Lezione 12. Funzioni polinomiali. Radici di un polinomio. Teorema di Ruffini.

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1 Lezone Peequs: Lezone. Funzon polnomal. Radc d un polnomo. Teoema d Ruffn. Sa K un campo e sa L un campo d cu K è soocampo (n al caso s dce anche che L è un'esensone d K). Sa f ( X ) K[ X ] e sa α L. Alloa, se elemeno è deo valuazone d f ( X ) n α. n f ( X ) = a X, s pone = n f ( α) = aα L. Queso = Defnzone. Sa f ( X ) K[ X ]. S dce funzone polnomale (da L a L) assocaa a f ( X ) l'applcazone F : L L defna ponendo, pe ogn α L, F( α) = f ( α). Ossevazone. Funzon polnomal assocae a polnom dsn non sono necessaamene dsne. Sa, ad esempo, K = L =Z e sano f( X ) = X + X, f( X ) =. Alloa le funzon polnomal F, F da Z a Z assocae, spevamene, a f ( X ) e f ( ) X sono enambe cosan d cosane valoe []. Infa F ([] ) = [], F ([] ) = [] + [] = []. Dunque F = F, pu essendo f( X ) f( X ). Defnzone.3 Sa f ( X ) K[ X ] e sa α L. Alloa α s dce una adce d f ( X ) se f ( α ) =. Esempo.4 Sa f ( X ) = X Q [ X ]. Alloa α = R è una adce d f ( X ). Anche α = R è una sua adce. Invece 7 non è adce d f ( X ), poché f (7) = 47. Noa Le adc d f ( X ) K[ X ] n L sono le soluzon n L dell'equazone (algebca) f ( x ) =, ove x, che sosusce l'ndeemnaa X, è l'ncogna. S ossev che f ( X ) L[ X ], e qund l'equazone è a coeffcen n L. La nozone d adce è seamene legaa a quella d dvsblà, a cu è saa dedcaa la Lezone. Lo mosa l seguene sulao, la cu dmosazone ulzza l Teoema d dvsone eucldea (Teoema.). Teoema.5 (Teoema d Ruffn) Sa f ( X ) K[ X ] e sa α L. Alloa α è una adce d f ( X ) se e solo se l polnomo X α dvde f ( X ) n L[ X ]. Dmosazone: Supponamo dappma che X α dvda f ( X ) n L[ X ]. Alloa esse q( X ) L[ X ] ale che f ( X ) = ( X α ) q( X ). Peano

