Problema: Calcolo dell'area di una superficie piana
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- Gianmarco Belloni
- 5 anni fa
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1 Corso di Lure in Disegno Industrile Corso di Metodi Numerii per il Design Lezione 7 Novemre 00 Integrle definito F. Cliò Prolem: Clolo dell're di un superfiie pin Metodi Numerii per il Design - Lezione 7/8 Novemre 00
2 Are di un superfiie È l misur dell estensione dell superfiie; quindi è un numero. È sempre un numero positivo. Dipende dll unità di misur delle superfii (d esempio il m ). Qui non i preoupimo del prolem dell unità di misur. Le onsiderzioni he fremo vlgono in ogni so. 3 Are del tringolo A h se (è un misur di lunghezz) h ltezz (è un misur di lunghezz) A h 4 Metodi Numerii per il Design - Lezione 7/8 Novemre 00
3 Are di un poligono generio A A 3 A A 4 A A + A + A 3 + A 4 5 Are di un poligono L line perimetrle (onfine esterno) del poligono è formt d segmenti di rett; di onseguenz il poligono è somponiile in un numero finito di tringoli; l re del poligono è l somm delle ree dei tringoli. Considerimo or figure pine he nell line di onfine hnno trtti non rettilinei... 6 Metodi Numerii per il Design - Lezione 7/8 Novemre 00 3
4 Are del erhio A 3 A A A n Il erhio è l superfiie intern ll ironferenz A A +A A n n A Aumentndo n l pprossimzione sompre : A lim na n πr 7 Are di un trpezioide f() TRAPEZIODE TRAPEZIO f() f() 8 Metodi Numerii per il Design - Lezione 7/8 Novemre 00 4
5 Are A di un trpezioide f() SCALOIDE f() d d d i d n f() i n A SCALOIDE f( )d +f( )d f( n )d n A lim A n SCALOIDE 9 Integrle definito 0 Metodi Numerii per il Design - Lezione 7/8 Novemre 00 5
6 A Are A di un trpeziode: definizioni lim A n SCALOIDE Se questo limite esiste finito si die he f() è integrile fr e. n i i ) i f ( )( è l somm integrle. n lim f ( i )( ) i n i lim f ( n i )d, : estremi di integrzione; f(): funzione integrnd. n f ( i )( ) integrle definito. i Osservzioni sui segni L integrle definito è un quntità on segno. Può essere positivo o negtivo d f d f ( ( )d )d < 0 > 0 d f ( )d > 0 Metodi Numerii per il Design - Lezione 7/8 Novemre 00 6
7 Clolo di ree Nel lolo di ree si deve tener onto del segno dell integrle. Le ree sono sempre positive. A f ( )d f ( ) d f ( )d (ontinu) 3 Clolo di ree (ontinuzione) A f ( )d g( )d f() g() 4 Metodi Numerii per il Design - Lezione 7/8 Novemre 00 7
8 Proprietà dell integrle definito f ( )d 0 f ( )d f ( )d + f ( )d f ( )d f ( )d 5 Teorem fondmentle del lolo integrle Se f() è un funzione ontinu in [,] e F() è un qulunque primitiv di f() llor: f ( )d F( ) F( ) F ( ) F ( ) [ F ( )] 6 Metodi Numerii per il Design - Lezione 7/8 Novemre 00 8
9 Applizione del teorem fondmentle π sind 0 os π + C π [ ] os + C ( os 0 + C ) 0 -(-) A 7 Altri esempi: e d e e [ ] ln - e π [ sin] π os d Metodi Numerii per il Design - Lezione 7/8 Novemre 00 9
10 Clolo numerio di integrle definito 9 Determinre l integrle definito L integrle definito è un numero (non è un funzione); SE onosimo l funzione integrle possimo determinrlo lolndo l differenz fr due vlori di un funzione integrle, ALTRIMENTI: si lol in modo pprossimto, spingendo l pprossimzione fino ottenere l preisione volut. 0 Metodi Numerii per il Design - Lezione 7/8 Novemre 00 0
11 Clolo numerio di integrle: Metodo dei trpezi f() f() A A A i A n d d d i d n A T A +A + + A n f() A T f ( ) + f ( i n ) d f ( ) + f ( ) f ( n + d d n f ( )d ) + f ( ) Esempio di eserizio sul lolo di ree Dt l funzione f ( ) ) lolre le primitive di f() ( ) ( d ) d F ln + + C (ontinu) Metodi Numerii per il Design - Lezione 7/8 Novemre 00
12 Esempio di eserizio sul lolo di ree (ontinuzione) ) lolre l re dell regione delimitt dll sse delle sisse, le rette di equzione, 4 e l urv di equzione f() 4 per > f() è positiv 4 4 ( ) d 4 [ln + + C ] ln ln (ontinu) 3 Esempio di eserizio sul lolo di ree (ontinuzione) 3) pprossimre l re dell regione preedente ttrverso il metodo dei trpezi su due sottointervlli dell intervllo [,4] f ( ) + f ( 3 ) f ( 3 ) + f ( 4 ) ( 3 ) + ( 4 3 ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) Metodi Numerii per il Design - Lezione 7/8 Novemre 00
