La pendenza m può essere ricavata derivando l equazione della semiellisse situata nel semipiano y 0 : a a

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1 Esm di Stto 7 sssion strordinri Prolm Utilizzndo l formul di sdoppimnto, l tngnt ll lliss nl punto ; x y x x y y x y Imponndo il pssggio pr (; ) si ottin: x ch, sostituito nll quzion dll lliss, prmtt di ricvr l ordint di T y L quzion dl fscio di rtt pssnti pr (; ) è: y m x y mx m T x y h quzion L pndnz m può ssr ricvt drivndo l quzion dll smilliss situt nl smipino y : x ' x y x y d cui, sostitundovi l sciss dl punto T: m y ' T L quzion dll tngnt in T è prtnto: y x ch intrsc l rtt AC: y nl punto di sciss x L r dll prt grigi in fig. è prtnto 5 S M. Vincoli Esm di Stto 7 sss. strordinri

2 Slliss 6 m 9, 77 m, 9,5 m L r totl dll prt grigi in fig. vl prtnto S Stot S m S tot 87, 8,9,9% trrno Indicndo con s s t lo spssor dl ghiccio, l vlocità di produzion suprficil è dt d: ds k v dt s dov k è un costnt l cui dimnsioni sono k cm. h Risolvndo l quzion diffrnzil, supponndo di prtir dll pist nonghiccit (s= ), si h s s s ds k dt kt s kt Imponndo ch t s h cm si h k s cm,5 cm pr cui s kt t (in cm) t h h Il tmpo richisto pr rlizzr uno strto di ghiccio di spssor 7,5 cm è prtnto: 7,5 cm s t 8, 75 h 8 h 5 m k cm / h M. Vincoli Esm di Stto 7 sss. strordinri

3 Prolm L quttro funzioni ssgnt sono pri, pr cui st vrificr l condizioni richist in x =. g g g g g ' x x g ' g ' x sgn x g ' g ' x sn x g ' g ' x sgn x g ' x Quindi l quttro funzioni hnno l stss rtt tngnti ni punti di sciss -, di quzion rispttivmnt: t : y x, t: y x I grfici dll quttro curv sono riportti nll succssiv figur M. Vincoli Esm di Stto 7 sss. strordinri

4 Tutt tr l funzioni f prsntno in x = ± un punto ngoloso: indict con f n un dll tr funzioni, si h: x x f x lim f ' n lim ' x L funzion f prsnt un punto ngoloso nch in x = : x x lim f ' Poiché l funzioni f n sono pri, si h: n fn x dx fn x dx fn x dx fn x dx fn x dx ln x dx Ai fini dll domnd è prtnto sufficint vrificr ch M. Vincoli Esm di Stto 7 sss. strordinri

5 cos x x dx x dx x dx ovvro quindi l disuguglinz è vrifict L funzion h(x) è continu in funzion intgrl H(x) è continu in ; l, in prticolr è continu nll intrvllo, Si h poi: H x dx ln x dx x x x ln x x 6,6 6 H ln x dx x ln x x Quindi pr il torm di sistnz dgli zri, l H(x) mmtt uno zro nll intrvllo, ; tl zro è unico in qunto, ssndo h(x) positiv in tl intrvllo, H(x) è ivi monoton crscnt. Pr l prità dll du funzioni tnndo conto dll rotzion pri /6 di giro si h: V x x dx x x x x dx 6 5 x x x dx x x x x 5 M. Vincoli Esm di Stto 7 sss. strordinri 5

6 QUESTIONARIO f x h h h ln ln ln ln x h ln x x x ' x lim lim x lim lim h h h h h h x h h x x Dl momnto ch f(x) è compost d funzioni polinomili, è continu drivil pr Pr x si h x f x ' kx x x k x Pr cui, imponndo l continuità di f(x) di f (x) in si h: kx x f lim k h k k 5 lim kx lim x k k k k h h Quindi è impossiil soddisfr ntrm l condizioni. x x V x x dx x x x dx x x p 6 P volt, 8, 7,8 8% Non è chiro s il tsto intnd ch il rsglio vng colpito solo l prim volt oppur s poss ssr colpito nch ni succssivi 6 colpi. Clcolimo prtnto ntrm l proilità: 5 6 Psolo i primi colpi, 8,7,9,9% Plmno i primi colpi, 8,6,6% Prché l tngnt si prlll ll isttric dl I III qudrnt si dv vr: f ' x x x k Prché l tngnt si unic, il discriminnt dll quzion dv nnullrsi: M. Vincoli Esm di Stto 7 sss. strordinri 6

7 7 k k Con qust sclt di k, pr l tngnti orizzontli si h: 7 f ' x x x impossiil pr cui non ci sono tngnti orizzontli 6 r d C, f ' x ln x ln x x x x L rtt tngnt in un punto di coordint ;ln ln è: y x ln ln ln Imponndo il pssggio pr ; : ln ln ln ln ln ln ln con soluzioni, ; l du tngnti sono rispttivmnt: t : y x y x t : y x y x y x 8 x x t y t y t z z t 9 8 P tst p p 7 Sviluppndo il clcolo si ottin: M. Vincoli Esm di Stto 7 sss. strordinri 7

8 p p p p 8 9 L sol soluzion positiv è ccttil in qunto, ssndo p, si h risolvndo si ottngono i vlori p p p p, quindi p p ; F(x) è un funzion (intgrl) compost, pr cui si h: F ' x x ln x x x g( x) Drivndo qust ultim quzion si ottin: g x x '( ) x L unico punto stzionrio è prtnto ; g( x) S F x f ( t) dt F ' x f g( x) g '( x) M. Vincoli Esm di Stto 7 sss. strordinri 8