ELEMENTI DI STABILITA

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1 tbilità Per stbilità di un nve si intende, in generle, l fcoltà di conservre l su posizione di equilibrio, cioè l su ttitudine resistere lle forze che tendono inclinrl e l cpcità di rddrizzrsi spontnemente qundo cess l'zione di queste. L stbilità di un stess nve può vrire notevolmente, poiché il suo vlore dipende nche dll posizione in cui vengono disposti i pesi di volt in volt imbrcti. efinizioni Volume di cren: è il volume immerso dello scfo. Centro di cren (C): è il bricentro del volume di cren. Bricentro (): è il punto geometrico idele dove si pplic l risultnte di tutte le forze peso dell nve. Isocrene: sono crene di ugule volume pprtenenti d un medesimo gllegginte. Centro di spint: è il punto di ppliczione dell spint idrosttic risultnte di tutte le pressioni esercitte dl liquido su ogni elemento dell superficie di cren. Poiché l rett d'zione dell spint pss sempre per il centro di cren, in Teori dell nve si consider quest'ultimo come punto di ppliczione dell spint idrosttic. tbilità sttic trsversle i consideri un nve libermente gllegginte in cqu clm e con ponti orizzontli. In queste condizioni il peso e l spint risultno llineti nel dimetrle. Qunto un cus estern, vento o mre, f sbndre l nve, mentre il rest fermo, il C si spost verso il lto più immerso e l spint divent prllel l formndo con esso un coppi di forze il cui momento misur, in T per m, l stbilità sttic trversle. O O 1 C 1 Evolut metcentric Come scritto già sopr, se un nve libermente gllegginte trsverslmente dritt è sottopost ll'zione di un cus estern che non pporti vrizioni o spostmenti di crico di bordo, ess si inclin nel pino trsversle in modo d ssumere successivi glleggimenti isocrenici; l'insieme di tutti i Centri di cren formno l curv dei centri isocrenici di cren. Quest h un ndmento molto irregolre cus le forme non regolri dell cren. e l'ngolo di sbndmento è piccolo (entro ) si può ritenere quest curv d ndmento circolre confondendo, per un piccolo rco, l curv effettiv con il cerchio tngente d ess in nve diritt. Ne consegue che il punto d'intersezione dell rett d'zione dell spint, nve sbndt di piccolo ngolo, divent il centro fisso di questo rchetto di cerchio prendendo il nome di metcentro trversle inizile (). Le distnze = C 1 diventno il rggio costnte di questo rchetto con il nome di rggio metcentrico trversle inizile (r). cui è fcile ricvre il momento di stbilità sttic trsversle inizile. i vede subito che: s = H Essendo che: H = sen Ne segue pertnto che: s =. sen Infine, poiché: = (r ) i conclude: s = (r ) sen ove: = dislocmento istntneo r = rggio metcentrico = distnz verticle tr e C = ngolo di sbndmento minore di (r - ) = ltezz metcentric trsversle L'ltezz metcentric trsversle rppresent l distnz verticle tr e.. 06/04 Versione del: 11/09/07 1

2 r H C 1 Il segno del momento di stbilità dipende dll (r - ) e si possono vere tre csi: 1] s > 0 qundo (r - ) > 0 r > sopr (stbile) 2] s = 0 qundo (r - ) = 0 r = = (indifferente) 3] s < 0 qundo (r - ) < 0 r < sotto (instbile) Per ottenere l prim soluzione, bisogn indgre sui prmetri d cui dipendono le grndezze (r) e (). e si risolve l'espressione s = (r - ) sen si ottiene: s = r sen - sen omento di stbilità di form per piccoli ngoli (r sen ) Il nome del momento dipende d (r); inftti esso è ugule Ix/V dove Ix è il momento d'inerzi dell figur di glleggimento diritt ll'immersione considert rispetto l proprio sse x bricentrico longitudinle, mentre V è il volume di cren sottostnte l suddetto glleggimento. Per cui per ottenere un buon vlore numerico di (r) le forme dell nve sono molto importnti: esso cresce con l'umentre dell're di glleggimento, mentre è inversmente proporzionle l volume di cren. Il vlore di (r) è dto nelle " crene diritte " nell "curv dei rggi metcentrici trsversli" per ogni metro d'immersione. Frequentemente l posto di (r) si doper l quot Zm del metcentro trsversle inizile sull L.C. ll'immersione considert. r Z Z c Z = Z C + r (ritmetico). 06/04 Versione del: 11/09/07 2