2 f ( α) = ( α α) q( α ) = q( α) =. Cò pova che α è una adce d f ( X ). Vcevesa, supponamo che α sa una adce d f ( X ). Sano q( X ) ed ( X ), spevamene, l quozene ed l eso della dvsone eucldea d f ( X ) pe X α n L[ X ]. Alloa f ( X ) = ( X α ) q( X ) + ( X ), () ove ( X ) =, oppue ( X ) e deg( ) < deg( X α) = ; la seconda condzone equvale a deg( ) =, qund, n ogn caso, ( X ) è un polnomo cosane, ossa ( X ) = a L. Dalla () cavamo dunque, consdeando la valuazone n α : f ( α) = ( α α) q( α) + a. () Ma, pe poes f ( α ) =, mene l secondo membo della () è uguale ad a. Segue che a =, coè ( X ) =. Cò, alla luce della (), pova che X α dvde f ( X ) n L[ X ]. 3 Esempo.6 Sa f ( X ) = X 3X + X + Q [ X ]. Alloa f () = =. Qund l polnomo X dvde f ( X ) n Q [ X ]. In effe, 3 X X X X X X = ( )( ). Coollao.7 (Pmo coollao al Teoema d Ruffn). Sa f ( X ) K[ X ]. Alloa f ( X ) ha una adce n K se e solo se è dvsble n K[ X ] pe un polnomo avene gado. Dmosazone: Se f ( X ) ha una adce α K, alloa, n base al Teoema d Ruffn, è dvsble n K[ X ] pe l polnomo X α, che ha gado. Vcevesa, sa g( X ) = ax + b, ( a, b K, a ) un polnomo d gado pe l quale f ( X ) è dvsble. Alloa esse q( X ) K[ X ] ale che f ( X ) = g( X ) q( X ). Inole poso α = ba K, s ha g( α ) =. Segue che f ( α) = g( α) q( α ) =, e qund α è una adce d f ( X ). Ossevazone.8 Poché, come sablo dal Coollao.3, ogn polnomo d gado è ducble, l'enuncao del Coollao.7 s può fomulae nel modo seguene: un polnomo d K[ X ] ha una adce n K se e solo se ha n K[ X ] un faoe ducble d gado. Coollao.9 (Secondo coollao al Teoema d Ruffn). Sa f ( X ) K[ X ] e sa deg( f ) {,3}. Alloa f ( X ) è ducble n K[ X ] se e solo se non ha adc n K. Dmosazone: Supponamo che f ( X ) sa ducble n K[ X ]. Alloa, pe l'uncà della faozzazone, f ( X ) non ha n K[ X ] fao ducbl d gado. Peano, pe l Coollao.7, non ha adc n K. Vcevesa, supponamo che f ( X ) sa ducble n K[ X ]. Alloa essono a( X ), b( X ) K[ X ] non nvebl (ossa aven gado maggoe o uguale a ) al che f ( X ) = a( X ) b( X ). In vù della fomula del gado pe l podoo (Poposzone. (b)), s ha deg( f ) = deg( a) + deg( b). Se deg( f ) =, cò mplca che deg( a) = deg( b) =. Se deg( f ) = 3, cò

3 mplca che { deg( a),deg( b )} = {,}. Qund, n enamb cas, uno a a( X ) e b( X ) ha gado. Dal Coollao.7 segue alloa che f ( X ) ha una adce n K. Ossevazone. Il Coollao.9 non s esende a polnom d gado supeoe a 3. Lo mosa 4 l seguene esempo. Sa f ( X ) = X 4 Q[ X ]. Queso è un polnomo d gado 4, pvo d adc n Q (4 non ha adc quae n Q ). Tuava è ducble n Q [ X ], n quano f X X X ( ) = ( )( + ). Il Teoema d Ruffn ed suo coolla sono un ule sumeno pe deemnae una faozzazone d un polnomo a coeffcen n un campo. Eseczo. Sa n Q [ X ] e n R [ X ]. 3 f ( X ) = X 3X + X + Q [ X ]. Deemnae una faozzazone d f ( X ) Svolgmeno: Nell'Esempo.6 abbamo vso che f ( X ) = ( X )( X X ). Ponamo q( X ) = X X. Essendo deg( q ) =, a q( X ) s applca (sa n Q [ X ] sa n R [ X ]) l Coollao.9. Noamo che l dscmnane d q( X ) è = = 8 >, qund q( X ) ha due adc eal dsne, e, pecsamene, α = + 8 = +, α =. Poché quese non sono azonal, q( X ) non ammee adc n Q, e qund q( X ) è ducble n Q [ X ]. Dunque la faozzazone d f ( X ) n Q [ X ] è f X X X X ( ) = ( )( ). Invece, n base al Teoema d Ruffn, n R [ X ] q( X ) ammee fao ducbl (non assoca) X α, X α, qund l podoo ( X α)( X α) è pae della faozzazone d q( X ) n R [ X ]. Dunque q( X ) = h( X )( X α)( X α) pe qualche h( X ) R[ X ]. Ma dalla fomula del gado pe l podoo segue che deg( h ) =. Qund polnomo h( X α)( X α) q( X ) ( X α)( X α) faozzazone d f ( X ) n R [ X ]: h R *. D'ala pae h è l coeffcene deoe del q X Ma alloa h =. Dunque, qund è l coeffcene deoe d ( ). = è una faozzazone d q( X ) n R [ X ]. Oenamo, così, la seguene f X X X X ( ) = ( )( )( + ). Ossevazone. Sa f ( X ) K[ X ] non nullo, sa α K una adce d f ( X ). Alloa, n base al Teoema d Ruffn, X α dvde f ( X ) n [ ]. K X Qund ( X α ) s dvde f ( X ) n K[ X ] pe s =. D'ala pae, se ( X α ) s dvde f ( X ) n K[ X ] pe qualche neo s, alloa, n base alla s fomula del gado pe l podoo, s = deg(( X α) ) deg( f ). Rassumendo, l'nseme { s N * ( X α ) s dvde f ( X ) }

