Albero di supporto di costo minimo

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1 Algortm Struttur Dat II Alro supporto osto mnmo Nl prolma lla struzon ll nrga lttra sono vrs as h vono rvr nrga a una ntral lttra. Pr rvr nrga, ogn asa v ssr ollgata alla ntral attravrso un ammno fatto av lttr (h può passar pr altr as). L ottvo è qullo far arrvar nrga a tutt l as mnmzzano la quanttà av lttr utlzzat.

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4 Algortm Struttur Dat II 5 Graf psat Un grafo psato è una trpla G =(V,E,w), ov (V,E) è un grafo w : E! R è una funzon pso h assoa a ogn aro un numro ral hamato pso o osto. Possamo rapprsntar un grafo psato n sgunt mo: lst aanza: l oggtto v nlla lsta aanza u vn stso on un ampo h ontn l osto ll aro (u, v); matr aanza: l lmnto (, j) lla matr ontn l osto ll aro (, j), s tal aro sst, oppur nl, s l aro non sst.

5 Algortm Struttur Dat II Alro supporto osto mnmo Sa G =(V,E,w) un grafo psato nrtto onnsso. Un alro supporto (spannng tr) T =(V,F) G è un alro h ha om nsm no l nsm V om nsm gl arh F µ E.

6 Algortm Struttur Dat II Il osto un alro supporto T =(V,F) è w(t )= X w(u, v) (u,v)f Il prolma onsst nl trovar un alro supporto G osto mnmo. Tal alro non è nssaramnt uno.

7 Algortm Struttur Dat II Shma algortmo L algortmo Kruskal l algortmo Prm rsolvono ntram l prolma ll alro supporto osto mnmo. Entram s asano sullo stsso shma algortmo. Sa A un nsm arh tal h sst almno un alro supporto osto mnmo h ontn A. Un aro (u, v) s suro pr A s (u, v) A sst almno un alro supporto osto mnmo h ontn A [{(u, v)}. Qun s (u, v) èsuropra allora posso aggungr (u, v) a A mantnno nvarata la proprtà h sst un qualh alro supporto osto mnmo h ontn A.

8 Algortm Struttur Dat II Lo shma algortmo è l sgunt: MST(G) 1: A ; : whl A non è un alro supporto o 3: trova un aro (u, v) suro pr A : A A [{(u, v)} 5: n whl : rturn A Gl algortm Kruskal Prm ffrsono pr om trovano un aro suro (nstruzon 3).

9 Algortm Struttur Dat II Gry programmng Pr trovar un aro suro ntram gl algortm Kruskal Prm agsono n moo ngoro. Un algortmo ngoro pro fano n ogn stant la mossa mglor n qul partolar momnto. In altr trmn, l algortmo ngoro fa tant slt ottm loal sprano n qusto moo ottnr una soluzon ottma gloal. Nl nostro aso qusta stratga è ottmal, oè raggung la soluzon ottma. Non smpr una stratga ngora è ottmal.

10 Algortm Struttur Dat II 11 Algortmo Kruskal L algormo Kruskal lavora n qusto moo: l algortmo mantn una forsta, oè un nsm alr. Inzalmnt ogn alro è un noo solato; a ogn passo l algortmo sgl, om aro suro, l aro pù lggro tra tutt qull h onnttono alr ffrnt, lo aggung alla forsta. Il numro alr lla forsta vn osì rmntato uno snza ntrourr l. quano non sono pù arh h onnttono alr ffrnt, l algortmo trmna. La forsta ontn qun un uno alro. Esso è un alro supporto osto mnmo. L algortmo è ngoro n quanto a ogn passo fa la osa mglor n qul momnto: aggungr l aro pù lggro.

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25 Algortm Struttur Dat II Algortmo Kruskal MST-Kruskal(G) 1: A ; : for ah v V [G] o 3: MakSt(v) : n for 5: HapSort(E[G],w) : for ah (u, v) E[G] o : f F nst(u) = F nst(v) thn : A A [{(u, v)} : Unon(u, v) : n f 11: n for 1: rturn A

26 Algortm Struttur Dat II Complsstà ll algortmo Kruskal Supponamo mplmntar gl nsm sgunt on una rapprsntazon a alro on ursth unon pr rango omprsson l ammno. L algortmo fa n oprazon MakSt, n 1 oprazon Unon,m oprazon FnSt. Dunqu l osto total ll oprazon su nsm sgunt è O((n +m) Æ(n)) = O(m Æ(n)), n quanto, ssno l grafo onnsso, n 1 m, oèn m + 1.

