Elementi di matematica finanziaria

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1 APPENDICE ATEATICA Elemen d maemaca fnanzara. Il regme dell neresse semplce L neresse è l fruo reso dall nvesmeno del capale. Nel corso dell esposzone s farà rfermeno a due regm o pologe d calcolo dell neresse: l regme dell neresse semplce; l regme dell neresse composo. Il prmo s ha quando l neresse è proporzonale al capale e al empo: I = K con K = capale nveso; = asso d neresse annuo; = duraa nvesmeno Qund, s ha: = K + I = K + K = K( + ) K Faore d monane = ( + ) Fgura

2 Il ermne ( + ) è l faore d monane e l monane. monane = capale nveso faore d monane Da: K = 00; = anno; % = 0% annuo; faore d monane = ( + 0,0) =,0; monane = 00[ + 0,0()] = 0 Il regme dell neresse semplce è n genere ulzzao per operazon fnanzare d breve duraa (non olre l anno o 8 mes). Le poes soosan l regme sono due: l fruo è corrsposo una sola vola alla scadenza dell operazone fnanzara; l neresse che maura prma della scadenza non capalzza (non dvena capale), e poché dà fruo solo l capale, l neresse è serle e non genera alro neresse. Il regme non è favorevole al credore che, durane la va del preso, non ncassa e non capalzza l neresse. E nfa: l mancao ncasso rende mpossble l consumo o l renvesmeno dell neresse; la mancaa capalzzazone non compensa l credore dell ndsponblà maerale dell neresse maurao. Per le ragon llusrae, l regme dell neresse semplce è applcao a operazon d breve ermne. Se l unà d empo è nferore all anno (mes o gorn), l asso annuale è molplcao per l rapporo ra l unà d msura emporale e l anno espresso n mes o gorn. Per effeo della varazone, l equazone del monane dvene: m = K + Ê ˆ Í Ë con 2 m = numero mes g = K + Ê ˆ g Í Ë con = numero gorn 360 Da: K = 00; duraa = 3 mes; = 3/2; % = 0% annuo faore d monane = + Ê ˆ Í 0, 0 3 Ë 2 =, 025 monane = + Ê 3 ˆ 00 0, 0 Í Ë 2 = 02, 5 Da: K = 00 ; duraa = 90 gorn; = 90/360; % = 0% annuo faore d monane = + Ê 90 ˆ 0, 0 Í Ë 360 =, 025 monane = + Ê 90 ˆ 00 0, 0 Í Ë 360 = 02, 5

3 2. Il regme dell neresse semplce. Formule per la rsoluzone d problem nvers C s è sofferma a llusrare l caso n cu, no l capale (K), l empo () e l asso () dell operazone fnanzara, s doveva deermnare l ncogna, l mporo del monane (). Nella praca, paramer no e l ncogna possono essere dvers. Nel seguo s sudano alcun cas. 2. Se l ncogna è l capale da nvesre K No l monane, l asso e la scadenza n, è possble oenere l valore d K o capale da nvesre. K è l valore auale o valore alla daa = 0 del capale a scadenza. da cu: = K( + ) Come s può noare l ncogna K è l valore del monane rporao alla daa nzale dell operazone fnanzara. K è l valore, alla daa correne ( = 0), d dsponble alla daa =. In snes, K è l valore auale d e è l faore d scono o d aualzzazone. ( + ) ( + ) = K = ( + ) faor d scono o d aualzzazone Pù n generale s può defnre l valore auale come segue: Il valore auale K è l prodoo del capale dsponble al empo per l faore d scono / ( + ). In ermn semplc, s raa d rporare ndero, dal empo > 0 al empo = 0, l capale sconandolo al asso. Ovvamene l valore auale K è mnore d. K Faore d scono = /( + ) Fgura 2

4 Da: = 08; % = 0%; = anno; faore d scono = ; K = valore auale d =? [ + 0, 0( ) ] Il capale da nvesre, al asso del 0%, per avere dopo un anno un monane d 08 z è 98,8 z. In modo analogo, s può affermare che l valore auale ( = 0) d 08 z dsponbl ra un anno, al asso dell 0%, è 98,8 z. E nfa s ha: 08 98, 8 = ( + 0, 0) 08 = 98,8( + 0,0) Da: = 06; % = 8% ; = 6 mes; K =? Il capale necessaro, per avere dopo 6 mes un monane d 06 usufruendo del asso dell 8%, è 0,92: E nfa s ha: 06 0, 92 = + 0, 08 Ê 6 ˆ Í Ë 2 06 = Ê 6 ˆ,, Í Ë Se l ncogna è l empo d duraa dell nvesmeno No l monane, l capale da nvesre K e l asso d neresse, è possble calcolare l empo d duraa dell operazone fnanzara: poso I = neresse = ( K), s oene Da: = 0; K = 95; I = 5; = 2% ; =? = K( + ) ( K) = K I = K I = ( K ) 5 32, = Í95( 0, 2)

