Professor Mario Dente, Professoressa Giulia Bozzano

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1 Pofesso Mao ente, Pofessoessa Gula Bozzano patmento d Chmca, Mateal e Ingegnea Chmca "Gulo Natta" Sezone Chmca Industale e Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano Pazza Leonado a Vnc, Mlano (MI)

2 Pemessa. Questa spensa è ognata da des potagonst, sa soggett che oggett. Anztutto l ttolae del Coso, e l Consglo d Coso d Stud (C.C.S.) competente hanno aggunto la conclusone (molto azonale, n età) che l Coso n consdeazone non potesse essee consdeato la somma atmetca d due: petanto sa n temn d esposzone degl agoment duante le lezon, che nella pepaazone d mateale ddattco dee essee adottato l cteo della untaetà. conseguenza, le due dffeent dspense pepaate lo scoso anno accademco pe un coso che tanstoamente nascea con un tplce poposto, cospondeano (adtamente) al dscutble cteo della addttà : pe l poposto del molto pù coeente Coso con l nome della attuale dspensa ea pecò necessao mettee mano non solo alla tpologa della esposzone ddattca del pof. ente, ma anche alla stuttuazone delle dspense dell anno pecedente. Quelle eano costate noteole mpegno alla pofessoessa Gula Bozzano, agl student Vncenzo Teenzo e Rccado Stun (la cu atttà dee essee codata, pe aee solto un laoo utle anche alla stesua attuale). Collaboato ed estenso della esone attuale, che non è mea addzone d pezz esstent, e ntepolazone d ess, ma anche dlgente opea d tasfomazone pe sctto d cò che l pof. ente spega e acconta duante le sue lezon, sono stat gl alle Matta Gulo Bessan e Andea Montebell a qual dee andae un plauso d conoscmento. Pof. Mao ente - - Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

3 Coso: MECCANICA EI FLUII CON PRINCIPI I INGEGNERIA CHIMICA. Pesentazone coso: In questo coso engono ntodott te fenomen d taspoto pù mpotant che detemnano l compotamento d base n molte appaecchatue, chmche e non, ed a pocess elementa da ess goenat. Poché, pe caattezzae sa l taspoto d matea che d caloe, è quas sempe necessao dspoe d una adeguata conoscenza del campo d moto del fludo n possmtà delle supefc sulle qual, o attaeso le qual aengono gl scamb, una patcolae attenzone dee essee dedcata agl aspett fludodnamc. Oamente faanno eccezone quelle stuazon nelle qual taspot d caloe e matea, eentualmente n pesenza d eazon chmche, hanno luogo n assenza d moment conett de flud. conseguenza un leo patcolae nel coso ene dedcato alla tattazone de pncp fondamental su cu s fonda la meccanca de flud (nclusa oamente la loo condzone statca ), che dunque costtuà pate essenzale del coso. Il coso s sluppa attaeso la pesentazone de pncp d base, su scala macoscopca e po su scala d equazon ndefnte e sull uso d alcun poblem-tpo, genealzzat po a stuazon molteplc gaze a consoldat cte sem-empc (es. smltudne estesa,estensone d gandezze geometche, combnazone d compotament asntotc, ecc.). La pesentazone è concepta pe un coso d pmo lello. Pù n dettaglo gl agoment sono: blanc genealzzat d matea, enega e quanttà d moto; legg elementa d taspoto d quanttà d moto, matea, caloe (Newton, Fck e Foue spettamente); scostà, dffustà mateale e dffustà temca; teoa delle popetà d taspoto ne gas e ne lqud semplc, stato lmte mateale e temco; moto ntono a bolle e gocce solate, defomazone d bolle e d gocce e moto d scam; popetà d sospenson ed emulson; flud newtonan e cenn a flud non newtonan; condzon alle supefc d ntefase (ad esempo capllatà, mensch, etc.); equazon fondamental che goenano l moto de flud; statca de flud; blanco d enega meccanca: teoema d Benoull pe flud deal; momento de flud omogene: moto n condotte e pedte d caco dstbute e concentate; moto ntono ad oggett: stato lmte, sua stabltà e suo dstacco; nnesco d otc; foza su oggett mmes nel fludo e fatto d attto; ntoduzone alla tubolenza (medazone delle equazon ndefnte e pofl unesal d eloctà ne tub).. Stuttua de pocess e funzon delle opeazon untae. Un pocesso ndustale, d tpo chmco o anche d alto tpo (pe esempo nel campo della poduzone d alment, d sostanze famaceutche, d poduzon metallugche, d mateal non metallc, n quello de pocess legat alla salaguada dell ambente, ecc., coè della ndusta d pocesso n genee) appesenta un sstema la cu funzone essenzale è quella d modfcae alcune Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

4 sostanze, consdeate matee pme del pocesso, n alte, consdeate suo podott, e nseme/oppue modfcane le loo popetà. La compensone d una pate almeno de fenomen e del compotamento delle appaecchatue e dell nteo mpanto è essenzale non solo pe la loo coetta pogettazone, ma anche pe la loo coetta conduzone, pe la loo efca nelle usual condzon d maca, pe l loo mgloamento qualoa sultno edent utltà nelle modfche, pe lo sluppo d nuo pocess o mpant ne moment d nnoazone tecnologca. La compensone alla quale s fa femento è connessa, anche se non concdente, con la capactà d quantfcae cò che accade ento e ta le appaecchatue dell mpanto. In alte paole, la compensone del pocesso chmco e del elato mpanto è anztutto qualtata e d tpo desctto de fenomen conolt, ma la sua azonalzzazone s aale, laddoe possble, n modo essenzale del calcolo. Esstono moltssm pocess d poduzone, che dagl nz del 900 sono stat agguppat n base alle azon da ntapendee su mateal; ta queste azon dell ndust d pocesso le pù mpotant sono quelle d tpo chmco e fsco (aazon d tempeatua e pessone, spesso usate pe faoe le tasfomazon chmche). Questo agguppamento da mglaa d pocess dffeent a poche opeazon fondamental (cca un centnao), applcabl a poduzon dstant ta loo, ha potato ad una noteole semplfcazone dello studo connesso all ngegnea chmca e non solo. Ad esempo: scaldamento e affeddamento condott negl scambato d caloe sono opeazon opposte, ma engono consdeat la stessa opeazone fondamentale condotta n dezon dffeent. Inolte, la stessa opeazone può esgee dese appaecchatue a seconda della dezone, delle dmenson e de podott desdeat: gl scambato d caloe s possono sudddee n apozzato, condensato, ebollto, Complessamente s può affemae che l ntea mpantstca chmca s basa sulle opeazon fondamental o untae. Va nolte aggunto che queste stesse opeazon s basano, a loo olta, su alcun pncp (estemamente elementa, ma unesalmente conoscut: PRINCIPIO BILANCIO o Pncpo della conseazone della matea blanco mateale o masso; o Pncpo d Newton (II legge): F m a blanco d foze o della quanttà d moto; o Pncpo d conseazone dell enega blanco d enega; Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano Quest te pncp sono mpescndbl da una desczone accuata del sstema che s desdea analzzae. I te blanc fno ad oa menzonat sono de blanc pop, ossa sono fondat su un pncpo e ogn addendo è scble n temn apostc. A quest possono essee affancat alcun blanc mpop (che contengono temn non sempe alutabl apostcamente) ad esempo: o Blanco entopco (non sempe è quantfcable tutta la geneazone d entopa); o Blanco economco; o Blanco d enega meccanca (non è sempe esattamente alutable l enega dsspata). Assegnae tpo, foma, dmenson e condzon opeate d un appaecchatua (coè satuae gad d lbetà nten) sgnfca assegnane le pestazon: alloa le aabl che caattezzano lo stato delle sostanze uscent sultano funzone genealmente unoca delle sole aabl che caattezzano lo stato delle sostanze entant e delle condzon opeate mposte al sstema.

5 Le elazon quanttate ta le aabl che defnscono lo stato delle sostanze uscent ed entant n ogn opeazone sono naant spetto al tpo d poblema; ta d esse fanno spcco, come costtuent essenzal, le equazon global d blanco: mateale, enegetco e d quanttà d moto. Tuttaa, nella tattazone d alcune opeazon, uno o pù d quest blanc possono non essee pes n consdeazone: ad esempo, nelle opeazon nelle qual non aa la composzone, blanc mateal non sono equazon sgnfcate, così come non lo sono quell d quanttà d moto n tutt quelle opeazon nelle qual le aazon d eloctà e d pessone ta uscte ed entate sono tascuabl. S può faclmente ntue che le elazon d blanco, n quanto espment pncp d aldtà estemamente geneale qual sono pncp conseat, pescndono dal tpo patcolae d opeazone ed appaecchatua cu sono applcat. Mente le equazon costtute (elazon d equlbo, equazon d stato d flud e sold, legg che egolano le eloctà de fenomen elementa, legam ta fluss e gadent d gandezze che geneano fluss), pe loo natua, sono sempe d aldtà locale ed eccezonalmente possono espmee popetà global. Le equazon d blanco, pu mantenendos nella sostanza sempe le stesse, quando engono sctte pe la caattezzazone locale de sstem, assumono un aspetto fomalmente deso (dentano, coè, equazon ndefnte d blanco). In questa foma espmono sempe le popetà d blanco (locale), ma sctte pe la geneca untà d olume del sstema. Anche queste equazon ndefnte fanno pate de pncp basla su cu è fondata la fenomenologa dell ngegnea chmca. 3. Le equazon d blanco globale Le equazon d blanco globale (dette anche ntegal o macoscopche) sono elazon quanttate, ndspensabl pe ogn tpo d calcolo elato all mpanto, la cu foma geneale è naante spetto al tpo d calcolo, d appaecchatue ed alla scala d mpostazone (con l esclusone della scala nucleae): nfatt, blanc espmono pncp d aldtà estemamente geneale, qual sono pncp d conseazone, e engono utlzzat pe detemnae le potate, le composzon, le tempeatue e le eloctà delle coent che entano n goco n un detemnato sstema. Ess engono espess pe sstem (temodnamc) apet agl scamb d matea e d enega, qual possono sultae omogene o eteogene (oeo costtut da pù fas dffeent). Il sstema geneco peso n consdeazone saà una egone d spazo (o domno), eentualmente anche non contnua, d olume V, delmtata da una supefce d contollo chusa S (o fontea) e contenente n spece, cascuna caattezzata da un ndce geneco ; attaeso la supefce d contono S del domno spazale potanno flue matea, enega e quanttà d moto con le popetà ad esse assocate. S M V,tot W,tot Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

6 Il sstema da analzzae potà essee omogeneo o eteogeneo e s doà suppoe defnble n ogn punto del olume e della supefce ogn aable d stato e del moto sgnfcata: tempeatua, composzone, eloctà e pessone. In tal modo è anche defnble ogn popetà globale sgnfcata (quanttà d matea, d enega ntena, cnetca, potenzale, etc.) che s toeà ad nteene ne blanc. Saà utle dstnguee ta popetà global attbubl dettamente al olume (tasfomazon ed accumul) e popetà global attbubl alla supefce che lo delmta (taspot e tasfement); taspot potanno, po, essee d tpo conetto o dffuso (legato al moto molecolae o d aggegat spetto al moto d nseme del fludo). La foma pmta e geneale delle equazon d blanco, feta all untà d tempo, è la seguente: quanttà sultante taspotata o tasfeta accumulo nel olume geneazone complessa ento + nell' untà d tempo nel domno nell' untà d tempo l sstema nell' untà d tempo attaeso S o flusso netto totale nel domno S assume la conenzone d segno d consdeae post gl appot entant e negat quell uscent. Gl appot sultant (dffeenza ta appot entant ed uscent), costtuscono la quanttà totale netta entante nel domno scelto. Anche pe le tasfomazon, la conenzone oa è quella d consdeae post gl appot che accescono la quanttà su cu s è fatto l blanco. I te blanc essenzal (quello mateale, quello enegetco e quello ettoale d quanttà d moto) petono l concetto espesso nell equazone geneale, facendo femento alle gandezze omogenee pope d cascun blanco. 4. Il blanco d matea La stesua del blanco d matea pe un geneco componente può essee fatta, ndffeentemente, con femento a gandezze masse o gandezze mola. In geneale, l secondo femento è pù usato del pmo, sopattutto quando blanc engono sctt pe descee l compotamento de eatto chmc: nfatt le eloctà d eazone sono espesse soltamente n temn mola, così come le stechomete delle eazon fanno femento alle mol. Tuttaa, la popetà essenzale (dal punto d sta conseato) d naanza della massa nelle eazon chmche non è spettata, come oo, nel blanco molae (le mol total non s conseano, soltamente, nelle eazon chmche). Conenzonalmente, s ndcheanno con le lettee mnuscole dell alfabeto latno le gandezze con untà masse (pe esempo kg), mente con quelle mauscole le gandezze con untà mola (s pens alle kmol). E nteessante leae che l eo pncpo d conseazone guada le sole spece atomche, le sole che, conseandos nalteate nelle eazon chmche, hanno eloctà globale d geneazone nulla. In base al pncpo geneale de blanc, dunque, è possble scee, pe l componente, l seguente blanco d matea (con femento masso): dm dt,tot w - 6 -,tot +,tot Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

7 doe: m,tot massa del componente contenuta nel olume consdeato, all stante t geneco; w,tot flusso netto ( potata) del componente, n massa, entante nel sstema attaeso S e nell untà d tempo;,tot quanttà netta n massa del componente geneata nell untà d tempo all nteno del olume consdeato, pe effetto d tutte le eazon chmche pesent; ndce del geneco componente,,.., N c. Ogn blanco mateale non è alto che la petzone patcolae e dettaglata del pncpo sopa esposto. Nel caso n cu, all nteno del domno, le condzon (paamet d stato) aasseo da luogo a luogo, l blanco totale non see pe solee l poblema (qualunque esso sa) e bsogna usae una elazone dffeenzale e qund ntegae. Il blanco della massa totale, coè della somma d tutte le spece pesent m tot m Nc,tot, daà luogo, dal momento che la massa totale geneata dalla totaltà delle eazon chmche pesent nel Nc sstema, nell untà d tempo, è nulla (coè tot,tot 0), alla seguente espessone: dm dt tot w. tot Tal fomule hanno caattee estemamente geneale: sono alde oamente pe sstem fomat da uno solo o pù component e engono utlzzate nel calcolo delle pù saate appaecchatue. Nel d caso d sstem stazona, l addendo è soppesso e, con esso, tutte le (elate) dffcoltà neent dt alla necesstà d ntegae equazon contenent deate tempoal; nel caso d sstem pefettamente mscelat (o d dmenson suffcentemente dotte), nece, la composzone può essee consdeata unfome: n tutt punt e, n patcolae, sulle sezon d uscta, ogn fase ha alo unfom d fazone massa ω, che, petanto, concdono con la meda ento l olume. Qualoa nel sstema sano pesent eazon chmche, tuttaa, potebbe pesentas l poblema d usce a condue calcol facendo femento a sole popetà mede global, n patcolae a composzon mede. E oppotuno leae che solamente nel caso d eatto pefettamente mscelat s può assumee che la eloctà d eazone sa unfome, peché dpendente dalla composzone e tempeatua, anch esse unfom. A questo punto sulta conenente dstnguee ta fluss conett e fluss dffus che attaesano la supefce S, specfcando meglo la natua d quest fluss, con femento alle eloctà n goco. Consdeamo un olumetto molto pccolo d fludo, ntono al geneco punto P, nel quale sono contenute N (numeo molto gande) molecole o patcelle della spece, ognuna (k) delle qual possede eloctà, k. Pe eloctà meda locale d momento della spece nel punto P, s consdea la meda seguente: k N - 7 -, k. Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

8 La eloctà meda d massa o eloctà fludodnamca (che è quella che soltamente s ntende pe eloctà) ene a sua olta defnta così: ρ ρ ω ρ ρ doe la sommatoa è estesa a tutte le spece molecola pesent nel fludo e ρ è la denstà locale del fludo. Fntanto che non s consdeano fenomen dffus, des component d una mscela mangono ndffeenzat (macoscopcamente) ed nteessa la sola eloctà, che è quella nomalmente utlzzata dalla Meccanca de Flud. Pe un fludo s può anche defne una eloctà meda molae: doe appesenta la fazone molae del componente Questa eloctà è desa spetto a quella fludodnamca, ma questa dffeenza è elatamente molto pccola sa ne lqud (alcun mcon al secondo), sa ne gas (alcun decm d mllmeto al secondo), mente denta eleata n condzon d plasma. La dffeenza sta a appesentae l contbuto, dato da fenomen d dffusone molecolae, che s soappone al taspoto, dcamo così, ndffeenzato desctto dal solo ettoe. Il temne è detto eloctà d dffusone o dffusonale e può aggungee al pù mm/s ne gas e mcon/s ne lqud. Complessamente l flusso mateale locale del componente può essee sctto come segue: ρ ρ + ρ, coè è dato dalla somma del flusso dffuso (n molt test ndcato con l ettoe j ρ ) e d quello conetto. a una apda anals della pecedente equazone sulta semplce notae che, anche n assenza d mot pù faclmente msuabl (conett), ne sstem chmc possono essee pesent fenomen dffus. In un qualsas sstema s ha che: ρ ρ + ρ j +ρ ρ j +ρ j 0, A B Setto dsoe Coè fluss dffus s autocompensano. Nel caso d un sstema con un solo componente, esso non è sottoposto a fluss d dffusone molecolae, mente gà n un sstema a component j A j B 0. ato l sstema n fgua: potzzando che esso sa omotemo e omobaco (coè non c sano dffeenze d tempeatua o d pessone a causa delle qual s manfesteebbe uno spostamento conetto del fludo), toglendo l setto dsoe l moto caotco delle molecole le poteebbe a mescolas; e cò mente s può affemae che non s manfesteebbeo mot conett Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

