Complementi 13 - L'approccio alla Prandtl

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1 Complementi 13 - L'pproccio ll Prndtl [Ultimrevisione: revisione:18 18febbrio febbrio2009] Un interessnte ppliczione dell teori delle funzioni di tensione e' l'pproccio proposto d L. Prndtl l problem dell torsione. Introdott un funzione f le cui derivte sono proporzionli lle tensioni tngenzili, si giunge definire per ess un problem di Poisson sull sezione rett, che permette l deduzione dell funzione stess, e d ess il clcolo dello stto tensionle e del momento torcente. L teori viene poi pplict d lcune semplici sezione rette. L formulzione del problem Si prt dl solito stto tensionle ll De Sint-Vennt, crtterizzto dll presenz di sole tensioni tngenzili: S = i j 0 0 σ σ 23 σ 13 σ 23 0 y z { con s 13 = s 13 Hx 1, x 2 L e s 23 = s 13 Hx 1, x 2 L, come dettto dlle prime due equzioni indefinite dell'equilibrio. Si introduc or l funzione di tensione di Prndtl f = fhx 1, x 2 L, tle che: (1) σ 13 = φ x 2 ; σ 23 = φ x 1 ; in modo tle d soddisfre identicmente l terz equzione indefinit dell'equilibrio: σ 13 + σ 23 = x 1 x 2 2 φ x 1 x 2 2 φ x 1 x 2 = 0 L condizione di comptibilit' intern (7) dell Lezione (26): (2) (3) σ 23 σ 13 = 2 Gθ' = cost. x 1 x 2 si trmut nell condizione in f d soddisfre sull sezione rett S: 2 φ x φ x 2 2 = 2 φ = 2 G θ' = C = cost. (4) ()

2 113 Complementi 13 - L'pproccio ll Prndtl.nb L. Prndtl L condizione l contorno: σ 13 n x1 + σ 23 n x2 = 0 si trduce nello scrivere: (6) φ x 2 n x1 φ x 1 n x2 = φ dx 2 x 2 ds φ dx 1 x 1 ds = φ s = 0 e quindi sul contorno G l funzione f dovr' ssumere un vlore costnte, in prticolre un vlore nullo: φ HΓL = 0 Al posto di un problem di Dini-Neumnn si e' or in presenz di un problem di Poisson, consistente nel trovre un funzione rmonic su un dominio pino S, che ssum un vlore ssegnto l contorno G. Anche in questo cso, ben noti teoremi di Anlisi Mtemtic grntiscono l'esistenz di un simile funzione. E' nche interessnte esprimere il momento torcente in termini di funzione di torsione. Si h, in bse ll (34) dell Lezione 26: (7) (8) = Hσ 23 x 1 σ 13 x 2 L d = J φ x x 1 + φ x 1 x 2 N d = 2 J Hx x 1 φl + Hx 1 x 2 φln d + 2 φd 2 e per l formul di Green-Riemnn, come dimostrt nell'ppendice dell Lezione 26: (9) = φ Hx 1 n x1 x 2 n x2 L dγ + 2 φd Γ (10)

3 Complementi 13 - L'pproccio ll Prndtl.nb 114 ed infine, in bse ll (8): = 2 φd (11) L sezione ellittic Uno dei vntggi dell'utilizzre questo pproccio si deve l ftto che, ssegnt l'equzione dell frontier dell sezione rett in x 1 ed x 2, e' possibile scegliere l funzione di torsione f come un funzione proporzionle tle equzione. In tl modo f sr' utomticmente null sul contorno G, semplificndo notevolmente l su ricerc. Se d esempio si vuol studire l sezione ellittic, di equzione: x x 2 b 2 1 = 0 si potr' porre l funzione di torsione nell form: e l () porger': φ = J x x 2 b 2 1N 2 φ x φ x2 = 2 φ = 2 J 2 +b 2 2 N = 2 Gθ' b2 Il momento torcente potr' clcolrsi come: = 2 φd = x 1 d +2 2 b 2 x 2 d 2 d e ricordndo le formule per il clcolo dei momenti di inerzi e dell're di un ellisse si h: (12) (13) (14) (1) = 2 π3 b 2 4 Le tensioni srnno fornite d: σ 13 = 2x 2 σ 23 = 2x 1 +2 πb3 b 2 4 b 2 = 2 b 2 x 2 2 = 2 2 x 1 coincidenti con le (30) dell Lezione πb = πb = (16) (17) (18) Infine, l'ngolo specifico di torsione si potr' clcolre prtire dll (4), ottenendo: θ' = 1 2 G J σ 23 σ 13 N = 1 x 1 x 2 2 G J b 2 N = coincidente con l (29) dell Lezione 27. G 2 b 2 H2 +b 2 L (19)