3 omento di stbilità di peso ( sen ) Il nome del momento dipende d () che è in funzione dell distribuzione verticle dei pesi. Conclusione L'ltezz metcentric si può esprimere in due modi: r Z Z = (r - ) = (Z - Z) In prtic per ottenere un vlore ccettbile di (r - ) bisogn, per l form che lo scfo si più lrgo che lto di circ il doppio, e per il peso che il crico si distribuito prevlentemente verso il bsso. Inoltre bisogn che (r - ) non si eccessivmente grnde, inftti il periodo di oscillzione dell nve è inversmente proporzionle ll'ltezz metcentric. Nel cso che quest'ultim si grnde (nve dur) l nve può oscillre con un periodo sotto i 10 sec., e in cso di mre grosso, le strutture possono essere molto sollecitte, mentre l nve potrebbe entrre in sincronismo con il periodo di oscillzione del moto ondoso. Per motivi inversi qundo (r - ) è modesto il periodo di oscillzione è compreso d sec. e l nve si dice dolce. omento di stbilità sttic trsversle grndi ngoli di sbndmento Qundo l nve sbnd di un ngolo non piccolo, non è più lecito ritenere costnte il rggio (r) di curvtur dei centri isocrenici trsversli di cren. Inftti cus le forme di cren, quest curv è ddirittur sghemb e dirett verso popp prtire dl pino verticle trsversle che contiene nve diritt. Per semplicità si consider l proiezione di quest curv sul pino verticle trsversle che contiene nve diritt, ottenendo un curv pin curvtur vribile. I centri di curvtur (metcentri) degli rchetti C 1 C 2, C 2 C 3, C 3 C 4,... sono i punti 1, 2, 3,... che dnno origine d un curv dett evolut metcentric. Le linee d'zione dell spint idrosttic intersecno l verticle del centro di cren inizile C nei punti: 1, 2, 3,... definiti flsi metcentri o prometcentri reltivi i centri di cren C 2, C 3, C 4, ecc. L form dell'evolut metcentric dipende d, il qule, su volt, dipende dl vlore del momento d'inerzi Ix dell're di glleggimento rispetto l proprio sse bricentrico; inftti: - se con l'umentre dell'inclinzione trsversle il momento d'inerzi Ix cresce, l'evolut metcentric risult rmi inizilmente scendenti (prometcentri l disopr del metcentro trsversle ) - se con l'umentre dell'inclinzione trsversle Ix diminuisce, l'evolut metcentric risult rmi inizilmente discendenti (prometcentri l disotto del metcentro trsversle ) - se con l'umentre dell'inclinzione trsversle Ix si mntiene costnte, l'evolut metcentric si riduce d un punto: il. 06/04 Versione del: 11/09/07 3

4 metcentro trsversle h C 4 C 1 C 2 C 3 Per ottenere l prim condizione bst costruire le murte dell nve sviluppo rettilineo generlmente verticle, in mnier che qundo l nve si inclin, mentre il volume di cren (V) rimne costnte, l're di glleggimento ument, e per l formul r = Ix/V ne consegue che i metcentri istntnei si trovno l di sopr del metcentro inizile. e inclinzione trsversle dovesse continure, qundo l'cqu rriverà l trincrino (sopr) - l ginocchio (sotto), e montre in copert, l'ree di glleggimento inizierà diminuire mentre il volume di cren (V) rimne costnte, per cui r incomincerà diminuire. Ad un certo punto il prometcentro coinciderà con il, in quel momento l nve si troverà in cpovolgimento sttico ( conpreso tr ). Clcolo di un momento di stbilità trsversle d un grnde ngolo di sbndmento ino: KN = distnz tr il piede del dimetrle e l rett di zione dell spint. Z = ltezz di dll Line di Costruzione. h = distnz tr e (prometcentro o flso metcentro). Risult llor che: s = H s = TN s = (KN - KT) s = (KN - Z sen α) KN è dto, ngolo per ngolo ogni 10 nelle "Crene inclinte trsverslmente", mentre Z si clcol con il teorem dei momenti, prtendo d quello dell prov di stbilità. h Z m α H α C 1 α Curv di stbilità dell nve Utilizzndo per i piccoli ngoli l'espressione: s = (r - )sen α e per i grndi ngoli l espressione: K T N. 06/04 Versione del: 11/09/07 4