4 è un soonseme non vuoo e supeomene lmao d N. Qund è fno, e peano ammee un massmo. Defnzone.3 Sa f ( X ) K[ X ] non nullo, sa α K una adce d f ( X ). Alloa l numeo s dce moleplcà della adce α d f ( X ). * s { s N X α f X } max ( ) dvde ( ) Noa In al emn, l numeo neo posvo è la moleplcà della adce α d f ( X ) se e solo se ( X α) dvde f ( X ), mene ( X α ) + non dvde f ( X ). Noa Una adce d moleplcà (, 3) s dce semplce (doppa, pla). La nozone d moleplcà d una adce c consene d pefezonae la elazone che abbamo gà ndvduao a le adc d un polnomo e la sua faozzazone. Poposzone.4 (Radc e faozzazon d polnom) Sa f ( X ) K[ X ] non nullo e sano α, α,..., α K sue adc a due a due dsne, ove, pe ogn =,..,, la moleplcà d α è. Alloa ( X α ) ( X α ) ( X α ) dvde f ( X ) n K[ X ]. Dmosazone: Pocedamo pe nduzone su. Pe = la es segue banalmene dalla Defnzone.3. Sa oa e supponamo la es vea pe. Poché α è una adce d f ( X ) d moleplcà, s ha che f ( X ) = ( X α ) q( X ) (3) pe qualche q( X ) K[ X ]. Sa oa {,..., }. Alloa X α ed X α sono fao ducbl non assoca d f ( X ) n K[ X ], qund sono copm, e lo sesso vale dunque pe ( X α ) e ( ) X α. Poché ( X α ) dvde ( X α ) q( X ), come nella Poposzone 6.4 segue dunque che ( X α ) dvde q( X ). Dunque pe ogn =,...,, α è una adce d q( X ) avene moleplcà. Al polnomo q( X ) s applca qund l'poes nduva. Segue che ( X α ) ( X α ) ( X α ) dvde q( X ) n K[ X ]. Alla luce della (3), cò mplca la es. Nelle poes della Poposzone.4 s ha una decomposzone f ( X ) = ( X α ) ( X α ) ( X α ) g( X ) (4) pe qualche g( X ) K[ X ]. Tenendo cono della fomula del gado pe l podoo d polnom, s deduce subo l seguene sulao.

5 Coollao.5 (Radc e gado d un polnomo) Sa f ( X ) K[ X ] non nullo e sano α, α,..., α K sue adc a due a due dsne, ove, pe ogn =,..,, la moleplcà d α è. Alloa deg( f ). = Noa L'enuncao del Coollao.5 s può fomulae come segue: un polnomo d gado n ha al pù n adc (conae con le speve moleplcà). Ossevazone.6 Nell'enuncao del Coollao.5 vale l'uguaglanza se e solo se nella (4) g( X ) è cosane. In al caso la (4) è una faozzazone d f ( X ), n cu u fao ducbl sono lnea. Cò non avvene sempe: nell'eseczo. abbamo vso, ad esempo, che la 3 faozzazone del polnomo f ( X ) = X 3X + X + n Q [ X ] conene un faoe d gado. Eseczo.7* De se seguen polnom sono ducbl n Q [ X ], R [ X ], C [ X ] : (a) (b) X X + ; ; (c) X.