Integrali impropri in R

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1 Integrli impropri in Flvino Bttelli Diprtimento di Scienze Mtemtiche Università Politecnic delle Mrche Ancon Integrli impropri Indichimo con = {1, 2, 3,...} l insieme dei numeri nturli, con 0 = {0, 1, 2, 3,...} l insieme degli interi non negtivi e con Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} l insieme dei numeri interi. Un sottinsieme S si dice di discreto se l intersezione di S con un qulunque intervllo limitto è un insieme finito, ossi per ogni r, r > 0, si h S [ r, r] = {x 1,... x n }, dove n = n(r) è un numero nturle dipendente d r. Osservimo che se S è un insieme discreto, llor esistono l più due successioni { n } n e { } n 0 l prim decrescente e l second crescente tli che n+1 n < 0 +1 e S = { n n } { n 0 }. Con l più intendimo dire che un delle due successioni potrebbe non esistere. Ad esempio, se S [0, ), llor esiste solo l successione { } n 0, mentre se S (, 0), llor esiste solo l successione { n } n 0.

2 2 Osservimo nche che ognun delle successioni può nche essere definitivmente costnte ossi può esistere tle che n = (risp. = b ) per ogni n. el primo cso l insieme S mmette minimo, nel secondo mssimo, mentre se vlgono entrmbe le condizioni, l insieme S è finito. Inoltre, se { n n } (risp. { n 0 }) non è finito, llor lim n = (risp. lim = ). n n Un funzione f : vlori reli si dice generlmente continu se l insieme D dei suoi punti di discontinuità è discreto. Un funzione generlmente continu, null fuori di un intervllo I, si dirà generlmente continu in I. el seguito ponimo, per n b n = n cosicché l insieme dei punti di discontinuità di f è dto d e vlgono le seguenti proprietà: D = { n Z} i) se n m llor b m (ossi l funzione n è crescente) ii) se { } n non è definitivmente costnte llor lim n = iii) se {b n } n non è definitivmente costnte llor lim = n Si f : un funzione generlmente continu e si D è l insieme dei suoi punti di discontinuità. Se { } n Z mmette mssimo ugule b modifichimo l definizione di, per n > ponendo = + per ogni n >. Allo stesso modo, se { } n Z mmette minimo ugule b M modifichimo l definizione di, per n < M ponendo = per ogni n < M. Si or f : (, b) un funzione continu (non necessrimente limitt) nell intervllo perto (, b). Dimo l seguente: Definizione. Dico che f : (, b) è integrbile (in senso improprio o generlizzto, o generlmente integrbile) su (, b) se per ogni coppi di successioni {α n } n, {β n } n, l prim decrescente e l second crescente, tli che lim α n = e lim β n = b esiste finito n n (ossi in ) il limite βn lim f(x). n α n

3 In tl cso, si dirà nche che l integrle f(x) è convergente. precedente è ugule ± diremo nche che l integrle è divergente ( ± ). 3 Se invece il limite Ovvimente c è nche l possibilità che il limite precedente non esist, nel qul cso l funzione non è ovvimente integrbile in (, b) e l integrle non è né convergente né divergente. Se f : (, b) è integrbile in senso improprio su (, b), ponimo βn f(x) = lim f(x). n α n Dto che f(x) è continu in (, b) mmetterà primitiv in (, b) ossi esiste F (x) (per esempio F (x) = x +b 2 f(t)dt) tle che F (x) = f(x) per ogni x (, b). Allor si h βn lim f(x) = lim F (β n ) F (α n ). n α n n e quindi f(x) è integrbile in (, b) se e solo se esiste finito il limite destr dell uguglinz precedente, mentre se tle limite è ± l integrle srà divergente. Si osservi che, poiché il limite lim n F (β n ) F (α n ) deve esistere indipendentemente dll scelt delle successioni {α n } e {β n }, llor i due limiti lim F (β n) e lim F (α n ) n n dovrnno esistere entrmbi, qulunque si l scelt delle successioni {α n }, {β n }, ossi dovrnno esistere i limiti F (b ) := lim F (x) e F (+ ) := x b finiti, f(x) è integrbile in (, b) e risult: Inoltre l integrle + o (lmeno) uno di essi non esiste. Esempi. f(x) = F (b ) F ( + ) lim F (x) e, nel cso sino x + f(x) non esiste se e solo se i due limiti precedenti vlgono entrmbi

