PROCESSI CASUALI. Segnali deterministici e casuali

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1 POCESSI CASUALI POCESSI CASUALI Segnal deermnsc e casual Un segnale () s dce DEEMIISICO se è una funzone noa d, coè se, fssao un qualunque sane d empo o, l valore ( o ) assuno dal segnale è noo con esaezza a pror. u segnal vs sno ad ora sono deermnsc. Ad esempo valor assun dal segnale ()cos(π) sono no con cerezza per ogn valore d () Spesso l segnale non è rappresenable (se non n forma approssmaa) con una semplce e comoda funzone maemaca quale l coseno, ma se l suo valore è noo n modo unvoco ad ogn sane d empo è comunque un segnale deermnsco. Un segnale () s dce POCESSO CASUALE se, fssao un qualunque sane d empo o, l valore ( o ) assuno dal segnale è caraerzzable solo n senso sasco, coè è una varable casuale descra dalla sua densà d probablà. Un esempo d processo casuale è l rumore presene n ogn dsposvo eleronco. Queso po d segnale non è prevedble a pror, l suo valore è noo con cerezza solo una vola che sa sao msurao. POCESSI CASUALI

2 Inroduzone a process casual () Il rumore ermco Un classco e mporane esempo ule a nrodurre l conceo d processo casuale è rappresenao dalla debole ensone elerca v () essene a cap d un ressore. Quesa ensone, varable nel empo, è causaa dal movmeno caoco degl eleron dovuo ad una emperaura del maerale superore allo zero assoluo. Se s regsra la ensone v () s oene (dopo aver effeuao la msura!) un segnale che può essere consderao deermnsco. v () 3 POCESSI CASUALI Inroduzone a process casual () Se però s prende un secondo ressore denco al prmo, poso alla sessa emperaura, e s esegue la msura della ensone elerca a suo cap, s oene un nuovo segnale v(), con caraersche sml ma dverso dal precedene poché gl eleron s muovono n modo dverso, ed ndpendenemene, ne due ressor. v () v () 4 POCESSI CASUALI

3 Inroduzone a process casual (3) Se lo scopo è deermnare l effeo del rumore ermco prodoo dal ressore su un apparecchaura eleronca o un ssema d rasmssone, non è d alcuna ulà aver vso l andameno delle enson v() o v() a cap de due ressor se l ressore effevamene monao nell apparecchaura è un alro (o anche l prmo, ma n un empo successvo: l rumore ermco non s rpee n modo prevedble!). E ule nvece ruscre a descrvere le caraersche della ensone d rumore comun a u ressor dello sesso po e a quella emperaura. In queso modo, qualsas sa l ressore (d quel valore e a quella emperaura) monaa nell apparecchaura, poremo dre, per esempo, con quale probablà s preseneranno cer valor d ensone o quale sarà la poenza d rumore. S abbandona dunque l conceo d cerezza (propro de segnal deermnsc) per passare a quello dell ncerezza, descro dalla eora delle probablà, propro de process casual. I valor del processo n generc san d empo sono consdera varabl casual, e descr come al (araverso le relave densà d probablà). 5 POCESSI CASUALI Dmensone emporale e d nseme Le enson elerche essen a cap d u ressor dello sesso po e emperaura cosuscono le realzzazon del processo casuale rumore ermco. realzzazon Dmensone d nseme empo Dmensone emporale () ()... ()... ( ) 6 POCESSI CASUALI

