L ELLISSE 1. L'ellisse come luogo geometrico ellisse fuochi. centro

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1 L ELLISSE 1. L ellisse ome luogo geometrio.. Equzione dell ellisse on i fuohi sull sse. 3. Le proprietà dell ellisse.. Clolo dei semissi, dei vertii, dei fuohi e rppresentzione grfi. 5. Equzione dell ellisse on i fuohi sull sse. 6. Clolo dei semissi, dei vertii, dei fuohi e rppresentzione grfi. 7. L eentriità dell ellisse. 8. Are e lunghezz dell ellisse. 9. Intersezioni dell ellisse on un rett. 10. Le rette tngenti d un ellisse e pssnti per un punto. 11. Condizioni per determinre l equzione di un ellisse. 1. Equzione prmetri dell ellisse. 13. Proprietà otti dell ellisse. 1. Curve deduiili dll ellisse. 15. Domini pini limitti d ellissi. 16. Ellissi simmetrihe. 17. Ellissi trslte. 18. Clolo del entro, dei semissi, dei vertii e dei fuohi di un ellisse generi. 19. Prolemi vri sull ellisse. 1. L'ellisse ome luogo geometrio L'ellisse è il luogo geometrio dei punti P del pino rtesino per i quli è ostnte l somm delle distnze d due punti fissi, F1 ed F, detti fuohi. Il punto medio tr i fuohi si him entro dell'ellisse. Per disegnre un'ellisse si fissno due hiodi nell posizione dei fuohi, si prende un ord di lunghezz mggiore dell distnz tr i fuohi, si fissno le estremità dell ord i hiodi e si f sorrere l penn lungo l ord tenendol tes. L figur he si ottiene è un'ellisse. Si può osservre he qundo i fuohi sono lontni l'ellisse è più shiit, se i fuohi sono più viini l'ellisse è meno shiit, se i fuohi oinidono si ottiene un ironferenz. Per ottenere l equzione rtesin dell ellisse, generlmente si onsider un ellisse he h il entro nell'origine degli ssi ed i fuohi disposti sull'sse oppure sull'sse. In questo modo l equzione dell ellisse risult molto più semplie.

2 . EQUAZIONE DELL'ELLISSE CON I FUOCHI SULL'ASSE X Come esempio prtiolre, pplihimo l definizione di ellisse per trovre l equzione dell ellisse vente il entro nell origine degli ssi, i fuohi sull sse, F1(-3;0) ed F(3;0) e l somm delle distnze di fuohi d1d10. (Osservre he F 1 F 6 d1 d 10 perhé in un tringolo un lto è minore dell somm degli ltri due) Indihimo on P(;) un punto generio dell ellisse. Per definizione di ellisse deve risultre: F P F P 10 1 P F 1 F si sviluppno i prodotti notevoli; Cioè ( ) ( ) ( ) ( ) si port un rdile l memro; si elevno i due memri l qudrto; si semplifi; si port il rdile l 1 memro e gli ltri termini l memro; si divide per ; si elev l qudrto; ( 6 9 ) si moltipli; si semplifi;

3 si portno l 1 memro tutti i termini he ontengono ed ; si sommno i termini simili; 16 5 si divide per in modo d ottenere 1 l memro; 16 5 si trsform e si semplifi; si semplifino le frzioni; equzione finle dell ellisse. In generle, se i fuohi si trovno sull sse, l distnz tr i fuohi si indi on e l somm delle distnze di P di fuohi si indi on. Cioè risult: F1 F e F1 P F P Poihé in un tringolo un lto è sempre minore dell somm degli ltri due, deve essere: <, ioè < Come so generle, pplihimo l definizione di ellisse per trovre l equzione dell ellisse vente il entro nell origine degli ssi, i fuohi sull sse, F1(-;0) ed F(;0) e l somm delle distnze di fuohi d1d. (on < ) Indihimo on P(;) un punto generio dell ellisse. Per definizione di ellisse deve risultre: F P F P 1 Cioè ( ) ( 0) ( ) ( 0) si sviluppno i prodotti notevoli; si port un rdile l memro; si elevno i due memri l qudrto; si semplifi;