9 leabl (ad es. con tubo d Ptot). unque la mscelazone n questo sstema dealzzato saebbe douta a sol fluss dffus causat dal caos d scala molecolae, assocato alla pesenza delle dffeenze d composzone. Cò è coeente con le egole mposte dal Pncpo della temodnamca al guado della ceazone d entopa ne fenomen chmco-fsc ad eoluzone spontanea: tale dee tenes anche l elemento d fludo nel quale esste un gadente d composzone chmca. Così che, alle due dese scale mco e maco, l fenomeno appae come: MOTO CAOTICO (alla scala mco) IFFUSIONE (alla scala maco) La eloctà taslazonale delle molecole è n geneale paagonable alla eloctà d popagazone del suono nel mezzo mateale, ma la eloctà d dffusone è molto mnoe (d des odn d gandezza) peché l moto è casuale, c sono degl ut, che etocedono, casualmente, cop molecola quando colldono. Ta una collsone e quella successa, nel caso d gas lontan dalle condzon ctche, l moto molecolae è pessoché ettlneo ed unfome. Inece, e sempe pe gas n possmtà d condzon non deal l moto non è pù ettlneo n possmtà delle collson 7 molecola a causa delle foze d attazone delle molecole, cca popozonal a Tonamo al blanco globale d matea. In esso, dopo ae defnto l flusso netto globale conetto come:. () () Δ w w w, sulta comodo dstnguee, n molte appaecchatue o loo pat, ta le supefc attaeso le qual pealgono taspot conett e le supefc attaeso le qual sono pepondeant fluss dffus; così facendo, l equazone d blanco mateale pe l componente potà essee sctta come segue: dm dt,tot Δw,tot + w (m),tot + con w,tot (m) flusso dffuso totale attaeso la supefce S (m),tot ( m S ) ( m) j ds. W () S W (m) S (m) (fgua ) S W () Nel blanco d massa, pe l sstema consdeato (fgua ), attaeso le supefc S e S, s suppone che l contbuto (d tasfemento) dato dalla sa tascuable spetto a quello (d Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

10 taspoto) data dalla fludodnamca; s suppone, nece, che cò non aenga attaeso la supefce d contatto S (m), peché nteessata da una potata dffusa. Le supefc nteessate da fluss dffus sono ad esempo le supefc ntefase: s pens pe esempo all assobmento d un gas n un lqudo o d un componente pesente n fase lquda che ene taspotato n una fase gassosa. In tal cas l fenomeno d scambo aene attaeso l ntefacca d sepaazone fa le due fas che, pe defnzone, non può essee nteessata da potate conette (che ne detemneebbeo nfatt la dstuzone ). In altenata al blanco n temn d massa, è possble, e spesso utle ne poblem che guadano l ngegnea chmca, scee l blanco d matea totale n temn mola sa pe l sngolo componente, che pe l nseme de component (oamente tenendo conto che, n geneale, Nc TOT R,tot 0 R ): dm dt,tot dm TOT W,TOT + R,TOT WTOT + R TOT dt, con oo sgnfcato de smbol. al momento che le eloctà d eazone sono quas sempe date come funzon delle composzon (e non delle potate), è conenente chae come s detemnno le fazon masse e mola mede, sulle sezon attaesate da fluss conett o ento l olume del sstema: ω m m,tot,tot ρ ρ M,tot. M Solamente se le composzon sono unfom (nel olume o sulla supefce), c è concdenza ta aloe locale e aloe medo. La defnzone d concentazone, nece, sulta ben nota e ale la popetà: c C, doe C è la concentazone totale: C c.,tot Nc 5. Legam ta gandezze global e gandezze local specfche. È a questo punto necessao, pe meglo chae l sgnfcato delle gandezze che nteengono nelle equazon d blanco globale, defne legam che ntecoono ta le gandezze global (masse, potate, etc.) e quelle specfche (fete coè all untà d olume o d supefce, qual denstà, potata specfca, etc.), aabl localmente da punto a punto. Quest semplc legam, poché caattezzano attbut d olume e d supefce, sono espmbl, nella loo foma geneale, medante ntegal d olume o d supefce. V sono due egole semplc, ma basla e comun a a blanc, utl nella stesua delle espesson degl ntegal: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

11 a) Quanttà globale all nteno del olume ntegale d olume applcato alla quanttà specfca feta all untà d olume; b) Flusso globale che enta attaeso la supefce ntegale d supefce applcato alla quanttà specfca (flusso specfco) che enta attaeso l untà d supefce. Il flusso specfco entante nel olume attaeso l elemento d supefce ds è assocato alle potate che attaesano detta untà d supefce. Poché la conenzone che s assume (stablta da Gauss) pe l esoe n che dà la nomale alla supefce è d dgelo eso l esteno del olume, la componente nomale entante della eloctà (che è uguale pecsamente alla potata olumetca entante nell elemento d supefce ds ed è la sola che a no nteessa) è data comunque da,n n (s tatta d un podotto scalae). Seguendo queste egole, d aldtà geneale, le gandezze del blanco mateale possono essee espesse nel seguente modo: w,tot m,tot ρ dv, S V dv,,tot ρ V ( m) n ds j nds ( m S ) doe,tot appesenta la massa d geneata nel olume, nell nteallo d tempo t. ρ ρ + ρ j + ρ appesenta l flusso mateale locale del componente che ene scomposto ne due contbut conetto e dffuso. Nel caso d utlzzo d gandezze mola s ha nece: W,tot S M,tot V c R c n ds,tot R V S dv dv c n ds (m) S J nds doe R (mol d geneate / olume tempo) non è la eloctà d eazone nel senso stetto della chmca fsca, dacché ad essa possono contbue dese eazon e con dffeent coeffcent stechometc (s cod che, n condzon soteme, le eloctà d eazone dpendono soltanto dalle concentazon delle ae spece chmche pesent). S ha petanto - - N ν R, doe N è l numeo d eazon, ν j l coeffcente stechometco del componente -esmo nella j-esma eazone, R j la eloctà della j-esma eazone. Nel caso n cu tempeatua, pessone e composzone sano unfom nel domno, ad eccezone d alcun luogh lmtat, sa olumetcamente che supefcalmente, le pecedent elazon possono essee semplfcate: R j J J Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

12 m,tot ρ dv ρ V, V,tot dv V, Il Teoema d Gauss-Jodan, o della degenza, consente d tasfomae gl ntegal d supefce n ntegal d olume: S AdS V V d ( A) dv AdV doe: A: geneca gandezza scalae o ettoale; è un opeatoe matematco denomnato Nabla che ha l sgnfcato d una degenza quando applcato ad un ettoe e d un gadente quando applcato ad una gandezza scalae. A A y A z Se A è un ettoe s ha: A da + + ; y z A A A Se A è uno scalae: A gada + j + k (doe, j,k sono eso degl ass y z catesan, y e z). Edenzando oa nell equazone d blanco fluss conett e quell dffus, e sosttuendo nell equazone d blanco gl ntegal sctt, s ottene la seguente espessone: Facendo tendee a zeo l olume, s ottene: d dt ρdv ( ρ) dv - j dv + dv V V V V V ρ t ρ j +, Che appesenta l equazone ndefnta d blanco mateale (eq. d contnutà). Essendo l opeatoe nabla (degenza quando applcato a ettoe,gadente quando applcato a scalae) elato a fluss conett così defnto: ρ ρ + ρ y y + ρ z z Rassumendo le equazon fn qu ottenute sono le seguent: ρ ρ j + equazone d contnutà pe l sngolo componente (blanco masso t geneco, ndpendente dal componente conolto). - - Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

13 ρ ρ equazone d blanco pe la globaltà delle component (equazone pù semplce t pe la meccanca de flud, pe la globaltà delle component). C C J + R equazone d blanco molae (è una appossmazone agoneole t spetto al blanco d matea feto al sngolo componente ). 6. La pma legge d Fck. stnguendo fluss conett entant ed uscent da quell dffus mateal (quell, coè, che tubano l equlbo del sstema n esame), l equazone d contnutà o equazone ndefnta d blanco d matea pe l sngolo componente assume la seguente foma: ρ t j ( ρ ) +. Nc I fluss dffus, ncapac d geneae mot d nseme del fludo (nfatt j 0), poseguono sempe da zone a concentazone pù eleata eso alte meno concentate; nolte, pe un sstema a due component ( j A jb ), fluss dout a dffusone tendono a compensas cendeolmente, s pala coè d contodffusone delle spece. Coè,come gà detto, fluss dffus n defnta nascono dalla necesstà del sstema d soppee ad un dsequlbo d composzone n esso pesente. I fluss dffus attaeso la pozone d supefce S (m) dpendono da gadent local d composzone chmca, qual, essenzalmente, appesentano le cause che pomuoono fenomen d dffusone. La legge d Fck stablsce un legame d semplce popozonaltà ta l ettoe flusso j, n un punto geneco, e la foza motce: j ρ ρ,m,m ω, doe,m appesenta l coeffcente d dffusone o dffustà del componente nella mscela (untà d msua: L /T, pe esempo m /s). Tale legame è stato efcato nella patca ed è unesalmente conoscuto: la legge d Fck appesenta qund la popensone del componente a dffondee nella mscela degl alt component. Se nell equazone ndefnta d blanco d matea s sosttusce la denstà elata del componente con l podotto ρ ρω, s ha: ρω t j ( ρω ) + Elaboando come segue temn contenent la denstà, s ha: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

14 ρω t + ρ t ω t ( ρω ) ω + ρ + ( ρω ) ω + ρ + ω ρ + ρ ω ρ t ω t + ( ) + + ρ ω ω ω ρ ρ ρ ω t t t oe l ultmo temne cosponde al podotto ta la denstà della mscela e la deata sostanzale o (...) (...) lagangana ( + (...) )della fazone massa della spece spetto al tempo (è la t t eloctà d aazone della quanttà della componente msuata da un osseatoe soldale con una lnea d flusso della coente). L equazone ndefnta d blanco d matea può essee qund sctta, n temn d deate sostanzal, come: ρ t j +, che, consdeando la globaltà delle component assume la foma: ρ ρ t Nelle coodnate otogonal,y,z s ha: ρ ρ t Nel caso d flud ncompmbl s ha y + y z + z ρ 0 0 t Passando alle concentazon mola, le due fomule pecedent assumeanno le seguent fome caattestche: J,m c e c t J + R. Sosttuendo J nella seconda espessone, e potzzando che la dffustà sa costante ( coè, ngegnestcamente palando, sa poco aable )ottenamo la degenza d un gadente ( opeatoe d Laplace d(gad)) e quella che è a tutt genealmente nota come II equazone d Fck: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

15 c t c R,m +. oe + +. S ottene così un sstema, che n condzon soteme è autonomo n y z quanto c sono tante equazon dffeenzal quant sono component. Pe toae la soluzone occoe nolte mpoe le condzon nzal ed al contono. Le dffcoltà d soluzone aumentano con l accesces della complesstà della foma geometca de conton e con le complesstà delle cnetche d eazone. Pe tutto cò s adotteanno cte d semplfcazone e metod semteoc d estapolazone da cas pù semplc a quell pù ealstc (anche se pù complcat ). Pe pote solee n geneale l equazone occoe conoscee anche l campo d moto (a causa del temne nella deata sostanzale contenente la eloctà), bsogna coè pote ndduae l poflo d eloctà. A questo poposto c saanno alcune eccezon come pe esempo è l caso de eatto deal CSTR (Contnuous Sted Tank Reacto), Batch e PFR (Plug Flow Reacto). Tonando sempe al blanco globale,è l caso d popoe alcun esemp d uso : Attaeso la supefce S (m), d nomale n, e lungo la dezone y, l flusso specfco entante (pe untà d supefce) ale: J,y,m ( m) ( m ) S S dc dy (s not la fote analoga con la Legge d Newton, che lega gl sfoz scos con gadent d d eloctà: τ μ y μ γ& ). dy La dffeenza locale sgnfcata che agsce qual ea foza motce, e sotto la quale aene, n un geneco punto d S (m), l taspoto ento S (m), è la dffeenza ta l aloe d concentazone locale n cospondenza d S (m) (ma sempe dal lato nteno) e la concentazone meda d mscela, alutata n un oppotuna sezone nomale ad S (m). Tutte le supefc ntefase sono pealentemente nteessate da fluss dffus e solo da quest, n quanto oamente solo n queste condzon è possble mantenee una supefce d sepaazone d fase. Cecando d accennae al poblema teoco pù geneale: l flusso dffuso molecolae d matea J dee essee consdeato sultante d quatto tp des d contbuto: dffusone odnaa: pe gadent d composzone, o meglo pe gadent d atttà chmca o potenzale chmco; dffusone temca: pe gadent d tempeatua, nfatt quest ultma agsce n manea dffeente sulle molecole d desa massa, coè, a patà d tempeatua le molecole pù pccole subscono un effetto cnetco temco maggoe d quelle pù gand; dffusone pe pessone (pe gadent d pessone); dffusone fozata: pe camp d foze estene, dffeenzat spece pe spece (campo elettostatco, elettomagnetco, ecc. ). In pma appossmazone ognuno d quest contbut è popozonale alla foza ( gadente col segno cambato) che lo pooca: (m) (T) (P) (G) J J + J + J + J ; d tutt quest contbut, quello Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

16 soltamente pù sgnfcato è la dffusone odnaa. La cospondente legge d Fck, con gandezze mola, ale: J Al d là della stuazone pù comune cospondente alla dffusone odnaa eanno da segnalae contbut d alta ogne n foma d esemp. Un esempo n cu non è possble tascuae coeffcent d dffusone pe gadente d pessone è costtuto dal pocesso, non cataltco, pe la poduzone del poletlene a bassa denstà (la pessone nzale può aae a cca 3000 atm e quella fnale è d gan lunga nfeoe). Allo stesso modo non saebbe possble tascuae la temodffusone n sstem ne qual fosseo pesent eleatssm gadent d tempeatua (ad es. 0 6 C/m ). Infne sulteà d mpotanza domnante la dffusone fozata n sstem qual ple, accumulato, battee, bagn elettoltc, plasm elettomagnetc, tutt sstem caattezzat da eleate foze d campo elettco o magnetco o entamb. c Tona utle petee che l espessone t se l coeffcente d dffustà camba n funzone dello spazo peché le aazon n odn d gandezza sono modeste (le aazon pe pedte d caco sono spesso tascuabl).,m c,m c + R ale con buona appossmazone anche 7. Il flusso dffuso e la foza motce. Nel tattae blanc macoscopc, le espesson che fanno uso de gadent non sono molto conenent poché chedono la conoscenza dell nteo poflo d concentazone nella fase esamnata. Il pù delle olte, s pefesce alutae le component de fluss (mateal e temc) attaeso le supefc d scambo come podotto d coeffcent d scambo (mateal e temc) e dffeenze d potenzal genealzzat (tale potenzale cosponde alla concentazone stessa c, da ntendee, a goe, come msuazone n ambente deale dell atttà temodnamca del componente ). La foza motce locale sotto cu aene l taspoto dffuso (dezonato), nece, appesenta l gadente del potenzale (gad c ). Indcando con Δ c tale dffeenza locale d potenzale, l flusso locale entante nel domno ene altenatamente espesso nel seguente modo: s c B dc J,y,m K ( m) c Δ S d R c, Bulk del gas doe K c appesenta l coeffcente locale d scambo d matea, msuato pe esempo n m/s (tale espessone, ad esempo, può essee applcata pe c I detemnae l flusso dffuso all ntefacca fa un lqudo ed un gas). s è lo spessoe n cu s concenta la aazone d composzone. Esso è funzone della fludodnamca che s ha nella fase Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