4 Descrzone de process casual D un processo casuale è ule conoscere le caraersche comun a ue le realzzazon Un processo casuale è descro compleamene dalle densà d probablà congune d u gl ordn e per u gl san d empo. uava n mol cas quesa nformazone complea non è dsponble. In praca per descrvere l processo casuale () s ulzzano soprauo: la densà d probablà delle ampezze del processo p (a) che descrve con quale probablà una realzzazone del processo casuale () assume un valore uguale ad a. In generale p (a) dpende anche dal empo. uava no c occuperemo d una classe d process casual de sazonar le cu caraersche sasche non dpendono dal empo. la funzone d auocorrelazone del processo ( ) che descrve quanavamene l legame ra l valore assuno da una realzzazone del processo casuale al empo + e quello assuno dalla sessa realzzazone al empo. Anche n queso caso, lmando l anals a process casual sazonar, ( ) non dpende dal empo ma solo dal rardo ra le due msure. 7 POCESSI CASUALI Densà d probablà del processo casuale () Per un prefssao empo, l processo () è una varable casuale con densà d probablà p (a) (chamaa d.d.p. del processo casuale): P( a < () a + da) p( a) lm da da che c dce con quale probablà una qualsas realzzazone del processo assume valor n un norno nfnesmo d a. A parre dalla d.d.p. s possono defnre: Valore medo: Valore quadraco medo: Varanza: La probablà che una qualsas realzzazone assuma valor n un dao nervallo: ( a) 8 POCESSI CASUALI + E[ ( )] ap da E + [ () ] a p ( a) da + [ () ] a p ( a) da E ( ) [ ] E [ < () a ] p ( a) P a a a da

5 9 POCESSI CASUALI I paramer che caraerzzano l processo casuale () possono essere calcola n modo approssmao araverso mede armeche su un numero molo elevao d realzzazon: Valore medo: Valore quadraco medo: Varanza: () () [ ] () E () () j j L ndce della sommaora s rfersce a dverse realzzazon Densà d probablà del processo casuale () POCESSI CASUALI Densà d probablà d un processo gaussano ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).997 ep ep.683 ep < + < + < da a P da a P da a P m m π π π ( ) ep a p(a) π X a p(a) π.66 π.35 π X X X X

6 .66 Funzone Q e funzone errore complemenare (erfc) π p(a) CB β X β B a B P ( > + β ) + β β Q ep π erfc ( a ) β da Q() Q(), 5,E-,8,9E-,5 4,8E-,,587E-, 4,6E-,,5E-,5 4,44E-,4 8,8E-, 4,7E-,6 3,86E-,5 4,3E-,8 3,59E-,3 3,8E-,,8E-,35 3,6E-,4 8,E-3,4 3,446E-,8,6E-3,45 3,64E- 3, 6,87E-4,5 3,85E- 3,6,59E-4,6,743E- 4, 3,67E-5 s erfc(s) s erfc(s),,e+,6,37e-, 8,875E-,8,9E-, 7,73E-, 4,7E-3,3 6,74E-,,9E-3,4 5,76E-,4 6,885E-4,5 4,795E-,6,36E-4,6 3,96E-,8 7,5E-5,7 3,E- 3,,9E-5,8,579E- 3,3 3,57E-6,,573E- 3,7,67E-7, 9,7E- 4,,54E-8,4 4,77E- 5,,537E- per per > 3 ep Q( ) ep s > erfc( s) ( / ) π ( s ) π s POCESSI CASUALI Process casual sazonar con valor medo non nullo Un processo casuale con valor medo dverso da zero può essere rappresenao come la somma d un processo a valor medo nullo eduna cosane (segnale deermnsco) uguale al valor medo. Una realzzazone d () ed () () () +.5 Le d.d.p delle ampezze d () ed () () () empo d.d.p POCESSI CASUALI

7 Auocorrelazone de process casual sazonar () L auocorrelazone del processo () è defna come valor medo d * ()(+). Se l processo è sazonaro l auocorrelazone non dpende da, ma solo da. [ ] * ( ) E ( ) ( + ) Per s oene () E[ ( ) ] L auocorrelazone è nerpreable come meda armeca, su un gran numero d realzzazon, de prodo de valor del processo agl san e +. * ( ) () ( + ) L ndce della sommaora s rfersce a dverse realzzazon 3 POCESSI CASUALI Auocorrelazone de process casual sazonar () Consderamo per esempo due process casual sazonar a valor medo nullo, ma con caraersche dfferen. Il prmo ha realzzazon che varano lenamene nel empo (ad es. l rumore d un moore d un auo al mnmo), menre l secondo ha realzzazon che varano con grande rapdà (ad es. Il frusco d fondo d un dsco rovnao)... [ ] () E[ ( ) ] * ( ) E ( ) ( + ) () (+) () (+) POCESSI CASUALI