4 11 Complementi 13 - L'pproccio ll Prndtl.nb L sezione form di tringolo equiltero Si consideri l sezione rett form di tringolo equiltero riportt in Figur 1. Avendo indicto con 3 l'ltezz del tringolo, ed vendo posizionto l'origine del riferimento nel bricentro del tringolo, le coordinte dei tre vertici srnno A = (0,-2), B = I è!!! 3, ), C = I- è!!! 3, ). Ne segue che l frontier sr' identifict dll tre seguenti rette: rett BC, di equzione: x 2 = 0 rett AB, di equzione: è!!! 3 x 1 + x 2 +2 = 0 rett AB, di equzione: è!!! 3 x 1 + x 2 +2 = 0 Si pone llor l funzione di Prndtl nell form: φ Hx 1, x 2 L = Hx 2 L I è!!! 3 x 1 + x 2 +2 M I è!!! 3 x 1 + x 2 +2 M (20) (21) (22) (23) e quindi l () fornisce: 12 = 2 Gθ' (24) A 2 X 1 O C B d cui subito: è!!! 3 X 2 è!!! 3 Figur 1 - L sezione rett form di tringolo equiltero

5 Complementi 13 - L'pproccio ll Prndtl.nb 116 = Gθ' 6 e quindi l funzione di Prndtl sr' pri : φ Hx 1, x 2 L = Gθ' 6 Hx 2 L I è!!! 3 x 1 + x 2 +2 M I è!!! 3 x 1 + x 2 +2 M (2) (26) à Lo stto tensionle Lo stto tensionle si potr' ottenere derivndo opportunmente tle funzione, come segue: σ 13 = φ = Gθ' x 2 2 Hx 1 2 x x 2 L (27) σ 23 = φ = Gθ' x 1 x 1 H x 2 L (28) L componente s 23 si viene quindi d nnullre sul lto inferiore BC del tringolo e sull'sse verticle X 2. Su questo stesso sse l'ltr componente di tensione diviene: σ 13 Hx 1 = 0L = Gθ' 2 x 2 Hx 2 +2 L (29) L'ndmento di quest componente di tensione lungo l'sse verticle e' riportt nell Figur seguente. D ess si not come il vlore mssimo si ottiene nel punto di mezzeri del tringolo, lddove si h il vlore: σ 13 Hx 1 = 0, x 2 = L = 3 2 Gθ' (30) Plot@ x 2 Hx 2 +2L, 8x 2, 2, 1<D Figur 2. L'ndmento dell s 13 lungo l'sse verticle, dove s 23 e' null L risultnte dell tensione tngenzile e' fornit d: τ = "################### σ σ2 23 = G θ' "######################################################################################################## 2 2 Hx 4 1 +x 2 H2+x 2 L 2 +2x 2 1 H2 2 6x 2 +x 2 LL e - come puo' fcilmente controllrsi - ess si nnull nei tre vertici del tringolo, e nell'origine.