5 Se s nvese l capale d 95 al asso del 2% e s desdera oenere un monane d 05, l operazone fnanzara deve durare anno, 3 mes e 25 gorn: =,32 0, = 5,20 coè 3 mes e 25 gorn 2.3 Se l ncogna è l asso d neresse No l monane, l capale nzale K, l empo d duraa dell nvesmeno, l asso d neresse è smao con la seguene formula: poso I = neresse = ( K), s oene = K( + ) ( K) = K I = K Da: = 0; K = 95; I = 5; = anno, 3 mes e 25 gorn; =? I = ( K ) S vuole conoscere l asso annuo che consene, a un nvesmeno nzale d 95, d avere un monane d 0 dopo anno, re mes e 25 gorn. 5 02, = Í ( 95 )(, 32 ) 3. Regme dell neresse composo Il regme dell neresse composo s caraerzza per la capalzzazone perodca degl neress che genera uleror neress. La dfferenza rspeo al regme dell neresse semplce che non consene capalzzazone è dunque chara. S nvese per due ann l capale d 00 z, al asso annuo dell 8%; gl neress sono corrspos e renves alla fne d cascun anno. Dopo un anno l monane è 08 z: () = K( + ) 08 = 00( + 0,08) Il monane è renveso, per un anno, al asso dell 8%: (2) = ()( + ) = K( + )( + ) = K( + ) 2 6,64 = 08( + 0,08) = 00( + 0,08)( + 0,08) = 00( + 0,08) 2

6 Regme dell neresse semplce = 0 = = 2 Fgura 3 K Faore d monane = [ + (2)] Regme dell neresse composo = 0 = = 2 K () = K( + ) Fgura 4 = () ( + ) = K( + ) 2 La abella rassume, alle vare dae, l processo d formazone del monane con capalzzazone composa. Dae = 0 = 2 = 2 Invesmeno 00 () 08 Renvesmeno 08 (2) 6,64 Toale 00 6,64 Il monane fnale può essere scomposo n capale, neresse e neresse su neresse. Se s svluppa l quadrao dell equazone del monane s oene l rsulao cercao: = K( + ) 2 = K( ) = K + 2K + K 2

7 6,64 = (00)(0,08) + 00(0,08) 2 6,64 = ,64 monane = capale + neresse + neresse su neresse Se la capalzzazone è annuale e l numero degl ann è nero, l equazone del monane è daa da: con n = numero ann ner = K( + ) n Se l numero d ann non è nero, per esempo 2,40 (due ann, 4 mes e 24 gorn), l equazone dvena: con f = frazone d anno = K( + ) n ( + ) f = K( + ) n+f 20,29 = 00( + 0,08) 2,40 La somma fnale è defna monane con formula esponenzale. S può ulzzare l equazone del monane con formula lneare, anche se d preferenza s fa rcorso alla formula precedene: S no che: = K( + ) n ( + f ) 20,37 = 00( + 0,08) 2 [ + 0,08(0,40)] K( + ) n+f < K( + ) n ( + f) 20,29 < 20,37 Se l perodo d capalzzazone è nferore all anno (capalzzazone frazonaa) e l asso è annuo, s convere l asso annuo () n perodale (/m) e s molplca la duraa per m o numero d capalzzazon all anno. S dce che l asso è converble m vole l anno. % = 8%; m = 2 = frequenza semesrale; n = 3 Se m = 4 = frequenza rmesrale = K + Ê ˆ Í Ë m mn 008, 26, 53 = 00 + Ê ˆ Í Ë ,40 ann dvena 2 ann, 4 mes e 24 gorn nel modo che segue: 2,40 coè 2 ann 0,40 2 = 4,80 coè 4 mes 0,80 30 = 24 gorn