17 nella quale aene la dffusone. Natualmente, c > 0 ndca un flusso uscente, mente un c < 0 ne ndca uno entante. E mpotante notae che sono fequent stuazon n cu la supefce d sepaazone d fase (o d tasfemento d matea) S (m) non è faclmente alutable o, comunque, non è comodo ntodula esplctamente ne blanc (s pens alle appaecchatue a fas mmscbl, gas-lqudo o lqudolqudo): n tal cas, è d uso comune ntodue un coeffcente d scambo d matea feto all untà d olume (nece che all untà d supefce), defnto come l podotto d K c pe l fattoe S ( m). V Se s appossma l andamento effetto del poflo d concentazone, dalla supefce ntefaccale a quella d bulk, con una lnea spezzata, s è gado d sosttue la deata pazale con la aazone Δ c c I c B. Tutte le ae equazon che abbamo sn qu dedotto a pate dall equazone geneale d blanco mateale cospondono a delle sue semplfcazon, gustfcate almeno n pma appossmazone, assa utl pe la soluzone d patcola class d poblem. E chao che poblem che possono essee solt completamente con le sole equazon global d blanco mateale appatengono a class puttosto stette: occoe, ad esempo, che tempeatue e pesson non sano ncognte, che la fludodnamca del sstema sa completamente caattezzata, che l poblema sult agoneolmente a paamet concentat (coè che le aazon spazal sano tascuabl o tutt al pù undezonal), che sano assegnat coeffcent global d scambo d matea e così a. In geneale, un equazone smle a quella pecedentemente esposta è applcable anche utlzzando alte foze motc: ad esempo J K p Δ p pe fluss d gas, doe s utlzzano delle pesson pazal (o pù coettamente le fugactà), J K ω Δω, o ancoa J K Δ. In ogn caso, K c, K p, K ω, K appesentano che alo d K sono assocat ad un detemnato tpo d foza motce. Sapendo che n tutt cas J è sempe lo stesso, s desume che anche tutt sano ta loo popozonal, comunque K c esta l pù utlzzato e spesso è ndcato dalla sola lettea K. 8. Ragguppament admensonal: l numeo d Shewood. I nume admensonal appesentano l appoto ta le gandezze che caattezzano l mpotanza delle ae foze genealzzate che nteengono nel fenomeno analzzato. Pe ogn tpo d flusso (d matea, d quanttà d moto, d caloe) attaeso l contono, s possono ntodue des nume admensonal. I nume admensonal non sono, oamente, tutt ndpendent fa loo, dal momento che costtuscono appezzament su msue degl addend d equazon: n alte paole, alcun nume admensonal sono tpcamente dpendent da alt, che sono, pe conto, tpcamente ndpendent (Re, Sc, Ф, etc). Un agguppamento utle a endee admensonale l coeffcente d scambo d matea, è appesentato dal numeo d Shewood: Sh K C L,m Il numeo d Shewood eà peso n seguto e sluppato nella soluzone d poblem tpo Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

18 9. Un agguppamento admensonale: l numeo d Thele. Nel caso d cnetche semplc del pmo odne, n cu R k c, assume una ceta leanza anche l numeo o modulo d Thele, così defnto: Φ V S p p k eff doe: V p olume del copo nteessato dalla dffusone d matea S p supefce del copo nteessato dalla dffusone d matea eff coeffcente d dffusone effcace nella stuttua poosa Anche l modulo d Thele eà peso n seguto e sluppato nella soluzone d poblem tpo. 0. Ragguppamento admensonale: l numeo d Schmdt. Un alto mpotante agguppamento admensonale che lega le due gandezze omogenee,m e ν è l numeo d Schmdt, l quale appesenta la capactà d taspotae e tasfee quanttà d moto molecolae elata al taspotae la quanttà d matea (pe lqud odna Sc >> ): Sc ν,m. Il pncpo d smltudne estesa. S tatta d un pncpo semempco che asscua che legam ta gupp admensonal s mantengono al aae della geometa consdeata puché s usno delle oppotune lunghezza caattestche. Qund le soluzon ottenute pe geomete e cnetche pù semplc possono essee estese anche a cas pù compless dal punto d sta geometco e della cnetca.. I poblem tpo de pocess d taspoto: ntoduzone. Rcaptolando quanto sto fnoa, sulta mpotante bade che, con l nseme delle equazon sctte (blanc global, equazon ndefnte, ecc), s sono poste le bas pe solee, almeno n lnea d pncpo, anche poblem pù compless guadant fenomen che hanno luogo n un gande numeo d appaecchatue. Nell affontae la maggo pate de poblem s utlzzeanno le fome geometche pù semplc possbl pe conton, confdando che l cosddetto pncpo d smltudne estesa conceda un accettable estapolazone de sultat così ottenut ad alte stuazon geometche; nolte, eanno ntodotte anche alte semplfcazon sulle equazon (ben gustfcate, oamente), allo scopo d due al massmo le dffcoltà analtche Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

19 3. Alcun poblem tpo de pocess d taspoto: dffusone stazonaa senza moment conett e senza eazone ntono a cop sfec e attaeso laste pane. Ta des poblem capostpt d una see d poblem eal (qu defnt come poblemtpo ) comncamo con l pù semplce pe l taspoto d matea. Nel caso d pocess dffus stazona ( deata tempoale nulla) e senza moment conett e n assenza d eazon chmche, la a legge d Fck subsce una noteole semplfcazone c 0 c + R(c) / / c 0. t La foma geometca d cu c s occupeà n questo poblema-tpo saà d tpo sfeco o, comunque, suffcentemente appossmable ad una sfea: sulla supefce o ento tal cop, pe la maggo pate de cas d dmenson dotte, possono aee luogo eazon che consumano la spece chmca n esame. Tale è l caso pe esempo d eazon d combustone sulla supefce d una patcella oppue al suo nteno (pe dae un esempo collocato ad un estemo); o pe un esempo, collocable ad alto estemo delle poblematche possbl, pe la dffusone d spece molecola almenta eso la supefce d un ogansmo monocellulae, suffcentemente solato dagl alt suo sml. Suppoemo, nolte, che la concentazone n supefce sa nfeoe a quella d Bulk (l sultato a cu s peeà, tuttaa, aà aldtà geneale), e che l sstema sfeco sa solato (se non lo fosse saebbe suffcente che gadent fosseo estes n una zona abbastanza pccola paagonata alla dstanza meda ta due oggett adacent ) e che l campo s estenda dal aggo R della sfea sno all nfnto. In tal potes, la dffusone sulta essee goenata dall equazone dffeenzale c 0, la quale appesenta una degeneazone della legge d Fck, assa pù semplce da maneggae. ata la smmeta sfeca n goco, saà necessao ntodue delle coodnate sfeche e fae n modo che anche l opeatoe Laplacano sa espesso n funzone delle nuoe coodnate spazal. Come condzon al contono del poblema oggetto d studo, dal momento che c c() e che R, possamo poe le seguent che sono le unche fscamente sgnfcate : c c c c S pe R pe + La seconda condzone ndca una dstanza suffcentemente lontana dalla supefce sfeca. Rscendo l equazone dffeenzale del secondo odne pecedente ed ntoducendo le coodnate sfeche: c d d dc ( ) d d dc ( ) 0 d d dc dc A A seguto d una pma ntegazone, otteemo: A (con A costante d d abtaa fnta), espessone dalla quale è facle caae la soluzone completa dell equazone d patenza: C B + A Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

20 I alo delle due costant d ntegazone, A e B, possono essee detemnat aalendos delle due condzon al contono sopandcate: - pe + c c B A - pe R cs c + A R ( c cs ) R Δc (oe Δc ( c cs ) sta a R appesentae la foza motce caattestca del taspoto d matea). È possble a questo punto scee la soluzone completa dell equazone dffeenzale ognaa: R c cb Δc. Natualmente se c s > c la sfea cede del flusso tamte dffusone, altment lo sta assobendo. A questo punto, patendo dalla pma equazone d Fck, s può calcolae l flusso untao d matea che attaesa la supefce nell untà d tempo: c Δc J ; R R questo, peò, è l flusso uscente dalla supefce della sfea, mente no alutamo post fluss entant. E oppotuno, a questo punto, ntodue l coeffcente d scambo d matea K c, l quale, come ben codeemo, ha le dmenson d una L/t (eloctà): dalla sua defnzone s ottene : K C Δc J Δc R K C R. ameto Utlzzando l numeo d Shewood, possamo scee tale equazone n un equalente e pù semplce foma admensonale: Sh K C ameto,m Pe stuazon geometcamente pù complcate, là doe soluzon analtche o numeche sono estemamente complcate da ottenee, sulta utle applcae l pncpo d smltudne estesa, endendo, dunque, possble la genealzzazone a geomete dese da quella semplcemente sfeca pe aae ad una stma comunque agoneole d K c. In tutt quest cas, s fa uso d un coeffcente d scambo d matea medato su tutta la supefce (K c, nfatt, non è unfome sulla supefce e, pe esempo, ha alo pù alt n possmtà de punt angolos d ogn copo) e c s fesce ad una dffeente lunghezza caattestca, che pende l nome d dameto sfeco equalente (esso equale al dameto della sfea che ha lo stesso appoto ta olume e supefce dell oggetto consdeato). Pe defne tale gandezza, ndspensable pe ntodue geomete nuoe altment non studate, occoe calcolae l olume e la supefce della patcella n questone, l cu appoto aà, oamente, le dmenson d una lunghezza: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

21 doe: P K Sh C ameto sfea,m equalente π 3 ameto V sfea P V ameto equalente 6 ametoequalente 6 S π ameto S P P questo è l dameto sfeco equalente d un qualsas oggetto. Oamente la defnzone è stata scelta n modo tale che nel caso d una sfea l s eq cosponda popo al dameto della sfea ; mente esamnando un cubo esso è l aloe del lato; oppue nel caso d un clndo d altezza pa al dameto esso è l aloe del dameto ecc. Qund: 6K S p c V p,m K c V S p p,m 3 Pe tutt quest cas l pncpo d smltudne estesa suggesce che Sh. Questo aloe è tpco d fome geometche caattezzate da dmenson spazal poco aabl nelle te dezon dello spazo. La stuazone s modfca quando le dmenson fondamental sono molto dese ta loo nelle te dezon ( es.fome pseudo-clndche doe Sh 0 o pseudo-pane ) A ttolo d esempo d cò che accade quando c s allontan dalle fome pseudo-sfeche, pendamo n consdeazone un pocesso d dffusone pua e stazonaa nel caso d un clndo nfntamente esteso (così che non c sano dpendenze angola ed effett d estemtà): n questa stuazone, qund, doemo ntodue delle coodnate catesane d tpo clndco e scee la legge d Fck nel seguente modo: d dc c ( ) 0. d d c c Assocata alle condzon a smmeta clndca c c S pe R pe + A seguto della pma ntegazone, s aà che: soluzone completa dell equazone d patenza: dc d A, dalla quale s caa l espessone della C B Aln È, petanto, oo che, affnché la soluzone ottenuta sa fnta, la costante d ntegazone A sa dentcamente nulla e, qund, che c B cs c : cò mplca che, pe oggett suffcentemente allungat ed n egme stazonao, la foza motce tende a zeo e, conseguentemente, s annullno tutt fluss ed coeffcent d scambo d matea: J K C Δc con Δc cs c 0 J Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

22 Concludendo s può affemae che n geneale solo la sfea, o gl oggett con dmenson fnte n ogn dezone dello spazo, sono n gado d mantenee taspot d matea n condzon stazonae (scamb mateal sono possbl anche n oggett con punt mpop, ma solo n assenza d stazonaetà. Pecò s può -affemae che l numeo d Shewood, nel caso della dffusone stazonaa n assenza d eazon chmche e d moto elato è costantemente cca uguale a, ndpendentemente dalla geometa, a patto che le dmenson lungo le ae dezon non sano toppo dese ta loo. (Pe un qualsas oggetto, ndpendentemente dalla foma, è possble dstnguee te dmenson pncpal assmlabl a damet, una massma una meda e l alta mnma. Ad esempo pe ndduae queste dmenson s scegle un punto qualsas dell oggetto e s msua la lunghezza della secante nomale al pano tangente locale, petendo tale opeazone pe tutt punt s nddueanno te segment (mnmo, medo e massmo) desdeat. Ad esempo:n una sfea te damet concdono ta loo e con l dameto dell oggetto, n un clndo allungato l dameto massmo concde popo con la lunghezza, mente quello mnmo con l dameto della supefce d base; n un cubo, nece, l dameto maggoe cosponde alla dagonale pncpale, quello medo alla dagonale d una facca e quello pù pccolo allo spgolo. In ogn caso paamet che hanno la maggoe mpotanza sono l dameto mnmo e quello ametomax massmo: dal momento che è untao pe tutt cop sfec, tale appoto può ametomn agoneolmente essee assunto come ndce della lontananza della geometa n esame spetto a quella semplcemente sfeca: d conseguenza, pe alo molto des da, s commette un eoe non tascuable nell appossmae l oggetto ad una sfea. Conseguentemente a quanto sctto fno ad oa, una genealzzazone appossmata del numeo d Shewood è la seguente: 4 Sh ameto + ameto Pe fae un esempo concluso, un clndo peno è con buona appossmazone assmlable ad una sfea ogn olta che la sua altezza è cca uguale al dameto d base; solo n questa ccostanza, nfatt, s ha che: ma mn 4 4 Sh. ametoma + + ameto mn C y s C Passamo ad un alto poblema tpo d pua dffusone stazonaa, ma oa ento oggett. Talolta pe sepaae flud s usano flt o laste d sepaazone (membane) appesentabl come laste nfntamente estese. C e C sono alo supefcal della spece che dffonde. Pe essec dffusone, natualmente bsogna che C sa dffeente da C e che la lasta (o membana) possa pemettee tale fenomeno (pe poostà ad es.). In condzon stazonae, all nteno della lasta non è pesenza d moto conetto. - - Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

23 d c 0 dy C 0 L unco asse sgnfcato è la dezone lungo y, nolte la concentazone C ha un andamento lneae, pe cu: y 0 C C. Cò che c nteessa è l flusso d matea che attaesa l setto: J y dc dc dy dy y 0 y s In questo caso l flusso è unfome: J y dc ΔC dy s La costuzone del agguppamento admensonale, pe laste pane nteessate da flusso dffuso al loo nteno, che ne segue è: K cs Sh. Se la nosta membana ha una foma complessa, ad esempo d clndo cao (s eda la fgua): se due agg sono abbastanza sml, s può appossmae ad una lasta pana e qund agonae n coodnate pane se sono alo molto des bsogna opeae n coodnate clndche ed ntegae ta due agg. Vale oa la pena d spendee qualche paola su un concetto che nel coso ene spesso utlzzato, e coè quello d oggetto solato. In geneale un oggetto s può consdeae solato se suffcentemente lontano da alt,n modo da non subne nfluenza fsca (dee essee al d fuo del campo d nfluenza d alt oggett). La sfea d nfluenza, pe la dffusone s consdea nulla ad una dstanza maggoe d un dameto dell oggetto: l nfluenza ta due cop è tascuable se la dstanza ta due è maggoe della somma de due damet, se è mnoe s ha dstubo della smmeta mente se sono unt s analzza un oggetto unco, cò che conta sono la supefce ed l olume appaent esten. Tonando al dscoso sulle membane, è doeoso codae che po delle stesse deono aee dmenson tal da pemettee l alloggamento della molecola e l suo momento all nteno d ess, ma non dee aee dmenson eccesse peché altment non s ha dffusone seletta. Spesso engono utlzzate delle membane selette polmeche basate sull affntà ta sostanze Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

24 4. I poblem tpo de pocess d taspoto: dffusone stazonaa n pesenza d eazon chmche (appofondmento: metodo d combnazone de compotament asntotc). Ta poblem-tpo d taspoto ento fase statca, este patcolae mpotanza la dffusone stazonaa d matea, accompagnata da eazone: lo studo d questo poblema è essenzale, ad esempo, pe la detemnazone del gado d utlzzazone de catalzzato sold poos. Infatt eagent, pe aggungee dalla supefce estena st d eazone (st att), deono dffondee ento po del soldo, mente podott deono dffondee eso la supefce estena. Vengono pecò a stabls delle dsunfomtà d composzone ento po e su st att, qual danno luogo a eloctà d eazone aabl da punto a punto. Ulteo aazon engono ntodotte dall eentuale non sotemctà del ganulo soldo, dalla quale tuttaa pescndeemo. Genealmente, anche se non sempe, tal dsunfomtà tendono a due la eloctà d eazone andando dalla supefce all nteno, agon pe cu l catalzzatoe esta meno utlzzato all nteno puttosto che sulla supefce. In meda, catalzzato hanno supefc atte d dese decne d m /g; addttua, alcun come slco allumnat, zeolt, cabon att e pemutt, aggungono supefc d alcune mglaa d m /g. Andamento della concentazone d eagent e podott n funzone della dstanza dalla supefce estena del ganulo: - la lnea ossa appesenta la aazone d concentazone de eagent. - la lnea blu appesenta la aazone d concentazone de podott. Schema d eazone: eagent adsobmento su st att eazone deadsobmento podott I st att pù nten sono penalzzat peché engono occupat da podott fomats che deono po deadsobe e contodffondee eso l esteno della stuttua. Il appoto ta la eloctà d eazone meda nel ganulo e quella supefcale (appesentante la supefce d eazone deale ntena n assenza d esstenze alla dffusone) pende l nome d fattoe d utlzzazone o effcenza del catalzzatoe: η R R meda sup efcale C C meda sup efcale V R P S V P R dv, doe V P sta ad ndcae l olume del ganulo soldo Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