6 117 Complementi 13 - L'pproccio ll Prndtl.nb Poiche' lungo l'sse orizzontle l componente s 23 vri linermente, nnullndosi nell'origine, si h lo stto tensionle riportto in Figur 3. Il momento torcente puo' clcolrsi prtire dll (11) come: = G θ' 3 Hx 2 L I è!!! 3 x 1 + x 2 +2 M I è!!! 3 x 1 + x 2 +2 M d = 27 è!!! 3 G θ' 4 = 3 GI p θ' dove I p = 3 è!!! 3 4 e' il momento polre del tringolo in esme. (31) Figur 3. Lo stto tensionle lungo gli ssi coordinti Ed inftti, utilizzndo le formule di riduzione per gli integrli doppi e l simmetri del tringolo rispetto ll'sse verticle X 2 si h subito: x 2 ë è!!!! 3 2 ë è!!!! 3 27 è!!! 3 Hx 2 L I è!!!! 3 x 1 + x 2 +2 M I è!!!! 3 x 1 + x 2 +2 M x 1 x 2

7 Complementi 13 - L'pproccio ll Prndtl.nb x 2 ë è!!!! 3 2 ë è!!!! 3 3 è!!! 3 4 Hx 1 2 +x 2 2 L x 1 x 2 A prtire dll (31) si puo' immeditmente ricvre il fttore di torsione: q = GI p θ' = 3 (32) à L'nlisi degli spostmenti Per dedurre l'espressione dell funzione di torsione YHx 1, x 2 L di De Sint-Vennt, si prt dll'espressione delle tensioni, come fornit dlle (43) dell Lezione (26), e si scriv: Ψ I = σ x 13 p + x 1 qm 2 t (33) Ψ I = σ x 23 p x 2 qm 1 t (34) ed introducendo i vlori delle tensioni, del fttore di torsione e del momento torcente, si giunge lle due equzioni: d cui subito: Ψ = x 1 2 x2 x 1 2 Ψ = x 1 x 2 x 2 Ψ = x 1 3 3x 1 x2 + C 6 0 con C 0 costnte di integrzione che si nnull nnullndo i moti rigidi dell trve. (3) (36) (37) L tern degli spostmenti d torsione, quindi, per un trve con sezione rett form di tringolo equiltero, e' fornit d: u 1 = q x GI 2 x 3 = p 3 GI p x 2 x 3 (38) u 2 = q x GI 1 x 3 = p 3 GI p x 1 x 3 (39) u 3 = q Ψ Hx GI 1 x 2 L = p 18 GI p Hx 1 3 3x 1 x 2 2 L Le curve di livello degli spostmenti u 3 d ingobbimento sono riportti in Figur 4. (40)

8 119 Complementi 13 - L'pproccio ll Prndtl.nb Figur 4. Le curve di livello per gli spostmenti d ingobbimento nell sezione form di tringolo equiltero Progrmmi Utilizzndo Mthemtic si illustr come nlizzre in poche righe di comndo l sezione tringolo equiltero. Si inizi fornire l funzione di Prndtl, nell su form generic, ossi in funzione di un costnte d determinre. φ = Hx 2 L I è!!!! 3 x 1 + x 2 +2 M I è!!!! 3 x 1 + x 2 +2 M; Per ottenere il vlore di, si utilizz l (), ottenendo: φprovv = φê; =Simplify@ 2GθêHD@φprovv, 8x 1, 2<D +D@φprovv, 8x 2, 2<DLD G θ 6 A questo punto l funzione di Prndtl e' completmente determint, e si puo' clcolre lo stto tensionle, derivndol opportunmente secondo le (2). Si h:

9 Complementi 13 - L'pproccio ll Prndtl.nb 120 σ 13 =Simplify@D@φ, x 2 DD G θ Hx 2 1 x 2 H2+x 2 LL 2 σ 23 = Simplify@D@φ, x 1 DD G θx 1 H +x 2 L Momento torcente e momento polre possono clcolrsi come gi' detto, ed il fttore di torsione ne segue immeditmente: I p =2 3 è!!! x 2 ë è!!!! 3 2 ë è!!!! 3 Hx 1 2 +x 2 2 L x 1 x 2 = 2 G θ x 2 ë è!!!! 3 2 ë è!!!! 3 9 è!!! 3 4 G θ Hx 2 L I è!!!! 3 x 1 + x 2 +2 M I è!!!! 3 x 1 + x 2 +2 M x 1 x 2 q =SimplifyA GI p θ E 3 Grfici