8 Auocorrelazone de process casual sazonar (3) Alcune realzzazon d un processo che vara lenamene Se () vara lenamene nel empo, (+ ) è solamene poco dverso da (): l prodoo () (+ ) ha segno posvo per quas ue le realzzazon. Per l auocorrelazone () è la varanza del processo; per > l auocorrelazone () è sempre mnore d (). ( ) () ( + ) > valore elevao! () (+ ) 5 POCESSI CASUALI L auocorrelazone de process casual sazonar (4) Alcune realzzazon d un processo che vara rapdamene Se () vara rapdamene nel empo, (+ ) è spesso molo dverso da (): l prodoo () (+ ) ha segno casuale nelle vare realzzazon e qund l auocorrelazone ha un valore prossmo a zero. ( ) () ( + ) - 6 POCESSI CASUALI () (+ )

9 Esempo d valuazone dell auocorrelazone () * () ( + ) POCESSI CASUALI Esempo d valuazone dell auocorrelazone() ( ) E[ * ( ) ( + )].8 sulao del calcolo oa: è evdene, dalla defnzone d auocorrelazone, che per qualsas processo casuale sazonaro () è una funzone par, coè (-) () 8 POCESSI CASUALI

10 Propreà dell auocorrelazone. L auocorrelazone n concde con la poenza meda del processo casuale. () E[ ( ) ] E[ P ] P (). ( ) è l massmo valore che può assumere l auocorrelazone. 3. () è nolre una funzone par ( ) ( ) ( ) ( ) 4. Dao un processo () con meda possamo scrvere ()()-, ove () è un processo a meda. Vale la seguene relazone ( ) ( ) + 9 POCESSI CASUALI Auocovaranza de process casual sazonar [ ] ( ) * ( ) E ( ) - ) ( ( + ) - ) C ( Per un processo a valor medo nullo, l auocovaranza concde con l auocorrelazone C ( ) E[ ( ) - ] ( ) POCESSI CASUALI

11 Il coeffcene d correlazone () Dao un processo casuale, s defnsce coeffcene d correlazone del processo, l auocovaranza normalzzaa: ( ) () [( ) ( )] * ( ) ( + ) C E C ρ ( ) C [ ( ) ] E C( ) ρ () () ρ ( ) C ( ) POCESSI CASUALI Il coeffcene d correlazone () Il coeffcene d correlazone del processo è una funzone cu valor sono lma ra - e +. Ovvamene l suo valore n è unaro e, salvo cas molo parcolar, è l unco massmo. Il valore del coeffcene d correlazone n funzone d è una msura della predcblà d una realzzazone del processo all sane + noo l valore della realzzazone all sane. Seρ ()±: () () e (+) s s dcono compleamene correla, c è c èun unlegame deermnsco fra fra due due campon e qund è possble predre perfeamene l l valore dell uno noo noo l l valore dell alro. Seρ () [coè se sec ()]: () () e (+) sono ncorrela, non non è possble predre l l valore dell uno noo noo l l valore dell alro. POCESSI CASUALI

12 Una semplce dmosrazone del legame correlazone/predcblà Consderamo l processo casuale sazonaro a valor medo nullo (). Indchamo per brevà con e le due varabl casual ( ) e ( ) e per semplcà assumamo e real. Dmosreremo che: - quano pù due varabl casual e (a valor medo nullo) sono correlae, ano meglo possamo smare dall una l valore dell alra. - la sma sarà la mglore possble, se l errore d sma è ncorrelao con da. Dre che la varable casuale è correlaa con la varable casuale equvale a dre che l valore assuno da è n pare proporzonale a quello assuno da pù una varable casuale ndpendene da e qund non predcble. In breve: r + dove n è una varable casuale ndpendene da, a valore medo nullo e varanza E[ n n ] n 3 POCESSI CASUALI La sazonareà del processo c dce che la varanza delle due varabl casual e è la medesma, mponendo un legame ra la varanza d n e l coeffcene r. In formule abbamo: da cu: E r [ ] [ ] E[ ] E[ ] E ( r + n) E[ ] + E[ n ] + re[ n] r + E[ n ] n ( r ) 3 perchè ndpenden Pu r è prossmo a, pu n è pccolo e ano meno s dscosa da. S può dmosrare che l coeffcene d correlazone fra e è uguale a r: Infa: ρ ( ) E[ ]/ E[ ] r [ ] E ( r + n) [ ] re[ ] E Pu l coeffcene d correlazone è n modulo prossmo a, pu è predcble da. 4 POCESSI CASUALI