8 s ha: Il asso annuo converble è un asso nomnale e non effevo. Il asso effevo annuo ( effevo ) che s ha con la capalzzazone frazonaa è maggore. S consder l seguene esempo n cu s confronano monan e relav ass d due nvesmen con dfferene frazonameno. caso: m = o capalzzazone annuale 008, 26, 82 = 00 + Ê ˆ Í Ë 4 25,97 = 00( + 0,08) 3 4 3, effevo % = Ê % Ë Á ˆ Í - 00 = 8 00 = effevo 2 caso: m = 2 o capalzzazone frazonaa effevo 008, 26, 53 = 00 + Ê ˆ Í Ë , 53 % = Ê 00 8, 6% Ë Á ˆ Í - 00 = < effevo In generale, l asso effevo è dao dall equazone che segue: 23 * effevo % = Ê Ë Á K ˆ - Se s conosce l asso nomnale e la frequenza m, l asso effevo è oenuo dall uguaglanza: ( + ) = + Ê ˆ effevo Í Ë m effevo = + Ê ˆ Ë Í m ( + ) = + Ê, ˆ effevo Í Ë 2 0,086 = ( + 0,04) 2 effevo % = 8,6% m 2 3

9 4. Il regme dell neresse composo. Formule per la rsoluzone d problem nvers Come per l regme dell neresse semplce, s llusrano cas n cu l ncogna è dversa n funzone de paramer no. 4. Se l ncogna è l capale da nvesre, K No valor del monane, del asso e del empo, è possble oenere l valore d K o capale da nvesre. K esprme l valore auale, o valore al empo = 0, del capale a scadenza. Come nel caso del regme dell neresse semplce, s deve rporare alla daa correne l valore d un capale dsponble n una daa fuura > 0. S deve, qund, aualzzare l capale ulzzando l faore d scono ( + ). K = ( + ) = ( + ) - = 0 = = 2 K = ()/( + ) () = /( + ) Faore d scono = ( + ) 2 Fgura 5 Un semplce esempo può essere d auo. Il capale dsponble ra due ann () è 08,64 z, l asso d aualzzazone è l 8%, l valore auale n regme d capalzzazone composa (K) è 00 z. Dae = 0 = 2 = 2 8,64 () = 08=8,64/(+0,08) K 00=08/(+0,08) L esempo che segue espone un caso n cu s ha un numero d ann non nero.

10 Da: = 30; = 3 ann e 5 mes; %= 8%; K = valore auale d =? 99,94 = 30( + 0,08) 3,467 Il valore auale d 30 z, ra 3 ann e cnque mes, al asso dell 8%, è 99,92 z. In modo equvalene s può dre che, per avere 30 z, ra 3 ann e 5 mes, s deve nvesre n = 0, al asso dell 8%, un capale d 99,94 z. 4.2 Se l ncogna è la duraa dell nvesmeno No l monane, l capale da nvesre K e l asso d neresse, è possble calcolare l empo d duraa dell operazone fnanzara. = K( + ) Ê ˆ Ë K = ( + ) lnê ˆ Ë K = ln ( + ) lnê ˆ Ë = K ln( + ) Da: = 30; K = 99,94; = 8%; =? 30 ln Ê ˆ Ë 99, 94 3, 469 = ln ( + 0, 08) S no che lo 0,469 d anno corrsponde a 5 mes: 0,469 2 = 5,00 In snes, se s nvese l capale d 99,94 z al asso dell 8% e s vuole oenere un monane d 30 z, l operazone fnanzara deve durare 3 ann e 5 mes crca. 4.3 Se l ncogna è l asso d neresse, Da valor del capale K, del monane e del empo, è possble smare l asso : 2 % = Ê Ë Á ˆ Í - K = Ê 00 Í Ë ˆ K La dmosrazone è la seguene: = K + f = + f Ê K Ë Á ˆ = + f Ê K Ë Á ˆ ( ) ( ) ( ) Í - K =