4 si port il rdile l 1 memro e gli ltri termini l memro; si divide per ; si elev l qudrto; ( ) si moltipli; si semplifi; si portno l 1 memro tutti i termini he ontengono ed ; si roglie fttore omune; ( ) ( ) Siome >, risult nhe > e quindi - > 0 Per ottenere un equzione più semplie si pone - e risult: si divide per in modo d ottenere 1 l memro; si semplifi e si ottiene: 1 he è l equzione noni (in form normle) dell ellisse. Conosendo l equzione noni dell ellisse on i fuohi sull sse, si può determinre l equzione di qulunque ellisse senz pplire l definizione, m sempliemente riordndo he: Ad esempio, per srivere l equzione dell ellisse on F1(-3;0) ed F(3;0) e l somm delle distnze di fuohi d1d10, si può osservre he: 3 ; 10 e quindi 5; quindi l equzione noni: 1 divent:

5 3. Le proprietà dell ellisse.. Clolo dei semissi, dei vertii, dei fuohi e rppresentzione grfi. 5. Equzione dell'ellisse on i fuohi sull'sse Come esempio prtiolre, pplihimo l definizione di ellisse per trovre l equzione dell ellisse vente il entro nell origine degli ssi, i fuohi sull sse, F1(0;-3) ed F(0;3) e l somm delle distnze di fuohi d1d10. Indihimo on P(;) un punto generio dell ellisse. Per definizione di ellisse deve risultre: F P F P 10 1 Cioè ( 0) ( 3) ( 0) ( 3) 10 si sviluppno i prodotti notevoli; si port un rdile l memro; si elevno i due memri l qudrto; si semplifi; si port il rdile l 1 memro e il resto l memro; si divide per ; si elev l qudrto; 5 ( 6 9) si moltipli; si semplifi; si portno l 1 memro tutti i termini he ontengono ed ; si sommno i termini simili; 5 16 si divide per in modo d ottenere 1 l memro; 5 16 si trsform e si semplifi; si semplifino le frzioni; equzione finle dell ellisse.

6 In generle, se i fuohi si trovno sull sse, l distnz tr i fuohi si indi on e l somm delle distnze di P di fuohi si indi on. Cioè risult: F F 1 e F P P F 1 Poihé in un tringolo un lto è sempre minore dell somm degli ltri due, deve essere: <, ioè < Come so generle, pplihimo l definizione di ellisse per trovre l equzione dell ellisse vente il entro nell origine degli ssi, i fuohi sull sse, F1(0;) ed F(0;-) e l somm delle distnze di fuohi d1d. (on >) Indihimo on P(;) un punto generio dell ellisse. Per definizione di ellisse deve risultre: P F P F 1 Cioè ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 si sviluppno i prodotti notevoli; si port un rdile l memro; si elevno i due memri l qudrto; si semplifi; si port il rdile l 1 memro e il resto l memro; si divide per ; si elev l qudrto; ( ) si moltipli; si semplifi; si portno l 1 memro tutti i termini he ontengono ed ; si roglie fttore omune; ( ) ( ) Siome >, risult nhe > e quindi - >0 Per ottenere un equzione più semplie si pone - e risult: si divide per in modo d ottenere 1 l memro; si semplifi e si ottiene:

7 1 he è l equzione noni (in form normle) dell ellisse. L equzione è simile quell dell ellisse on i fuohi sull sse m, in questo so, il termine ontenente h il denomintore mggiore essendo >. Conosendo l equzione noni dell ellisse on i fuohi sull sse, si può determinre l equzione di qulunque ellisse senz pplire l definizione, m sempliemente riordndo he: Ad esempio, per srivere l equzione dell ellisse on F1(0;-3) ed F(0;3) e l somm delle distnze di fuohi d1d10, si può osservre he: 3 ; 10 e quindi 5; quindi l equzione noni: 1 divent: Clolo dei semissi, dei vertii, dei fuohi e rppresentzione grfi. 7. L eentriità dell ellisse. 8. Are e lunghezz dell ellisse. 9. Intersezioni dell ellisse on un rett. 10. Le rette tngenti d un ellisse e pssnti per un punto.