25 Effcenza catalzzatoe menson catalzzatoe I catalzzato pù pccol sono pù effcent peché eagent aggungono st nten con maggoe facltà. Veloctà d eazone Se la eloctà d eazone è bassa, eagent escono a penetae maggomente nel ganulo e l effcenza aumenta. Coeffcent dffus Maggo sono alo de coeffcent dffus, pù è alta l effcenza. Mente le soluzon ottenute dpendono oamente dalla geometa consdeata, dalle condzon mposte al contono e dalla cnetca d eazone; tuttaa l pncpo semempco della smltudne estesa ( gà pù olte chamato ) c asscua che le soluzon ottenute ( n temn d legam ta gupp admensonal ) con oppotune semplfcazon possono, po, essee estese con buona appossmazone anche a cas pù compless sa dal punto d sta geometco, che delle condzon al contono che anche della cnetca ( puché s tatt sempe d eazone sngola). c S consdeeanno stuazon d dffusone stazonaa e n assenza d moto conetto (coè 0 ) t n cop mono-dmensonal (una sola aable spazale) e, come eazone tpca, quella fomalmente pù semplce, con cnetca del pmo odne (A B) e eloctà d eazone pa a: R k c. In questa stuazone la seconda equazone d Fck assume la seguente foma: c k c, eff S penda n consdeazone (come poblema-tpo) una lasta pana ndefnta, d spessoe s L: alloa l appoto ta l olume e la Poflo d supefce estena del catalzzatoe concentazone (V p /S p ) ale L; n questo caso, l asse d femento conene sa sl fssato, pe agon d smmeta, sulla mezzea. C Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

26 L equazone d Fck, essendo pe l poblema n esame c c(), s tasfoma n un equazone lneae, omogenea ed a coeffcent costant, del II odne: d c d c k eff k c c 0. d d In questo caso, la soluzone analtca è estemamente semplce e del tpo: c ep( λ), da cu s caa che: eff k k λ 0 λ ±. eff eff Le condzon al contono sono: 0 L dc dy c 0 c S (pe smmeta) (all ntefacca) Se s mmagna che le aazon d composzone sano contenute n uno spessoe δ<<l, quest ultmo può essee così detemnato: δ,eff / k ; se, tuttaa, sulta che δ > L, alloa non è pù δ la lunghezza d taspoto sgnfcata, bensì L. Pe δ << L, le aazon total d concentazone sono compese n uno spessoe δ ntono alle due supefc lmtant ( ± L): pecò, sa ne poblem n cu è alta la eloctà d eazone (come gl assobment con eazone), sa n quell n cu è basso l aloe d dffustà, le zone ntene del catalzzatoe dentano sempe meno. Oeo, all aumentae de alo delle esstenze dffuse (k gande o,eff basso), la concentazone meda all nteno del sngolo ganulo d catalzzatoe è noteolmente nfeoe d quella supefcale: la eazone appae, così, sfaota, dal momento che le zone ntene de ganul non engono sfuttate appeno. Uno de pm ad appofonde, ntono agl ann 40-50, gl stud elat alle esstenze dffuse ne flud fu l tedesco Thele, l quale ntodusse, pe la pma, olta l concetto d effcenza de ganul d catalzzatoe: nfatt la geometa d un catalzzatoe è ben congegnata se consente d aee una concentazone de eagent e de podott, n ogn punto, sempe molto cna a quella supefcale. Rtonando alla soluzone dell equazone dffeenzale, s ha: k k c A ep + Bep eff eff (A e B sono le costant d ntegazone) Imponendo le condzon al contono s ha: dc k k - n 0 A B 0 A B; d 0 eff eff Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

27 k cs - n L cs A Ch( L) A, eff k Ch( L) La soluzone geneale è, dunque: eff c c S Ch ( Ch( k eff k eff ) L) c S Ch( Φ / L) ChΦ a quanto appena detto e seendos delle espesson atte a calcolae l modulo d Thele ed l fattoe d utlzzazone del catalzzatoe, s ottene l legame fa quest ultmo o effcenza (doe Th sta ad ndcae una tangente pebolca) e l modulo d Thele nel seguente modo: η R R meda sup efcale c c meda sup efcale c meda L L c Ch( Φ) Φ L s cd c( ) Ch( )d( ) t 0 0 d L 0 L L L cs cs c meda Ch( Φt)dt Sh( Φt) Ch( Φ) Ch( Φ) Φ 0 0 c Sh( Φ) S ΦCh( Φ) cs Th( Φ) Φ η Vp Ch( Φ / L) cs dvp ChΦ Vp dv p kc S cs Th ( Φ) Th( Φ) c Φ Φ S c/c s Concentazone podott Φ Concentazone eagent Φ è pccolo se: /L Reazon sono tanqulle Le esstenze dffuse sono scase I ganul sono d pccole dmenson Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

28 Tale espessone è goosa nel caso d laste pane ndefnte, mente sulta appossmatamente utlzzable anche pe alte geomete, soltanto asntotcamente conducbl e semplfcabl, tamte l pncpo d smltudne estesa, che eà d seguto peso n seguto all anals fatta pe le laste pane. E peò utle dmostae come l poblema-tpo appena analzzato to anche alte applcazon al d là della effcenza d catalzzato. Nel pecedente paagafo, a poposto dell assobmento con eazone n possmtà d supefc pane, s è sto come, n assenza d potate conette, la eloctà d eazone dento l ganulo e quella supefcale sano unfom; s è anche calcolato l numeo d Thele: Φ k eff L ed l fattoe d utlzzazone nel caso specfco d laste pane: Th ( Φ) η Φ efnendo la lunghezza equalente d una qualsas foma geometca come l appoto ta l olume del catalzzatoe e la sua supefce estena: L V S p p ntoducendo la costante cnetca appaente o d pseudo-pmo odne, tpca d cnetche non lnea, pù complesse d quella pecedente: R k app, c e genealzzando l coeffcente d dffusone n modo che tenga conto delle esstenze alla dffusone ne po del catalzzatoe doute alla totuostà del cammno e al gado d uoto: c c S eff 0θ 0, τ 0 doe eff è la dffustà effcace, 0 è la dffustà n ambente lbeo, θ è l gado d uoto e τ l fattoe d totuostà (,5 < τ <0 n meda s consdea τ 5) sulta possble scee l modulo d Thele nella seguente foma geneale: Φ k app eff V S p p Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

29 A c B Nel caso d eazon eesbl A B, s ha che R k(c A ), ma k c + c cos tan te c + c (con l ndce eq s fa femento alla stuazone d equlbo, nella B Aeq Beq eq quale c Beq c Aeq K eq ). Sosttuendo c B c Aeq + c Beq c A nell espessone sopa potata d R, s ottene:: R k c R c A A c K B eq k + k c k eq A c + K A eq c K Aeq eq c K Beq eq k ( c c ) A Aeq + K eq ' k' C A Nella tattazone che pecede s è scelta la foma geometca che pù s pestaa ad una apda tattazone matematca. Alquanto pù complcata, ma sempe accessble analtcamente, saebbe sultata la tattazone pe la foma sfeca. I catalzzato d foma sfeca sono elatamente facl da ealzzae (ad esempo tamte macchne che openo la agglomeazone d mcopatcelle pe otolamento d pole costtuent l catalzzatoe stesso con l suo eentuale suppoto) ess tuttaa non hanno una geometa effcace (sono nfatt caattezzat da bassa supefce d contatto con la fase bulk se appotata al olume); come geomete ealstche sono pefebl e utlzzate stuttue clndche pene o foate con l dameto maggoe pa all altezza, ottenbl pe pastglatua d pole. In geneale nel loo stado fnale d pepaazone catalzzato ceono foma tamte le appaecchatue dette Pastglatc che opeano su mateale poleulento. Appofttamo della tattazone solta pe tonae a bade su questo poblema-tpo la aldtà, olte che la utltà, d quel pncpo d aldtà molto pù geneale detto d smltudne estesa. Tonando al poblema-tpo gà mpostato s dee osseae che n geneale compotament asntotc non dpendono dalle caattestche geometche: pe Φ << η : è logco, nfatt, che ogn olta che la eloctà è costante, oeo n assenza d esstenze dffuse (ganul molto pccol oppue eff puttosto eleata o ancoa eazon alquanto lente), la concentazone s mantenga unfome all nteno d tutto l ganulo d catalzzatoe. Valo d Φ attono a 0,5 sono gà consdeat come se fosseo molto nfeo a. pe Φ >> η Φ : tutte le olte n cu s hanno delle gosse esstenze dffuse (ganul gand o eazon eloc o alo bass d dffustà effetta), la pate ntena del ganulo d catalzzatoe esta nutlzzata. Valo d Φ attono a sono consdeat molto maggo d. Passando a consdeazon patche s osseeà che : pe un catalzzatoe eale, gà un aloe d Φ > 3 poebbe la necesstà d una sua ottmzzazone: che passeebbe pelmnamente attaeso le seguent consdeazon qualtate, - k non può essee modfcato. - Le dmenson non possono essee dmnute n manea eccessa, altment s schano delle alte pedte d caco. - eff è l unco paameto su cu s può age: mantenendo la composzone chmca del catalzzatoe, s ealzza una stuttue poosa bdspesa, coè s affancano a po gà pesent (stuttua monodspesa costtuta da po pccol con dmenson poco dspese ntono a un ceto aloe medo), de po aent dmensone maggoe, qual non Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

30 contbuscono alla eoluzone cnetca (non ceano nfatt delle gand supefc specfche), ma faoscono l taspoto, aumentando la dffustà. Quest sstem poos bdspes possono essee ottenut medante fantumazone della pasta soldfcata del catalzzatoe ognale: po mno sono quell pesent dento la polee cataltca, mente quell maggo sono gl ntestz ta ganul poenent dalla fammentazone. S possono po utlzzae fomule ntepolant che soddsfano le condzon asntotche e che, nolte, non danno luogo a goss eo spetto alle fomule esatte; tale metodo è denomnato metodo d combnazone de compotament asntotc. Gl asntot d una funzone monotona anno combnat n modo tale che pe Φ 0 o pe Φ, l espessone sultante tenda a quella asntotca coetta, coè solo dalla combnazone de due asntot è possble caae, con buona appossmazone, la funzone ntepolante accettable : petanto, la geometa dell oggetto denta ancoa meno mpotante. La combnazone può essee effettuata, a seconda del poblema, o sommando due compotament asntot o facendo l neso della somma degl nes degl asntot. Nel caso sotto esame, coè, s potebbeo popoe le seguent due fomule ntepolant altenate, delle qual solo una è la soluzone accettable (supefluo de che l unca accettable è quella che spetta due lmt asntotc effett ). - η η0 + η + : somma degl asntot ; non accettable Φ Φ a η : neso della somma degl nes degl asntot. η η η + Φ 0 S osseeà che nel caso n esame la seconda pocedua è quella accettable VC ameto R Pe l caso della sfea (lunghezza caattestca ), nfne, s daà solo SC 6 3 l espessone analtca goosa del fattoe d utlzzazone, mente s manda a cos success la tattazone analtca: η (3ΦCoth3Φ ). 3Φ Anche pe la sfea, ad ulteoe confema del pncpo d smltudne estesa, è facle leae che compotament asntotc pe Φ>> e pe Φ<<, sono gl stess della lasta pana. Osseando attentamente dagamm η η(φ) pe dese geomete d ganul, s può notae come tutte le dffeent fome geometche sano compese ta la cua della lasta pana e quella della sfea: d conseguenza, ogn geometa è, con buona appossmazone, conducble, tamte l pncpo d smltudne estesa, o alla lasta pana o alla sfea e, petanto, è confemata la quas totale ndpendenza del legame funzonale ta η e Φ dalla foma geometca n esame Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

31 amone pù accuata e pù geneale dmostazone ) Quando Φ << la composzone è quas unfome ento l ganulo, così è quas unfome la eloctà d eazone e d conseguenza qualsogla foma geometca aà effcenza tendente ad. ) Quando Φ >> le esstenze dffuse sono tal da endee molto aable la composzone ento l ganulo. Consdeamo alloa un elemento geneco d supefce estena d ganulo (qualunque sa la sua foma) con la sua nomale y; l nteo pocesso dffuso con eazone aà luogo solo n uno stateello supefcale d spessoe molto pccolo spetto alle dmenson del ganulo, e saà caattezzato dalle seguent condzon al contono: y 0 y c c S c 0 Petanto, le soluzon dell equazone dffeenzale d secondo odne : eff d c dy K app c saanno del tpo: c A ep( K app eff y) + B ep( K app eff y) Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

32 K app Rsulta oo che A 0 e c cs ep( y) ; deando tale sultato e sosttuendolo eff nell espessone del flusso, otteemo l aloe del flusso elementae pe untà d supefce e d tempo: dc J eff K app dy 0 eff c S. J k Δc k (c c ) k c c ma mn c c s a queste equazon s caa pe ncso anche un coeffcente d scambo d matea equalente: k C K app eff Il flusso totale del eagente che attaesa la supefce del ganulo, saà pa, n condzon stazonae, a quanto consumato pe eazone ento d esso, e aà: W& (m) tot S K c V K < c > C app eff S C app Eguaglando le due espesson, possamo scee l effcenza del catalzzatoe come segue: < R > η R S < c > c S S C V C K app K app eff S V C C K eff app Φ (c..d). E edente che questo compotamento asntotco, come l pecedente, non dpende dalla foma geometca: qund se due asntot sono comun a tutte le fome geometche le funzon non possono essee molto dese. Il compotamento asntotco cospondente a leante esstenza dffusa, n pesenza d eazone, può toae alte applcazon delle qual damo qu solo un alto esempo, elato ad assobmento con eazone chmca. I pecedent calcol possono essee applcat, ad esempo alla eazone d un gas (soluto) con un lqudo (solente): gadent d eloctà lungo l ntefacca sono molto des, l poflo del gas è maggoe (gadente molto alto), peché ha una scostà mnoe spetto al lqudo e sotto sfozo s mette n moto pù faclmente. Pendendo la eloctà del lqudo, all ntefacca, quas unfome e consdeando la eazone eesble, s può defne l poblema come dffusone stazonaa con eazone chmca: la penetazone del soluto nel solete è d alcun mcon e la dstanza y ndca n ealtà poche decne d mcon. 5. Appofondmento su eatto deal: l eattoe BATCH. Il eattoe cosddetto Batch è un eattoe deale dscontnuo a mscelazone completa, nel quale s tascuano gl effett de fluss dffus e non s hanno contbut legat alle potate conette Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

33 entant ed uscent. L equazone d blanco mateale (pe esempo n temn mola, pechè pù conenente pe sstem caattezzat da eazone chmca) è n geneale: dm dt,tot ΔW + W (m) + R,tot ate le caattestche del eattoe (assenza d potate conette e dffuse) essa sulta semplcemente: dm dt,tot R,tot dcv dt R V mente pe olume costante s ottene: dc dt R 6. Appofondmento su eatto deal: l eattoe CSTR. Il eattoe CSTR è un eattoe a flusso contnuo stazonao e pefettamente mscelato: assumendo che non c sano al suo nteno fluss dffus e che, a egme, l sstema sa stazonao, l equazone d blanco globale d matea: dm dt,tot ΔW + W (m) + R,tot subsce le seguent semplfcazon: dm, tot 0,peché n condzon stazonae; dt (m 0 pechè non c è scambo d matea W ) Qund: Δ W R,tot o, n temn d concentazon e potate olumetche (assunte costant e pa a Q): Q out n ( c c ) R R V,tot 7. Appofondmento su eatto deal: l eattoe PFR Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

34 Il eattoe PFR (o flusso a pstone), nece, è un eattoe a flusso contnuo e composzone unfome nelle sezon tasesal spetto alla dezone del moto. Esso può essee sualzzato ad esempo come costtuto da un sepentno. Il poflo d eloctà al suo nteno è assunto patto, coè la eloctà è costante lungo l aggo del tubo. L eoluzone del sstema aene lungo una coodnata plegata che è l asse del sepentno. S consde un olumetto nfntesmo dv e s sca l blanco d matea, tascuando fluss d tpo dffuso: W n R dv W out out n W W R dv. La potata n uscta, può essee sctta n funzone d quella n ngesso: W n dw W dv ; dv out + sosttuendo nell equazone d blanco, s otteà: V V+dV dw R, oeo: dv dc Q R dv A questo punto è utle ntodue una nuoa gandezza, l tempo d esdenza τ, coè l tempo che un osseatoe soldale ad una patcella d fludo mpegheebbe a pecoee l tubo (tempo lagangano): L τ doe appesenta l tatto pecoso, la eloctà della patcella d fludo, Q la potata olumetca e V l olume; ne segue che: V Q dc dτ S osse che la stuttua dell equazone dffeenzale ottenuta è la stessa d quella che caattezza l compotamento de eatto BATCH, a olume costante, petanto le soluzon analtche saanno le stesse pe due eatto, puchè s scambno due concett d tempo d esdenza con quello d tempo effetto. R Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

