Matematica. Indice lezione. (Esercitazioni) dott. Francesco Giannino dott. Valeria Monetti. Funzione esponenziale
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1 Mtmtic (Esrcitzioni) Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich dott. Frncsco Ginnino dott. Vlri Montti Indic lzion Funzion sponnzil Equzioni disquzioni sponnzili Funzion ritmo Equzioni disquzioni ritmich Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich
2 Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich : fissto ) ( f f è l s dll funzion sponnzil d è fisst è l sponnt dll funzion sponnzil vri nl dominio L funzion sponnzil è smpr positiv Funzion sponnzil Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich : cso ) ( f f inf ; sup in strttmnt dcrscnt f Funzion sponnzil
3 Funzion sponnzil f ( ) f cso : f strttmnt crscnt sup ; inf in Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Funzion sponnzil f ( ) fissto L funzion sponnzil è smpr positiv cso L funzion sponnzil è dfinit in tutto dcrscnt cso L funzion sponnzil è dfinit in tutto crscnt Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich
4 Funzion sponnzil OSSEVAZIONE. Ch diffrnz c è tr funzion potnz funzion sponnzil? nll funzion potnz l vriil indipndnt è l s mntr l sponnt è un numro rl fissto f ( ) fissto è l s dll funzion potnz vri nl dominio è l sponnt dll funzion potnz d è fissto Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Funzion sponnzil nll funzion sponnzil l vriil indipndnt è l sponnt mntr l s è un numro rl fissto > f ( ) fissto è l s dll funzion sponnzil d è fisst è l sponnt dll funzion sponnzil vri nl dominio Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich 4
5 5 Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich 4) ) ) ) Proprità dll sponnzil Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich y y Invrtiilità 7) s Monotoni 6) s Monotoni 5) L funzion sponnzil è crscnt L funzion sponnzil è dcrscnt Proprità dll sponnzil
6 Equzioni sponnzili Un'quzion si dic sponnzil qundo l'incognit compr soltnto nll'sponnt di un o più potnz. L'quzion sponnzil più smplic è dl tipo : = con > > ; dov è l' incognit dll' quzion. Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Soluzioni di quzioni sponnzili Pr risolvr un'quzion sponnzil: I cso: s l quzion si prsnt com uguglinz di potnz con ugul s l proprità di invrtiilità dll sponnzil consnt di ricondurr l quzion sponnzil d un quzion rzionl II cso: s l quzion non si prsnt com uguglinz di potnz con ugul s pr risolvr l quzion sponnzil si introduc il conctto di ritmo. Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich 6
7 Soluzioni di quzioni sponnzili I Cso Esmpio. 9 Esmpio. 8 Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Soluzioni di quzioni sponnzili Esrcizio. isolvr l sgunt quzion sponnzil Soluzion. Vrifichimo s l quzion si può scrivr com uguglinz tr potnz con ugul s Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich 7 ( ) 7 () Applicndo l proprità di invrtiilità 7
8 Soluzioni di quzioni sponnzili Esrcizio. isolvr l sgunt quzion sponnzil ( ) 7 Soluzion. Vrifichimo s l quzion si può scrivr com uguglinz tr potnz con ugul s ( ) Applicndo l proprità di invrtiilità ( ) Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Soluzioni di quzioni sponnzili Esrcizio. isolvr l sgunt quzion sponnzil Soluzion. Vrifichimo s l quzion si può scrivr com uguglinz tr potnz con ugul s Applicndo l proprità di invrtiilità Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich 8
9 Soluzioni di quzioni sponnzili Esrcizio 4. isolvr l sgunt quzion sponnzil 4 8 Soluzion. Vrifichimo s l quzion si può scrivr com uguglinz tr potnz con ugul s 8 Applicndo l proprità di invrtiilità ( ) Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Funzion ritmo L invrs dll funzion sponnzil è dtt FUNZIONE LOGAITMO Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich 9
10 Funzion ritmo f ( ) fissto f : è l s dll funzion ritmo d è fisst è l rgomnto dll funzion ritmo vri nl dominio Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Funzion ritmo f ( ) f : cso f strttmnt dcrscnt sup ; inf in Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich
11 Funzion ritmo f ( ) f : cso f strttmnt crscnt in sup ; inf Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Funzion ritmo f ( ) fissto è l s dll funzion ritmo d è fisst è l rgomnto dll funzion ritmo vri nl dominio cso cso L funzion ritmo è dfinit in + dcrscnt L funzion ritmo è dfinit in + crscnt Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich
12 Logritmo II Cso Dti du numri rli > > con si può dimostrr ch l quzion sponnzil mmtt smpr un d un sol soluzion. Tl soluzion è dtt ritmo in s di d è indict con l scrittur Pr dfinizion Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Argomnto dl ritmo Bs dl ritmo dll sponnzil l ritmo s pplicssi l funzion ritmo si l primo ch l scondo mmro di = poich Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich
13 Soluzioni di quzioni sponnzili Esrcizio 5. isolvr l sgunt quzion sponnzil 9 Soluzion. Vrifichimo ch l quzion non si può scrivr com uguglinz tr potnz con ugul s quindi pplichimo l dfinizion di ritmo 9 9 Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Soluzioni di quzioni sponnzili Esrcizio 5. isolvr l sgunt quzion sponnzil 5 Soluzion. L quzion non si può scrivr com uguglinz tr potnz con ugul s quindi pplichimo l dfinizion di ritmo Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich
