Ellisse. L ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma delle distanze da due punti fissi. definizione. P semidistanza focale

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1 Elliss dfinizion L lliss è il luogo gomtrio di punti dl pino tli h l somm dll distnz d du punti fissi F1 F2 dtti fuohi è ostnt, ioè: smiss mggior smiss minor P smidistnz fol F 2 smidistnz fol F 1 F 2 smiss mggior F 1 smiss minor lliss di ntro l origin fuohi sull ss dll x lliss di ntro l origin fuohi sull ss dll y quzion noni lunghzz ss mggior, lunghzz ss minor distnz fol rlzion tr i prmtri,, oordint di fuohi ntriità s l lliss dgnr in un ironfrnz di ntro l origin rggio di quzion rir dll quzion di un lliss quzion dll lliss noti i fuohi d il smiss mggior si ppli l dfinizion di lliss riordndo h l ostnt è ugul si lolno l du distnz si isol il primo rdil si lvno l qudrto ntrmi i mmri si sviluppno i loli isolndo il rdil rimsto di nuovo si lvno l qudrto ntrmi i mmri si sviluppno i loli si ottin l quzion dll lliss in form non noni v di 3

2 Elliss quzion dll lliss pssnt pr du punti nll quzion dll lliss in form noni si sostituisono pssggio pr A pssggio pr B si sostituisono uno ll volt l oordint di punti nll quzion prdnt si risolv il sistm di primo grdo nll inognit si sostituisono i vlori ottnuti nll quzion inizil ottnndo osì l quzion rihist in gnrl pr trovr l quzion di un lliss è nssrio: vr du ondizioni (slt tr: fuoo, smissi, pssggio pr un punto, ntriità, rtt tngnt) trsformr ogni ondizion in un quzion ottnr il sistm dll du quzioni nll inognit risolvr il sistm trovr i vlori di sostituir i vlori ottnuti nll quzion dll lliss, ottnndo l quzion rt not h nll rir dll quzion dll lliss: o l inognit sono non o onvin imporr l ondizioni dt prtir dll quzion dll lliss in form non noni rir dll quzioni dll rtt tngnti ll lliss quzioni dll rtt tngnti ondott d un punto strno ll lliss si sriv l quzion dl fsio di rtt proprio di ntro si riv l y dll quzion dl fsio si sostituis l y nll quzion dll lliss in form non noni si sviluppno i loli si ordin l quzion risptto ll si riv il lo si impon ugul 0 (ondizion di tngnz tr rtt d lliss) si risolv l quzion di sondo grdo nll inognit m rivndo i vlori d si sostituisono d nll quzion dl fsio ottnndo l quzioni dll rtt tngnti quzion dll rtt tngnt nl punto dll lliss: formul di sdoppimnto si sriv l quzion dll lliss in form non noni si pon si sostituisono l inognit sdoppit nll quzion dll lliss sviluppndo i loli si ottin l quzion dll rtt tngnt nl punto v di 3

3 Elliss quzion dll rtt tngnti di offiint ngolr m ssgnto si sriv l quzion dl fsio di rtt improprio on m ssgnto si sostituis l nll quzion dll lliss in form non noni si sviluppno i loli si ordin l quzion risptto ll si riv il lo si impon ugul 0 (ondizion di tngnz tr rtt d lliss) si risolv l quzion di sondo grdo nll inognit rivndo i vlori di si sostituisono nll quzion inizil dl fsio ottnndo l quzioni dll rtt tngnti in luni prolmi si riv not l rtt prlll o prpndiolr ll rtt tngnt lliss trslt l lliss si di trslt s gli ssi X Y dl suo sistm di rifrimnto sono prllli gli ssi rtsini y Y oordint dl ntro dll lliss O(α,β) X x quzion dll lliss rifrit l sistm XOY rir dll quzion dll lliss trslt not l oordint dl ntro dt l quzion dll lliss in form noni si sostituis (trslzion di ntro ) si sviluppno i loli si ottin l quzion dll lliss trslt r lunghzz di un lliss misur dll r ossrv h s l lliss divnt un ironfrnz l formul si ridu qull dll r dl rhio misur dll lunghzz ossrv h l lunghzz si lol solo om sviluppo in sri di un intgrl urvilino. Un uon vlor pprossimto è dto dll formul qui riportt dl mtmtio indino Rmnujn v di 3