35 8. Appofondmento su eatto deal: l eattoe a famma pemscelata. I eatto a famma pemscelata o tubola cot, deono l loo nome dal fatto che eagent sono gà mscelat pma d aae al fonte d famma, podott doe eagscono. La famma lamnae (la tubolenza non s nstaua a causa delle dotte potate) ha la eagent foma d un cono. La eazone aene ta font d famma con spesso nfeo ad una fazone d mllmeto (~ 0-5 mm)ed n temp dell odne del centesmo d secondo: gadent d concentazone de eagent e d tempeatua sono altssm. Un esempo d eagent pe eatto a famma pemscelata sono cloo e dogeno, pe podue HCL. Quest eatto, una olta accesa la famma, sono domnat da temn dffus. 9. Flud newtonan e non-newtonan. In fase lquda gl scamb d quanttà d moto alla scala Poflo d eloctà molecolae sono edentemente maggo che n fase gas: se y n un fludo è pesente un gadente d eloctà, gl ut ta le molecole, dout a des tp d moment delle stesse, sentono delle dffeenze d eloctà ta le lnee d flusso adacent. Quest ut molecola, d tpo elastco (solo n poche occason sono anelastc e coè quando sono segut da eazone ), pemettono lo scambo d alcune popetà, qual ad esempo la quanttà d moto.ess sono pecò, alla scala molecolae, pecuso caotc del fenomeno che, macoscopcamente,appae come sfozo scoso. Le cause del moto de flud sono le foze: se fete all untà d supefce esse pendono l nome d sfoz. Alcune opeano sulle supefc d contono del fludo, mente alte nteessano l olume d fludo (s pens, ad esempo, alla foza peso). Ta gl sfoz pesent duante l moto s dstnguono due dese categoe: le pesson, che agscono otogonalmente all elementno d supefce, e gl sfoz scos che, nece, agscono n tutte le dezon dello spazo. Gl sfoz nten al fludo ammettono sempe component sa nomal che tangenzal (queste ultme s manfestano esclusamente duante l atto d moto); le component tangenzal degl sfoz, le qual tendono nel loo complesso ad oppos al momento della massa fluda, hanno ntenstà che dpendono sa dalla apdtà con cu nteene la defomazone, sa da patcola popetà fsche del fludo n moto. Gl sfoz scos accompagnano sempe un momento della massa fluda con gadente d eloctà non nullo; sfoz e gadente sono, dunque, dpendent gl un dall alto, secondo la seguente elazone, alda pe flud a compotamento scoso suffcentemente deale (l che accade n un campo d flud e condzon molto esteso ) τ y d μ dy μ γ&, (Legge d Newton) doe l coeffcente μ, tpco d ogn fludo, ene defnto la scostà dnamca (essa è la msua elata della esstenza che l fludo oppone allo scomento quando c sono gadent d eloctà), γ& appesenta la eloctà d defomazone angolae, oeo l gadente d eloctà popo del Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

36 fludo, e dy, nfne, è la dezone nomale a quella del moto. Questa legge, ntuta da Isaac Newton, ha auto una pma confema spementale soltanto un secolo pù tad ad opea d Coulomb; ad essa ne seguono numeose alte nelle condzon pù dspaate. Nella patca, pe la maggo pate de flud, la scostà dnamca μ pesenta un aloe patcamente costante pe date condzon d tempeatua, pessone e composzone coè, pù pecsamente, essa è ndpendente dagl sfoz sa tangenzal che nomal: flud pe qual s efca questa popetà, μ μ( T, p, ), coè è funzone delle sole aabl dello stato locale ed stantaneo, engono defnt newtonan (s pens, ad esempo, a tutt gas e quas tutt lqud omogene non macomolecola). La legge d Newton mosta che le component tangenzal dello sfozo n un punto d una massa lquda n moto, dpendono uncamente dal gadente d eloctà nel punto, al quale è dettamente legata la eloctà d defomazone angolae della massa fluda. Pe tutt quest flud la appesentazone gafca del legame fa lo sfozo tangenzale τ y e la eloctà d defomazone angolae γ& fonsce una etta passante pe l ogne ed aente come coeffcente angolae popo μ. Va codato, comunque, che nella maggo pate de cas gadent delle eloctà sono dezonat ounque nello spazo e, se l fludo è suffcentemente ncompmble, s potà scee, gaze all equazone d contnutà, che: + y y + z z 0 ; Nel caso pù geneale d momento, peò, s dee scee una combnazone d tal gadent, così da pote espmee pù coettamente la defomazone subta dalla massa fluda nell untà d tempo: j + Δ j, doe pedc e j stanno, d olta n olta, pe, y o z. In tal modo, s ottene una j matce 33, a noe component, che appesenta l tensoe delle eloctà d defomazone, cu sono legat gl sfoz scos: τ j μδ j (l legame ta le due gandezze è d semplce popozonaltà solo pe flud newtonan suffcentemente ncompmbl e non, ad esempo, pe quell non sotopc, caattezzat da un compotamento eologco ben pù complcato). Genealzzazone legge d Newton: o Un fludo ha localmente una eloctà defnta dal ettoe defnto dalle sue te component scala o Ognuna d queste component può sluppae un gadente n ogn dezone dello spazo: y z y z j y y y y z Δ j z y j y y y z z y z z z y z z z Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

37 o Questo tensoe msua le 9 component delle eloctà d defomazone, nolte Δj è una matce smmetca. o In conseguenza s geneano degl sfoz scos n ogn dezone dello spazo: y z τ τ τ y z y z y y y y z τ y τ yy τ yz μ τ j μδ j y y y z y τz τzy τzz z z y z z z y z z z Vengono defnt Newtonan flud pe qual ale la legge pecedente con la scostà funzone solo d aabl d stato,coè T,P, composzone Rassumendo: - pe l taspoto d quanttà d moto la legge d Newton pe flud ncompmbl newtonan ale semplcemente: τ j μ Δ j, con j Δ j +. j - Nel caso d flud compmbl l legame è pù complcato: a tuttaa leato che, pe gl us concet, non s commettono eo sensbl tattando tutt flud come se fosseo ncompmbl, almeno al fne del legame sfoz-eloctà d defomazone (s ha, così, l antaggo d tattazon analtche pù semplc). - μ è la scostà dnamca, popetà chmco-fsca del sstema e funzone d tempeatua, pessone e composzone. Spesso è antaggoso l uso della gandezza (omogenea con,m ), scostà cnematca ν μ/ ρ, defnta anche come dffustà d quanttà d moto molecolae (la sua untà d msua è L /T, pe esempo m /s). Ta gl stument utlzzat pe la msua della scostà de lqud, codamo l Vscosmeto otazonale: s tatta d un dsposto che s utlzza pe msuae lo sfozo esectato da un lqudo messo n otazone ta due clnd concentc; un clndo nteno, nfatt ene messo n otazone; l fludo s muoe appunto pe effetto della otazone d tale clndo, mente quello esteno, femo, egsta uno sfozo, msuable ; da un punto d sta pù stettamente d meccansmo, gaze alla scostà del lqudo s ha la tasmssone della quanttà d moto al clndo pù esteno, msuando così una tendenza a uotae : aendo oa a dsposzone l aloe dello sfozo e sapendo d otazone che γ è faclmente caable la scostà. dy Spessoe taclnd Esstono sostanze che mostano un deso compotamento, nel senso che l legame ta sfoz tangenzal e eloctà d defomazone angolae non è pù appesentato da una etta (passante pe l ogne): esse engono denomnate flud non newtonan, e soddsfano, genecamente, una equazone del tpo: τ f (γ& ). Questa è l equazone eologca del fludo, mente la sua appesentazone gafca è detta cua eologca (codamo, a tal poposto, che la Reologa è la scenza che studa gl sfoz che s collegano alla eloctà d defomazone de mateal). Nel caso d flud non newtonan la nozone d scostà come popetà chmco-fsca pede d sgnfcato. Sono tpcamente flud non newtonan polme e loo soluzon omogenee, sospenson ed Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

38 emulson (enc, paste, plasma, sangue, etc.). Pe tutt quest flud è ancoa espmble, almeno n pma appossmazone, un legame del tpo: τ y η γ& con η scostà appaente, funzone anche della eloctà d defomazone o dello stato d sfozo locale (oeo del gadente d eloctà). In pma appossmazone flud non newtonan, con popetà eologche ndpendent dal tempo d applcazone dello sfozo, engono fondamentalmente classfcat n te dese categoe:. Flud alla Bngham: sono caattezzat da una cua eologca ettlnea (come pe quell newtonan), che peò non passa pe l ogne, ma tagla l asse degl sfoz n un punto d odnata τ 0 ; un compotamento d questo genee è appossmatamente seguto da alcune enc, dalla pasta dentfca, da fangh d fogna, dal sapone semsoldo etc. In tutte queste sostanze la eloctà d defomazone è nulla fnché la sollectazone tangenzale è nfeoe a τ 0 : n tal condzon, non s efca scomento alcuno e, pecò, a dffeenza de flud popamente dett, la sostanza consea una foma popa come se fosse un soldo. Questo compotamento ene spegato ammettendo che la sostanza abba una stuttua ntena tdmensonale analoga a quella de sold, con una gdtà suffcente a soppotae sfoz nfeo a τ 0 ; pe sollectazon supeo, questa stuttua s dsntega completamente e la sostanza fnsce pe compotas come un fludo newtonano.. Flud pseudoplastc: hanno cua eologca passante pe l ogne e con concatà olta eso l basso; l appoto fa sfozo e eloctà d defomazone, a cu ene assegnato l nome d scostà appaente μ a, dmnusce pogessamente con l aumentae della eloctà d defomazone, tendendo ad un aloe patcamente costante soltanto pe eleat alo d γ&. Tal flud pesentano, pecò, una fote esstenza al moto pe pccole eloctà, che a peò dmnuendo man mano che l momento s fa pù eloce. Flud pseudoplastc sono le sospenson d patcelle asmmetche oppue le soluzon d alt polme, come deat della cellulosa. 3. Flud dlatant: hanno cua eologca smmetca a quella de flud pseudoplastc, oeo passante pe l ogne e con concatà olta eso l alto; La scostà appaente, petanto, aumenta con la eloctà d defomazone. A questa categoa appatengono le sospenson d mateal sold ad alta concentazone, qual, ad esempo, la cabossmetlcellulosa. Il compotamento d un fludo non-newtonano dpende molto dalla sua stuttua: una soluzone d un polmeo, quale l poletlene, n un solente compatble (esano) foma una sota d gomtolo molto soffce (tale soffctà è douta alla penetazone del solente dento la matassa); sottoponendo l polmeo a sfozo (causato da un gadente d eloctà), lo stesso assume la foma d uno sfeode oblato, e come caso lmte potemmo potzzae la dstensone della macomolecola. Questo pocesso pota ad una dmnuzone della esstenza scosa allo scomento: è un esempo d fludo pseudoplastco. Alt polme n soluzone, nece, con l aumento d γ& tendono a fomae un numeo d legam ntemolecola cescente, cò pota ad un aumento della esstenza scosa: quest sono flud dlatant. Pe flud fn qu desctt può essee utlzzata, ad esempo, un espessone geneale (douta ad Ostwald -e Waële) del tpo: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

39 μ a τ κγ& γ& n o pù semplcemente n τ κγ&, doe k è una msua della consstenza del fludo (essa è tanto pù eleata quanto pù l fludo è scoso) ed n è, nece, l ndce del compotamento non newtonano del fludo: quanto pù esso dffesce dall untà (a cu cospondono flud newtonan), tanto pù sono ponuncate le popetà non newtonane del fludo. Petanto pe n< l fludo saà pseudoplastco (μ a dmnusce all aumentae d γ& ), pe n> saà dlatante, mente pe n 0 saà plastco alla Bngham. Esstono anche categoe d flud pe cu l legame ta sfoz e defomazon dpende dalla duata dello sfozo o della defomazone applcat, oppue dalla pecedente stoa; pe semplctà tal flud engono sudds n due class: Flud totopc ( tendent al dsfacmento): lo sfozo tangenzale dmnusce gadualmente nel tempo pe tendee, alla fne, ad un aloe lmte, n cospondenza del quale l fludo s compota come newtonano; s pens, ad esempo, alla pasta dentfca o al pongo, che oppone una sempe mno esstenza alle defomazon man mano che ene adopeato. Flud eopectc ( che nduscono scoendo): all aumentae del tempo, gl sfoz tangenzal contnuano ad ncementae, fno ad aae n qualche caso gandssm, talchè l fludo fnsce pe assumee l aspetto ed l compotamento d un soldo; ne sono esemp alcune enc a pennello o anche la maonese, la quale ha, n fase d pepaazone, una μ a che aumenta a mano a mano che la s monta. S defnscono, da ultm, scoelastc tutt que flud (numeose spece d btum) ne qual s scontano, accanto alle popetà scose (pedomnant) pope de flud, anche alcune popetà elastche caattestche de sold. 0. Blanco d quanttà d moto ed equazone d Nae-Stokes. Il blanco della quanttà d moto d un fludo, che sostanzalmente non è alto che un equlbo d foze, può essee sctto seguendo la egola geneale gà esposta; a oamente leato che, nel caso della quanttà d moto, l blanco è ettoale. Pe un geneco sstema d olume V, acchuso da una supefce d contollo S, la quanttà d moto accumulata nell untà d tempo ento V è pa al flusso globale d quanttà d moto netto, complessamente entante attaeso S, pù la sultante delle foze, agent sa sulla supefce che nel olume, esponsabl del moto del fludo. Se la massa del sstema s consea sempe costante, la deata tempoale d una quanttà d moto cosponde popo ad una foza: dm d m m a F. dt dt Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

40 τ n posto V Q S P g Le foze elementa che agscono sulla supefce S d contono del domno sono quelle doute al tensoe degl sfoz; le foze che agscono sul olume nteno del domno, nece, sono quelle doute a camp ne qual esso è nseto (ad esempo, le spece molecola costtuent l sstema sono assoggettate al campo gatazonale, ma anche agl eentual camp elettc e magnetc, se s tatta d spece onche, e così a). Anche n questo caso, come nel blanco mateale, la quanttà d moto netta entante n V attaeso S è costtuta da contbut (post) entant, a qual anno sottatt contbut (negat) uscent. Il blanco pecedente, tadotto fomalmente n temn analtc, dà luogo alla seguente equazone (ottenuta poettando tutt etto lungo una geneca dezone dello spazo, fssa): dp dt F τ, + F p, + Q + F V, doe: P quanttà d moto entante nel sstema lungo la geneca dezone ; F τ, sultante degl sfoz scos tangenzal lungo ; F p, sultante d tutte le foze d supefce legate alle pesson; Q flusso globale d quanttà d moto entante, attaeso S, nel domno, nell untà d tempo; F V, sultante delle foze d campo agent su tutte le spece contenute n V (ad esempo: sultante delle foze gatazonal). Anche n questo caso, le quanttà global d olume sono espesse medante ntegal, estes al olume V, delle quanttà specfche pe l untà d olume, mente le quanttà global d supefce sono espesse tamte ntegal, estes alla supefce, delle specfche quanttà pe untà d supefce. Le quanttà specfche pe untà d olume sono le seguent: Quanttà d moto pe untà d olume nella geneca dezone : P dm ρ dv (doe ρ denstà); V V Foza d massa sultante, pe untà d olume, agente su tutte le spece costtuent l sstema: F ρ V, g dv, doe g appesenta l ettoe foza pe untà d massa V Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

41 (dmenson d un acceleazone) agente lungo la dezone (gatà + alte foze se esstono); g, nece, è la meda pondeale delle foze pe untà d massa: essa, n assenza d alte foze estene, ndca l acceleazone d gatà. unque, se l fludo è sottoposto esclusamente al campo gatazonale, questo ntegale fonsce l peso del fludo contenuto nel olume V. Le quanttà specfche pe untà d supefce, nece, sono le seguent (s coda che è possble tasfomae un ntegale d supefce n uno d olume utlzzando l Teoema della degenza come gà opeato n pecedenza su blanc mateal ) : Foza elementae sull elemento d supefce ds douta al tensoe degl sfoz scos tangenzal τ nds, pecò l sultante sulla supefce è: Fτ, τ nds τ dv (doe l segno - è douto al fatto che tale foza è opposta alla nomale alla supefce n, genealmente oentata con eso uscente dalla supefce del domno); tale ntegale, n sostanza, denota la sultante degl sfoz che engono esectat sul fludo attaeso la supefce d contono S: s tatta, coè, della spnta che la supefce d contono tasmette al fludo. Questo tpo d foza è d mpotanza stuttuale n molte appaecchatue, qual ad esempo fon tubola a sepentno, doe le tubatue hanno gomt d 90 e d 80 e qund è necessao sapee lo sfozo esectato sulle paet dal fludo n momento. Foza elementae nomale all elemento d supefce ds douta alla pessone locale, lungo p : FP, p nds dv ; la somma d tale ntegale e del pecedente, n S V sostanza, denota la sultante degl sfoz che engono esectat sul fludo attaeso la supefce d contono S: s tatta, coè, della spnta che la supefce d contono tasmette al fludo. Quanttà d moto d tutta la massa fluda che attaesa l untà d supefce nell untà d tempo, oeo flusso specfco d quanttà d moto, pa alla quanttà d moto pe untà d olume, moltplcata pe la potata olumetca entante nell untà d supefce: Q ρ nds ( ρ ) dv. S V Gl ntegal d olume così ottenut, essendo V nfntesmo, concdono con l podotto dell ntegando pe l olume V: l olume dv, petanto, ene elso n entamb memb dell equazone, la quale assume la seguente foma: S V ρ t ( ρ ) τ p +ρg (blanco nfntesmale della quanttà d moto). Tale equazone appesenta la aazone complessamente subta, nell untà d tempo, dalla quanttà d moto della massa fluda contenuta nell untà d olume. Potando al pmo membo l pmo addendo d desta, è facle dmostae che: ρ t t ρ t ( ρ) + ρ + + ( ρ) +ρ, ma ρ ( ρ) + t ρ t ρ ρ ( ρ + ) + ( ( ρ) +ρ ( )) t t t Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

42 ρ s può notae che ( + ( ρ)) 0, dacché questo è quanto affemato dall equazone ndefnta t d contnutà ( pe l pncpo d conseazone, la massa uscente nel tempo dt attaeso l ntea supefce d contono del olume consdeato dee eguaglae la aazone, subta nello stesso nteallo d tempo pe effetto della aazone della denstà, dalla massa n esso contenuta). Così, accoglendo gl alt due temn mast e codandos la defnzone d deata sostanzale, è facle scee che: ρ( + ) ρ. t t Fatto cò, s può scee l equazone d moto del fludo (n temn ettoal) nella seguente manea: ρ t Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano τ (p ) +ρg (doe appesenta sempe la geneca dezone),che genealzzata assume la foma ρ τ p +ρg t doe, stando alla notazone mpegata, τ appesenta un tensoe, oeo una matce quadata. Pe flud newtonan (e, nolte, suffcentemente ncompmbl), s dmosta che τ μδ (oe j μ è la scostà del fludo n questone), e Δj + è l tensoe delle eloctà d j defomazone; se, nolte, la scostà è con buona appossmazone unfome, andando a sosttue l aloe d τ toato nell espessone pecedente, s ottene la ben nota equazone d moto d Nae-Stokes: ρ μ p + ρg t ( ) ( ) ( ) nella quale l opeatoe Laplacano,, può essee così defnto: ( ) + +. y z Tale equazone enne stablta da Nae nel 8 e da Posson nel 89 sulla base d alcune consdeazon concenent le foze ntemolecola; successamente, Sant-Venant nel 843 e Stokes nel 845 la stablono, supponendo la lneatà ed omogenetà fa sfoz e eloctà d defomazone, confomemente alla elazone d Newton. Questa potes, fatta ammettendo che le eloctà d defomazone sano pccole, ha ceuto, po completa confema spementale pe pocess d momento n egme egolae. Oamente dall equazone d Nae-Stokes può anche essee deato l caso statco, n cu, coè, sa totale assenza d momento del fludo; n questo caso, alloa, s annullano temn contenent la eloctà e s peene alla seguente foma, che costtusce l equazone fondamentale della statca de flud: p + ρg 0.

