n! A = lim ; 2 2n (n!) 2 (2n)! n = a2 n a 2n a 2 n a 2n 2 2 = A, n n n+ 1 2

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1 Il 3 o psso è provto. 4 o psso Conludimo l dimostrzione: Dl o psso bbimo n! ( e n A = lim ; n n n) d ltronde risult, ome è file verifire, e pertnto di pssi 3 e segue 2 2n (n!) 2 (2n)! n = 2 n 2n 2, 2 π = lim n = A, n 2n 2 2 ovvero A = 2π. Il o psso impli llor l vlidità dell formul di Stirling. Eserizi 5.6. Si loli n! e n+ 2n lim n n n Si di un stim del numero di ifre he formno (in bse ) il numero!. [Tri: detto N il numero di ifre erto, si osservi he deve essere N! < N e si fi uso dell formul di Stirling nonhé di un buon loltrie...] 5.7 Integrli impropri L teori dell integrzione seondo Riemnn si riferise funzioni limitte su intervlli limitti di R. Se mn un di queste ondizioni, si deve pssre i osiddetti integrli impropri. Ci limiteremo onsiderre tre si:. 376

2 (i) l integrle su un intervllo limitto di funzioni non limitte (d esempio: ln d); (ii) l integrle su intervlli non limitti di funzioni limitte (d esempio: e d); (iii) le due ose insieme, ossi l integrle su intervlli non limitti di funzioni non limitte (d esempio: d). e Definizione 5.7. (i) Si f :], b] R tle he f R(, b) per ogni ], b[. Se esiste il limite (finito o infinito) lim + f() d, esso viene detto integrle improprio di f su [, b] e indito ol simbolo f() d; in tl so l funzione f viene dett integrbile in senso improprio su [, b]. Se l integrle improprio di f è finito, l funzione f si die sommbile in [, b]. (ii) Si f : [, [ R tle he f R(, ) per ogni >. Se esiste il limite (finito o infinito) lim f() d, esso viene detto integrle improprio di f su [, [ e indito ol simbolo f() d; in tl so l funzione f viene dett integrbile in senso improprio su [, [. Se l integrle improprio di f è finito, l funzione f si die sommbile su [, [. 377

3 In entrmbi i si (i) e (ii), l integrle improprio di f, se esiste, si die onvergente o divergente seond he si finito o infinito. Modifihe opportune di quest definizione permettono di trttre i si in ui f h un singolrità nel punto b, nzihé in, oppure è definit su ], ], nzihé su [, [. Tutto questo rigurd i si (i) e (ii). Per il so (iii), i limitimo dire he l integrle ndrà spezzto in due integrli di tipo (i) e (ii), e he esso vrà senso se e solo se: () hnno senso entrmbi i due pezzi, e (b) h senso frne l somm. Ad esempio, l integrle e d v inteso ome e d + e b d, ove b è un rbitrrio numero positivo; nturlmente il vlore dell integrle non dipenderà dl modo in ui è stto spezzto, ioè non dipenderà dl punto b. Esempio Clolimo i tre integrli itti ll inizio: si h per ogni >, integrndo per prti, d ui ln d = [ ln ] Anlogmente, per ogni > si h osihé d = [ ln ] = ln +, ln d = lim +( ln + ) =. e d = [ e ] = e +, e d = lim + ( e + ) =. Infine, selto b = risult per ogni ], [ e per ogni d > : d e [ ] d = 2e = 2e + 2e, e [ d = 2e ] d = 2e d + 2e ; 378

4 dunque e d = 2e + 2, e d = 2e, d ui e d = 2. Si noti he se nel lolo del terzo integrle vessimo selto b = 37, vremmo ottenuto ugulmente e 37 e d d = lim d + lim + d + 37 [ = lim 2e + = lim +( 2e ] 37 + lim d + [ 2e e d = e ) + lim d d + ( 2e + 2e 37 ) = 2. Osservzioni () Considerimo un integrndo f, definito in ], b] oppure in [, [, e supponimo he f si integrbile seondo Riemnn in ogni sottointervllo hiuso e limitto ontenuto nell intervllo di definizione. Si F un primitiv di f, nh ess definit in ], b] oppure in [, [. L esistenz dell integrle improprio di f in [, b], o in [, [, equivle ll esistenz del limite di F () per + o per. Inftti, d esempio, f() d = lim + f() d = lim [F ()]b + = F (b) lim F (), + e l ltro so è nlogo. Nell esempio quindi si potev più rpidmente srivere, sottintendendo l notzione [G()] b = lim b G() lim G(), ln d = [ ln ] =, e d = [ e ] =, e d = [ ] 2e = 2. ] d 37 = 379

