di Enzo Zanghì 1
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- Daniella Angelini
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1 d Enzo Zngì Intgrl ndfnto S dc c l funzon F () è un prmtv dll funzon f (), contnu nll'ntrvllo I s F '( ) f ( ) S un funzon mmtt n un ntrvllo I un prmtv, llor n mmtt nfnt c dffrscono tr loro mno d un costnt Inftt, s F () è un prmtv d f () nc F( ) + k ( k R) è un prmtv d f () prcé ( F( ) + k) F'( ) f ( ) S dc ntgrl ndfnto d un funzon f () l'nsm dll prmtv dll funzon s ndc con f ( ) d Possmo qund scrvr: f ( ) d F( ) + k L'oprzon c prmtt d clcolr l'nsm dll prmtv s cm ntgrzon ndfnt mntr f () s cm funzon ntgrnd l punto d vst gomtrco l'ntgrl ndfnto rpprsnt un nsm d curv c s ottngono l'un dll'ltr mdnt un trslzon lungo l'ss y qust curv prsntno nllo stsso punto tngnt tr loro prlll Intgrl dfnto y un funzon contnu non ngtv dfnt nll'ntrvllo [ ] S f () l'nsm d punt dl pno pr qul y f ( ) M ;, ndcmo con m E' vdnt c dv'ssr ( ) m A ( ) M S l'ntrvllo [ ; ] vn suddvso n n prt ugul s consdrno n cscun prt l vlor mnmo (m) d l vlor mssmo (M), s m A M S l numro dll suddvson umnt l du sommtor tndono llo stsso vlor c è l'r dl trpzod Qund, pr n s : lm m lm A lm M, oss: n A f ( ) d F( ) F( ) n n
2 d Enzo Zngì orm dll md S f () y è un funzon contnu dfnt nll'ntrvllo [ ] [ ; ] n cu s : f ( ) d f ( ) ;, sst lmno un punto d Pocé m f ( ) d ( ) f ( ) d ( ) M s : m M Pr l contnutà dll funzon sstrà un punto dll'ntrvllo [ ; ] n cu l funzon ssum l vlor f ( ) comprso fr l mnmo d l mssmo d y f () l punto d vst gomtrco l torm dll md ffrm c l'r dl trpzod è ugul ll'r dl rttngolo d s ltzz f ) ( f ( ) orm d orrcll t l funzon f () ;, l funzon ntgrl F ( ) f ( t) dt è drvl pr ogn pprtnnt l domno dll funzon rsult: F '( ) f ( ), F( ) Pr dmostrr l torm s consdr l rpporto ncrmntl dll funzon ntgrl: + + F F( + ) F( ) f ( t) dt f t dt f t dt f t dt f t dt ( ) ( ) + ( ) ( ) d cu s : + y contnu n [ ] F f ( t dt ) + f ( t) dt f ( ξ ) Qund: F f (ξ ) Pr l torm dll md sst un punto [ ;] E' noltr vdnt c F ( ) f ( t) dt Il torm è qund pnmnt dmostrto Pr ξ pr l qul rsult: F s : lm lm f ( ξ ) lm f ( ξ ) f ( ) ξ
3 d Enzo Zngì Esrczo n trmnr l coffcnt ngolr dll rtt tngnt l grfco dll funzon f ( ) t ln t dt n Pocé f '( ) ln sgu c: f '( ) Ed ssndo t ln t dt t lnt t dt t lnt t s : f ( ) Esrczo n trmnr gl vntul mssm o mnm rltv dll funzon t f ( ) ( t ) dt Pr dtrmnr gl strmnt st consdrr l sgno dll drvt prm dll funzon Rsolvmo qund l dsquzon f '( ) oss ( ) Qust è postv pr L funzon prsnt un mnmo rltvo pr Esrczo n trmnr l'quzon dll rtt tngnt ll curv d quzon nl punto d scss f ( ) t cost dt Essndo f '( ) cos, s f '( ) Inoltr f ( ) t cost dt ( t sn t sn t dt) ( t sn t + cost) Qund l rtt tngnt quzon: y + ( ) Intgrl dopp Prm d dfnr l'ntgrl doppo I f (, d dy, s suddvd l pno y n qudrtt Q d lto δ, mdnt l doppo sstm d rtt δ, y kδ con k Z tl qudrtt s prndno tutt solo qull c contngono punt dl domno d ntgrzon In ogn qudrtto s prnd, d rtro, un punto ( ξ ; η ) s form l somm ntgrl S f ( ξ ; η ) δ Pr dfnzon è I lm S, s tl lmt sst fnto S f ( ; > tl lmt fornsc l msur dl δ volum dl clndrod lmtto dll sgunt suprfc: dl domno, dll porzon σ d suprfc z f (, c s prott ortogonlmnt n dll porzon d suprfc clndrc vnt gnrtrc prlll ll'ss z, comprs tr l contorno dl domno l ordo d σ (vd fgur)
4 d Enzo Zngì z σ γ ( y δ ( Ossrvmo c qundo (, f l' d dy fornsc l'r dl domno Rcordmo nfn c l clcolo d un ntgrl doppo può ssr rcondotto l clcolo d du ntgrl smplc Prm d ndcr l formul d rduzon occorr stlr s l domno è norml rsptto ll'ss o ll'ss y cso: d è norml rsptto ll'ss Ovvro è possl suddvdr l domno n un nsm d ntrvll n modo c punt P (; d tl domno soddsfno l sgunt lmtzon: ; α( ) y β ( ), dov α ( ) β ( ) sono du funzon contnu dfnt nll'ntrvllo [,] β () α () f (, d dy d β ( ) α ( ) f (, dy cso: è norml rsptto ll'ss y Ovvro è possl suddvdr l domno n un nsm d ntrvll n modo c punt P (; d tl domno soddsfno l sgunt lmtzon: c y d ; γ ( δ (, dov γ ( ) δ ( ) sono du funzon contnu dfnt nll'ntrvllo [ c, d] d c γ ( δ (
5 d Enzo Zngì 5 f (, d dy dy d c δ ( γ ( f (, d S l domno è norml rsptto ll'ss rsptto ll'ss y l formul d rduzon possono ssr utlzzt ndffrntmnt Esmp Clcolr l'r dl domno spndo c {(, R : y ln d dy Pocé l domno è norml rsptto ll'ss s : Essndo ln > pr > (vd fgur) S d dy d dy ln ln d y ln S ln d + ln d ln + + ln + ln Mntr, ln + d dy d dy ( ln ) d ( ln ) d ln + ln ln + + Clcolr l'r dl domno: (, R : ; y cos Pocé l domno è norml rsptto ll'ss s : cos cos d dy d dy [ y] d cos d [ sn + cos ] 5
6 d Enzo Zngì 6 Clcolr l'r dl sgunt domno: {(, R : y ; y } y y d dy y Consdrndo l domno norml rsptto ll'ss s : S d dy d dy ( y d dy ) d, noltr: 5 6 d y dy y d ( ) d 6 6 S {(, R : y } Clcolr l'r dl domno Pocé l funzon è ngtv nll'ntrvllo [ ;] y (vd fgur), Consdrndo l domno norml rsptto ll'ss, s : S d dy ( ) d Clcolr l'r dl domno: {(, R : ; y ln } d dy Consdrndo norml ll'ss, s : S d dy d [ ln ] ln dy qund S ln d Inoltr: d dy d dy ( ln ) d ; d cu V ln ( + ) ln 6
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