43 Se s consdea come unca dezone del moto quella appesentata dalla quota geodetca z del geneco punto, msuata al d sopa d un qualsogla pano ozzontale d femento, supposta l acceleazone d gatà costante e noto che ρ g γ peso specfco [ N / m ^ 3], l equazone pecedente assume una foma senz alto a tutt pù nota, appesentata dalla Legge d Sten: p p + γ ρg z z z 0 p ρg Z z p z + costante γ La gandezza p / γ, al pa d z, è una lunghezza e ene denomnata altezza pezometca; alla somma z + p / γ, nece, s dà l nome d quota pezometca: la Legge d Sten sta alloa ad ndcae che a tutt punt d un fludo pesante ncompmble n quete compete la stessa quota pezometca, l cu aloe è detemnato qualoa sa assegnata la pessone n un punto d data quota z. Con cò sulta completamente ndduata la dstbuzone della pessone n tutta la massa fluda e s conosce mmedatamente che le supefc sobache (p costante) sono de pan ozzontal. Se A e B sono due punt qualsas, gacent spettamente su due pan ozzontal d quota z A e z B, l legame fa le pesson p A e p B n ess saà dato da p B p A + γ(z A z B ) : la pessone, qund, aumenta lneamente al dmnue della quota geodetca, con un fattoe d popozonaltà pa popo al peso specfco del fludo. Un alta legge d fondamentale mpotanza è appesentata dalla cosddetta Legge d Achmede; essa affema che un copo, mmeso n un lqudo, cee una spnta etcale S, detta eso l alto, d modulo pa al peso d un olume d lqudo uguale a quello del copo mmeso e passante pe l bacento del olume fludo stesso: S P S ρlqudo Volume g. S possono efcae seguent cas: - se l peso P del copo è supeoe a quello del lqudo spostato, la sultante delle due foze agent sul copo sulta detta eso l basso ed l copo tende ad affondae e aggunge una stuazone d equlbo solo quando s appogga sul fondo del ecpente; - se l peso del copo è uguale a quello del lqudo spostato, l copo è soggetto ad un sstema d foze a sultante nullo e s toa, pecò, n condzon d equlbo ndffeente: n qualunque poszone esso enga stuato, l copo mane; - se, nfne, l peso del copo è nfeoe a quello del lqudo spostato, la sultante delle foze agent sul copo è detta eso l alto e, d conseguenza, l copo tende ad nnalzas ed a aggungee una condzone d equlbo quando tocca la paete supeoe del ecpente contenente l lqudo oppue, se s tatta d un ecpente apeto, quando emege al dsopa della supefce lbea d un olume tale che l peso del lqudo spostato dalla pate masta mmesa sult uguale al peso P del copo stesso. Questo è l caso de galleggant e, petanto, s pala d Spnta d galleggamento (o buoyancy foce ): S ( ρ ρ ) V g. Concludendo, poblem della meccanca de flud possono essee solt conducendos al seguente sstema d due equazon, fomato dall equazone d Nae-Stokes (che da sola non potebbe essee solta) e l equazone d contnutà. G lqudo copo Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

44 ρ μ t 0 p + ρg Le ncognte sono la pessone e la eloctà: n ealtà l sstema è costtuto da quatto equazon n quanto l equazone d Nae-Stokes è ettoale, d conseguenza c saanno anche quatto ncognte date dalla pessone e dalle component della eloctà nelle te dezon spazal.. Spnte dostatche su supefc pane sommese. S consde una supefce gacente su un pano nclnato d α sull ozzontale; detta supefce sa a contatto con un lqudo d peso specfco γ, al quale competa un detemnato pano de cach dostatc. Le spnte elementa ds esectate dal lqudo su ogn elemento nfntesmo della supefce pana algono: ds pnda γhnda Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

45 n cu n è l esoe nomale alla supefce sommesa e h la dstanza dal pano de cach dostatc della supefce elementae da. Le spnte sono tutte paallele fa loo e ammettono pecò una sultante, detta nomalmente alla supefce, l cu modulo ale: S A pda A γhda La etta ntesezone del pano de cach dostatc e del pano che contene la supefce su cu s aluta la spnta, è denomnata Retta d sponda. etta la dstanza d un geneco elemento d aea da dalla etta d sponda, 0 quella del bacento G dell aea della fgua pemuta, e h 0 l affondamento del bacento stesso, pe defnzone d bacento s ha: S γhda γ sen( α)da γ 0 sen( α)a γ h 0A p 0A A A coè la spnta su una supefce pana è una foza detta nomalmente alla supefce stessa con modulo pa al podotto della pessone p 0 nel suo bacento pe l aea della supefce. Resta ancoa da ndduae l punto d applcazone della spnta, al quale s dà l nome d cento d spnta. A questo scopo s assumano due ass catesan de qual quello concdente con la etta d massma pendenza del pano nel quale gace la supefce A, e quello y con la etta d sponda. Le coodnate ξ e η del cento d spnta spetto a tale sstema d femento engono ndduate uguaglando moment della sultante con gl ntegal de moment delle spnte elementa, spetto a due ass e y; tattandos d foze paallele le condzon d equlbo sultano: S ξ S η A A pda pyda A A γhda γsen( α) γhyda γsen( α) A A da γsen( α)i yda γsen( α)i Gl ntegal a secondo membo appesentano spettamente l momento d neza I della supefce A spetto alla etta d sponda, e l momento centfugo I y d A spetto a due ass e y; s ha nolte che: S α γh A p A γ Asen( α) γmsen( ) y essendo A l momento statco d A spetto alla etta d sponda. S ottene qund: M 0 ξ I M η I y M Le equazon sctte mostano che:. la poszone del cento d spnta è ndpendente dall nclnazone α, essa mane nalteata al uotae della supefce ntono alla etta d sponda;. la η s annulla se l asse delle è d smmeta della supefce A; l cento d spnta s toa coè sull eentuale asse d smmeta d A se questo concde con una lnea d massma pendenza; Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

46 3. Il cento d spnta è sempe pù dstante del bacento dalla lnea d sponda; nfatt detto I 0 l momento d neza della supefce spetto all asse bacentale paallelo alla etta d sponda sulta (secondo l teoema della tasposzone o d Huygens): I I I > M A 0 ξ Se la supefce pemuta gace su un pano ozzontale, la etta d sponda s toa all nfnto e d conseguenza l cento d spnta concde con l bacento della supefce, come del esto può anche dedus dalla consdeazone che n tale caso la pessone è costante pe tutt punt della supefce. Un caso patcolae, pe la fequenza con cu s pesenta nelle applcazon patche, è quello d una supefce ettangolae con due lat ozzontal d lunghezza L. In tal caso, ndcata con una coodnata lungo la lnea d massma pendenza della supefce, l modulo della spnta può sces: S L pd oe l ntegale sta a appesentae l aea del dagamma delle pesson lungo una lnea d massma pendenza. Indcat con α l angolo fomato dal pano della supefce con l ozzontale e con h e h gl affondament de lat ozzontal sotto l pano de cach dostatc, l modulo della spnta ale: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

47 S γl (h sen( α) h ) che concde appunto con l aea del tapezo moltplcata pe la lunghezza L. Il cento d spnta è subto ndduato: esso pe smmeta, gace sulla medana d massma pendenza; e gace nolte sulla nomale alla supefce che passa pe l bacento del dagamma delle pesson. In patcolae se l lato supeoe del ettangolo gace sul pano de cach dostatc (h 0) s ha: S γl h sen( α) γlbsen( α) Mente l cento d spnta è concdente con l bacento del tangolo, come è facle dmostae: ξ 0 + ξ0 b. 3. Ragguppamento admensonale: l numeo d Reynolds. Il numeo d Reynolds (dmensonale) cosponde al appoto fa le foze d neza, che competono al temne non lneae ρ, e quelle scose, appesentate dal temne lneae μ : t ρ L L ρ L Re kg μ ν μ L (con L lunghezza caattestca, eloctà). m s Pe flud n quete (eloctà nulla), s ha che pue Re 0; se, nece, Re è un numeo molto pccolo, uol de che gl sfoz scos sono domnant spetto alle foze nezal. Vceesa, un aloe molto gande d Re mplca che gl sfoz scos sano quas tascuabl spetto alle foze d neza, che compaono al numeatoe. Tpc poblem d compotamento, che mplcano l estapolazone a flud non newtonan d cò che è noto pe quell newtonan, guadano le dpendenze funzonal de fatto d attto dal numeo d Reynolds appena defnto. Pe quanto guada l moto d flud all nteno d tubazon se 0<Re<500 è pesente un moto lamnae, domnato coè dal temne lneae delle foze scose, se 500<Re<0000 c s toa n una zona d tanszone doe una mnma petubazone pota all nnescas d otc, mente pe Re>0000 l egme è tubolento, domnato dalle foze nezal. È bene codae che d solto s ceca d opeae al d fuo della zona d tanszone pe la sua mpeedbltà; oltetutto gl scamb d caloe e matea sono mglo se l moto è tubolento Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

48 3. Mot puamente scos. I mot puamente scos sono mot stazona d flud ne qual gl sfoz scos sono domnant (così che, n appoto ad ess, gl sfoz nezal sono d mpotanza tascuable); n sostanza, sono que mot pe qual s hanno de nume d Reynolds ( foze d neza / foze scose) molto pccol. Lo studo del moto unfome d una coente n pessone costtusce una delle queston fondamental dell daulca tecnca, ed è nolte d noteole mpotanza concettuale. Nella stessa defnzone d moto unfome è mplcta la condzone che la condotta ento cu la coente s muoe debba essee clndca, essendo del esto a po del tutto mpecsata la foma della sezone tasesale. L nteesse de cecato s è peò essenzalmente olto alle condotte a sezone ccolae, sa peché d gan lunga pù comun nelle applcazon tecnche, sa pe le edent semplfcazon che deano all ndagne dalla consdeazone della smmeta assale. Anche qu s pendeanno n esame sopattutto l momento ne condott ccola (senza estzon o allagament), accennando soltanto beemente al caso pù geneale; del esto, se è eo che la foma della sezone tasesale ha una decsa nfluenza su caatte del moto, come s conosceà, nel caso del moto lamnae, l espeenza ha nece potato a conoscee un nfluenza della foma assa mnoe, e patcamente tascuable, quando l moto sa tubolento: basta, alloa, almeno ne lmt d appossmazone comunemente accettat dalla tecnca e pe una sone globale del fenomeno, una sola dmensone lneae, l dameto daulco, a defne geometcamente la foma della sezone tasesale. Insomma, pu utlzzando, nell affontae la maggo pate de poblem, le fome geometche pù semplc possbl pe conton, sulteà quas sempe possble, adopeando l empco pncpo d smltudne estesa, un accettable estapolazone de sultat così ottenut anche ad alte stuazon geometche. Pma d nzae lo studo, conene pemettee una consdeazone che ha caattee del tutto geneale: moto unfome è, pe defnzone, quello n cu l ettoe eloctà s mantene costante lungo ogn taettoa. S analzzeà, po, anztutto l caso del moto egolae (o lamnae), coè quel tpo d momento n cu sono nulle le component d agtazone della eloctà, scché le taettoe effette delle sngole patcelle flude concdono con le taettoe del moto medo: n patcolae, pe l moto unfome, n condotte, sono ette paallele alle geneatc del condotto. Quando, nece, la eloctà meda d una coente fluda, n un tubo assegnato, oltepassa un ceto aloe ctco, l moto pede que caatte d egolatà che lo contaddstnguono nel caso d eloctà pù pccole: facendo esplcto femento al moto unfome n un condotto clndco, s conosce, a pma sta, che le taettoe delle sngole patcelle flude non sono pù goosamente paallele all asse del condotto; al moto d taspoto, cospondente alle taettoe ettlnee, ene bensì a soappos un moto dsodnato d agtazone appaentemente d natua caotca. Questo moto d agtazone pende appunto l nome d tubolenza. Pendamo n esame, pe nzae, un moto scoso completamente sluppato (nel quale, coè pofl d eloctà sano dentc n ogn sezone del tubo clndco) e, ntoducendo delle coodnate clndche, poettamo l ntea equazone d Nae-Stokes sull asse del condotto e lungo la dezone (codando che la eloctà è uncamente funzone del aggo R): ρ + μ p + ( ) + ρg Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

49 Le potes d patenza sono le seguent: condzon stazonae ( deata spetto al tempo nulla) moto completamente sluppato con funzone solo del aggo della condotta ( ( ) ) Pe alutae l aloe della componente adale della eloctà è suffcente scee n coodnate clndche l equazone d contnutà; s ha che: se ρ ρ cost alloa 0, qund 0 + ( ) ; t l temne è dentcamente nullo, a causa del fatto che la eloctà è funzone esclusamente del aggo e non ha alcuna componente lungo l asse. E facle ntue, petanto, che la componente d eloctà adale sa nulla e che, qund, abba soltanto component assal: ( ) 0 cos tan te 0. (nfatt n R 0) Qund, scendo anche l equazone del moto poettata nella dezone, s può dedue faclmente che pp(); nfatt: p p ρ μ qund, essendo 0, maà 0, a confema d quanto pecedentemente t detto. I temn a snsta dell equazone d moto sono dentcamente null. S può osseae nolte che essendo l moto d tpo scoso (coè caattezzato dalla pealenza degl sfoz scos spetto a quell nezal) e caattezzato da un egme d flusso stazonao, a po potea essee consdeato nullo l temne ρ costtuto appunto da una deata spetto al tempo (nulla pe t potes d stazonaetà) a cu s sommano temn d sfozo nezal: o pe moto completamente sluppato ρ ρ( + ) ρ( ) 0 t Se s ntoduce una aazone della pessone depuata della cosddetta pessone fludostatca ( p statco ρg, doe nel nosto caso denta pstatco ρg ), alloa l temne ρ g può essee nglobato come Pdn Ptot Pstatco : o Equazone d moto dnamca equazone d moto statca: ρ μ t + ρg p totale ( ρg p statca ) ρ t μ a cu s ottene l equazone d Poseulle pe mot puamente scos: p doe pp dnamco Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

