L ELLISSOIDE TERRESTRE

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1 L ELLISSOIDE TERRESTRE Fin dll scond mtà dl XVII scolo (su propost di Nwton) l suprfici più dtt ssr ssunt com suprfici di rifrimnto pr l Trr è stt individut in un ELLISSOIDE DI ROTAZIONE. E l suprfici gnrt dll rotzion di un lliss (dtt lliss mridin, di smissi, b) ttorno ll ss minor (ss polr) Vntggi: - pprossim bn (con ppropriti vlori di prmtri dimnsionli) l form dll Trr - è bbstnz smplic d dscrivr mtmticmnt

2 PARAMETRI DELL ELLISSOIDE: L llissoid risult dfinito ssgnndo i vlori di du smissi, b oppur un smiss uno di sgunti prmtri dimnsionli: schiccimnto (prim) ccntricità scond ccntricità b b ' Pr dtrminr i prmtri dll llissoid trrstr è possibil utilizzr mtodi gomtrici bsti su misur trr (d s. mtodo dgli rchi, v. tsto). Più rcntmnt si utilizzno ossrvzioni su stlliti rtificili. b b Prmtri dgli llissoidi mggiormnt utilizzti: Ellissoid (m) b (m) WGS 84 (GRS80) / HAYFORD (Intrnzionl) / , BESSEL / Si dicono MERIDIANI l szioni pin (llissi tutt uguli) ottnut scndo l llissoid con pini pssnti pr l ss polr Si dicono PARALLELI l szioni pin (circonfrnz) ottnut scndo l llissoid con pini prllli l pino qutoril

3 COORDINATE GEOGRAFICHE ELLISSOIDICHE: Sono du prmtri (ngoli) tti dfinir univocmnt l posizion plnimtric di un punto P sull llissoid trrstr Ltitudin = Angolo comprso tr l norml llissoidic pr P il pino qutoril, contto vrso nord (ltitudin N) o vrso sud (ltitudin S) risult N 90S Longitudin = Angolo comprso tr il pino dl mridino pr P il pino dl mridino fondmntl (Grnwich o M.Mrio), contto vrso st (longitudin E) o vrso ovst (longitudin W) risult 0 oppur 0 360E 360W 3

4 RETICOLATO GEOGRAFICO: Lungo i prllli = cost Lungo i mridini = cost L du fmigli di curv costituiscono il rticolto gogrfico. Si intrscno con ngoli rtti (sist. ortogonl) COORDINATE GEOGRAFICHE ASTRONOMICHE: Hnno dfinizion nlog qull llissoidich m considrndo l vrticl (norml l goid) in luogo dll norml llissoidic, il pino qutoril stronomico (norml ll ss polr stronomico) i mridini stronomici Si dtrminno con misur di godsi stronomic (ffttut risptto ll stll fiss ) Gli scostmnti tr coordint gogrfich stronomich d llissoidich sono pri ll componnti Nord Est dll dvizion dll vrticl (ngolo tr vrticl norml llissoidic): 4

5 EQUAZIONI PARAMETRICHE DELL ELLISSOIDE Scrivimo l quzioni prmtrich ssumndo com prmtri (coordint curvilin) l ltitudin l longitudin Considrimo dpprim l lliss mridin contnut nl pino mridino pr P (pino r-z) scrivimon l quzioni prmtrich in funzion dll ltitudin 5

6 Equzioni prmtrich dll lliss mridin r z cos ( sn ) sn sn cos W, indicndo W sn L prim quzion rpprsnt l sprssion dl rggio dl prlllo in funzion dll ltitudin di prmtri dll llissoid Proittndo l r sugli ssi x d y (x = r cos, y = r sn) si ottngono l EQUAZIONI PARAMETRICHE DELL ELLISSOIDE: cos cos x sn cos sn y sn ( ) sn z sn Ch prmttono di clcolr l coordint crtsin llissocntrich X, Y, Z di un punto P 0 situto sull suprfici dll llissoid not l coordint gogrfich di qust ultimo 6

