Rap a p p o p r o to o I n I c n r c em e e m n e t n al a e Def. rapporto incrementale nel punto x incremento h Nota:

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1 Rpporto Incrmntl α Δ Δy y m tnα y. Il rpporto incrmntl dll unzion nl punto rltivo d un incrmnto è il coicint nolr dll scnt l rico dll unzion ni punti di sciss d Not: Nll smpio rico è riportto > m, in nrl, può ssr nc ntivo.

2 rivt rivt. rivt dll unzion in un punto intrno dll insim di dinizion è: : : : d d S sist FINITO. L unzion è dtt drivbil nl punto. Nl cso in cui il prdtto it si ininito si dirà c l drivt è ininit in. Es. Clcolr l drivt di in d in un nrico punto.

3 rivt in un punto unzion drivt Pr l drivt in un punto si pns issto il punto p.s o, si costruisc il rpporto incrmntl si ttu l oprzion di it qundo l incrmnto tnd zro. Ossrvimo c il it è ttuto sull incrmnto non sul punto in cui clcolimo l drivt, il qul rimn isso non dipndnt dll vribil su cui è ttuto il it. Il vlor dl it quindi dll drivt non dipnd, ovvimnt, né d com cimimo l vribil c rpprsnt l incrmnto o Δ né dipnd,com risultto,dll incrmnto il risultto dl it non contin cioè né né Δ. Possimo llor crr un rlzion tr il punto prcdntmnt issto in cui clcolimo l drivt dll unzion d il vlor stsso dl it cioè dll drivt, s indicimo nricmnt tl punto con vrmo l rlzion: Qust rlzion è, in nrl, un unzion cui si d il nom di drivt prim dll unzion si indic con. :

4 Siniicto Gomtrico α Δ Δy : L drivt dll unzion nl punto rpprsnt il coicint nolr dll rtt tnnt l rico dll unzion nl punto di sciss. Equzion rtt tnnt l rico dll unzion nl punto di sciss. Fscio di rtt pr, y m Si pon m y 4

5 Siniicto Gomtrico Es. Scrivr l quzion dll rtt tnnt l rico dll unzion ^ in y y y y 5

6 lo c rivt Funzioni Elmntri ln lo sn cos cos sn ln rcsn rccos rctn tn tn 6

7 Rol di rivzion Rol di rivzion [ ] SOMMA PROOTTO [ ] In prticolr s c [ ] c c Proprità di dditività Proprità di omonità 7 Proprità di linrità dll drivt NOTA. rivzion di polinomi: rzi ll proprità di linrità è un drivzion trmin trmin QUOZIENTE [ ] Proprità di dditività Proprità di omonità

8 Cnno imostrtivo rivt Somm di Funzioni Cnno imostrtivo rivt Somm di Funzioni [ ] Torm Proprità di dditività im. ] [ 8 [ ]

9 Cnno imostrtivo rivt Prodotto di Funzioni Cnno imostrtivo rivt Prodotto di Funzioni Torm im. [ ] 9 Pssndo l it si ottin l ssrto.

10 Cnno imostrtivo rivt Rpporto di Funzioni Cnno imostrtivo rivt Rpporto di Funzioni Torm im. [ ] Pssndo l it si ottin l ssrto.

11 Appliczioni Appliczioni rivzion di polinomi 4 6 rivzion di rdici [ ] [ ] PROOTTO [ ] QUOZIENTE [ ] cos cos cos cos ] [tn sn sn sn [ ] cos tn cos cos sn PROOTTO ] [ ] [ ] [

12 rivzion unzion modulo Appliczioni s > [ ] [ ] s < [ ] non è drivbil in. L unzion sinum [sn] così dinit: sn : N rpprsnt l drivt pr > pr < [ ] sn sn pr pr

13 Clcolo rivt Funzioni Elmntri Clcolo rivt Funzioni Elmntri c c c n n n n n n n n n

14 Clcolo rivt Funzioni Elmntri Clcolo rivt Funzioni Elmntri lo lo lo lo lo lo ln sin sin sin cos cos sin sin sin cos sin cos cos sin 4

15 cos Clcolo rivt Funzioni Elmntri cos cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin 5

16 rivt Funzion Compost Torm Si l unzion compost di d. Si drivbil in drivbil in llor è drivbil in vl: [ ] [ ] o [ ] [ ] [ ] ln [ ln ] ln ln ln [ ] ln ln 6