50 μ p L equazone del moto, tenuto conto del fatto che anche l temne s annulla a causa dell esclusa dpendenza d da, peeà ad un espessone d questo tpo (doe le deate sono odnae e non pù pazal): d d dp μ ( ) dn con () e p p(). d d d dp Se s suppone che la pedta d caco dn sa costante (n egme lamnae), la deata può d Δ p anche essee sctta nel seguente modo: (con L lunghezza del tubo e segno douto al fatto L che l moto sulta essee enegcamente dsspato), questa costante (n aloe assoluto), se dsa ΔP ΔP pe l peso specfco del lqudo, è detta Cadente: J Pedte JL. Lγ γ Le tpche condzon al contono pe un poblema come questo sono 0 sul contono (coè pe d R) e 0 pe 0 (oeo s ha un massmo d eloctà n cospondenza dell asse del d condotto clndco douto alla smmeta del sstema). Pma d pocedee, osseamo che, nelle equazon pecedent e nelle elate condzon al contono, pe qualunque stuazone geometca, non fgua esplctamente la gandezza fsca ρ: d conseguenza, lo stato d sfozo nel fludo e su conton non può dpendee dalla denstà. Integando spetto ad l equazone dffeenzale del pmo odne d d p ( ) Δ, s ottene la d d μ L seguente espessone (n cu C appesenta la costante d ntegazone): d d Δp C μ L Adopeando la seconda condzone al contono (quella, coè, pe 0), s caa l aloe della costante: C 0 d / d / Δp μl Integando l espessone così ottenuta una seconda olta, s aà che: C Δp 4μL Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

51 La s annulla pe R (coè a contatto con la paete solda del condotto), pemettendoc d alutae mmedatamente l aloe della seconda costante d ntegazone: C R Δp. 4μL Sosttuendo tale aloe, caamo l espessone defnta del poflo d eloctà secondo l asse: Δp (R 4μL ) ΔpR ( 4μL R ) Tale fomula, stablta pe a spementale dal medco fancese Poseulle ntono al 840, mosta come la dstbuzone della eloctà nella sezone tasesale della coente sa d tpo paabolco, con aloe massmo n cospondenza dell asse del condotto e aloe nullo alla paete (a molt auto, specalmente tedesch, tale fomula è nece nota come equazone d Hagen, n onoe dello scenzato che gunse, pue pe a spementale, quas contempoaneamente a Poseulle). alla seguente fomula s può notae come la eloctà massma del fludo s ha sull asse del condotto (coè pe 0): ma Qund, sosttuendo nella pma equazone, s ha ΔpR 4μL R ma La esstenza, opposta dalla paete ccostante, al momento del clndo fludo geneco d lunghezza L consdeato sulta espessa come podotto dell aea della supefce lateale del clndo pe lo sfozo tangenzale : p τ w p-δp τ w Δp Petanto, ndcando con τ w gl sfoz tangenzal alla paete del condotto clndco (qund massm), con F P la foza esectata dal fludo sulla sezone consdeata, con F τ la esstenza opposta dal fludo al moto, con l dameto del tubo d sezone ccolae e con L la sua lunghezza, s ha che: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

52 F F P τ π ΔP sezone ΔP 4 τ sup efce lateale τ w w e πl al momento che tal due foze s equlbano a cenda, eguaglandole è possble dedue l legame che ntecoe ta gl sfoz tangenzal, esectat sulla paete del condotto e le pedte d caco pe untà d lunghezza dello stesso: τ w Δp 4L 4Lτ Δp w (*). Gl sfoz tangenzal sono caabl anche come: μ τ w R μ( ma ) R μ R ma Δp R L Δp 4L π A questo punto, ddendo la potata olumetca Q V < > pe la sezone tasesale 4 della coente, caamo l aloe della eloctà meda del fludo, usando come dmensone lneae caattestca del tubo pma l aggo daulco e, alla fne, anche l dameto: < > Q A π R 0 R π 0 d d R R 0 d R Δp 4μL R 0 (R )d R 4 Δp R ( 4μL 4 R ) 4 e, semplfcando: < > Δp R 8μL Δp 3μL ma 3Lμ< > Δp (**). Intoducendo nolte l aggo daulco del condotto, pa al appoto fa la sezone e l pemeto bagnato, /4, s ha: h 4S e P R h qund 4R h 4 Ne consegue che < > h ΔpR Lμ Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

53 Eguaglando la (*) e la (**), s caa l espessone pe l calcolo degl sfoz tangenzal ne tub caattezzat da moto lamnae stazonao: 4 Lτ w 3Lμ < > qund 8 μ < > μ < > τ w. R h Concludendo è possble affemae che l poflo d eloctà d un fludo n moto lamnae completamente sluppato all nteno d un tubo ccolae, dopo un tatto nzale n cu è patto (poflo all mbocco), subsce una pogessa eoluzone (nella zona detta d mbocco, lunga fno a cca 00 damet a seconda del aloe del numeo d Reynolds), fno ad assumee una foma paabolca ; tutto questo è confemato Zona d mbocco dall anals numeca appena fatta ( ma lungo l etce della paabola e 0 m/s sulle paet). 4. Pedte d caco dstbute o contnue. Il fludo, duante l suo moto lungo l condotto è sottoposto a sfoz tangenzal l cu aloe massmo s toa n cospondenza della paete solda. Tal sfoz potano a dsspazon della potenza cnetca del fludo che sono dstbute lungo l pecoso e engono petanto denomnate pedte dstbute. Il numeo admensonale che caattezza lo sfozo tasmesso (e, pecò, la potenza dsspata) pende l nome d fattoe d attto dalla sua defnzone geneale, nel caso specfco aene quanto segue f F < > A ( ρ τ wπl < > ) πl( ρ τw ρ < > ) doe F è lo sfozo totale (paallelo all asse del tubo) su una supefce d contono, A la sezone d uto (oeo la supefce che l oggetto offe all mpatto con la coente fluda), <> la eloctà meda del fludo spetto all oggetto e F/supefce lateale τ w sfozo tangenzale sulla paete. Tale agguppamento admensonale sulta, n geneale, funzone della foma geometca e del ρ< > numeo d Reynolds (codamo che Re ); n egme puamente scoso l unco legame μ possble ta f e Re, coeente con la condzone che pe l moto scoso F non dpenda da ρ Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

54 (gandezza caattestca delle foze nezal, da eputae tascuabl spetto a quelle scose domnant), saà alloa: C f, Re doe C è una costante che dpende uncamente dalla foma geometca. alla defnzone del fattoe d attto, s caa alloa pe moto scoso n un condotto (con F paallelo all asse del tubo e A supefce del tubo) la seguente espessone (essendo Δp Δp R h μ < > τ w ): 4L L R h τw μ < > 4μ 6μ f ρ< > ρ< > R ρ< > R ρ< > h h 6 Re La soluzone toata è nota a tutt come la soluzone analtca ottenuta da Poseulle ed è alda pe qualsas foma geometca della sezone del tubo, a patto che la lunghezza caattestca con cu s calcola l Re sa l dameto daulco h. Rcodando la defnzone d τ w e d f s possono anche alutae le pedte d caco lungo l condotto (espesse come aazone d pessone): f τw ρ< > ρ< > Δp 4L A ρq Δp 4L ρq π 4 Δp Δp f 4L ρ L 3LρQ f 5 π Il fattoe d attto n moto puamente scoso ( ceepng flow ) costtusce (come gà detto) un esempo della aldtà del cosddetto pncpo d smltudne estesa; eanno ctat, a tal poposto, due cas specal. Pe moto scoso ntono ad una sfea mmesa n un fludo, è stato analtcamente dmostato da Stokes che: 4 f. Re F (con f, doe F foza totale, A sezone massma della sfea, e eloctà elata ta Aρ coente e sfea, Reynolds calcolato con l dameto della sfea). Quando camba la foma geometca del sstema, camba solo C (foma); a, tuttaa, leato che, se come lunghezze caattestche pe costue l fattoe d attto ed l numeo d Reynolds, s assumono oppotune lunghezze (qual dameto daulco, dameto sfeco equalente e così a), le stesse costant d foma aano molto poco al aae della geometa. Ad esempo, pe moto scoso ntono ad oggett mmes s può defne come dameto sfeco equalente quello della sfea aente lo stesso appoto ta olume e supefce dell oggetto consdeato. Con tale defnzone, la costante C 4 della fomula d Stokes può essee adottata, n pma appossmazone, pe ogn alta foma geometca. Così è anche ben noto che, se nella fomula d Poseulle s sosttusce al dameto del condotto l dameto daulco (che è pa al quaduplo della sezone d moto/pemeto bagnato), la costante C 6 può essee una buona stma pe condott a sezone desa da quella ccolae. Tal consdeazon, petanto, pemettono una pestma del compotamento d geomete nuoe o, comunque, altment non studate. In alt temn: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

55 V A e 4. P P equalente 6 daulco SP bagnato 3 π (oe V / 6 e S π appesentano, spettamente, l olume e la supefce d una sfea equalente all oggetto consdeato, mente A è la sezone d passaggo del lqudo e P bagnato è la supefce bagnata). Consdeando, alloa, l moto d un fludo ntono ad un copo che può essee assmlato ad una sfea, commettendo un eoe solo tascuable, aemo un fattoe d attto pa a: f F 4 F μ μ equalente π F 3πμ Aρ Re A 4 equalente equalente equalente. Tale fomula, sempe dmostata da Stokes, pemette d alutae dettamente l aloe della foza esstente che s oppone all aanzamento dell oggetto consdeato all nteno della massa fluda. Se olessmo calcolae la potenza dsspata doemmo moltplcae la F pe la eloctà. ato, ad esempo un oletto n moto lamnae (altezza massma d cca 5 cm e laghezza d 0-5 cm) le pedte d caco sono alutabl come: f 6 con Re h Sdz h 4 n quanto l pemeto e la supefce aano contnuamente bsogna Pdz calcolae l quozente ta la sezone totale ed l pemeto bagnato. Sempe nelle condotte, se esse non aggano pene, è possble aee ntenamente alla condotta la gas lqudo fomazone d un pelo lbeo : sono pesent pedte d caco n entambe le fas, se queste sono n momento. Esse sono calcolabl con le fomule sopacctate, a patto che s utlzz l dameto daulco, tpco d ognuno de flud. Questo tpo d moto è detta a canaletta ed è l equalente d un fenomeno d catazone, etable tamte l aggunta d un succho che, elmnando l gas pesente, pemette d ottenee che l fludo occup l nteo olume del tubo. All nzo del condotto l lqudo (ad esempo acqua), satuo d gas (ad esempo aa) occupa l ntea sezone, pù aant nel moto, n seguto ad una dmnuzone d pessone (P < P atmo ), da qualunque causa poocata, s ha la lbeazone del gas e l nstauas del moto a canaletta, l quale peò può essee elmnato dal succho. 5. Pedte d caco concentate o local. La pedte d caco concentate guadano pelopù be accod fa un tatto d condotta clndca ed l successo, n cu s hanno cambament d sezone o d dezone, busch o pù o meno gadual: ne consegue che non è a goe lecto, pe quest be tatt, consdeae una lnea pezometca ed una lnea de cach total della coente. L mpotanza dello studo d queste stuazon sta nel fatto che esse sono quas sempe caattezzate da una ntensa dsspazone d enega e, qund, da un busco abbassamento della lnea de cach total. La causa d tale dsspazone è, d noma, un dstacco della ena fluda dalla paete, accompagnato dalla fomazone d zone doe ha luogo una ntensa agtazone otcosa d masse flude, sottatte al momento Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

56 geneale d taspoto. Le dsspazon d enega d cu s è appena detto engono desgnate come pedte d caco localzzate, pe contaddstnguele dalle pedte contnue, che s hanno lungo tatt d coente n moto pù unfome e che taggono la loo pma ogne dalla esstenza opposta al momento dalla paete della condotta. Queste pedte eanno n seguto tattate nel dettaglo. 6. Contollo d potate lqude all nteno d canal. Sn da temp de Sume e de Bablones, n Mesopotama, s opeaa su cos d acqua destnat all gazone de camp medante la costuzone d appost dspost n gado d egolae, sfuttando semplc pncp d dostatca, le potate d acqua a popo pacmento, onde etae possbl nondazon: tal dspost, che enano costut n loco, sono stat defnt stamazz (we); gl stamazz non fanno alto che sfuttae l pncpo d efflusso pe caduta, pe cu, se l lello del lqudo sopassa l lello della paata, la potata eccedente deflusce, potando l lello a quello contollato dall altezza della paata. Esstono des tp d luc a stamazzo: stamazzo Bazn (sezone ettangolae), stamazzo Cpollett (sezone tapezodale), tangola (sono pù effcent come ogan d msua n quanto una sua aazone n altezza cosponde ad una aazone quadatca dell aea e qund ad una aazone d potata eogata con una potenza.5) e alt, secondo le pù note geomete. La banca dell Idaulca che s occupa specfcamente degl effluss da luc (fo) sommese oppue a stamazzo è nota anche con l ttolo d foonoma 7. Moto a flm n egme puamente scoso. Il moto a flm pesenta un caso d studo che toa applcazone nel campo degl assobto, de condensato, degl eapoato a flm, ne qual un lqudo s muoe sulla supefce solda sottostante essenzalmente sotto l azone della foza d gatà. Lo spessoe del flm è, nfatt, così dotto che la pessone al suo nteno può essee consdeata unfome e pa a quella de gas o apo ccostant. Se, tuttaa, l gas o apoe s muoe ad una ceta eloctà spetto al lqudo, esso può tasmettee uno sfozo al flm sottostante, ostacolandone o ageolandone l momento. Se l flm ha uno spessoe abbastanza pccolo spetto a agg d cuatua ed alle dmenson della supefce su cu s muoe, è lecto, n pma appossmazone, y consdeae l suo moto come pano, con eloctà qund, consdeando l moto completamente sluppato, che dpende solamente dalla coodnata y nomale alla supefce. (y) Se s consdea come poblema tpo l moto scoso completamente sluppato su una paete etcale, l equazone d moto : s ρ L t μ L d dy p + ρ L g s semplfca nel seguente modo: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

57 d dy ρlg, μ L dal momento che, essendo molto sottle l flm lqudo e sultando, qund, costante ounque la p pessone, s annulla l addendo, mente la deata sostanzale sulta nulla (l unca componente d eloctà non nulla è nfatt quella n dezone, dpendente esclusamente da y, dezone nomale al pano: (y) ). Nel caso n cu l pano d scomento del fludo sa nclnato d un angolo θ spetto alla etcale codas che g gcosθ. S tatta d un equazone dffeenzale del secondo odne, assoggettata alle seguent condzon: pe y 0 s ha che 0 (l flm, coè, adesce alla paete, la quale, pe defnzone, non s muoe); pe y s, nece, s ha che μ L τg (con τ G che cosponde allo sfozo untao y tasmesso dal gas o apoe n moto contocoente, se τ G >0, al flm lqudo). Se τ G 0, segue dettamente che anche 0 (n questo caso, pe y s ma ); y S ntegando due olte consecutamente l equazone dffeenzale ottenuta, s caa che d dy ρlg y + C e μ L C + C y ρlg y μ L (doe C e C appesentano le due costant d ntegazone). La soluzone del poblema è la seguente: ρ gs τ ρ L G L y y, che nel caso G μ L μ L μ L g τ 0 s semplfca n ρlg sy μ L y La potata pefeca (potata massa pe untà d lunghezza, nella dezone z pependcolae al pano d moto) del flm è pa a (agonando pe dz unta): s L ρ 0 L < > dy ρ L < ρlgs > s 3μ L 3 ρlτgs μ L se τ G 0: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

58 s L ρ 0 L < > dy ρ L < 3 ρlg s > s μ L 3 s ρlgs 6 3μ L 3 La potata pefeca pe untà d olume è defnta come: L ρ ρ gs τ s 3 L G L 3μ L μ L Il poflo d eloctà nel flm ha un andamento d tpo paabolco ed l suo aloe medo (che sulta legato alla potata pefeca del lqudo) ale: s L < > ρls s 0 ρlgs dy 3μ ; L τgs μ L qund, pe τ G 0, s ha che: ρ gs L < >. 3μ L In queste condzon, la eloctà massma s ha n y s: ma ρlg s μ L E qund: ma 3 < > Se τ G > 0 s ha una dmnuzone della potata d lqudo e qund una tenzone. Lo sfozo τ G necessao pe aee una sgnfcata tenzone è quello pe l quale due temn che costtuscono la potata dengono dello stesso odne d gandezza annullando la potata scacata da un flm d spessoe fnto; s ossea che pe τ G 0, (s) è la eloctà massma nel flm (coè, nel suo ntono, l poflo d eloctà è unfome), mente, se τ G > 0, l massmo del poflo d eloctà s sposta eso l nteno del flm. La potata meda scacata sulteebbe alloa mnoe e pecò, pe gaante la potata data l flm è costetto ad spesss. A questo punto possono efcas due stuazone lmte: la pma cosponde all annullamento della eloctà n cospondenza della supefce del flm (ys). Tale condzone è denomnata loadng (ad essa n ealtà cosponde una massmzzazone del coeffcente d scambo d matea). La seconda è quella pe la quale la supefce del flm comnca a muoes soldalmente con l gas, e coè eso l alto detemnando l floodng, coè l allagamento dell appaecchatua. S consde che gl eapoato a flm, ne qual tal fenomen possono aene, sono costtut da tub etcal all nteno de qual ene fatto scoee l flm lqudo. Quando s detemnano le condzon d floodng tub n patca s empono d lqudo, Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

