se si consider, per esempio, l funzione f(x) = x, e si tiene conto che è simmetric rispetto ll origine, prrebbe logico pensre che il suo integrle d + debb essere nullo, come è nullo l integrle dell stess funzione su qulunque intervllo limitto e simmetrico rispetto ll origine: in fondo le ree delle due regioni (illimitte) sopr e sotto l sse delle scisse sono identiche e quindi è giusto spettrsi che l loro somm si zero. Il ftto è che l definizione di integrle su tutto R medinte il limite seguente lim t + f(x) dx, oppure di integrle di un funzione illimitt in prossimità di un punto x 0 medinte il limite seguente x 0 lim f(x) dx + f(x) dx, t 0 + port contrddizioni insnbili, come mostrno i (volutmente numerosi) esempi che seguono. x 0 +t Esempio 2.. Considert l funzione f(x) = x, ottenimo [ x 2 (x ) dx = 2 x ] t = 2t ;

9 se or clcolimo il limite, per t +, ottenimo, nche se, dl punto di vist geometrico, l situzione delle ree situte sopr e sotto l sse delle x non è ssolutmente cmbit rispetto qunto succedev con l funzione f(x) = x: l funzione f(x) = x è solo spostt verso destr di un unità rispetto ll funzione f(x) = x, m questo non può modificre l situzione geometric complessiv delle ree delle regioni (illimitte) in questione. Esempio 2.2. Considert l funzione f(x) = sgn(x) se x < 0 f(x) = sgn(x) = 0 se x = 0 se x > 0 ottenimo, 0 sgn(x) dx = ( ) dx + dx = [ x] 0 + [x]t 0 = 0, 0 per cui il limite per t + è chirmente 0. Se spostimo l funzione verso destr di (> 0) unità, ottenimo f(x) = sgn(x ). Ripetimo il clcolo dell integrle d t, supponendo t >, cos che non port problemi, visto che dobbimo poi clcolre il limite per t +. Pg. 9 di 7 sgn(x ) dx = ( ) dx+ dx = [ x] +[x]t = ( ) ( ())+t = 2, e, se clcolimo il limite per t + ottenimo 2, ovvero un risultto vribile l vrire di, cos che è difficilmente ccettbile dl punto di vist geometrico, in

10 Pg. 0 di 7 qunto le ree delle regioni (illimitte) sopr e sotto l sse delle x non vengono modificte d questi spostmenti del grfico. Esempio 2.3. Riprendimo in considerzione l funzione sgn(x) dell esempio precedente e clcolimone l integrle tr e 2t, con t > 0: 2t sgn(x) dx = 0 ( ) dx + 2t 0 dx = [ x] 0 + [x]2t 0 = t, e quest volt il limite per t + vle +, nonostnte il ftto che, geometricmente, si ottengno sempre le stesse ree nel pino crtesino. Esempio 2.4. Considerimo or le funzioni f(x) = 2x e g(x) = 2x + x 2 + x. 4 Ottenimo: 2x + x 2 dx = [ln( + x2 )] t = 0 e 2x + x 4 dx = [rctg(x2 )] t = 0, d cui deducimo che, in entrmbi i csi, il limite per t + vle 0. Se però modifichimo l intervllo di integrzione in [, 2t] ottenimo: 2t 2t 2x + x 2 dx = [ln( + x2 )] 2t = ln( + t2 ) ln( + 4t 2 ) 2x + x 4 dx = [rctg(x2 )] t = rctg(4t 2 ) rctg(t 2 ),

11 Pg. di 7 d cui deducimo che nel primo cso il limite per t + vle, mentre nel secondo continu vlere 0 (come ci prrebbe logico). Il motivo di questo diverso comportmento st nel ftto che, per l prim funzione, l integrle o secondo l definizione corrente diverge, mentre, nel secondo cso, converge. Dunque l definizione corrente di integrle o è dtt trdurre in formule un concetto geometrico che ci pre evidente. L definizione bst invece sul ci pre del tutto indtt. lim t + f(x) dx, Esempi simili possono essere ftti nche per il cso di funzioni illimitte in prossimità di qulche punto. Esempio 2.5. Riprendimo in esme l funzione f(x) = /x e isolimo, quest volt, il punto in cui l funzione tende ll infinito, con un intervllo del tipo [, 2t]: x dx + 2t dx = [ln x ] + [ln x ] 2t = ln 2, x d cui deducimo subito che il limite, per t 0, vle ln 2, ossi un risultto diverso d quello (che vlev 0), ottenuto prim, nonostnte non ci si lcun vrizione nelle regioni di cui clcolre le ree. Anche quest volt il problem è legto l ftto che l funzione /x h un integrle o divergente, secondo l definizione che bbimo dto precedentemente. Se inftti si consider un funzione dispri e con integrle o convergente, il