13 Sma lneare d da (predre l fuuro) Conoscendo l valore assuno da, cerchamo d predre al meglo (smare) l valore che assumerà cercando l coeffcene d proporzonalà a ˆ a Il valore omo d a s ha se la dfferenza (n meda quadraca) ra l valore smao e l valore effevamene assuno da è mnma, coè se è mnmo E [( ) ) ] E[ ( a ] ) Dervando rspeo ad a e uguaglando a zero s oene l valore omo d a [ ]/ E[ ] r a E Il valore omo d a concde, ovvamene, con l coeffcene r, nfa: [ ] E ( r + n) [ ] re[ ] E 5 POCESSI CASUALI Come s fa a predre l fuuro? Il Ilvalore omo d da concde con con rrche cheè l l coeffcene d dcorrelazone delle varabl casual e [ ]/ E[ ] ( ) a E Quesa consderazone c consene d defnre una procedura per smare al meglo l valore che assumerà una vola noo l valore assuno da a fase: apprendmeno - Analzzando (numero grande) realzzazon del processo casuale, s calcola l coeffcene d correlazone (rcordare che ) ρ ( ) E [ ( ) ( + )] E[ ( )] a fase: predzone - S sma (+ ) da () ˆ 6 POCESSI CASUALI ρ ( + ) ρ ( ) ( ) () ( + ) ()

14 L errore d sma S noa che l errore d sma, essendo causao solo dalla varable casuale n, ha valore quadraco medo par a quello d n [( ) ) ] E[ ( a ) ] E ( r Da quesa espressone s capsce subo che: - l errore d sma è nullo se le varabl casual sono oalmene correlae ( r ) - l errore d sma è massmo se le varabl casual sono ncorrelae ( r ) Infne, è mporane noare che l errore d sma è ncorrelao con l dao ( ), nfa: E E [ ( a) ] E[ a ] [ ] ae[ ] re[ ] re[ ] ) 7 POCESSI CASUALI S abba un processo casuale sazonaro () d cu s conosce una sua realzzazone lmaa nel empo da / a / che ndchamo con () Valor medo emporale Valor medo e auocorrelazone emporale Auocorrelazone emporale η lm / / ( ) d ( ) lm / * / ( ) ( + ) d () lm / / ( ) d P Per un processo sazonaro E [ η ] E [ ( )] ( ) E[ ()] E[ P ] () P poenza del processo 8 POCESSI CASUALI

15 Process casual ergodc ra process casual sazonar essono alcun process per qual s possono rcavare la densà d probablà e la funzone d auocorrelazone da una sola realzzazone. empo realzzazon Ques process sono de EGODICI. oa mporane: Per un processo ergodco ue le realzzazon hanno la medesma poenza. Osservare ue le realzzazon ad un sane d empo (o per una coppa d san) permee d rcavare le sesse nformazon sasche oenbl dall osservazone prolungaa nel empo d una sngola realzzazone. Un esempo d processo EGODICO è rappresenao dal rumore ermco. 9 POCESSI CASUALI Process casual ergodc (d.d.p. ampezze) La La densà d dprobablà de de valor assun da daun un processo casuale ergodco può può essere valuaa, olre olreche chedall nseme delle dellerealzzazon (ad (ad un un solo solo sane d dempo, arbraro, anche da dauna unasola solarealzzazone, come percenuale del del empo n n cu cul l processo assume ampezze fra fraa e a+da a+dadvso per per l ampezza dell nervallo da. da. ealzzazone del processo casuale empo POCESSI CASUALI