5 s = (KN - Z sen α) ripetutmente ( intervlli di 5 ), si ottengono dei vlori di momenti di stbilità che riportti in ssi crtesini (in sciss gli ngoli, in ordint i momenti) dnno luogo ll seguente curv: m = m C1 C Osservzione Per l prte inizile dell curv di stbilità si può usre il seguente metodo: Portre 57,3 (1 rdinte) il vlore (r - ). i ottiene un segmento il cui estremo superiore si colleg con l origine degli ssi. Il primo trtto di questo segmento d unione è tngente ll origine dell curv di stbilità, e come tle si confonde con esso per i primi 5, 10. ( r - ) 1 rdinte = 57,3 α. 06/04 Versione del: 11/09/07 5

6 Nve ingvont Un nve si dice ingvont qundo ess ssume un posizione di equilibrio stbile inclinto trsverslmente di un ngolo α minore di 15 ; si dice bbttut qundo tle ngolo risult mggiore di 15. In un nve ingvont il centro di grvità coincide con il flso metcentro µ reltivo l centro C 1 dell cren inclint e si trov l di sopr del metcentro inizile. C Non ppen si pplic un forz sbndnte estern, l nve si inclin formndo un coppi utosbndnte che f umentre l inclinmento dell nve C C 1 Qundo l spint pss di nuovo per, cioè il coincide con il µ, l nve ritorn in equilibrio stbile e si ferm. Nturlmente l condizione principle che questo succed è che l evolut metcentric si rmi inizilmente scendenti, che si ottiene come già detto in precedenz con l form delle murte rettiline. µ C C 1 Nell nve ingvont l curv del momento di stbilità risulterà inizilmente sotto l sse dell sciss.. 06/04 Versione del: 11/09/07 6

7 ( r - ) 0 α i α Inizilmente dl punto 0 l punto αi l nve è instbile, oltrepsstolo ess divent stbile fino l punto αc, dopo di che l nve ritorn instbile. Per riportre un nve ingvont d un posizione d equilibrio inizilmente stbile, è necessrio provocre lo spostmento del suo centro di grvità in modo d portrlo l disotto del metcentro trsversle: 1) imbrcndo pesi o zvorrndo simmetricmente sul fondo; 2) sbrcndo pesi o dezvorrndo simmetricmente l disopr del centro di grvità; 3) spostmento dll lto verso il bsso di pesi. e per errore, in un nve ingvont di 5 sull dritt, si trsport un peso sull sinistr per eliminrlo, l nve sbnd sinistr di 10. tbilità longitudinle e per l zione di un cus estern un nve subisce un inclinzione longitudinle, l curv dei centri di cren gice nel pino d inclinzione, e per ngoli d inclinzione β minore di l rco CC può ritenersi confuso con un rco di circonferenz di cui il punto ne rppresenti il centro di curvtur, indicto perciò metcentro longitudinle o grnde metcentro. R C H C' Al nuovo glleggimento di equilibrio, il sistem di forze ed form un coppi di momento: = H cioè: = (R - ) sen β. 06/04 Versione del: 11/09/07 7

8 che risult sempre positivo per l elevto vlore di R rispetto d. Inftti R è ugule R = Iy/V dove il V è il volume di cren, Iy è il momento d inerzi dell figur di glleggimento diritt ll immersione considert, rispetto l proprio sse y bricentrico trsversle. Ne consegue un grnde vlore di Iy i cui brcci hnno l dimensione dell semilunghezz nve; di solito R è compreso tr L e 2L. omento Unitrio d ssetto E quel momento di coppi longitudinle che pplict ll nve ne f vrire l ssetto di 1 cm o di 1 (come ssetto si intende l differenz tr il pescggio poppiero e quello prodiero). Questo momento è indicto con u e dto dll espressione: u = R / 100 L dove è il dislocmento istntneo, R è il rggio metcentrico longitudinle istntneo, 1/100 è un cm. espresso in m., L l lunghezz fr le perpendicolri. Impiego del u Con il u si form un semplice ed importnte proporzione: u : 1 = Σ px : I cui si ricvno i due problemi fondmentli degli spostmenti longitudinli: I = Σ px / u oppure: Σ px = I u postmento di pesi Qundo si spost un peso verso il bsso o verso l lto il segue lo spostmento, lzndosi o bbssndosi nello stesso verso di un cert quntità e producendo o vrizioni di stbilità e/o vrizioni di ssetto trsversle longitudinle. Per il principio dell sovrpposizione degli effetti, qulunque si il tipo di spostmento, si possono studire seprtmente i singoli spostmenti componenti e poi sommrne gli effetti, purché si cominci d quello verticle se c è. In seguito llo spostmento di un peso p per un distnz d il centro di grvità dell nve ( ) si spost prllelmente e nello stesso senso dello spostmento effettuto per un distnz: = p d / X n X 2 p n X p 2 X 1 p 1 Per il Teorem dei omenti, prim dello spostmento dei pesi, l distribuzione dei pesi bordo srà:. X = p 1 x 1 + p 2 x p n x n opo lo spostmento di un peso si vrà: X n X 2 p n X p 2 1 X 1 d p 1 X = p 1 (x 1 + d) + p 2 x p n x n ottrendo l prim espressione dll second si vrà:. X - X = p 1 (x 1 + d) - p 1 x 1. 06/04 Versione del: 11/09/07 8