8 11. Condizioni per determinre l equzione di un ellisse. Poihé nell equzione dell ellisse: 1 Compiono i due oeffiienti, per determinre l equzione di un ellisse sono neessrie due equzioni, he si possono dedurre onosendo lune ondizioni sull ellisse. Queste ondizioni possono essere: - pssggio per un punto; - onosenz di un fuoo; - onosenz di un vertie; - onosenz dell eentriità; - onosenz di un rett tngente. Es pg Equzione prmetri dell ellisse. È un equzione he ontiene un prmetro k e rppresent un insieme di ellissi (detto fsio di ellissi) l vrire di k. Imponendo un ondizione sull ellisse si può lolre il vlore di k orrispondente e determinre l ellisse del fsio he verifi l ondizione dt. Es pg 0

9 13. Proprietà otti dell ellisse. Immginndo di fr ruotre un ellisse di 180 intorno ll sse mggiore si ottiene un urv nello spzio he si him ellissoide. Supponendo he l superfiie intern si riflettente, se ponimo un sorgente luminos nel fuoo F1 i suoi rggi luminosi emessi in tutte le direzioni qundo inidono sull superfiie dell ellissoide vengono riflessi in modo tle d onvergere nel fuoo F. Vievers, se ponimo un sorgente luminos nel fioo F i rggi luminosi emessi, dopo l riflessione sull superfiie dell ellissoide, si onentrno sul fuoo F1. 1. Curve deduiili dll ellisse. Sono grfii di funzioni he si rppresentno nel pino rtesino on dei trtti di ellisse. Algerimente si rppresentno on un funzione he si può riondurre ll equzione di un ellisse. Per esempio trire il grfio dell funzione: 1 Essendo il seondo memro positivo o nullo, nhe il primo memro deve esserlo, periò risult Elevndo i due memri l qudrto si ottiene: L funzione dt è periò equivlente l sistem: 0 1 L equzione rppresent un ellisse on i fuohi sull sse, vente: I vertii sono: 1 1 A 1 ; 0 ; 0 A B ( 0; 1) B ( 0; 1) 1 Sui disegn l ellisse trtteggit e poi si evidenzi trtto pieno solo l prte di ess he si trov sopr l sse poihé deve essere 0

10 15. Domini pini limitti d ellissi. Sono domini del pino rtesino formti d tutti i punti del pino le ui oordinte verifino un disequzione o un insieme di disequzioni, in ui si rionose l equzione di un ellisse. Per esempio rppresentre il dominio rtterizzto d quest disequzione: 1 Invee dell disequzione, onsiderimo l equzione: 1 L equzione rppresent un ellisse on i fuohi sull sse vente: ; A ( 0) ( ) 1 ; A ; 0 B ( 0; ) B ( 0; ) F ( ; 0) F ( ; 0) 1 Il dominio pino è formto d tutti i punti del pino he si trovno fuori dll ellisse. Inftti se prendimo per esempio il punto ( ) e sostituimo le sue oordinte nell disequzione si ottiene: 0 1 e l disequzione non è verifit. O 0; Ellissi simmetrihe. L ellisse simmetri d un dt ellisse rispetto d un sse di simmetri o d un punto di simmetri, si ottiene pplindo ll ellisse le equzioni dell simmetri. Per 17. Ellissi trslte. 18. Clolo del entro, dei semissi, dei vertii e dei fuohi di un ellisse generi. 19. Prolemi vri sull ellisse. CURVE DEDUCIBILI DALL ELLISSE Sono grfii di funzioni he si possono riondurre ll equzione di un ellisse.