Cammini minimi in un grafo orientato pesato. Un problema di percorso. Problemi di ottimizzazione

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1 Cmmn mnm n un gro orntto sto Algortm Dkstr Bllmn-For r l rolm l mmno mnmo sorgnt sngol Un rolm rorso Dt un m strl on stnz s. n lomtr un unto rtnz s tror rors ù r s sun ll ltr loltà Prolm ottmzzzon Prolm: t un msur osto o otto nur un soluzon mmssl l l u u msur s s mnm o mssm Snz os, qust u orr rl l mno ossl

2 Gr st : A R I s ossono ssr n ngt An s non nl mo so G N, A, Funzon so Pso un mmno stnz Il so un mmno è l somm s suo r:,, K, k, +, + L+ k, k L stnz un rt ll ltro è l mnmo s tr tutt mmn ongungono l rmo l sono s sstono: mn{ : mmno u } δ u, s n sstono ltrmnt Cl somm ngt u M qunto l δu,?,,, + Pré δu, s smr nto ssumrmo non sno l somm ngt.

3 Sottommn qullo ottmo k llor s + + < + + < S un mmno è ottmo, tl sono tutt suo sottommn. Cortur, oro soluzon Un lro T è un ortur G s è un lro sorgnt un sottogro G omrn tutt suo rt. G T T C sono u ortur-soluzon Cortur, oro soluzon S s è l r T, n T l mmno s llor: [] δ T s, G T T ] [, ] [, ] [ ] [, ] [, ] [ L stnz s, n T

4 Soluzon ottm T è ottmo r G s s è un soluzon r ogn : [] δ G s, L stnz s, n G G T T è ottmo r G T Ar un soluzon ottm Suonmo T s ottmo r G s: s u, T llor [ ] [ u] + u, s u T u T s u, T llor [ ] [ u ] + u, Il torm Bllmn Torm. S Sr ogn ro u,, [] [u] + u,,, on quno u, T, T, llor T è ottmo Pr ssuro s ottmo T m non T: llor sst w t.. [w] < [w] Nl mmno n T onu w, onsrmo l rmo ro u, r u [u] [u]m [] < []: [ ] [ u] + u, rét è ottmo [ u] + u, [ u] [ u] [ ] r ots

5 Sm rsoluzon CmmnMnm G N, A,, s or N o [] [s], T, S {s} wl S o s u S, S S {u} or u, A o S nssun ro ll orm w, r n T, [] > [u] + u, tn llor rmzz // è un mmno mglor s ggung [] [u] + u, rmzz n T l ro nnt n on u, S S {u} rturn T rlssmnto Cmmn mnm BFS Somglnz D un noo onsrmo tutt suo nt, noltr:. S è l Frontr. Estrn {: [] }. Intrn {: [] < } S Drnz S è rggungl ù un mmno llor srà n S ù un olt Non s tn onto l tto un rt oss ssr stto stto Algortmo Dkstr Suonmo s sno ost: S è un o rortà o Prortà, S [] S [] < S, llor [] δ s, : s [ u] δ s, u u, mn{ u, w : u, w A} u T ots nutt δ s, non n no nor sorr Qu usmo l ots s sno ost

6 Algortmo Dkstr Dkstr-Jonson G N, A,, s // Pr: lor ost or N o [] ; [s] ; Q EmtyPrortyQuu or N o Enquu, [], Q // l rortà ogn n Q è [] wl not IsEmtyQuuQ o u ExtrtMnQ; Esssnzl s Q è or u, A o uno : l [] > [u] + u, tn oszon m [] [u] + u, rmzz n T l ro nnt n on u, RnPror, [], Q rturn T Nssun rnsrmnto Esuzon ll lgortmo Dkstr g Itrzon N o Esuzon ll lgortmo Dkstr g Itrzon N o

7 Esuzon ll lgortmo Dkstr g 6 Itrzon N o Esuzon ll lgortmo Dkstr g Itrzon N o Esuzon ll lgortmo Dkstr g Itrzon N o

8 Esuzon ll lgortmo Dkstr g Itrzon N o Esuzon ll lgortmo Dkstr g Itrzon N o 6 Esuzon ll lgortmo Dkstr g Itrzon N o

9 Esuzon ll lgortmo Dkstr g Itrzon N o Esuzon ll lgortmo Dkstr g Itrzon N o Esuzon ll lgortmo Dkstr g Itrzon N o

10 E s sono s ngt? Itrzon N o E s sono s ngt? Itrzon N o E s sono s ngt? Itrzon N o

11 E s sono s ngt? Itrzon N o E s sono s ngt? δ,,,, + Itrzon N o Un rolm on s ngt Un rortro TIR è lro sostr ontnrs un ttà ll ltr. Un ggo ll ttà ll ttà ort un rotto uro s è un ontnr trsortr, m roo un rt uro s l TIR gg sro. Assumno rott > rt <, l rorso ù ntggoso tr u ttà orrson un mmno mnmo, n u l lungzz s gl r sono. Pr ggrr l ostolo romo rlssr tutt gl r rtzon Brtoss, smo.

12 Algortmo Bllmn-For BF G N, A,, s or N o [] Qusto lgortmo [s], T, rlx tru trmn? S s, ntro wl rlx o qunt trzon? rlx ls or u, A o [] > [u] + u, tn rlx tru [] [u] + u, rmzz n T l ro nnt n on u, rturn T Algortmo Bllmn-For Torm. S S G non l somm ngt sst un ortur on r n n s, s, llor BF BF trmn ntro n trzon, o n N. S,, k un mmno ottmo n G, on s : r nuzon su k mostrmo :. [ ] δs,, r,, k è un nrnt lo. [ k ] δs, k oo l ù k trzon E n un mmno ottmo sono n r Bs: k, llor δs, δs, s [ ] r nzlzzzon Algortmo Bllmn-For Torm. S S G non l somm ngt sst un ortur on r n n s, s, llor BF BF trmn ntro n trzon, o n N. Psso: k >,, k, k : δ s,, K, k δ, [ k k + ] + k, k k +, k k, k k sott. ottmo.n. Pr. n. [ k ] δs, k, s è > llor r rlssmnto [ k ] [ k ] + k, k δs, k oo l k-sm trzon.

13 Algortmo Bllmn-For Bllmn-For G N, A,, s or N o [] [s], T or to N o or u, A o rturn T [] > [u] + u, tn [] [u] + u, rmzz n T l ro nnt n on u, Anls ll omlsstà Dkstr-Jonson: ExtrtMn s sgu n N olt, mntr RnPror s sgu l ù m A olt. S Q è un ttor, ExtrtMn è On, m RnPror è O, unqu On + m On S Q è uno, s ExtrtMn RnPror sono Olog n mntr l nzlzzzon è On, unqu, s un ortur sst, On + n log n + m log n Om log n Lo onn s m non è Ωn gro srso Anls ll omlsstà Bllmn-For: n ognun ll n trzon s slorno l ù m r: Onm Poé m è On, mo On.

14 Il orso Algortm è nto: non s ontnto? Suro s soro n qust olt