8. Calcolo integrale.
Politenio di Milno - Foltà di Arhitettur Corso di Lure in Edilizi Istituzioni di Mtemtihe - Appunti per le lezioni - Anno Ademio 200/20 26 8 Clolo integrle 8 Signifito geometrio dell integrle definito
Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x)
Are del Trpezoide y o A f() trpezoide h B f() f() L're del trpezoide S puo' essere pprossimt dll're del trpezio AB. Per vere un migliore pprossimzione possimo suddividere il trpezio in trpezi piu' piccoli.
Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:
Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle
Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y
Differenzile Considerimo l vrizione finit, dell vriile indipendente cui corrisponde un vrizione finit dell funzione f, f y Δf 1 Δ 2 L vrizione dell vriile dipendente puo' essere molto piccol, infinitesim
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Capitolo 2. Il problema del calcolo delle aree
Cpitolo 2 Il prolem del clcolo delle ree Introduzione Il prolem del clcolo delle ree nsce più di 2000 nni f qundo i greci tentrono di clcolre le ree con un metodo detto di esustione. Tle metodo può essere
Capitolo 6. Integrali di funzioni di una variabile
Cpitolo 6 Integrli di funzioni di un vribile Ci si pone il problem del riuscire misurre l re di figure il cui contorno non è costituit d segmenti. 6. L integrle definito Si f : [, b] R R un funzione limitt
Il problema delle aree. Metodo di esaustione.
INTEGRALE DEFINITO. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO. PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO. FUNZIONE INTEGRALE. TEOREMA DELLA MEDIA. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. FORMULA DI LEIBNITZ NEWTON.
Calcolo integrale per funzioni di una variabile
Clolo integrle per unzioni di un vriile Clolo integrle Integrle deinito Si :[,] R, limitt ξ ξ ξ ξ 4 ξ 5 = 4 5 = Costruimo l somm di Cuhy-Riemnn n n S n j j j j j n j Dove l suddivisione dell intervllo
Appunti di calcolo integrale
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Teorema fondamentale del calcolo integrale
Clcolo integrle Proprietà dell integrle deinito Teorem dell medi integrle Corollri del Teorem ond. clc. int. Regole di integrzione deinit Clcolo di ree 2 26 Politecnico di Torino 1 Estensione dell integrle
CALCOLARE L AREA DI UNA REGIONE PIANA
INTEGRALI Integrle definito e re con segno Primitiv di un funzione e integrle indefinito Teorem fondmentle del clcolo integrle Clcolo di ree Metodi di integrzione: per prti e per sostituzione CALCOLARE
Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo
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Argomento 10 Integrali impropri
Premess Argomento Integrli impropri Nell Arg. 9 è stt introdott l nozione di integrle definito f() d per funzioni ontinue f : [, b] R. Un derog ll ontinuità di f è nhe stt introdott, m solo per onsiderre
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Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione
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