Successioni di Funzioni e Serie di Potenze

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1 Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 1 Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 1 Successioni di Funzioni Considerimo un successione numeric il cui vlore dipende d un vribile che denotimo con x: 1 f 1 (x),f 2 (x),.., f n (x),... più sinteticmente: {f n (x)}. Quest è dett un successione di funzioni, ed è denott con {f n }. Si noti che: per n fissto f n (x) è un funzione di x, per x fissto {f n (x)} è un successione numeric. Al pri delle successioni numeriche, nche le successioni di funzioni possono ssumere non solo vlori reli m nche complessi o vettorili. Si A un sottoinsieme di R, {f n } un successione di funzioni A C, ef : A C. Si definiscono due tipi di convergenz di funzioni: f n f puntulmente in A def f n (x) f(x) x A; (1.1) f n f uniformemente in A def sup f n (x) f(x). (1.2) x A Nell (1.1) si noti l differenz tr f n f (convergenz di funzioni) e f n (x) f(x) (convergenz di numeri). Queste convergenze possono essere lette interpretndo n come un vribile temporle. Fissto un qulsisi mssimo errore mmissibile ε, l convergenz puntule di f n f signific che, per ogni x, f n (x) f(x) ε pur di prendere n bbstnz grnde. Qunto grnde può dipendere d x; se poi per tutti gli x si può prendere lo stesso n, llor l convergenz è uniforme. Con l convergenz puntule, si gurd l comportmento individule dell successione numeric {f n (x)} per ciscun x. Con l convergenz uniforme si consider il comportmento globle dell insieme di queste successioni numeriche. Proposizione 1.1 Si {f n } un successione di funzioni A C, ef : A C. Allor f n f uniformemente in A f n f puntulmente in A (1.3) Si noti che i due limiti coincidono, qulor vi si convergenz uniforme. Dimostrzione. Poiché f n (y) f(y) sup x A f n (x) f(x) per ogni y A, sup f n (x) f(x) f n (y) f(y) y A. x A L impliczione oppost dell (1.3) non sussiste. 2 1 Anche se x potrebbe vrire in un insieme qulsisi, qui pensimo d x rele, per fissre le idee. 2 È importnte cogliere il senso di ffermzioni del tipo A non implic B (in formul: A B) per un coppi di ffermzioni A, B. Questo signific che nche se A è ver B può essere fls.

2 2 Metodi Mtemtici per TLC A. Visintin Controesempi. 3 Si pong n se <x<1/n f n (x) := se 1/n x<1 f(x) := x ], 1[, (1.4) { 1 se n<x<n+1 g n (x) := se <x n oppure x n +1 è fcile consttre che g(x) := x >, (1.5) f n f puntulmente in ], 1[, g n g puntulmente in ], + [. Tuttvi sup <x<1 f n (x) f(x) = n, sup g n (x) g(x) =1 n, x> quindi entrmbe le successioni non convergono uniformemente. Si noti nche che 1 f n (y) dy =1 1 f(y) dy =, + g n (y) dy =1 + g(y) dy =. Il seguente teorem esclude quest ultim eventulità nel cso di convergenz uniforme. Teorem 1.2 (Pssggio l Limite nell Integrle) Si {f n } un successione di funzioni continue [, b] C, che converge uniformemente d un funzione f. Allor f è continu e f n (y) dy f(y) dy uniformemente in [, b]. (1.6) In prticolre f n (y) dy f(y) dy. Dimostrzione dell (1.6). Trlscimo l verific dell continuità di f, e ci limitimo verificre l (1.6). Grzie ll (1.2), sup x [,b] f n (y) dy f(y) dy sup f n (y) f(y) dy x [,b] f n (y) f(y) dy (b ) sup f n (y) f(y). y [,b] (1.7) Il seguente risultto permette di pssre l limite nell derivt sotto opportune ipotesi. 3 Qui incontrimo un procedimento logico che si us frequentemente in mtemtic. Per giustificre un ffermzione in positivo (ovvero un teorem) si fornisce un dimostrzione; per giustificre un ffermzione in negtivo (ovvero l negzione di un proprietà) si esibisce un controesempio, ovvero un esempio in cui l proprietà non vle. In generle è utile cpire quli proprietà sono vere, m è nche importnte rendersi conto di quli ltre sono flse. Pertnto i controesempi non sono meno importnti dei teoremi.