5 (2) Se f e g sono due funzioni sommbili in un intervllo limitto [, b] (oppure in un semirett), llor nhe f + g e λf, per ogni λ R, sono sommbili e per i reltivi integrli impropri vle l relzione [f()+g()] d = f() d+ g() d, L verifi è immedit sull bse dell definizione. (λf()) d = λ f() d. Non sempre gli integrli impropri sono lolbili espliitmente: è dunque importnte stbilire riteri suffiienti grntire l integrbilità di un funzione. Si noti l nlogi on iò he suede on le serie, di ui è interessnte onosere l onvergenz nhe qundo non se ne s lolre l somm. Anzitutto, se f h segno ostnte, il suo integrle improprio h sempre senso: Proposizione Si f : [, [ un funzione di segno ostnte. Se f R(, ) per ogni >, llor f è integrbile in senso improprio su [, [ (on integrle onvergente o divergente). Dimostrzione Per ipotesi, l funzione integrle F () = f(t) dt è definit per ogni >. Tle funzione è monoton, in qunto se < y si h { y se f in [, [ F (y) F () = f(t) dt = se f in [, [. Dunque esiste il limite lim F () = lim ioè f h integrle improprio su [, [. f(t) dt, Osservzione Anlogmente, un funzione f : ], b] R, di segno ostnte, tle he f R(, b) per ogni ], b[, è integrbile in senso improprio su [, b] (on integrle onvergente o divergente). L dimostrzione è esttmente l stess. L esempio he segue è fondmentle per il suessivo teorem di onfronto. Esempio L funzione f : ], [ R definit d f() = α, ove α è un fissto numero positivo, è ertmente dott di integrle improprio in 38

6 ], [, essendo sempre positiv. Verifihimo he tle integrle è divergente, deomponendolo in α d + α d. Si h [ln ] = + se α = α [ ] { d = α se < α < α = α + se α >. [ln ] = + se α = α [ ] { d = α + se < α < α = α se α >. Sommndo i due ddendi, l integrle α d diverge in tutti i si. Si noti tuttvi he α d < α <, α d < α >. Le funzioni α (e le loro nloghe ( ) α ) si prestno ssi bene ome termini di onfronto per stbilire l integrbilità o l non integrbilità di funzioni più omplite. Tle possibilità è grntit dl seguente Teorem (di onfronto) Sino f, g : [, [ R funzioni integrbili in ogni intervllo [, ] [, [, e supponimo he g si non negtiv e sommbile su [, [. Se risult f() g() per ogni, llor nhe f è sommbile su [, [ e si h f() d f() d g() d. Dimostrzione Supponimo dpprim f : llor, per ogni >, grzie ll monotoni dell integrle, si h f() d g() d. Poihé f, essendo non negtiv, h ertmente integrle improprio l pri di g, l limite per trovimo f() d 38 g() d,

7 e dto he g è sommbile, tle risult nhe f. Supponimo or f di segno vribile. Per qunto già provto, f è sommbile in [, [. Per ogni > possimo srivere f() d f() d g() d. Bst or provre he f è sommbile in [, [ : un volt ftto iò, inftti, l stim preedente, pssndo l limite per, i dirà he f() d f() d g() d <. A questo sopo è suffiiente srivere f() = f() ( f() f()), e osservre he nhe f f è sommbile, essendo f f 2 f. L sommbilità di f segue dunque dll osservzione (2). Osservzioni () Un risultto nlogo vle ovvimente nel so di funzioni definite su ], b] e integrbili in ogni [, b] ], b]. (2) Se f è integrbile in senso improprio (su [, [ o su [, b]), llor nhe f lo è: bst pplire il teorem preedente segliendo g = f. Vle nhe il vievers: se f è integrbile in senso improprio, llor f, e quindi f, è integrbile seondo Riemnn in ogni sottointervllo hiuso e limitto, e dunque f, vendo segno ostnte, è integrbile in senso improprio. Non ltrettnto si può dire per l sommbilità: se f è sommbile, nhe f lo è, sempre per il teorem preedente; però, ome vedremo fr poo, il vievers è flso. Esempi () L integrle e 2 d, he esiste ertmente, per l prità dell integrndo è ugule 2 e 2 d (eserizio 5.7.). Inoltre { se e 2 e se, osihé l integrle proposto è onvergente: e 2 d d e d = 2.

