17. Le soluzioni dell equazione di Schrödinger approfondimento

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1 7. soluzon dll quazon d Scrödngr approfondmno Gl sa ms Il gao d Scrödngr è l pù famoso sao mso dlla MQ. E una parclla un po spcal, prcé è un oggo macroscopco d cu s dscu l comporamno quansco. E anc una parclla n una scaola prò la scaola d cu s parla n quso caso è ral, non fza! Anzon all uso quvoco dl rmn. Supponamo c nlla scaola, nsm al gao, c sa un aomo radoavo. S l aomo dcad, m una parclla α c nnsca un mccansmo c uccd l gao. Ma l dcadmno α è un procsso quansco qund gao, aomo mccansmo dvono ssr dscr da una funzon d onda. C sono du sa smplc: 0 > gao vvo > gao moro Prò s possono anc crar pacc d onda: > α 0 > β > gao un po vvo un po moro Scrödngr propos l paradosso dl gao pr rspondr roncamn a c assgnava valor onologco, coè d ralà concra, alla funzon d onda. Nll nrprazon dlla Scuola d Copnagn, l pacco d onda non dc affao com sa l gao n parcolar, non dc c può ssr conmporanamn vvo moro! Dc nvc c probablà abbamo, aprndo la scaola, d rovar l gao n un cro sao, coè vvo, oppur moro. mposazon probablsca è corra prcé ffvamn, nl caso proposo, non possamo ssr cr d rovarlo vvo, né anomno d rovarlo moro.

2 .b quazon d Scrödngr. Esrcz complmn. Gl sa ms approfondmno All san 0 s nroduc un nuclo radoavo nlla scaola dl povro gao d Scrödngr. a probablà c l nuclo non sa ancora dcaduo dopo l mpo è daa da: p ( ) con mpo cararsco d dcadmno. Dfnr la funzon d onda dl ssma. ( ) a probablà q() c l nuclo sa dcaduo è q, n modo c sa q p. S l nuclo è dcaduo, l gao è nllo sao >. Cò accad con ampzza d probablà: ( α 0 > β > ) α < 0 > β < > β < > < a probablà è l modulo quadro, qund. Analogamn s rova β α S no c la funzon d onda non può ssr complamn drmnaa da qus nformazon, prcé coffcn α, β sono drmna n modulo, ma non n fas. D alrond la fas nzal d non cona, sccé rsa ndrmnao solo lo sfasamno φ ra l du componn: > 0 > φ >

3 .b quazon d Scrödngr. Esrcz complmn. Vrfcar pr sosuzon dra c una cra funzon è soluzon d un quazon dffrnzal è rlavamn smplc, prcé basa calcolar alcun drva rovar la funzon rsolvndo l quazon può ssr nvc molo complcao. Vrfca pr sosuzon dra S sosusc (,) nll quazon a funzon U() è noa Qu occorr molplcar la funzon (,) pr la funzon U() m U Qu occorr calcolar la drvaa sconda d (,) rspo a Qu occorr calcolar la drvaa prma d (,) rspo a

4 .b quazon d Scrödngr. Esrcz complmn. Vrfca pr sosuzon dra funzon d prova a funzon (,) può connr alcun paramr da drmnar. In quso caso drmo c (,) è una funzon d prova. Tpco srczo d sam Dopo avr sosuo la funzon d prova, l quazon d Scrödngr s rasforma n un dnà c dv valr pr ogn poszon pr ogn san d mpo. dnà sarà soddsfaa solo s valgono alcun condzon, c prmono d drmnar paramr ncogn. a funzon U() è noa Qu occorr molplcar la funzon (,) pr la funzon U() m U Qu occorr calcolar la drvaa sconda d (,) rspo a Qu occorr calcolar la drvaa prma d (,) rspo a

5 .b quazon d Scrödngr. Esrcz complmn. a parclla n una scaola a funzon U() dlla parclla n una scaola U U m U U Uo s alrov U 0 Noamo c dov U, s dv avr c 0 affncé l quazon non abba rmn dvrgn: m U ( ) Com è possbl vrfcar pr sosuzon dra, una ra l possbl soluzon è: (, ) cos ( k ) π k k m 0 0 (, ) cos ( k ) Cosan d normalzzazon

6 .b quazon d Scrödngr. Esrcz complmn. Esrczo Vrfcar pr sosuzon dra c la funzon (, ) cos ( k ) k π k m sa soluzon dll quazon m U Parclla nlla scaola S calcolano nnanzuo l drva nlla rgon nrna alla buca: (, ) k (, ) (, ) (, ) Sosundo nll quazon d Scrödngr d ldndo l faor comun (, ) s on: k m Qusa è un dnà, vrfcaa sosundo l valor d assgnao. Rsa ancora da vrfcar c (, ) s annull n ±. Anc qusa proprà s confrma pr sosuzon dra: π (, ) cos cos 0 Infn, c s può asscurar dl corro valor dl faor d normalzzazon: π Pr l calcolo dgl ngral: p:// wdgs/vw.jsp?da00b cd3dcbc590f7 (, ) cos ( k ) (, ) d cos ( k ) d

7 .b quazon d Scrödngr. Esrcz complmn. oscllaor armonco Consdramo l quazon d Scrödngr dll oscllaor armonco. m m Com è possbl vrfcar pr sosuzon dra, una ra l possbl soluzon è: (, ) π m (, ) π è una Gaussana normalzzaa Cosan d normalzzazon lm ( ) 0 lm ( ) 0

8 ( ) ( ) ( ) ( ),,,, S calcolano nnanzuo l drva: Sosundo nll quazon d Scrödngr d ldndo l faor comun (, ) s on: ( ) m m m m 8 m Qusa è un dnà soddsfaa pr ogn valor d. Pr vrfcarlo, è suffcn sosur l valor d : m m 8 m ( ) π m, m m pulsazon dll oscllaor m massa dll oscllaor Vrfcar pr sosuzon dra c la funzon sa soluzon dll quazon Esrczo.b quazon d Scrödngr. Esrcz complmn.

9 .b quazon d Scrödngr. Esrcz complmn. Esrczo Vrfcar pr sosuzon dra c la funzon (, ) π m sa soluzon dll quazon m m pulsazon dll oscllaor m massa dll oscllaor Pr vrfcar l faor d normalzzazon, s dv calcolar l ngral: (, ) (, ) d d π π Pr l calcolo dgl ngral: p://