3 Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 3 Teorem 1.3 (Pssggio l Limite nell Derivt) Sino dti un successione {f n } di funzioni di C 1 ([, b]), g :[, b] C, x [, b], ξ C tli che 4 Allor, posto f(x) :=ξ + f n g uniformemente in [, b], f n (x ) ξ. x g(t)dt per ogni x [, b], sih f n f uniformemente in [, b], f C 1 ([, b]), f = g in [, b]. Dimostrzione. Poiché f n (x) =f n (x )+ f n(t)dt per ogni x [, b], f n f uniformemente x in [, b] per il teorem precedente. L funzione g è continu in qunto limite uniforme di funzioni continue. Le restnti proprietà quindi seguono dll definizione di f e dl teorem fondmentle del clcolo integrle. Tuttvi, sotto l sol ipotesi che f n f puntulmente in [, b], f elef n sono derivbili in x f n(x ) f (x ). (1.8) Controesempi. Si f(x) :=ef n (x) :=n 1 rctn(nx) per ogni x R ed ogni n N. Allor f n f uniformemente in R, mf n()=1 f ()=. Ecco un ltro controesempio. Si g n (x) :=n 1 sin(nx) per ogni x R ed ogni n N. Allor g n(x) := cos(nx) per ogni x R. Quindi, posto g(x) := per ogni x R, sihg n g uniformemente in R, mg n non converge (nemmeno puntulmente) g = ; d esempio, g n() = 1 per ogni n. Inoltre, ncor sotto l sol ipotesi che f n f uniformemente in [, b], le f n sono derivbili in x f è derivbile in x. (1.9) Controesempio. Si f n (x) := x 2 + n 1 per ogni x R ed ogni n N. Allor f n (x) f(x) := x per ogni x R, elef n sono derivbili in mentre f non lo è. Se f n f puntulmente in un fmigli di insiemi {S : A} (per un qulche insieme di indici A), llor in bse ll definizione si verific immeditmente che f n f puntulmente nell loro unione A S. Un nlog proprietà non vle per l convergenz uniforme. Ad esempio l successione {f n (x) =x n } converge uniformemente in S := [,] per ogni ], 1[, m non in [, 1[= ],1[ S. [Es] 4 Si k N ed A R. Si dice che un funzione f : A C è di clsse C k (e si scrive f C k (A)) se e solo se f mmette derivte fino ll ordine k, e tutte queste funzioni sono continue in A. Se f mmette derivte di ogni ordine, f è dett di clsse C. Considereremo funzioni vlori complessi, piuttosto che reli, per il semplice motivo che quest mggiore generlità non cost qusi null. In qusi tutti i csi il lettore può comunque trnquillmente interpretre i risultti pensndo funzioni reli.