8 (2) Nell integrle e sin d l funzione integrnd non h segno ostnte, però si h e sin e, e l funzione e è integrbile in [, [. Ne segue he l integrle proposto esiste finito. (3) Provimo he l funzione f() = sin è sommbile su [, [, mentre l integrle improprio di f in [, [ è divergente. Si noti he in questo so l osservzione (2) e il teorem di onfronto non sono pplibili, e l sommbilità di f v dimostrt in mnier dirett. Anzitutto, ome sppimo (esempio ()), l funzione f è prolungbile on ontinuità in, ol vlore. Si h, segliendo os ome primitiv di sin, e integrndo per prti: [ ] sin os d = os + d = os os + d 2 2 ove si è usto il ftto he nhe os è prolungbile on ontinuità in, ol vlore (esempio (2)). Dunque per si h, essendo non negtivo l integrndo ll ultimo membro: sin lim d = os 2 Questo limite è finito per il teorem di onfronto, essendo { os /2 se < (per il riterio di Leibniz) 2 2/ 2 se >. D ltr prte per l integrle impropri di sin, he esiste ertmente, si h sin kπ d = lim sin k (h+)π sin k d = lim d = k h= hπ (h+)π sin π sin t = d = h= hπ h= t + hπ dt π sin t dt = 2 (h + )π π h + = +. h= 383 h= d.

9 Eserizi 5.7. Si f integrbile seondo Riemnn oppure sommbile su [, ]. Provre he se f è un funzione pri, ossi f() = f( ), llor f() d = 2 f() d, mentre se f è un funzione dispri, ossi f() = f( ), llor f() d =. 2. Disutere l esistenz e l onvergenz dei seguenti integrli impropri: e sin(/) d, e e 2 d, sin 2π ( /2)( ) d, rtn d, d, os e + sin 3. Disutere l esistenz ed eventulmente lolre i seguenti integrli impropri: d 3π/2 2 ln ln ln, (tn ) 2/3 (sin ) /3 d, [ ] 3π/2 d, (tn ) 4/3 (sin ) /3 d, tn ros ( 2 ) rsin d, /2 d, ln 3 d, d ( + ) 2 3 (3 ), d (2 ), 3 + d, d 2 4, d ( + 2 ) 2, 384 d 2 2, + d, d e 2 e, 5 e 2 d. d.

10 4. (Criterio integrle di onvergenz per le serie) Si f : [, [ R un funzione non negtiv e deresente. Si provi he l integrle improprio f() d e l serie n= f(n) sono entrmbi onvergenti o entrmbi divergenti. 5. Dimostrre he 6. Dimostrre he rtn d = ln ln( ) d = n= ( ) n (2n + ) 2. n= n(n + ) 2. [Tri: utilizzndo lo sviluppo di Tylor di ln( ), si verifihi he per ogni δ ], [ si h δ ln ln( ) d = n= e poi si pssi l limite per δ.] [ ( δ) n+ n(n + ) ( ] δ)n+ ln( δ) 2 n(n + ) 7. Dimostrre he n=n+ n 2 < N N N (Integrli di Fresnel) Provre he i due integrli sono onvergenti. sin( 2 ) d, os( 2 ) d 9. Provre he l integrle os( 4 ) d è onvergente, benhé l integrndo non si nemmeno limitto in [, [. 385

11 . (Integrle di Frullni) Si f un funzione ontinu in [, [, tle he l integrle improprio f() d si onvergente per ogni >. Provre he se α, β sono numeri positivi si h f(α) f(β) lim d = f() ln β + α ; dedurne he e α e β d = ln β α, os α os β d = ln β α.. Clolre π/2 ln sin d, π/2 [Tri: utilizzre le formule di duplizione.] ln os d. 2. (Funzione Γ di Eulero) Si onsideri l funzione Γ : ], [ R definit d Γ(p) = p e d. (i) Verifire he Γ(p) h senso e he Γ(p + ) = pγ(p) per ogni p >. (ii) Provre he Γ è derivbile in ], [, on Γ (p) = p ln e d. (iii) Provre he Γ è un funzione onvess di lsse C. [Tri: per (ii), si stimi l differenz Γ(p + h) Γ(p) h p ln e d utilizzndo il teorem di Lgrnge; per (iii), si verifihi he Γ (p) >.] 386