9 . (X - X ) = p 1 x 1 + p 1. d - p 1 x 1 sen ( - ) cioè: = p 1. d = p d / postmento verticle verso l lto In seguito questo spostmento Il subisce uno spostmento verticle vvicinndosi d, diminuendo cosi l stbilità. m +p ' r ' z C -p L nuov ltezz metcentric srà ugule : (r - ) = r - ( + ) essendo: = pz/ vremo: (r - ) = (r - - pz/d) notre che: 1] l stbilità di form (r) è rimst inltert, perché non si sono mossi ne ( C ) ne ( m ) 2] in cso di spostmento verso l lto il segno v invertito. Nturlmente nche l curv di stbilità si modific. Iin prtic si pplicno due momenti ll nve, uno di stbilità, e l ltro riducente in seno. oltiplicndo l muov per sen α si ottiene: s = (r - ) sen α d cui: (r - ) sen α - pz sen α Il nuovo digrmm srà l somm lgebric delle curve dei due momenti, riportndo quello negtivo in seno, per comodità, l disopr dell sse delle scisse. sen ( + ). 06/04 Versione del: 11/09/07 9

10 postndo il peso in bsso si vrà: ( r - ) = ( r - + pz/ ) Il digrmm dell curv di stbilità si modificherà di conseguenz: risultnte postmento trsversle di un peso I: esme sttico A seguito llo spostmento lterle di un peso, il esce dl dimetrle e per un istnte il form con l un coppi sbndnte. -p y +p ' L nve sbnd finché l spint non pss per l nuov posizione del µ ' C C'. 06/04 Versione del: 11/09/07 10

11 Per trovre l ngolo αs di equilibrio sttico conviene doperre il metodo mtemtico delle coppie coesistenti lscindo il fermo e tenendo conto dell coppi sbndnte del peso spostto che h momento sbndnte in cos. Uguglindo, ll equilibrio i momenti delle due coppie risult: + sen α - cos risultnte equilibio stbile ( r - ) sen αs = py cos αs tg αs = py/ (r - ) i vede che l ngolo di sbndmento sttico αs è direttmente proporzionle l momento bbttente ed inversmente proporzionle l ( r - ). Per questo motivo è detto coefficiente di resistenz lle inclinzioni trsversli. All stess mnier dei precedenti csi l curv di stbilità si modificherà e srà dt dll sovrpposizione dell curv del momento di stbilità prim dello spostmento con quell bbttente in cos., che viene riportt l di sopr dell sse delle scisse per comodità. postmento trsversle di un peso II: esme dinmico L re rcchius dll curv di un momento sttico di forze è il lvoro che compie quest copi tr 0 e l ngolo α considerto. Le dimensioni di quest re sono rispettivmente un momento sttico di forze e un ngolo, e il loro prodotto rppresent un lvoro. L re rcchius dll curv del momento di stbilità si chim lvoro resistente ed è quello che bisogn vincere per cpovolgere l nve, mentre l re rcchius dll curv del momento bbttente in coseno prende il nome di lvoro bbttente. Finché c è l eccesso di lvoro bbttente l nve sbnderà. Rggiunto l ngolo αs di equilibri sttico ess non si fermerà. 06/04 Versione del: 11/09/07 11

12 m lo oltrepsserà fino rggiungere l ngolo d dove l eccesso di lvoro resistente eguglierà quell di lvoro bbttente inizile. + sen α - cos 2 1 α s α d postmento obliquo di un peso L effetto di uno spostmento obliquo è l somm degli effetti dovuti llo spostmento verticle e quello trsversle. L ssetto trsversle risult: tg = py / [ r - +- ( pz/) ] con il segno (+) se lo spostmento verticle è verso il bsso, con il segno (-) se lo spostmento è verso l lto. Il digrmm di stbilità si modific due volte, e nel cso di spostmento verticle componente verso l lto si ottiene: sen ( - ) - cos risultnte αs Riferimenti Bibliogrfici Rpcciuolo "Elementi di Teori dell Nve" Ed. Tipogrfi odern, L pezi Lloyd Triestino/Evergreen Appunti di tbilità. 06/04 Versione del: 11/09/07 12