7 RAGGIO DI CURVATURA DEL MERIDIANO d d dr d sn dr sn d d cui si ottin drivndo : 3 sn ll'qutor i poli vlor mssimo (dtto rggio di curvtur polr c) vlor minimo 7

8 ARCHI DI CURVE SULL ELLISSOIDE Noti i rggi di curvtur dl mridino dl prlllo è possibil ricvr i rispttivi lmnti d rco: d d p m r d d rco lmntr di prlllo rco lmntr di mridino Ricordndo l nlogh sprssioni pr un suprfici gnric, considrndo ch l coordint gogrfich sono un sistm ORTOGONALE di coordint curvilin, si dsum ch pr l llissoid risult: E G r F 0 Pr cui l lmnto d rco di un curv gnric è dto d: ds Edu Gdv d r d E l funzioni trigonomtrich dll zimut (zimut = ngolo tr l tngnt un curv l tngnt l mridino) risultno: cos sin tg du d E ds ds dv d G r ds ds G E dv du r d d 8

9 9 LOSSODROMIA E l curv ch intrsc tutti i mridini con un zimut costnt (rott sguit di vcchi nvigtori). Non è l rott più brv (ch è l godtic, d zimut non costnt vdi sguito). L quzion dll lossodromi si ottin com sgu: 0 ~ ~ ~ 0 d r tg d r tg d COST tg d d r tg : intgrndo ARCHI FINITI DI PARALLELO E DI MERIDIANO Si ottngono intgrndo l sprssioni dgli lmnti d rco: 3 ) ( ) ( cos ) ( d sn d sn r d r m p Il scondo intgrl non si risolv in form chius m vin pprossimto con uno sviluppo in sri S si conoscono l lunghzz di divrsi rchi di mridino è possibil ottnr un sistm di quzioni dll quli ricvr i prmtri dll llissoid d (mtodo dgli rchi)

10 SEZIONI NORMALI PRINCIPALI SULL ELLISSOIDE I MERIDIANI sono szioni normli principli dto ch ogni pino mridino è un pino di simmtri L scond szion norml principl si ottin con un pino norml ll llissoid prpndicolr l mridino, dtto PRIMO VERTICALE. Vin nch dtt GRAN NORMALE ch in rltà è il nom dl suo rggio di curvtur (v. sotto) Il rggio di curvtur dl mridino in un punto è stto già dtrminto. R = Il rggio di curvtur dl primo vrticl (dtto Grn Norml N) si ottin pplicndo l primo vrticl l prlllo il torm di Musnir: R N r cos sn W Si dimostr ch N è smpr mggior o ugul (ugul solo i poli dov il primo vrticl coincid col mridino, ltrimnti smpr mggior) 0

11 SEZIONI NORMALI QUALSIASI L Formul di Eulro fornisc il rggio di curvtur di un szion norml qulsisi vnt zimut R cos R sin R cos sin N Il RAGGIO MEDIO DI CURVATURA dll szioni normli in un punto è dto d: R m R R sn N sso è il rggio dll sfr ch mglio pprossim l llissoid nll intorno di un punto, dtt SFERA LOCALE L formul di Eulro il torm di Musnir prmttono di clcolr in un punto il rggio di curvtur di un curv qulsisi sull llissoid: SEZIONE NORMALE SEZIONE OBLIQUA CURVA GOBBA SEZIONI NORMALI RECIPROCHE Dti du punti A B sull llissoid non sist in gnrl un unic szion norml ch li contng m szioni normli distint dtt rciproch