14 Soluzioni di quzioni sponnzili oppur 5 Applico d ntrmi i mmri il in s Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Soluzioni di quzioni sponnzili Esrcizio 5. isolvr l sgunt quzion sponnzil Soluzion. Vrifichimo ch l quzion non si può scrivr com uguglinz tr potnz con ugul s quindi pplichimo l dfinizion di ritmo Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich 4
15 5 Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich POPIETÀ DEL LOGAITMO y y y y y y 5) ritmi s ni cmimnto di formul di ); ( 4) ) ; ; ( ) ); ; ( ) ) ; ; ( ) : Inftti Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich POPIETÀ DEL LOGAITMO y y Invrtiilità 8) s Monotoni 7) s Monotoni 6)
16 Disquzioni sponnzili Un disquzion si dic sponnzil qundo l'incognit compr soltnto nll'sponnt di un o più potnz. L disquzion sponnzil più smplic è dl tipo : > oppur < con > > ; dov è l' incognit dll' quzion. Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Soluzioni di disquzioni sponnzili Pr risolvr un disquzion sponnzil: s > l funzion sponnzil ritmo sono crscnti quindi l disquzion è vrifict pr s < < l disquzion sponnzil ritmo sono dcrscnti quindi l disquzion è vrifict pr Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich (oppur ) (oppur ) (oppur ) 6
17 Soluzioni di disquzioni sponnzili > Monotoni s Monotoni s Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Soluzioni di disquzioni sponnzili << Monotoni s Monotoni s Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich 7
18 Disquzioni sponnzili Esrcizio 6. isolvr l sgunt disquzion sponnzil pplicndo l funzionritmoin s (strttmntcrscnt) Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Disquzioni sponnzili Esrcizio 7. isolvr l sgunt disquzion sponnzil 5 pplicndo l funzion ritmo in s (strttmnt dcrscnt) Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich 5 5 8
19 Disquzioni sponnzili Esmpi Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Equzioni ritmich Un'quzion si dic ritmic qundo l'incognit compr nll rgomnto di uno o più ritmi. L'quzion ritmic più smplic è dl tipo : = con > > dov è l' incognit dll' quzion. Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich 9
20 Soluzioni di quzioni ritmich Pr risolvr un'quzion ritmic: I CASO: s l quzion si prsnt com uguglinz di ritmi con ugul s l proprità di invrtiilità dl ritmo consnt di ricondurr l quzion ritmic d un quzion rzionl II CASO: s l quzion non si prsnt com Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich uguglinz di ritmi con ugul s ( ) pr risolvr l quzion ritmic si introduc l sponnzil di s ugul ll s dl ritmo prsnt nll quzion: Soluzioni di quzioni ritmich In ntrmi i csi isogn poi: Associr ll quzion ricvt (rzionl nl primo cso o sponnzil nl scondo) tutt l condizioni di sistnz sui ritmi prsnti nll quzion ritmic di prtnz (un ritmo è dfinito solo pr vlori positivi dl suo rgomnto) Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich
21 Equzioni ritmich I CASO Esmpio. Esmpio. Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Equzioni ritmich Esrcizio 8. isolvr l sgunt quzion ritmic ( ) ( ) Soluzion. L quzion è scritt com uguglinz tr ritmi con ugul s quindi / ( ) ( ) Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich /
22 Equzioni ritmich Esrcizio 9. isolvr l sgunt quzion ritmic ( ) ( ) Soluzion. L quzion è scritt com uguglinz tr ritmi con ugul s m isogn ridurl ll uguglinz tr du ritmi. Comincimo quindi d imporr l condizioni di sistnz di ritmi prsnti nll quzion - Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Equzioni ritmich iducimo or l quzion ritmic ssgnt ll uguglinz tr du ritmi. A tl proposito pplichimo l proprità di ritmi Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich ( ) ( )
23 Equzioni ritmich A qusto punto possono ssr prs in considrzion l soluzioni dll quzioni ch sono comptiili con l sistnz di ritmi Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Equzioni ritmich II CASO Esrcizio. isolvr l sgunt quzion ritmic ( ) Soluzion. L quzion non è scritt com uguglinz tr ritmi con ugul s quindi possimo pplicr d ntrmi i mmri l funzion sponnzil di s ( ) 8 9 Tl soluzion dv ssr comptiil con l sistnz dl ritmo prsnt nll quzion Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich
24 Disquzioni ritmich Un disquzion si dic ritmic qundo l'incognit compr nll rgomnto di uno o più ritmi. L disquzion ritmic più smplic è dl tipo : > oppur < con > > dov è l' incognit dll' quzion. Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Soluzioni di disquzioni ritmich Pr risolvr un disquzion ritmic: (oppur ) s > l funzion sponnzil ritmo sono crscnti quindi l disquzion è vrifict pr (oppur ) s < < l funzion sponnzil ritmo sono dcrscnti quindi l disquzion è vrifict pr (oppur ) Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich 4
25 Disquzioni ritmich Esrcizio. isolvr un disquzion dl tipo: Soluzion. L condizion di sistnz dl ritmo prsnt nll quzion è: isolvimo l disquzion: pplicndo l funzion sponnzil in s (strttmnt crscnt) Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Disquzioni ritmich Esrcizio. isolvr un disquzion dl tipo: Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich pplicndo l funzion sponnzil in s (strttmnt dcrscnt) Soluzion. L condizion di sistnz dl ritmo prsnt nll quzion è: isolvimo l disquzion:
26 Disquzioni ritmich Esrcizio. isolvr un disquzion dl tipo: 4 4 ( 4) Soluzion. L condizion di sistnz di ritmi prsnti nll disquzion dvono ssr comptiili con l soluzioni dll disquzion: ( ) 4 ( 4) ( ) Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich Disquzioni ritmich 4-4 -/ Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich 6
27 Esrcizi dll Esrcizirio di Mtmtic Fr tutt l disquzioni sponnzili ritmich dll srcizirio (cpitolo ) Equzioni Disquzioni sponnzili - ritmich 7
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