4 4 i) f(x) = 1 cos 1 in (0, 1). icerchimo un primitiv di f(x) in (0, 1). Si h, integrndo per prti: x x 1 x cos 1 x = x 1 x cos 1 2 x = x sin 1 x + sin 1 x = = x sin 1 x + x 2 1 x 2 sin 1 x = x sin 1 x + x2 cos 1 x 2 x cos 1 x. Or, l funzione x cos 1 si estende con continuità in [0, 1] (inftti lim x cos 1 = 0) ed x x 0 x è quindi iemnn integrbile in [0, 1], ossi esiste finito 1 x cos 1. Siccome poi 0 x lim x sin 1 x 0 x = lim x 0 x2 cos 1 x = 0, deducimo fcilmente che f(x) è integrbile in (0,1) e si h: x cos 1 = cos(1) sin(1) 2 x 1 0 x cos 1 x. ii) f(x) = 1 x 2 cos 1 x in (0, 1). Si h, integrndo per prti: 1 x 2 cos 1 x = sin 1 x + c e, siccome il lim x 0 sin 1 x non esiste, l funzione 1 x 2 cos 1 x non è integrbile in (0, 1). iii) f(x) = log x x in (0, 1). Si h, integrndo per prti: log x log x x = log2 x x e quindi un primitiv di f(x) è 1 2 log2 x. Allor 1 0 L integrle è quindi divergente +. log x = 1 x 2 [lim x 1 log2 x lim log 2 x] = +. x 0 Ponimo, per convenzione + f(x) = + f(x) = 0.

5 5 Definizione. Si f : generlmente continu. Dicimo che f è integrbile (in senso improprio o generlizzto, o generlmente integrbile) su se detto D = { n Z} l insieme dei suoi punti di discontinuità (dove h le proprietà i) iii)) vlgono le seguenti proprietà f è integrbile in ogni intervllo (, +1 ); le due serie In tl cso si pone n+1 f(x) e n+1 n=0 n=1 b n f(x) = f(x) = n Z e si dice che l integrle è convergente. Osservzione. Se gli integrli e n=1 n n+1 n+1 f(x) := f(x) sono entrmbe convergenti. f(x) n+1 f(x) + n+1 n=0 n=1 b n f(x) sono tutti convergenti e le serie n=0 f(x) n+1 b n 1 f(x) sono entrmbe divergenti + (o ), oppure un è divergente + ( ) e l ltr convergente, si dice nche che l integrle improprio f(x) è divergente + ( ). Potremmo nche dire che l integrle improprio f(x) è divergente + (risp. ) nche qundo lmeno uno degli integrli impropri diverge + (risp. ) e non esistono ltri integrli impropri m+1 b m f(x) n+1 f(x) f(x) che divergono (risp. + ). Tuttvi quest mggiore generlità può cusre problemi qulor l serie degli integrli impropri convergenti diverge ll infinito di segno opposto. Definizione. Se f : I è generlmente continu in I (e quindi null fuori di I) si dice che f è integrbile in senso improprio su I se f è integrbile in senso improprio su

6 6 e si pone I f(x) = f(x) In generle se f(x) è generlmente continu su e I è un intervllo di porremo: f(x) = f(x) dove I f(x) = Si h il seguente importnte risultto: { f(x) se x I 0 se x / I. Teorem 1. Si f : un funzione generlmente continu e non negtiv, ossi f(x) 0 per ogni x. Allor l integrle improprio f(x) è finito o + (ossi o converge o diverge). Dimostrzione. Si [b k, b k+1 ] uno degli intervlli in cui è diviso dll insieme S dei punti di discontinuità di f. Sino {α n } n, {β n } n successioni, l prim decrescente e l second crescente, tli che lim α n = b k e lim β n = b k+1. Dto che f(x) 0 l successione n n di numeri reli: βn α n f(x) βn è crescente e quindi il limite lim f(x) esiste finito e non negtivo o +. el cso n α n n+1 n che tli limiti sino tutti finiti le due serie f(x) e f(x) sono n=0 n=1 b n 1 termini non negtivi e quindi o convergono o divergono +. Q.E.D. Osservzione. Lo stesso risultto rigurdo f(x), vle se f(x) è generlmente continu su I e f(x) 0 per ogni x I. Teorem 2. Si f : un funzione generlmente continu e non negtiv, ossi f(x) 0 per ogni x. Si D = { n Z} l insieme dei punti di discontinuità di f I