16 Process casual ergodc Il valor medo emporale concde col valor medo d nseme (processo ergodco per la meda). L auocorrelazone emporale concde con l auocorrelazone d nseme (processo ergodco per l auocorrelazone). η lm d ( ) / / ( ) lm / * / ( ) ( + ) d ( ) 3 POCESSI CASUALI La densà sperale d poenza d un processo casuale sazonaro () è defna come la rasformaa d Fourer dell auocorrelazone ( ) S ( f ) ( )ep Densà sperale d poenza () { j πf} d Perchè la S (f) è una densà sperale d poenza? - Come s è vso l auocorrelazone n, per un processo sazonaro, rappresena la poenza del processo sesso () E[ ()] E[ P ] P { j f } - L auocorrelazone n è uguale all negrale della sua DF (h. valore orgne): ( ) S ( f )ep π df () S( f ) df P La densà sperale d poenza per un processo casuale () rappresena qund come è dsrbua, sascamene, la poenza alle vare frequenze. 3 POCESSI CASUALI

17 Densà sperale d poenza () Dao un processo () con meda possamo scrvere: Ove () è un processo a meda. ( ) ( ) Valgono le seguen relazon ( ) ( ) + S ( ) S ( ) + δ ( f ) Un processo sazonaro, con meda dversa da, ha una densà sperale d poenza con un mpulso nell orgne d area par al quadrao della meda. Vceversa un processo con meda ha una densà sperale d poenza senza mpuls per f. 33 POCESSI CASUALI Densà sperale d poenza (sgnfcao fsco) S supponga che l processo casuale () sa oenuo da () araverso un flro deale passa banda cenrao sulla frequenza f (e, smmercamene, -f ) con pccola banda f. S può ben dre che () conene le sole frequenze d () nella banda del flro, coè n un norno d ±fo. Se f è suffcenemene pccolo s ha S ( f ) S ( f ) f f /< f < f + / per f e smmercamene norno a -f. La poenza d (), coè la poenza d () nelle bande f, è daa da P + S ( f ) df S ( f) f Dunque S (f ) ha effevamene l sgnfcao d poenza per unà d banda n un norno d f, coè d densà sperale d poenza. oa: l aggevo sperale vene usao per ndcare uo cò che s rfersce al domno delle frequenze. S no che meà della poenza è arbua alle frequenze negave! Poché cò ha poco senso fsco, spesso s prefersce defnre una densà sperale unlaera (doppa della blaera ; è ovvo che po ne calcol s consderano le sole frequenze posve!) IMPOAE: la densà sperale d poenza non può essere negava (a nessuna frequenza, flrando, s oerrebbe un processo () con poenza negava!!) 34 POCESSI CASUALI

18 Process casual araverso ssem LI () Se un processo casuale () sazonaro passa araverso un ssema lneare emponvarane con rsposa all mpulso h() e rsposa n frequenza H(f), l processo casuale n usca () è sazonaro ed ha le seguen caraersche:. In generale la densà d probablà del processo n usca () è dversa da quella d (). Solo la densà d probablà Gaussana rmane ale nel passaggo del processo casuale araverso l ssema LI: cambano solo valor medo e varanza.. Il valor medo del processo n usca è legao a quello d ngresso dalla seguene relazone: 3. L auocorrelazone del processo d usca è legaa a quella d ngresso dalla seguene relazone: 4. La densà sperale d poenza del processo n usca è legaa a quella d ngresso dalla seguene relazone: S H () ( ) ( f ) S ( f ) H f ( ) ( ) h( ) h( ) 35 POCESSI CASUALI Process casual araverso ssem LI () 5. La poenza del processo n usca dpende dalla densà sperale d poenza del processo d ngresso e dalla rsposa n frequenza del ssema LI secondo la relazone P ( f ) S ( f ) df S ( f ) H df 6. La varanza del processo n usca dpende dalla densà sperale d poenza e dal valor medo del processo d ngresso e dalla rsposa n frequenza del ssema LI: P S f ) df S ( f ) H ( f ) df ( ) ( H 36 POCESSI CASUALI