11 Da: = 30; K = 99,92; = 3 ann e 5 mes; =? , 008, = 342, Ê ˆ Í Ë 99, 92 - = Ê ˆ - Ë 99, 92 S osserv che l asso = 8% è un asso composo con capalzzazone annua. S può essere neressa a conoscere l asso semplce che produce lo sesso monane del composo e vceversa: [ + semplce ()] = ( + composo ) da cu s oene oppure [ ] ( + composo ) - semplce = [ + semplce ( )] composo = - 2 [( + 0, 08) -] 832, % = 2 05, 8% = + 0, 0832( 2) [ ] - S no che a parà d monane l asso semplce è maggore del composo. 5. La capalzzazone connua Con rfermeno alla capalzzazone frazonaa, s può consderare l caso n cu la frequenza m enda all nfno: la capalzzazone degl neress avvene sane per sane o n modo connuo. da cu s oene 3 : = Ke Il faore d monane nella capalzzazone connua è dao dalla funzone esponenzale e con e = 2,783. = lm K + Ê ˆ K m Í Ë m = lm + Ê ˆ Æ mæ Í Ë m m m Da: K = 00; = 3 ann; = 6% 9,72 = 00e 0,06(3) 3 L espressone fnale è oenua con la sosuzone d x = m/. x Poché e = lm Ê + ˆ s ha, nfne, = Ke. xæ Ë x m x = K Ê + ˆ = K Ê + ˆ lm lm x Ë x Í x Ë x Æ Æ

12 6. La capalzzazone connua. Formule per la rsoluzone d problem nvers 6. Se l ncogna è l capale da nvesre K o valore auale d Se l monane è noo, come la scadenza () e l asso (), e s desdera conoscere l capale K da nvesre o valore auale d, l equazone da ulzzare è dervaa nel modo che segue. S consder l equazone del monane: Dalla [] s oene faclmene l valore ncogno d K: = Ke [] K = e Da: = 39,84; = 4 ann; = 6%; K = valore auale d =? E nfa: 0 = 39,84e (0,06)(4) = Ke 39,84 = 0e (0,06)(4) In snes, 0 z è l capale che s deve nvesre n = 0, al 6%, per avere dopo 4 ann l monane d 39,84. In modo analogo s può dre che 0 z è l valore auale d 39,84 z, nves per 4 ann al 6%. 6.2 Se l ncogna è l asso d neresse Sono no l capale nzale K, l monane e l empo d duraa dell nvesmeno, l ncogna è l asso. Il valore del saggo d neresse è rcavao rsolvendo l equazone del monane: = Ke Ê ˆ Ë e K = lnê ˆ Ë K = Í Da: = 3,47; = 3,42 o 3 ann e 5 mes; K = 00; =? 3 47 ln Ê, ˆ Í Ë 008, = 00 Í 342, Se s nvese, per 3 ann e 5 mes, un capale d 00 z al asso dell 8%, alla scadenza s ha un monane d 3,47 z.

13 7. onane e valore auale d rende annue, mmedae, poscpae, a raa cosane Illusra regm dell neresse, s rene ule fornre alcun elemen per la valuazone delle rende. Perché affronare l ema delle rende? Un movo è che l prezzo d un olo con cedola fssa può essere oenuo con l monane o l valore auale d una renda emporanea, poscpaa, con raa cosane annua o frazonaa. S defnsce renda un nseme d presazon con scadenze dverse. una renda poscpaa 4, a rae cosan, frazonaa, l flusso d cedole d un BTP. L nvesmeno n un olo può essere espresso dalla somma d una renda pù l capale rmborsao a scadenza. Della renda e del capale s possono consderare sa l monane che l valore auale. Il monane d una renda annua a rae cosan C, mmedaa poscpaa è dao da S n, : 5 L equazone assume l renvesmeno delle cedole, al asso, sno alla scadenza n del olo. Se s nvere la somma s ha: S n, = C( + ) n + C( + ) n C( + ) + C S n, = C + C( + ) C( + ) n 2 + C( + ) n L equazone è una progressone geomerca d prmo ermne C e d ragone ( + ): 6 S n, = S n, = ( ) n ( + ) - C Í n n ( + ) - ( + ) - C Í = C Í (( + ) -) Nel caso d un olo obblgazonaro, l asso può essere l asso d rendmeno: renda = rendmeno Da: n = 6 ann; C = 5; % = 5,5% S 6;0,055 = ( + 0,055) 5 + 5( +0,055) ( + 0,55) + 5 ( ) 6 ( + 0, 055) - 34, 44 = 5Ì Ó 0, S defnsce renda mmedaa poscpaa la renda n cu le presazon nzano a maurare con effeo mmedao e la cu prma raa scade fra un perodo (dopo un anno o una frazone d anno). 5 Il monane s ndca con S n, e s legge: S poscpao, fgurao n al asso. 6 La progressone geomerca d n ann, con prmo ermne k ragone q è espressa da: ( q n -) k Í ( q -)