7 7 e si D = {b n n Z} un insieme discreto contenente D (ossi D D ). Allor f(x) = n+1 f(x), n Z b n Osservzione. Il Teorem precedente in prtic fferm che per un funzione non negtiv il clcolo dell integrle può effettursi nche considerndo un insieme discreto che contiene tutti i punti di discontinuità di f(x). Dimostrzione. Dto che b 0 D possimo supporre, eventulmente reindicizzndo gli n+1 elementi di D che b 0 = b 0. Dto che f(x) 0 l serie f(x) è termini non n Z b n negtivi e quindi è regolre. Pertnto possimo studirne il crttere clcolndo il limite lim k s n k dove n k, qundo k e s n indic l su somm przile n esim. Si llor k e si n k tle che b k = b n k. Si j {0,..., k 1}, e si F (x) un primitiv di f(x) in (b j, b j+1 ) = (b n j, b n j+1 ). Allor j+1 b j f(x) = F (b j+1 ) F (b+ j ) = n j+1 1 l=n j F ((b l+1) ) F ((b l) + ) dto che, essendo F (x) continu in (b j, b j+1 ) e b l (b j, b j+1 ) per ogni l {n j +1,..., n j+1 1}, risult: F ((b l )+ ) = F ((b l ) ). Di conseguenz: e quindi: ossi j+1 b j f(x) = k 1 j+1 j=0 b j f(x) = n j+1 1 l=n j n k 1 l=0 l+1 b l l+1 b l f(x) f(x) s k 1 = s n k 1 essendo s k l somm przile k esim dell serie j=0 j+1 b j j=0 j+1 f(x) = lim k s k = lim k s n k+1 1 = lim n s n = b j f(x). Pertnto j=0 j+1 b j f(x).

8 8 Anlogmente si prov che j=1 j+1 b j f(x) = j+1 j=1 b j f(x). Q.E.D. Dimostrimo or un risultto importnte noto come Criterio del Confronto. Sino f, g : due funzioni generlmente continue. Allor se 0 f(x) g(x) per ogni x, risult 0 f(x) g(x). Dimostrzione. Se g(x) = + non c è null d dimostrre. Se, invece, si h per ogni n Z 1 e per ogni, b tli che < < b < +1 : g(x) e quindi l integrle negtivi 0 n+1 f(x) g(x) n+1 g(x) f(x) converge per ogni n Z. Inoltre le serie termini non n+1 f(x), e n+1 n=0 n=1 b n f(x) sono entrmbe convergenti essendo mggiorte dlle serie convergenti n=0 n+1 g(x), e n+1 n=1 b n g(x). L conclusione segue dll definizione di f(x). Q.E.D. Sino f, g : I due funzioni generlmente continue. Applicndo il Criterio del confronto lle funzioni f, g : sopr definite, ottenimo il seguente 1 Qui supponimo che f(x) e g(x) bbino gli stessi punti di discontinuità. A cus del Teorem 2 quest ipotesi non è restrittiv.