4 Iprol dfinizion L iprol è il luogo gomtrio di punti dl pino tli h l diffrnz in vlor ssoluto dll distnz d du punti fissi F1 F2 dtti fuohi è ostnt, ioè: sintoto sintoto sintoto smiss non trsvrso F1 smiss trsvrso F2 sintoto F2 smiss trsvrso smidistnz fol smidistnz fol smiss non trsvrso F1 iprol on i fuohi sull ss dll x iprol on i fuohi sull ss dll y quzion noni lunghzz ss trsvrso, lunghzz ss non trsvrso distnz fol rlzion tr i prmtri,, oordint di fuohi quzioni dgli sintoti ntriità rir dll quzion di un iprol quzion dll iprol noti i fuohi d il smiss trsvrso si ppli l dfinizion di iprol riordndo h l ostnt è ugul si lolno l du distnz si lvno l qudrto ntrmi i mmri si sviluppno i loli si isol il rdil rimsto si lvno di nuovo l qudrto ntrmi i mmri si sviluppno i loli si ottin l quzion dll iprol in form non noni v di 4

5 Iprol quzion dll iprol pssnt pr du punti nll quzion dll iprol in form noni si ffttu l sostituzion pssggio pr A pssggio pr B si sostituisono uno ll volt l oordint di punti nll quzion prdnt si risolv il sistm di primo grdo nll inognit si sostituisono i vlori ottnuti nll quzion inizil ottnndo osì l quzion rihist in gnrl pr trovr l quzion di un iprol è nssrio: vr du ondizioni (slt tr: fuoo, smissi, pssggio pr un punto, ntriità, rtt tngnt) trsformr ogni ondizion in un quzion ottnr il sistm dll du quzioni nll inognit risolvr il sistm trovr i vlori di sostituir i vlori ottnuti nll quzion dll iprol, ottnndo l quzion rt not h nll rir dll quzion dll iprol: o l inognit sono non o onvin imporr l ondizioni dt prtir dll quzion dll iprol in form non noni rir dll quzioni dll rtt tngnti ll iprol quzioni dll rtt tngnti ondott d un punto strno ll iprol si sriv l quzion dl fsio di rtt proprio di ntro si riv l y dll quzion dl fsio si sostituis l y nll quzion dll iprol in form non noni si sviluppno i loli si ordin l quzion risptto ll si riv il lo si impon ugul 0 (ondizion di tngnz tr rtt d iprol) si risolv l quzion di sondo grdo nll inognit m rivndo i vlori d si sostituisono d nll quzion dl fsio ottnndo l quzioni dll rtt tngnti quzion dll rtt tngnt nl punto dll iprol: formul di sdoppimnto si sriv l quzion dll iprol in form non noni si pon si sostituisono l inognit sdoppit nll quzion dll iprol sviluppndo i loli si ottin l quzion dll rtt tngnt nl punto v di 4

6 Iprol quzion dll rtt tngnti di offiint ngolr m ssgnto si sriv l quzion dl fsio di rtt improprio on m ssgnto si sostituis l nll quzion dll iprol in form non noni si sviluppno i loli si ordin l quzion risptto ll si riv il lo si impon ugul 0 (ondizion di tngnz tr rtt d iprol) si risolv l quzion di sondo grdo nll inognit rivndo i vlori di si sostituisono nll quzion inizil dl fsio ottnndo l quzioni dll rtt tngnti in luni prolmi si riv not l rtt prlll o prpndiolr ll rtt tngnt iprol trslt l iprol si di trslt s gli ssi X Y dl suo sistm di rifrimnto sono prllli gli ssi rtsini y Y oordint dl ntro dll iprol O(α,β) X x quzion dll iprol on i fuohi sull ss x rifrit l sistm XOY rir dll quzion dll iprol trslt not l oordint dl ntro dt l quzion dll iprol in form noni si sostituis (trslzion di ntro ) si sviluppno i loli si ottin l quzion dll iprol trslt v di 4

7 Iprol iprol quiltr l iprol si di quiltr s i smissi sono uguli: quzion F 1 F 2 rlzion tr, oordint di fuohi quzioni sintoti ntriità ossrv h nll iprol quiltr gli sintoti oinidono on l isttrii dl I III dl II IV qudrnt iprol quiltr ruott di F 2 quzion pr oordint dl primo fuoo F 1 oordint dl sondo fuoo quzion pr F 1 oordint dl primo fuoo F 2 oordint dl sondo fuoo funzion omogrfi si di funzion omogrfi l iprol quiltr ruott di rtsini trslt risptto ll origin dgli ssi quzion O oordint dl ntro dll iprol O O quzioni dgli sintoti v di 4