4 4 Metodi Mtemtici per TLC A. Visintin 2 Serie di Funzioni Dt un successione di funzioni {f n }, tutte definite in uno stesso insieme ed vlori complessi, si consider l corrispondente serie di funzioni x f n (x). Come già per il cso delle serie numeriche, per serie di funzioni si intende proprimente l successione di funzioni costituit dlle somme przili: { m x f n (x) }. Tuttvi cpit di usre il termine serie nche m=1,2,... n= per indicre l somm dell serie che pure è un funzione, qundo esiste. I concetti di convergenz puntule ed uniforme si estendono in modo nturle lle serie di funzioni, dl momento che l convergenz di un serie numeric equivle quell dell successione delle sue somme przili. I due prossimi due teoremi possono essere fcilmente dimostrti medinte i Teoremi 1.2 e 1.3. [Es] Teorem 2.1 (Pssggio l Limite nell Integrle) Si {u n } un successione di funzioni continue [, b] C, tle che l serie di funzioni u n converg uniformemente. Allor l somm k= dell serie u n è pure un funzione continu, k= n= u n (y) dy = u n (y) dy x [, b], (2.1) n= n= e quest ultim serie converge uniformemente in [, b]. In prticolre u n (y) dy = u n (y) dy. n= n= Teorem 2.2 (Pssggio l Limite nell Derivt) Si {u n } un successione di funzioni di C 1 ([, b]) tle che, per un opportuno x [, b], u n converge uniformemente in [, b], n= u n (x ) converge. (2.2) n= Allor u n converge uniformemente in [, b], è derivbile in [, b], e k= ( ) u n = u n in [, b]. (2.3) n= n= Per le serie numeriche si distinguono convergenz semplice ed ssolut (quest ultim implic l precedente). Lo stesso vle per successioni di funzioni e serie di funzioni. Cvet. Per le serie di funzioni non vi è lcun legme tr convergenz semplice o ssolut d un lto e convergenz puntule od uniforme dll ltro. Si possono comunque ccoppire proprietà di convergenz semplice o ssolut con proprietà di convergenz puntule o uniforme; d esempio, si potrà dire che un cert serie converge ssolutmente e puntulmente.

5 Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 5 n=1 Se non si specific se l convergenz è semplice o ssolut, si intende che è semplice; d esempio, f n converge puntulmente signific che f n converge puntulmente e semplicemente. Registrimo or un importnte condizione sufficiente per l convergenz uniforme delle serie di funzioni, ed un suo ovvio corollrio. n=1 Teorem 2.3 * (di Weierstrss) Si dt un successione di funzioni {f n : A C}. Se esiste un successione numeric {M n } tle che f n (x) M n x A, n N, M n < +, n= llor l serie di funzioni f n converge uniformemente ed ssolutmente in A. n= Corollrio 2.4 * Si dt un successione di funzioni {f n : A C}. sup f n (x) < + n= x A f n converge uniformemente ed ssolutmente in A. n= Per verificrlo bst porre M n = sup x A f n (x) per ogni n, ed pplicre il teorem precedente. Esercizi. Si {f n } un successione di funzioni R R, che convergono puntulmente d un funzione f. Se tutte le f n sono non decrescenti, nche f è non decrescente? Se tutte le f n sono strettmente crescenti, nche f è strettmente crescente? Cmbi qulcos se l convergenz è uniforme? Per ciscun delle seguenti successioni di funzioni R R 1 se x 1/n f n (x) := nx se 1/n<x<1/n 1 se x 1/n, (2.4) { se x n g n (x) := e x n se x>n, se x < 1/n oppure x > 1/n h n (x) := n se 1/n x 1/n, (2.5) (2.6) l n (x) :=e nx2 x R, (2.7) se ne disegni il grfico, e si dic se converge puntulmente e/o uniformemente; nel cso si indichi l funzione limite.