12 Pg. 2 di 7 modo come si isol il punto di infinito è ininfluente i fini del risultto. Lo si può provre (è un fcile esercizio!) con l funzione se x > 0 f(x) = x se x < 0, x d integrre nell intervllo [-,] e il In reltà il lim t 0 + lim t + c f(x) dx + f(x) dx c+t f(x) dx, hnno interesse, per esempio, nell teori delle distribuzioni e nche in ltri cmpi e si chimno, rispettivmente, Vlore principle di Cuchy di Vlore principle di Cuchy di m si trtt di tutt un ltr cos. + f(x) dx; f(x) dx,

13 Pg. 3 di 7 3. Un proprietà specile Molte delle proprietà dell integrle di Riemnn si estendono gli integrli (nche se con le dovute cutele), m c è un proprietà molto importnte che è completmente divers per gli integrli di Riemnn e per quelli, ed è quell che rigurd i legmi tr un funzione e il vlore ssoluto dell stess. Precismente: Se f(x) è un funzione integrbile secondo Riemnn in un intervllo (chiuso e limitto) [, b], llor nche l funzione f(x) è integrbile secondo Riemnn nello stesso intervllo e si h: f(x) dx f(x) dx. Se il modulo di un funzione f(x) è integrbile in senso o in un intervllo I, llor nche f(x) è integrbile in I e si h f(x) dx f(x) dx. Si noti che le due proprietà sono esttmente un il contrrio dell ltr, nche se l disuguglinz reltiv è l stess. Tutto questo signific che un funzione può essere integrbile in senso o senz che lo si il suo vlore ssoluto. Un esempio importnte (nche se non semplice d discutere se non si conoscono le serie), è quello dell funzione sin x /x: + 0 sin x x dx < + mentre + 0 sin x x dx = +.

14 4. Due esempi interessnti Esminndo le proprietà dell integrle o, in prticolre nel cso di integrli su intervlli illimitti, può venire il sospetto che un funzione (in prticolre se si trtt di un funzione positiv), poss essere integrbile solo se il suo limite ll infinito è zero. I due esempi che seguono provno che ciò non è vero. Esempio 4.. Considerimo l funzione g(x) definit, in [, + [, dlle condizioni che seguono: per ogni intero n si pong g(n) = ; per ogni intero n si considerino i segmenti [n n ], n e [n, n + n ] ; 2 2 si pong ugule 0 l funzione nell estremo sinistro del primo segmento e nell estremo destro del secondo, mentre l si definisc, ll interno dei due segmenti, in modo che bbi come grfico un segmento congiungente (n /n 2, 0) con (n, ) e un ltro segmento congiungente (n, ) con (n + /n 2, 0); si pong g(x) = 0 in tutti i trtti rimnenti. Un prte del grfico è rppresentt nell figur di seguito. Pg. 4 di 7

15 y Pg. 5 di Ebbene quest funzione è continu in [, + [; positiv in [, + [; non h limite (in prticolre non tende zero) per x + ; è integrbile in senso o in [, + [ (nche se per l dimostrzione occorre conoscere l teori delle serie). Esempio 4.2. Si può modificre leggermente l esempio precedente in modo d costruire un funzione integrbile in senso o in [, + [, positiv, e ddirittur illimitt in qulunque intorno di +. Bst riprendere l funzione g dell esempio precedente e considerre le seguenti modifiche: porre g(n) = n, nziché g(n) = ; considerre i segmenti [n n ], n e [n, n + n ] ; 3 3 x

16 l posto dei precedenti. Si ottiene un funzione il cui grfico è ncor ftto d segmenti sull sse x e tringoli sopr l sse x stess, come prim, solo che or i tringoli hnno bse più piccol dei precedenti, m, in compenso, ltezze che tendono ll infinito. 5. Conclusioni Il concetto di integrle o è molto interessnte ed utile nelle ppliczioni. In prticolre è sorprendente il ftto che consent di ttribuire re finit regioni illimitte del pino. Esso v comunque trttto con estrem cutel per non cdere in errore mdornli e difficili d scoprire. È interessnte, questo proposito, segnlre un ftto clmoroso, successo gli esmi di stto di Liceo Scientifico. Nell sessione strordinri degli esmi dell nno scolstico è stto proposto un quesito che richiedev, testulmente, il clcolo dell derivt dell funzione f(x) = 2x x sin t dt. Pg. 6 di 7 Or, come si può provre fcilmente, l integrle (o!) proposto diverge qulunque si il numero rele x, e dunque l funzione non è definit per nessun vlore di x ( meno che gli esperti estensori del quesito non volessero riferirsi l vlore principle di Cuchy dell integrle stesso, cos che mi pre oltremodo improbbile, visto che di un simile rgomento non si f cenno in nessun progrmm di scuol medi superiore e, qunto mi risult, nemmeno nell qusi totlità dei corsi universitri, per lo meno di primo livello).

17 È nche interessnte notre che le uniche soluzioni che sono riuscito trovre in rete ll dt dell stesur di questo fscicoletto riportno soluzioni (ovvimente errte!) in cui non si f menzione dell grve svist presente nel testo. Pg. 7 di 7