9 9 Corollrio. Si I un intervllo di e sino f, g : I due funzioni generlmente continue. Allor se 0 f(x) g(x) per ogni x I, risult 0 f(x) g(x). I I Prim di procedere enuncimo il risultto seguente (senz dimostrzione): Proposizione. Se f 1, f 2 : + = [0, ) sono integrbili su e µ 1, µ 2 sono numeri reli, l funzione µ 1 f 1 (x) + µ 2 f 2 (x) è integrbile su e vle µ 1 f 1 (x) + µ 2 f 2 (x) = µ 1 f 1 (x) + µ 2 f 2 (x). Considerimo or il cso di un funzione generlmente continu che poss ssumere vlori si positivi che negtivi. Ponimo f + (x) = { f(x) se f(x) 0 0 se f(x) 0 e f (x) = { f(x) se f(x) 0 0 se f(x) 0. Si h: f + (x), f (x) 0 per ogni x ; f + (x) + f (x) = f(x) ; f + (x) f (x) = f(x) per ogni x si h f + (x), f (x) f(x). Dll prim e qurt proprietà e dl teorem del confronto segue che, se f(x) è integrbile su, llor nche f + (x) e f (x) sono integrbili su. Vicevers, se le funzioni non negtive f + (x) e f (x) sono integrbili, dll iv) e dll Proposizione precedente segue che nche f(x) è integrbile su. Di conseguenz Condizione necessri e sufficiente ffinché f(x) si integrbile su è che f + (x) e f (x) lo sino.

10 10 D ltronde, se f + (x) e f (x) sono integrbili su llor nche f(x) = f + (x) f (x) lo è. Se f(x) è integrbile su, l funzione f(x) si dice sommbile (o nche ssolutmente integrbile). Abbimo quindi dimostrto che: se un funzione f(x) è sommbile llor è nche integrbile. Un conseguenz del criterio del confronto è il seguente Criterio del Confronto Asintotico. Sino f, g : [, b) + due funzioni continue f(x) vlori non negtivi. Allor se lim = l, l 0, si h: x b g(x) 1) Se g(x) converge llor nche l integrle f(x) converge 2) Se f(x) diverge llor nche l integrle g(x) diverge 3) Se l > 0, llor g(x) converge se e solo se l integrle f(x) converge Dimostrzione. In corrispondenz di ε = 1 esiste b > 0 tle che (l 1)g(x) < f(x) < (l + 1)g(x) per ogni b < x < b. (Osservimo che se b llor b = b δ per un opportuno δ > 0 mentre se b = + llor b è un opportuno numero rele positivo). Si b < b. Dto che che si vede che f(x) = c f(x)+ f(x) converge se e solo se converge c b c f(x) per ogni < c < b < b, f(x). M llor, dl corollrio del criterio del confronto pplicto lle funzioni f(x) e (l + 1)g(x) nell intervllo [ b, b) ottenimo: g(x) converge (l+1)g(x) converge b δ b δ Ciò dimostr il punto 1). Dto che 0 f(x) g(x) gli integrli o convergono o divergono. Quindi se f(x) converge f(x) e f(x) converge g(x) f(x) diverge, per il punto 1), l integrle

11 11 g(x) non può convergere. E quindi dovrà divergere essendo g(x) 0. Ciò prov il g(x) punto 2). Se l > 0 si h lim x b f(x) = 1 > 0 e quindi bst pplicre il punto 1) ll coppi l di funzioni (g(x), f(x)) invece che (f(x), g(x)). Ciò prov il punto 3). Q.E.D. Osservzione. In mnier completmente nlog si prov: Corollrio. Sino f, g : (, b] + due funzioni continue vlori non negtivi. f(x) Allor se lim = l, l 0, si h: x g(x) 1) Se g(x) converge llor nche l integrle f(x) converge 2) Se f(x) diverge llor nche l integrle g(x) diverge 3) Se l > 0, llor g(x) converge se e solo se l integrle f(x) converge. Dividendo l intervllo (, b) in (, c] [c, b) ottenimo un risultto vlido per funzioni f, g definite in (, b) tli che i due limiti f(x) lim x g(x) = l 1, f(x) lim x g(x) = l 2 esistono e sono finiti. Esempi di funzioni sommbili Si f : [, b) + dt d f(x) = 1 (b x) α, α > 0. Se α 1 si h f(x) = d ( ) (b x) 1 α α 1 e quindi (b x) = lim (b x) 1 α α x b α 1 (b )1 α. α 1