27 Algortm Struttur Dat II Il osto ll ornamnto ll nsm gl arh è O(m log m) =O(m log n), n quanto m n. Dunqu l osto total rsulta: O(m Æ(n)+mlog n) =O(m log n), n quanto Æ(n) log n.

28 Algortm Struttur Dat II Algortmo Prm L algortmo Prm lavora n qusto moo: l algortmo part a un alro h ontn un uno noo ra; a ogn passo, l algortmo aggung, om aro suro, l aro pù lggro h onntt un noo ll alro ostruto on un noo l grafo non prsnt nll alro. l algortmo trmna quano non sstono pù no l grafo non prsnt nll alro ostruto. L alro osì ottnuto è un alro supporto osto mnmo.

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38 Algortm Struttur Dat II 3 Struttur at Dfnamo la stanza un noo u a un alro T om l pso ll aro pù lggro h onntt u a un noo nll alro T.S non sstono arh h onnttono u all alro, allora la stanza u val 1. L algortmo Prm usa l sgunt struttur at: un vttor tal h [u] è la stanza l noo u all alro ostruto all algortmo; un vttor º tal h º[u] è l par u nll alro ostruto all algortmo, oppur è nl s tal par non sst; Una oa on prortà asato sul mnmo Q h ontn no l grafo h non appartngono all alro ostruto all algortmo. La prortà no è la loro stanza.

39 Algortm Struttur Dat II 0 MST-Prm(G,r) 1: for ah u V [G] o : [u] 1 3: º[u] nl : n for 5: [r] 0 : Q V [G] : whl Q = ; o : u ExtratMn(Q) : for all v Aj[u] o : f v Q an w(u, v) <[v] thn 11: [v] w(u, v) 1: º[v] u 13: n f 1: n for 15: n whl

40 Algortm Struttur Dat II 1 Dttagl mplmntatv La oa on prortà asata sul mnmo Q può ssr mplmntata usano un mn-hap, oè uno hap n u ogn noo ha hav mnor qulla propr fgl. Roramo h: E possl ostrur un mn-hap n no n tmpo Θ(n); l oprazon nsrmnto, strazon l mnmo mofa lla prortà n un mn-hap hanno osto Θ(log n).

41 Algortm Struttur Dat II Oorr mantnr una orrsponnza tra no nl grafo orrsponnt no nlla oa on Q. A tal fn ntrouamo l sgunt struttur at: un vttor pos tal h pos[u] è la poszon l noo u nlla oa Q; un vttor flag tal h flag[u] =tru s l noo u Q flag[u] =fals s l noo u Q;

42 Algortm Struttur Dat II 3 l struzon Q V [G] ostrus un mn-hap Q nsrno ogn noo u l grafo G, assgnano flag[u] atru nsrnon pos[u] la poszon l noo u nlla oa Q; l struzon u ExtratMn(Q) rmuov l mnmo u alla oa Q assgna flag[u] a fals; l tst v Q s ru a vrfar s flag[v] =tru; l struzon [v] w(u, v) v mofar la prortà ll lmnto n poszon pos[v] nlla oa Q on l valor w(u, v).

43 Algortm Struttur Dat II MST-Prm(G,r) 1: for ah u V [G] o : [u] 1 3: º[u] nl : n for 5: [r] 0 : Q V [G] : whl Q = ; o : u ExtratMn(Q) : for all v Aj[u] o : f v Q an w(u, v) <[v] thn 11: [v] w(u, v) 1: º[v] u 13: n f 1: n for 15: n whl

44 Algortm Struttur Dat II 5 Complsstà ll algortmo Prm Sa n l numro no m l numro arh l grafo. L nzalzzazon (ln 1 5) osta Θ(n); L struzon Q V [G] osta Θ(n); Il lo whl vn sguto n volt. Ogn oprazon strazon l mnmo osta Θ(log n). Qun tutt l strazon ostano Θ(n log n); L oprazon mofa lla prortà osta Θ(log n) vn fatto pr ogn aro. Qun tutt l mofh prortà ostano Θ(m log n). La omplsstà total rsulta (om pr l algortmo Kruskal): Θ(n + n log n + m log n) =Θ(m log n)