12 LE LINEE GEODETICHE L szioni normli non sono dtt stbilir un gomtri sull llissoid pr l mbiguità drivnt dll non coincidnz dll szioni normli rciproch pr punti Si utilizzno invc tl scopo l LINEE GEODETICHE ch non hnno indtrminzion (pr punti n pss sol) DEFINIZIONE (pr un gnric suprfici): Si dic godtic l curv (in gnrl gobb) ch h in ogni suo punto l norml principl coincidnt con l norml ll suprfici PROPRIETA dll godtich: ) nlogi mccnic: un godtic tr punti h lo stsso ndmnto ch ssum un filo tso sull suprfici tr i punti, soggtto ll forz di trzion ll rzion norml, considrndo l suprfici priv di ttrito ) Un godtic è l lin di minim lunghzz trccibil fr du punti su un suprfici (N.B. s si considr un limitt stnsion) Tl proprità si vrific fcilmnt pr un lmnto infinitsimo dl torm di Musnir. In prtic un godtic è un succssion di rchi infinitsimi di szion norml, ch in ogni punto è l curv di mssimo rggio di curvtur quindi minor lunghzz

13 Sul PIANO l godtich sono sgmnti di rtt Su CILINDRO E CONO sono sgmnti di rtt o lich Sull SFERA sono rchi di crchio mssimo Sull ELLISSOIDE sono curv gobb ( cczion di mridini) EQUAZIONI DELLE GEODETICHE (su un gnric suprfici) Esprimndo nliticmnt l dfinizion di godtic si ottngono l quzioni diffrnzili dll godtich: n sup. n princ. F( x, y, z) 0 x x( s) y y( s) quzion di un curv z z( s) s l curv è un godtic i prmtridirttori dll norml principl dvono ssr proporzionli qulli dll norml ll suprfici : quzion di un suprfici gnric su F F F x y z quzion diffrnzil di un godtic d x d y d z ds ds ds (l scond uguglinz è consgunz dll prim) E un quzion diffrnzil dl ordin ch intgrt (qusi mi possibil) dà: f ( x, y, z, C, C F( x, y, z) 0 ) 0 L costnti di intgrzion si dtrminno ssgnndo condizioni (d s. punti o punto zimut). 3

14 LE GEODETICHE SULL ELLISSOIDE S l suprfici è di rotzion l quzioni si smplificno: F( x, y, z) x F x x x d x y d y y F y y 0 ds ds d y d x x y 0 ds ds ch h un intgrl primo dto d: dy dx x y C ds ds f(z) 0 pr cui: (pr vrificr bst drivrlo) Esprimndo x y mdint l coordint polri (r, ) drivndo : r d C ds x r cos y rsin dx dr d cos rsin ds ds ds dy dr d sin r cos ds ds ds sostitundo: dr r cos sin r ds d cui : fornisc : cos d dr r sin cos r ds ds ch confrontt con l r sin C sin d r sin ds (f. trig. zimut) d C ds Torm di CLAIRAUT 4

15 r sin C Torm di CLAIRAUT Lungo un godtic, in ogni punto è costnt il prodotto dl rggio dl prlllo pr il sno dll zimut (N.B. vl pr un qulsisi suprfici di rotzion) Prmtt di studir l ndmnto dll godtich: - su un CONO o su un CILINDRO si ottngono dll ELICHE - su un PIANO (r=si ottngono l RETTE (=cost) - sull ELLISSOIDE si ottngono curv d ndmnto simil un sinusoid ch procdono smpr d ovst vrso st o vicvrs (r è positivo sin h il sgno di C ) rstno comprs tr du prllli r = C i mridini sono godtich in qunto = 0 oppur = 80 pr cui il torm di Clirut è soddisftto d C = 0 Il rggio di curvtur di un godtic in un punto è pri qullo dll szion norml vnt ugul zimut (formul di Eulro R) pr il torm sull curv gobb 5

16 L godtic Nw York-Rom: rco di godtic di circ 6900 km. E il prcorso più brv (sguito dll lin r) Si not com l zimut non si costnt: - Nw York è circ 50 - mtà circ dl prcorso è 90 - Rom è circ 30 L ndmnto risptt il torm di Clirut, l godtic risult tngnt un prlllo circ 50 di ltitudin 6