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1 CAMPI CALARI, VETTORIALI E TENORIALI. CAMPI CALARI. alvo esplco avvso conao s faà femeno all'nseme R de nume eal; n esso sono defne le opeazon d somma e d podoo che godono delle ben noe popeà ( l'nseme R speo a al opeazon è un "campo" secondo la defnzone dell'algeba). Deo R 3 l'odnao spazo eucldeo eale, se n ogn puno x ε volume d R 3 ed ad ogn sane εt nevallo dell'asse de emp R è defna la quanà eale Φ(x,) nvaane speo a cambamen d femeno sa spazale che empoale, s dà che ale quanà descve un campo scalae. e Φ(x ) non dpende esplcamene dal empo, l campo scalae s dà sazonao, mene se non dpende dalle coodnae s dà unfome.. (N.B. La paola "campo" ha qu un sgnfcao del uo dveso da quello algebco.) VETTORI. E' ben noa la defnzone elemenae d veoe come gandezza appesenaa da un segmeno oenao, così come la somma d veo medane la egola galleana del paallelogamma. Volendo dae una defnzone opeava s dà "spazo veoale dmensonale sopa l campo algebco de nume eal R" l'nseme V nel quale è defna la somma veoale e pe la quale cosusce un guppo algebco commuavo, è po defno l podoo d un veoe pe uno scalae e gode delle seguen popeà: a a con R, a V ( λ μ)( a b) ( λ μ) a ( λ μ) b λ( a b) μ( a b) valde pe ogn λ,μ appaenen ad R ed ogn a appaenene a V; essono nole 3 veo lneamene ndpenden e e e 3 al che ogn a V può essee espesso come: a λ e λe λ3e3 e ale appesenazone è unca. I e veo e cosuscono una base dello spazo V e s dmosa l'nvaanza della dmensone, coè del numeo mnmo d veo necessa pe cosue una base. defnsce l podoo scalae a due veo che è una funzone eale e gode delle seguen popeà: mene non sono valde le ale popeà del podoo a nume. aà fequene l'uso d bas oonomal e al che: a b b a a (b c) a b a c λ(a b) ( λa) b a ( λb) a a a a o a e e δ dove δ è l smbolo d Konecke che vale quando e quando. defnsce l podoo veoe: a b - b a con le popeà dsbuve speo alla somma ( a b)xc axc bxc a (b c) a b a c v (b c) a b a c a CAMPI VETTORIALI. e a b e x R 3 e T R è defno l veoe a(x,) nvaane speo a cambamen d femeno, ale veoe descve un campo veoale; se a(x ) non dpende esplcamene dal empo l campo veoale è deo sazonao, mene s non dpende esplcamene dalle coodnae è deo unfome. defnscono le devae d un veoe: x lm a( x,) Δx lm a( x,) Δ e a b e3 a3 b3 a( x,x Δx,)-a( x,x,) Δx a( x, Δ)-a( x,) Δ e s vefca che valgono ue le usual popeà delle devae delle somme e de podo (facendo aenzone all'odne de fao ne podo veoal). e veo consdea sono connu con le loo devae fno all'odne necessao vale l eoema d chwaz, e.g. : 8

2 a xx a a a x x x x ec... In manea analoga s defnscono gl negal de veo. Nella Meccanca de sem Connu s faà spesso femeno alle seguen quanà dffeenzal ed negal. CIRCUITAZIONE d un veoe a lungo la lnea chusa l che ha come vesoe della angene n un veso pefssao è: Γ a dl FLUO d un veoe a aaveso la supefce d nomale n n un veso assegnao è: a Φ n d nel caso che a sa la velocà n m/s d un fludo l flusso appesena la quanà n m 3 /s d fludo che ansa aaveso la supefce nel veso assegnao; ale quanà veà chamaa poaa. DIVERGENZA d un veoe a n un puno è: lm dv a n a d essendo R 3 un volume neno al campo d defnzone d a, che conenga al suo neno l puno nel quale s nende calcolae la dvegenza ed è la fonea del volume con la nomale a oenaa veso l'eseno. La dvegenza d un veoe è ndpendene dal ssema d femeno e nel caso che a sa la velocà d un fludo, dv a appesena la densà del flusso uscene da un volumeo nell'nono d un puno al endee d ale volumeo a ; se l fludo n quesone è ncompmble la dv a espme qund la "nensà d sogene" nel puno consdeao, o, se negava d "pozzo"..nel caso compmble la dvegenza del veoe velocà d un fludo appesena la velocà d espansone volumeca, o, se negava, d conazone volumeca. Lnee d flusso d un campo veoale sono le lnee n ogn puno ed ad ogn sane angen al veoe n quesone. Ne pun n cu dv a non nzano né emnano lnee d flusso. Camp n cu dv a ovunque le lnee d flusso sono nfne oppue s chudono ad anello, al camp sono de solenodal n quano ale è l campo magneco geneao da un solenode pecoso da coene. ROTORE d un veoe è, con l solo sgnfcao de smbol: o lm a n applcando ale defnzone ad un clndo ccolae eo e calcolando la componene del ooe lungo l'asse del clndo, con smbol n fgua, s oene: n a d h n sceglendo { n a d n a d -n n a d } lm n n o a h, hπ lm lm n o a n n a d h, h h, π la dezone d n n cu l o a sa massmo π n o a o a lm π qund l o a appesena la massma densà d ccuazone del veoe a ed deo nomalmene alla gacua n cu s vefca ale massmo e nel senso da cu ale ccuazone è vsa n senso anoao; snecamena appesena qund una nensà d voce. a o a n un puno n quel puno non v è vocosà, se cò avvene ovunque l campo è deo oazonale. 9 π a π d a

3 e calcolamo l ooe del veoe velocà n un puno dell'asse d oazone d un copo gdo che uoa con velocà angolae ω sula, con smbol ovv: lm o v ω ω o π π e dao che due veo concdono anche n dezone e veso: o a ω A meno del faoe l ooe genealzza qund l conceo d velocà angolae ed è defnble anche quando ques'ulma non può essee defna. GRADIENTE d uno scalae è, con sol smbol, l veoe: lm gad Φ n Φ d Opeando n manea analoga a quano fao pe l ooe s vede che esso appesena la massma devaa dezonale ed è deo nella dezone d ale massmo, è qund nomale alle supefce Φ cos. nel veso delle Φ cescen. Tue le defnzon fn qu dae sono nvaan speo a cambamen del ssema d femeno. Nell'Anals Maemaca s dmosano seguen eoem: Teoema d Gauss (con sol smbol): n a d dv a d La dmosazone d ale eoema s avvale de lemm d Geen, ma la sua gusfcazone è mmedaa ossevando che l flusso uscene da una s upefce chusa è la somma delle nensà delle sogen al suo neno. Teoema d okes (pendendo n senso anoao speo ad n la ccuazone lungo la lnea chusa l conono della supefce ): a dl n o a d l La gusfcazone nuva è analoga alla pecedene, enendo pesene l sgnfcao cnemaco appena vso del ooe, come ccuazone del veoe a. Opeaoe d Hamlon o "Nabla". (Anco sumeno muscale ebaco con cassa amonca angolae) ( lm ) poà scvee: dv a a o a a gad Φ Φ possono applcae a ale opeaoe veoale e dffeenzale le usual egole del calcolo veoale e dffeenzale, da qu l'ulà della sua noduzone che pe al o non aggunge nulla d nuovo dal puno d vsa conceuale. n ( ) d Camp oazonal sono quell n cu non v sono voc, coè è a n uo l campo; se l campo è a connessone lneae semplce a dl, lnea chusa l l