14 Se l valore d rmborso (VR) del olo è 00 z, l monane oale è 34,44 z: n ( + ) - = Sn, + VR = C Ì K Ó + 34,44 = 34, L nvesmeno nel olo, nclusa la capalzzazone delle cedole al asso e l rmborso fnale, genera un monane o ncasso oale d 34,44 z. L equazone del prezzo d un olo con cedola fssa annua può essere espressa dalla somma del monane d una renda mmedaa poscpaa a raa cosane e del capale rmborsao a scadenza. Se nvece del monane s desdera smare l valore auale o prezzo del olo, nell poes che l asso sa l asso d rendmeno, s deve calcolare l valore auale della renda cosua dalle cedole e sommare l valore auale del valore d rmborso. Nell poes che le cedole sano annual la renda è annua a rae cosan, d n ann, mmedaa e poscpaa, A n, 7. A n, = C( + ) + C( + ) C( + ) (n ) + C( + ) n L equazone è una progressone geomerca d prmo ermne C ( + ) e d ragone ( + ). A n, = -n [ ] - ÏÔ - ( + ) C Ì ÓÔ - ( + ) [ ] -n Ô C Ô = - ( + ) Ì Ó Da: n = 6 ann; C = 5; % = 5,5% A 6;0,055 = 5( + 0,055) + 5( + 0,055) ( + 0,055) 5 + 5( + 0,055) ( +, 0, = 055 ) Ì Ó 0, 055 Se l asso corrsponde al asso d rendmeno del olo, l valore auale della renda e del capale a scadenza è l prezzo. Se l olo rmborsa 00 z e l asso d rendmeno è l 5,5%, l valore auale dell nvesmeno o prezzo è 97,50 z. -n -n - ( + ) VA = An, + 00( + ) = C Ì Ó + 00 ( + ) 97,50 = 24, ( + 0,055) 6 = 24, ,52 -n 7 Il valore auale d una renda d n ann al asso, raa cosane annuale, mmedaa e poscpaa è dao da A n, e s legge: A poscpao, fgurao n al asso.

15 L equazone del prezzo d un olo con cedola fssa annua può essere espressa dalla somma del valore auale d una renda mmedaa poscpaa a raa cosane e del valore auale del capale a scadenza. 8. onane e valore auale d rende frazonae, mmedae, poscpae, a raa cosane Se l olo ha cedola semesrale o rmesrale (la renda è frazonaa), l calcolo del monane e del valore auale del flusso perodale rchede la deermnazone del asso equvalene m : 8 Noo m, lo s nsersce nella formula d S n,(m) o d A n,(m). Da: n = 6 ann; C = 5; m = 2; % = 5,5% S A n, ( m) n, ( m) m / m = ( + ) - m = ( + 0,055) 0,5 = 0,027 2 ( + 0, 027) - = 25, Ì, Ó 0, 027 = ( +, ) = 25, Ì Ó 0, 027, = In praca, convene calcolare l monane o l valore auale della renda annua poscpaa (a parà d duraa e d asso) e molplcare l valore d S n, o A n, per l faore [ / m (m)]. S A = S n, ( m) n, = A n, ( m) n, Í m ( m) Í m ( m) S no che m (m) corrsponde a: ( m) = m ( + ) - m m [ / ] 8 Poso che sa l asso annuo composo con capalzzazone annua e m l asso perodale (non annuo) composo con capalzzazone frazonaa, s ha la condzone d equvalenza fra due legg d neresse composo con dverso perodo d capalzzazone: ( + ) = ( + m ) m Dall equazone s rcava: m = ( + ) /m oppure = ( + m ) m

16 Da: n = 6 ann; C = 5; m = 2; % = 5,5%; 2 (2) = 2[( + 0,055) /2 ] = 0,0543; VR = 00 Nell poes che l 5,5% sa l TIR del olo, l monane dell nvesmeno e l valore auale o prezzo del olo sono: VA = A S A n, = S n, = S ;, ;, = A ;, ;, Ï 0, 055 Ì 34, 44, , 88 Í ( 0, 0543) = ( ) = Ó Ï 0, 055 Ì 24, 98, , 30 Í ( 0, 0543) = ( ) = Ó n VR C VR Ím ( m) + = Ô ( + ) - Ô Ì ÓÔ Ô Ím ( m) + 34, 88 = 34, n n VR C Ím ( m) + ( + ) - = Ô - ( + ) - Ô Ì VR ÓÔ Ô Ím ( m) + ( + ) - 97, 82 = 25, ( + 0, 055) -6 = 25, , 52 n