19 Process casual banch () S defnsce banco (a valor medo nullo) un processo casuale sazonaro con densà sperale d poenza cosane. Qund un processo casuale banco (a valor medo nullo) ha auocorrelazone mpulsva. AEZIOE: quesa caraersca è ndpendene dalla densà d probablà delle ampezze che può essere d po qualsas (ad es. Gaussana, unforme ) S raa, evdenemene, d una dealzzazone (anche la luce che dcamo banca, da cu derva l nome, ha spero che non s esende all nfno). oamo che un processo veramene banco avrebbe poenza nfna! el mondo reale osservamo solo process flra (con banda pù o meno larga). Se la banda del processo n ngresso è pù larga d quella del flro, possamo assegnare valor arbrar alla densà sperale fuor banda (senza che cambno rsula del calcolo). Un valore cosane è l pù comodo dal puno d vsa maemaco. 37 POCESSI CASUALI Process casual banch () () - / () / S (f) p (a) f -5 5 oa: auocorrelazone mpulsva sgnfca che l valore (+) del processo banco al empo + è assoluamene mpredcble dal valore () all sane : l processo vara n modo nfnamene rapdo! Se l processo banco ha valor medo dverso da zero, s ha S (f)( /)+ δ(f) e () ( /)δ()+ 38 POCESSI CASUALI

20 Process casual banch (3) Solamene la densà sperale (blaera) d un processo casuale () banco vene ndcaa con S (f) / e qund la funzone d auocorrelazone con () / δ() oa: s ndca qund con la densà sperale d poenza unlaera. E mporane saper calcolare la poenza d un processo () oenuo da un processo banco () araverso un flro con rsposa all mpulso h() e rsposa n frequenza H(f). Sha + S + ( f ) df S ( f ) S + H( f ) df + ( f ) H( f ) df h ( ) d 39 POCESSI CASUALI Correlazone ra usca e ngresso d un ssema LI La correlazone ra due process casual ergodc () e () è defna nel modo seguene: * ( ) lm ( ) ( + ) d ( ) / / Se due process casual () e () sono rspevamene l usca e l ngresso d un ssema LI la loro correlazone è uguale alla convoluzone ra l auocorrelazone dell ngresso e la rsposa all mpulso del ssema LI: ( ) ( ) h ( ) S noa che se l processo d ngresso è banco (auocorrelazone mpulsva), la correlazone ra usca e ngresso concde con la rsposa all mpulso del ssema. 4 POCESSI CASUALI ( ) δ ( ) h ( ) h ( ) Quesa propreà è spesso ulzzaa ne ssem d elecomuncazone per smare la rsposa mpulsva del canale d rasmssone che è gnoo a pror.

21 Correlazone ra usca e ngresso banco () Processo banco () h()? Processo correlao * ( ) lm ( ) ( + ) d h() se S (f) e / / qund ()δ() 4 POCESSI CASUALI Un esempo mporane d processo banco () S consder l processo () le cu realzzazon sono cosue da ren d mpuls equspaza a passo, con rardo nzale casuale e area a casuale ndpendene da mpulso a mpulso con valor medo nullo e varanza. ( ) ( n ) anδ n () () 4 POCESSI CASUALI

22 Un esempo mporane d processo banco () S può dmosrare che l processo casuale () è SAZIOAIO ed EGODICO, con le seguen propreà. Il valor medo è nullo:. La varanza è: / 3. L auocorrelazone è mpulsva (processo banco): ( ) ( / ) δ ( ) 4. La densà sperale d poenza è cosane (processo banco): S ( ) ( / ) 43 POCESSI CASUALI Se l processo casuale () passa araverso un ssema LI con rsposa n frequenza H(f) e rsposa all mpulso h(), n usca s oene un processo () con: Densà sperale d poenza: S (f ) ( /) H(f) h() () S (f) H(f) S (f) f f f 44 POCESSI CASUALI

23 Il processo casuale () cosruo nel modo ndcao precedenemene può essere usao per rappresenare (nel empo) una sequenza casuale d b. Cascuno d ess sarà codfcao, ad esempo, con un mpulso reangolare, d base, ed ampezza: +A ( ) o -A ( ): A h() () S (f) H(f) / (A) A S (f) f f f S ( f ) / h( ) H ( f ) A rec( / ) A snc( f ) S ( f ) A snc ( f ) 45 POCESSI CASUALI