6 6 Metodi Mtemtici per TLC A. Visintin 3 Serie di Potenze È nturle sviluppre quest teori in C piuttosto che in R. Si definisce serie di potenze un serie di funzioni dell form n (z z ) n := + 1 (z z )+ 2 (z z ) n (z z ) n +, (3.1) n= ove z C e pure n C per ogni n N. 5 Qui si è posto := 1 6 Quest serie definisce l funzione m ) f(z) = n (z z ) (:= n lim n (z z ) n n= m n= per gli z per cui quest serie converge. L insieme in cui un generic serie di funzioni converge può essere molto generle; in bse l seguente teorem, l insieme di convergenz delle serie di potenze h invece un form ben precis. Teorem 3.1 (Teorem di Abel) Per ogni serie di potenze esiste R [, + ] tle che: (i) l serie converge ssolutmente per ogni z C tle che z z <R(se R>), (ii) l serie non converge nemmeno semplicemente per ogni z C tle che z z >R(se R<+ ). Inoltre l serie converge uniformemente in ciscun cerchio B r (z ), con < r < R (se R>). 7 n= Pertnto se R = l serie converge solo per z = z, mentre se R =+ l serie converge ssolutmente per ogni z C. L convergenz uniforme dell serie in ciscun cerchio B r (z ) con <r<rnon implic l convergenz uniforme dell serie nel cerchio B R (z ). Anlogmente, nche se R =+ non è detto che l serie converg uniformemente in tutto C. Si noti che il teorem non dice null circ il comportmento dell serie nei punti dell circonferenz di convergenz, ovvero per z z = R per <R<+. L convergenz dell serie in quei punti dipende dll serie e dl prticolre z: non esiste un regol generle. Pertnto, denotto con S l insieme dei punti in cui l serie converge, in generle si può solo ffermre che {z C : z <R} S {z C : z R}. Esempi. (i) L serie z n /n 2 h rggio di convergenz R = 1, e converge (ddirittur ssolutmente) in ogni punto dell circonferenz di convergenz. (ii) L serie z n h rggio di convergenz R = 1, e non converge in lcun punto dell n= circonferenz di convergenz, poiché z n per z =1. (iii) L serie z n /n h rggio di convergenz R = 1; ess converge per z = 1, grzie l n= criterio di Leibniz; invece diverge per z = 1, poiché ivi coincide con l serie rmonic. 5 Tipicmente si us z per indicre un vribile compless, x per un vribile rele. 6 Quest identità non è d intendersi come un regol di clcolo, m esclusivmente come un notzione che pplichimo solo ll mbito delle serie di potenze. In ltri termini, l scrittur con l sommtori è d intendersi solo come un bbrevizione dell somm di destr. 7 Denotimo B r (z ) il cerchio perto di centro z e rggio r, ovvero B r (z )={z C : z z <r}.

7 Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 7 Teorem 3.2 Si dt un successione { n }. Se esiste L := lim n n 1/n, llor l serie n (z z ) n h rggio di convergenz n= R =1/L se <L<+, R =+ se L =, R = se L =+. Lo stesso vle per L := lim n n+1 / n, se questo limite esiste. L semplice dimostrzione è bst sul criterio dell rdice nel primo cso, sul criterio del rpporto nel secondo cso. [Es] Osservzioni. (i) Il Teorem implic che se esistono si L che L, llor essi coincidono. Comunque si può dimostrre che se esiste L llor esiste nche L. Quindi l prim prte del Teorem è di ppliczione più generle dell second; tuttvi spesso èpiù gevole clcolre L piuttosto che L. (ii) Non sempre i limiti L ed L esistono. Invece esistono sempre (finiti o infiniti) i mssimi limiti mx lim n 1/n := lim sup n 1/n n+1, mx lim n m n m n n := lim sup n+1 m n m n. Il teorem si può formulre in modo più generle sostituendo i limiti L e L con i corrispondenti mssimi limiti. * Illustrimo brevemente il concetto di mssimo limite di un successione vlori reli. Si consideri l insieme delle sottosuccessioni estrtte dll successione dt; queste sono le successioni ottenute cncellndo un numero qulsisi di termini, lscindone comunque in numero infinito e conservndo l ordine dei termini. Tr queste si considerino le sottosuccessioni convergenti; il mssimo limite coincide con l estremo superiore ( + ) dei limiti di queste sottosuccessioni. Ad esempio l successione {( 1) n } non h limite, m h mssimo limite 1. Adifferenz del limite, il mssimo limite esiste per ogni successione. Inoltre, qundo il limite esiste, esso coincide con il mssimo limite; quest ultimo è quindi un concetto più generle. Si definisce nche il minimo limite min lim n n in modo nlogo, oppure ponendo min lim n n := mx lim ( n). n Per ogni successione { n } vlori reli, min lim n n := mx lim n n +. * Esempi. (i) Si fissi α R e si consideri l serie n α z n.sih n= L = lim n (n α ) 1/n = lim n e α(log n)/n = e limn α(log n)/n = e =1, pertnto l serie h rggio di convergenz 1 per ogni α R. Tuttvi il comportmento sull circonferenz di convergenz dipende d α, come si è visto negli esempi precedenti. (ii) È fcile verificre che il rggio di convergenz delle serie z n /n! e n!z n vle rispettivmente + e. n= n=