17 rivt Funzion Compost: smpi sin sin cos sin sin sin cos ln p ln p ln ln ln 7

18 rivt Funzion Compost: smpi ln ln pr ln sn sn sn [ ] ln sin lnsin lnsin sin [ ] [ ] [ ] lnsin sin sin cos 8

19 Clcolo rivt Funzioni Invrs Si considri p, l unzion invrs è ln. Si considri l rtt tnnt l rico ln in. A;ln Si considri l rtt tnnt l rico p in ln. Bln; y ln y ln NOTA: u rtt con coicint nolr opposto pssnti pr l oriin sono simmtric risptto ll bisttric I-III li noli c ormno con l ss sono complmntri così com lo sono du rici di unzioni invrs un dll ltr. NOTA: B A ln y y p ln ln 9

20 Funzioni Invrs Clcolo rivt Funzioni Invrs y y y rcsin y rcsin y y sin rcsiny sin cos rcsin y rcsin y y y rctn y rctn y y tn rctn y tn rctn tn y rctn y y

21 Funzioni Invrs Clcolo rivt Funzioni Invrs y y rccos y rccos y y cos y rccos y cos rccos y sin rccos y y Oppur si considri c rccos y π rcsin y E si pplicino l rol di drivzion. π rccos rcsin y π π α rccos y ; π, β rcsin y ; π π y cos α sin β sin α β α kπ π α β y [ ]

22 rivbilità Continuità Torm S un unzion :AR è drivbil in,punto intrno dl cmpo di sistnz, llor tl unzion è continu in Essr drivbil è condizion suicint pr ssr continu in un punto m non ncssri. Es. L unzion è continu m non drivbil in. ± ± ± Esistono il it dstro sinistro m non sono uuli.. rivt str. rivt Sinistr Aincé un unzion si drivbil in un punto dvono sistr init drivt dstr sinistr dvono ssr uuli.

23 rivbilità Continuità: dimostrzion rivbilità Continuità: dimostrzion Torm S un unzion :AR è drivbil in,punto intrno dl cmpo di sistnz, llor tl unzion è continu in im. [ ] [ ] d cui su l continuità dll unzion in

24 Punti Anolosi. Un punto si dic noloso s in tl punto l unzion sist, è continu, sistono init l drivt dstr sinistr m ss non sono uuli. Not: In un punto noloso l unzion non è drivbil. Un punto noloso ssomili un discontinuità slto di I spci pr l unzion drivt prim. Si tn conto tuttvi c l unzion non è ivi drivbil dunqu l unzion drivt non sist in tl punto. 4

25 Punti Anolosi: smpio Punti Anolosi: smpio Es. > > < L unzion è continu in 5 y y Tnnt dstr Tnnt sinistr

26 Flssi Tnnt Vrticl. Un punto si dic lsso tnnt vrticl s in sso l unzion sist, è continu, sistono ininit l drivt dstr sinistr d nno sno uul. ± Es. Flsso tnnt vrticl discndnt 6

27 Punti Cuspidli. Un punto si dic cuspidl o cuspid s in sso l unzion sist, è continu, d sistono ininit l drivt dstr sinistr m nno sno opposto. Not: In un punto cuspidl l unzion non è drivbil. Un punto cuspidl rpprsnt un discontinuità di II spci dll drivt prim. ± m Es. sn Not: 7

28 rivt Succssiv rivt Succssiv. rivt Scond t un unzion c mmtt drivt prim nll intorno di un punto, si dinisc drivt scond il sunt it s sist inito Anlomnt si diniscono drivt trz, drivt qurt iv così vi. Pr il clcolo ci si comport pplicndo in succssion l rol di drivzion: 8 Pr il clcolo ci si comport pplicndo in succssion l rol di drivzion: Es. Clcolr l drivt prim, scond trz dll sunt unzion [ ] [ ] 4 [ ]

29 Esrcizio su rivbilità Es. trminr s sistono vlori rli di prmtri,b in modo c l sunt unzion si continu drivbil in R b > Continuità b b Continuità b b 4? b rivbilità b > < 4 > < 4 b b Soluzion: pr b- l unzion dt risult ssr continu drivbil su tutto R 9