4 Q P a dl Φ(Q)- Φ(P) l'negale è ndpendene dal pecoso ed l veoe a può fas devae da un poenzale: a Φ defno a meno d una cosane addva. Il vcevesa, coè che ogn campo devao da un poenzale è oazonale, è mmedao, n quano: o gad Φ Φ, Φ Camp solenodal sono, come gà deo, quell n cu è.a ovunque. Ques possono essee deva da un poenzale veoe: a o b b defno a meno d un gadene; queso sulao, applcao al veoe velocà d un fludo, veà ulzzao nel seguo solo nel caso bdmensonale n cu l ooe ha la sola componene nomale al pano del moo, che s denfca nella funzone d coene. Il vcevesa è mmedao: dv o b b, b Poenzal d okes. Come ndcao da okes nel 85 un qualunque campo veoale, sane l poes d connuà, può sempe pensas decomposo n una pae solenodale devane da un poenzale scalae ed una pae oazonale devane da un poenzale veoe. Coodnae caesane oogonal: lm ( ) n ( ) d lm Δx,, Δx { Δ( ) dy dz Δ( ) dz dx k Δ( ) dx dy} Δx e l opeaoe d Hamlon dvena: ( ) ( x y k z )( ) e ( ) x da cu le ben noe espesson n coodnae caesane oogonal: a x a y a z a dv a a x y z x Φ Φ Φ Φ gad Φ Φ e x y z k x a z a y a x a z a y a x o a a ( - ) ( - ) k( - ) dv gad Φ y z φ φ( z x x y z x y ) φ x φ Δx Convenzone d Ensen sulla somma. Nelle fomule peceden compae al secondo membo un ndce peuo due vole che s esausce nella somma e non compae qund a pmo membo, è coè un ndce muo; l smbolo d sommaoa è supefluo e può essee omesso; nessun ndce dovà appae pù d due vole. Convenzone sulla devaa. Le coodnae speo alle qual s deva vengono ndcae facendo pecedee gl ndc dv a a a, gad φ φ φ cosponden da una vgola. ha:, e dv gad φ φ φ, Tasfomazon d coodnae. Le coo dnae x possono essee messe n elazone con le quanà u : x x ( u )

5 suppose connue, devabl, con devae connue e con lo Jacobano: x J u quas ovunque. coè n uo l campo d defnzone a meno d evenual soonsem d msua nulla. possono qund nvee: u u ( x ) che defnscono un ssema d coodnae cuvlnee geneal. Le cos. u cosuscono le supefce coodnae, mene le nesezon d due supefce coodnae danno luogo alle lnee coodnae. e le lnee coodnae s nesecano sempe ad angolo eo l ssema d coodnae è deo oogonale. Deo x e l veoe poszone del geneco puno d coodnae x : α h α u (faoe d scala) è un veoe, non necessaamene unao, l cu modulo vale h, ed è angene alla -esma lnea coodnaa (nfa gl al due ndc esano cosan). e lo Jacobano è dveso da zeo veo α cosuscono una base dello spazo dea base coovaane. La base conovaane è nvece cosua da veo oogonal alle supefce coodnae: Coodnae cuvlnee oogonal β u. Nel seguo s consdeeanno solo ssem oogonal pe qual, a meno del faoe d scala, base coovaane e base conovaane concdono. Lo Jacobano dvene: h J u h h x h h3 h 3 l'elemeno d volume è da cu: d h du e h du e h3 du e 3 h h h3 du du du3 ( )( e h u e h u e 3 h u 3 3 )( ) In coodnae caesane oogonal u x, u y, u 3 z, h h h 3 e s oengono le espesson gà noe. In coodnae clndche u ρ, u θ, u 3 z, h h 3, h ρ, sula: ( )( ρ ρ ρ θ θ k z )( ) In coodnae sfeche u, u φ, u 3 θ, h, h, h 3 snθ, sula: )( θ θ sn θ )( ) (