12 12 Quindi f(x) è integrbile in senso improprio in [, b) se e solo se 0 < α < 1 e in tl cso Se invece α = 1 si h e quindi: In conclusione (b x) (b )1 α = (b x) α 1 α. f(x) = d [ log(b x)] = log(b ) lim log(b x) = + x b f(x) = 1 è integrbile in [, b) (sommbile, trttndosi di un funzione vlori non (b x) α negtivi) se 0 < α < 1 mentre il suo integrle è divergente ( + ) se α 1. Allo stesso modo si dimostr che f(x) = 1 è integrbile in (, b] (sommbile, trttndosi di un funzione vlori non (x ) α negtivi) se 0 < α < 1 mentre il suo integrle è divergente ( + ) se α 1. Si or f : [, + ) +, > 0, dt d f(x) = 1, α > 0. Se α 1 si h x α f(x) = d ( ) x 1 α 1 α e quindi x α = lim x + x 1 α 1 α 1 α 1 α. Quindi f(x) è integrbile in senso improprio in [, + ) se e solo se α > 1 e in tl cso Se invece α = 1 si h e quindi: In conclusione + x α = 1 α α 1. f(x) = d [log x] x = lim log x log = + x +

13 f(x) = 1 è integrbile in [, + ), > 0 (sommbile, trttndosi di un funzione vlori x α non negtivi) se α > 1 mentre il suo integrle è divergente ( + ) se α 1. Allo stesso modo si dimostr che f(x) = 1 è integrbile in (, b], b < 0, (sommbile, trttndosi di un funzione x α vlori non negtivi) se α > 1 mentre il suo integrle è divergente ( + ) se α 1. 1 Considerimo l funzione f(x) =, α, β > 0 con x [, + ), > 1. Se x > e x α log β x si h log β x > 1 e quindi f(x) x α per ogni x > e. Dl teorem del confronto e dll integrbilità di x α per α > 1, segue subito: 1 Se α > 1 llor x α log β x nche se β 0) 2. Se α = 1 e β 1, si h + è sommbile in [, + ) qulunque si β > 0 (in reltà lo è x log β x = lim log 1 β x x + 1 β log1 β 1 β e quindi l integrle improprio converge se β > 1, mentre diverge se β < 1. Se invece β = 1 si h + Se 0 < α < 1 si h infine x log x = lim log log x log log = +. x + lim x + qulunque si β, e quindi 1 x (1+α)/2 1 x α log β x + log β x = lim x + x = 0 (1 α)/2 x α log β x = + essendo + = + x (1+α)/2 dto che 1+α 2 < 1. In conclusione: Sino α, β > 0 e > 1. Allor l integrle improprio + 2 Il lettore è invitto drne un dimostrzione. 1 x α log β x 13

14 14 è convergente se α > 1 oppure se α = 1 e β > 1 divergente se α < 1 oppure se α = 1 e β 1 Serie e integrli impropri Il seguente teorem è noto come Criterio dell integrle. Teorem 3. Si 0 un numero nturle e f : [, ) un funzione decrescente e infinitesim (ossi f(x) = 0). Allor l serie f(n) è convergente se e solo se lim x + converge l integrle improprio n=+1 f(n) n= f(x) ed in tl cso risult + f(x) f(n). n= Dimostrzione. Dto che f(x) è decrescente e infinitesim si h inf f(x) = lim f(x) = 0. x x Di conseguenz f(x) 0 per ogni x e quindi: lim b n+ f(x) = lim f(x) = n k=0 +k+1 +k f(x) Or, dll decrescenz di f(x) si ottiene: f( + k + 1) f(x) f( + k) per ogni x [ + k, + k + 1] e quindi 0 f( + k + 1) +k+1 +k f(x) f( + k). Dl criterio del confronto per le serie termini non negtivi ottenimo quindi subito che le due serie +k+1 k=0 f(x) e +k k=0 f( + k) sono entrmbe convergenti o entrmbe

15 15 divergenti. D ciò segue l prim prte dell tesi. Se poi entrmbe le serie sono convergenti si h nche f( + k + 1) k=0 +k+1 f(x) = k=0 +k f(x) f( + k). k=0 ossi ovvero Esempi. f(k) f(x) k=+1 k= f(x) f(k) k= f(k) f(x) + f(). Q.E.D. i) L serie è n=2 1 n α convergente se α > 1 divergente se α 1. ii) L serie è 1 n=2 n α log β n convergente se α > 1 oppure se α = 1 e β > 1 divergente se α < 1 oppure se α = 1 e β 1.