59 lqudo loadng gas lqudo floodng gas a causa del pogesso spesss del flm, e l apoe esce a passae solo fomando de pston. L appaecchatua nolte cessa d funzonae effcentemente peché peggoa lo scambo temco che chede d aene attaeso l flm lqudo. Il aloe ctco d Reynolds pe mot a flm può essee caato da quello pe fluss ne condott, utlzzando la defnzone d dameto daulco: 4Sezone 4(L ag hezza *Spessoe) h MotoAFlm h 4S, da cu s può PemetoBagnato Lag hezza h 4s s 500 concludee che Re c 500 Re c 65. ν ν ν 4 Il aloe del Reynolds ctco appena toato, pa a ~65, n ealtà è mnoe, nfatt pe alo d questo numeo admensonale supeo a 30 s nnescano de mot ondos caplla che causano della tubolenza abbassando l effetto aloe del Reynolds pe cu è applcable la teoa del flm scoso a Moto unfome tubolento penamente sluppato ne condott. Passando, oa, a tattae l effetto della tubolenza sulle condzon d moto del flud, conene pendee n esame anztutto l poblema pù semplce ed anche meglo e da pù tempo studato, che è quello d moto tubolento completamente sluppato ne condotto ccola. In ealtà, questo studo fonsce, come al solto, nfomazon che possono essee estese ad alt condott d sezone non ccolae e anz anche appaentemente molto des, e non può, petanto, essee consdeato lmtato. Il moto tubolento, a dffeenza d quello egolae, non è né stantaneamente stazonao né stable: olte l aloe ctco del numeo d Reynolds, l moto sulta essee del tutto caotco e non detemnable, n temn d eloctà e pesson local, le lnee d coente s pesentano con aazon busche d dezone e aabl contnuamente nel tempo. Pe questo tpo d egme, petanto, saanno possbl sostanzalmente delle consdeazon d tpo statstco. Il patcolae aloe del numeo d Reynolds, ndpendente dalla natua del fludo e dalle dmenson del condotto (puché clndco ccolae), olte l quale s manfesta l pmo nsogee della tubolenza (e, coè, d quelle condzon d nstabltà caattezzate dal pmo compae d qualche ondulazone nelle taettoe ognaamente ettlnee del moto egolae), è stato toato spementalmente e pende l nome d aloe ctco. Tale aloe, n cospondenza del quale s efca la tanszone, è all ncca : Re C 500. In ealtà n se 500 < Re < 0000 c s toa n una zona d tanszone doe una mnma petubazone pota all nnescas d otc, mente pe Re>0000 l egme è tubolento, domnato dalle foze nezal. etta la coodnata assale del condotto ed la coodnata adale, l etchetta d moto completamente sluppato ndca che (). Nel moto puamente tubolento (n cu ene meno ogn nfluenza della scostà), esta n goco la sola denstà ρ a caattezzae l fludo; pe questa stuazone, l espeenza ha messo, peò, n edenza l mpotante nteento della scabezza della paete nel detemnae le caattestche del Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

60 momento. S pendeà nnanztutto n esame l momento n tub lsc: tal possono consdeas, n patca, tub d eto o d pocellana, d ame o d ottone, puché nuo ed ottenut pe taflatua, oppue quell d mateal plastc (pleglas, polnle). f f(re) n scala doppo logatmca (moto n tub lsc) f 45 Regme lamnae Regme tubolento Re Le pme detemnazon spemental su tub lsc, oma classche, sono doute a Blasus: fuono effettuate n tub d ottone taflato, d modesto dameto, ed nteessaono l campo de nume d Reynolds compeso ta l aloe ctco e cca In tal condzon spemental, s dmosteebbeo essee sostanzalmente alde entambe le seguent espesson pe la stma del fattoe d attto: f / Re e f / Re, alde pe 0000<Re< Nel caso d pesenza d scabezza della paete l poblema s complca, non tanto pe la necesstà d ntodue una nuoa gandezza, quanto pe l ntnseca dffcoltà d defnla quanttatamente. E, nfatt, facle endes conto che ad una defnzone quanttata completa non può bastae un unca lunghezza, pe esempo l altezza meda o la massma, delle potubeanze che nel loo complesso detemnano la scabostà della paete, poché deono contae molto, ne guad del moto del fludo, anche la foma e la dstbuzone delle potubeanze stesse. Fu ntono al 930 che lo scenzato Nkuadse, un alleo d Pandtl, s occupò fose pe pmo del compotamento delle ugostà all nteno d tubazon, ealzzando all nteno d un tubo fatto d metlmetaclato (un polmeo) delle ugostà atfcal fatte d ganell d sabba d desa ganulometa. Le ugostà delle tubazon ostacolano l moto del fludo che scoe; esse, doe l appoto ta supefce (detta anche scabezza ε) con l dameto è dell odne n genee d , possono essee gnoate quando s tatta d un moto lamnae, mente anno pese n consdeazone quando s ha a che fae con un fludo che s muoe d moto tubolento peché la tubolenza aumenta con l aumentae delle ugostà. Sono popo esse nfatt le geneatc della tubolenza: a alle della potubeanza nfatt s fomano de otc qual po engono spnt nella coente pncpale, andando ad aumentae l caos. Nel caso d tubazon patcolamente ncostate s possono aee alo attono a Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

61 agl stud d Nkuadse tasseo ogne de dagamm ne qual s edenza che olte cet nume d Reynolds fatto d attto dentano costant e aano solo con l appoto fa la ugostà e l dameto del condotto. Un dagamma analogo è quello denomnato Abaco d Moody nel quale s pota la dpendenza del numeo o fattoe d esstenza λ (pa a 4 olte l fattoe d attto f) n funzone del numeo d Reynolds. a questo s può notae che l aumento del Reynolds è seguto da una maggoe dsspazone d enega, che aumenta con l accesces delle ugostà. È nteessante notae che pe Re pccol è pefeto l moto lamnae, mente Ln(f) pe alo gand è quello tubolento ad essee faoto: la natua scegle sempe l moto che pemette d dsspae la maggoe enega possble, nfatt se s estapolasseo spettamente ndeto ed n aant gafc elat al moto tubolento e al moto Re lamnae, s noteebbe che pe bass nume d Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

62 Reynolds, un moto d tpo tubolento poteebbe ad un fattoe d attto mnoe spetto a quello podotto da un moto d tpo lamnae, qund una mno dsspazone; ceesa, pe alt nume d Re, l andamento ettlneo del ln(f) n moto lamnae, daebbe alo del coeffcente f pù bass del cospetto andamento n moto tubolento; d conseguenza le dsspazon saebbeo ancoa una olta mno; tutto cò a conto natua, o meglo conto l II pncpo della temodnamca, qund non è pensable un nesone de due andament. 9. Consdeazon elate all mpatto d un fludo conto un oggetto. I pm stud d azonalzzazone e modellazone fludodnamca sul poblema de flud che nestono oggett sono stat potat aant anche da Pandtl ntono agl ann 0. Egl s dedcò pncpalmente allo studo de pofl ala. Il caso d nosto nteesse è elato al moto ntono ed ento tub. È utle nnanztutto codae la defnzone del fattoe d attto: f F ρ A. doe: A sezone d uto del fludo sull oggetto o omba dell oggetto nella dezone pependcolae al moto; F foza esectata sull oggetto; ρ enega cnetca pe untà d olume. Il fattoe d attto costtusce un agguppamento admensonale e può, ad esempo essee utlzzato pe calcolae la pedta d enega d una coente quando essa ene a contatto con un oggetto e la foza che l fludo esecta sull oggetto stesso. S consde l caso d una sfea nestta da una coente fluda. Nella pate anteoe dell oggetto s ha un punto, detto d stagno, doe la eloctà è nulla. Quando la coente s acna all oggetto, ene deflessa ntono ad esso. Le lnee d coente conolte dalla pesenza dell oggetto sono n patca quelle che nconteebbeo, guadando da una ceta dstanza, l oggetto. Nel caso analzzato è come se tutta l enega cnetca posseduta dalla coente s dsspasse nell nconto con la sezone d uto dell oggetto. La foza tasmessa dalla coente saebbe alloa (dalla defnzone d fattoe d attto f): F f ρ A f ρ π 4 Tale foza, sultante degl sfoz nomal alla supefce dell oggetto, può essee scomposta a sua olta n due tp d contbut: le foze d pessone ( F p ) e le foze tangenzal ( F t ); tuttaa le foze d pessone, data la smmeta sfeca dell oggetto, s eldono cendeolmente a due a due, qund la sultante d tal foze concde con la sommatoa delle component dette lungo l asse d momento del fludo Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

63 Punto d stagno anteoe S aà d conseguenza un fattoe d attto f che a sua olta potà essee scomposto n due contbut f τ e f p : l pmo legato agl sfoz tangenzal è d mpotanza modesta pe oggett che non sano ben poflat nella dezone del moto, l secondo è detemnato nece molto d pù dalla foma dell oggetto; l loo aloe può essee stmato come F (F + F ) F F f + ρ A ρ A ρ A ρ A τ p τ p + f f τ p 8 6 Nel caso della sfea Stokes dmostò che f p e f τ ; la loo somma dà appunto l aloe del Re Re fattoe d attto nel caso d moto scoso ntono ad una sfea mmesa n un fludo, gà 4 pecedentemente dmostata ( f ). Re agammando l fattoe d attto f pe moto lamnae n funzone del numeo d Reynolds s ottene una patcolae cua, da cu s possono dedue alcune consdeazon: f f C / Re f 0.5 Re < Regme lamnae scoso Re 3*0 5 Re Regme lamnae Regme tubolento Pe nume d Re abbastanza pccol, l fattoe d attto f ha un andamento gafco seguente una legge del tpo 4/Re (se Re < le lnee d coente sono paallele fa loo ed l egme è lamnae puamente scoso): pe questo ange d alo l fattoe domnante è dato da F τ. Pe Re attono all untà s nzano a fomae sulla supefce posteoe dell oggetto de pccol otc toodal, che, quando Re è maggoe dell untà (Re>0) ncomncano ad nnescas e a staccas con una ben detemnata fequenza; tale fequenza d dstacco, denotando con n l numeo d otc pe untà d tempo, con l dameto della sfea e con el la eloctà elata, è pa a: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

64 n el 0.5. f p denta domnante su f τ, che contnua ad aee un andamento del tpo C/Re 0.5, mente f p denta una costante (0.44 pe una sfea, mente pe alt oggett è 0.5). eto ad oggett a poezone ccolae l pocesso d dstacco è d tpo Pecessonao peché l asse d dstacco del otce non concde con quello del otce stesso, quest ultmo, nfatt, s stacca oscllando e compendo cca un nteo go su se stesso. Pe Re molto gand (supeo a ), l moto da lamnae denta tubolento e l fattoe d attto s stablzza ento un aloe fsso aable d poco a seconda della geometa dell oggetto. Utlzzando qund l cteo sem-empco d combnazone de compotament, è possble alutae la legge d andamento del fattoe d attto n funzone del numeo d Reynolds n egme da puamente scoso a tutto l campo lamnae (coè fno a ) che assume così la foma: 4 f Re Re la fomula così poposta ale pe cop assmlabl a sfee. Nel caso d un clndo nestto pependcolamente al suo asse, f concde pessoché con l untà, mente nel caso d una tae f.: l clndo qund dsspa d pù spetto alla sfea; è stato nolte dmostato che n tale caso l asntoto s aggunge pma. Inteessante è l modo con cu pe esempo engono pogettate le palle da golf: esse nfatt sono oggett sfec costtut sulla loo supefce da una see d nfossatue, che fomano delle ee e pope ugostà; queste ugostà non fanno alto che nnescae pma l moto tubolento, l quale fa così dmnue dastcamente l fattoe d attto e la pallna a pù eloce. Sfeode oblato bassa esstenza Sfeode polato alta esstenza Se l oggetto è ben poflato (come nel caso d un poflo alae) f<. In questo caso, olte alle foze tangent al moto, è pesente anche una foza pependcolae ad esso, detta Potanza: essa pemette, ad esempo agl aee d mantenes n olo e aae la popa alttudne opponendos alla foza d gatà. Facendo un alto esempo, nel caso d un cubo: se esso ene utato da un fludo su una facca, la potanza è nulla, così come lungo una dagonale pncpale, mente se la dezone è lungo uno spgolo esste un pccolo contbuto della potanza. Fatto d attto untao possono essee applcat a bolle n lqudo o gocce d lqudo n gas (tpo pogga) o anche a focch d nee (pe fae l esempo pù omantco) o fogle che cadono Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

65 Nel caso d bolle o gocce l assetto geometco che è enegetcamente faoto è quello sfeco, pechè è quello che pù d tutt mnmzza l enega totale del sstema: la sfea, nfatt, è l oggetto che, a patà d olume, pesenta la supefce estena mnoe possble (e, con essa, sulta mnma anche l enega supefcale assocata). Tuttaa quando le bolle o le gocce dentano d dmenson pù consdeeol (pe esempo d qualche mm 3 d olume), aumenta la esstenza fludodnamca (attto) che s oppone al loo moto: cò detemna, pe eazone, una defomazone che non può peò essee ndefntamente estesa. Pe bolle d pccole dmenson, la defomazone è tale da conseae pessoché nalteata la sfectà. All aumentae delle dmenson, e pecò, della defomazone, le bolle assumono una foma che aa da quella d sfeod oblat, fno alla foma d elmetto o d cappello d fungo pocno. All aumentae della defomazone subta dalla bolla, pe 0< Re <3 0 5, cesce anche l fattoe d attto (che aa da 0.44 pe le sfee a cca. pe l elmetto o la testa d fungo o l dsco ecc.). Pù la bolla è gande, pù è estesa la sezone d uto e maggoe saà la foza che s oppoà al momento, nolte saà pù estesa la supefce dedcata alla fomazone d otc; pe bolle eccessamente gand, duante l ascensone aene la fantumazone n bolle pù pccole e, qund, l poblema s complca alquanto. In pù talolta, a causa del peodco dstacco d otc sulla supefce posteoe della bolla (n possmtà dell nnesco della tubolenza d sca), l moto d salta s complca anch esso, dentando d tpo elcodale; s foma qund un Δ p ta l deto e l daant della bolla che ene stmato cca Δ p ρ 4 (nella quale è la eloctà elata bolla-fludo ) Un dscoso analogo a quello fatto pe le bolle è aldo anche pe le gocce d lqudo n un alto lqudo ad esso non mscble (pe esempo gocce d olo n un ecpente peno d acqua); nel caso, peò, n cu due lqud abbano medesma denstà, la gocca maebbe mmoble e, petanto, manteebbe nalteata la sua foma sfeca. 30. Cenn elat alle foze caplla. Pocess molto comun nell ndusta chmca guadano l passaggo d bolle d flud (gas o lqud) n sostanze lqude. In patcolae l passaggo d bolle gassose n un lqudo è detto nsufflamento: se le bolle hanno dmenson toppo eleate, questo pecoso non è effcente a causa della bassa supefce d contatto a dsposzone. Le gocce tpche dell ndusta chmca hanno un dameto ntono a 0.5 cm Se l almentazone del gas è toppo eleata s foma un Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

66 getto contnuo, causato dalla connessone ta le bolle fuouscent e quelle n fomazone. Inolte, la stuttua è ealzzata n modo da mpede che, duante l almentazone a gas, l lqudo possa fuousce dall ngesso delle bolle: questo è possble pe la dmensone oppotuna de fo della aggea. Pma d analzzae pù nel dettaglo questo fenomeno è necessao codae che un copo possede due fome d enega ntena: una è legata al olume, l alta alla supefce. La pma può essee faclmente desctta notando che all nteno del bulk (zona ntena alla fase n esame) ogn molecola è ccondata da alte molecole ugual, poste a dstanza dpendente dal loo aggo, e qund esstono delle foze attatte ntemolecola: l enega d queste foze pe untà d olume, moltplcate pe l olume danno come sultato l enega ntena d olume (pe l chmco questo contbuto è cò che ene ndcato come enega ntena); è bene codae che esstono anche delle foze epulse che mplcano una dstanza mnma a cu le molecole possono dspos (la sultante ta attazone e epulsone è quella che pota la sostanza ad un mnmo d enega). Pe quanto guada l secondo contbuto, la supefce d sepaazone fa un lqudo ed un alto fludo (lqudo o gas) non mscble con esso s compota, a causa delle foze d attazone molecolae, come se fosse una membana elastca n stato unfome d tensone: questa popetà è defnta tensone supefcale. E σ S S tatta, dmensonalmente, d un enega pe untà d supefce (o d una foza pe untà d lunghezza) e, nel sstema patco, s msua n N/m. Il aloe della tensone supefcale dpende dalla natua de flud a contatto e della tempeatua: all aumentae della tempeatua, la tensone supefcale dmnusce. La tensone supefcale ende conto d des fenomen, fa qual l pù edente è quello della foma sfeca assunta dalle pccole gocce d lqudo: questa foma tende, nfatt, a endee mnma, a patà d olume, l aea della supefce d contono. Le molecole poste n supefce godono d popetà ben dese spetto a quelle pope delle molecole poste nel bulk (coè nel bel mezzo della massa fluda), doe s equlbano cendeolmente tutte le foze d natua ntemolecolae. Sulla supefce, nece, ogn sngola molecola non sulta completamente ccondata da alte, ad esempo cca molecole, come nel bulk (questo, nfatt, è l massmo mpacchettamento possble) e, petanto, contbut enegetc e le foze coese olte eso l bulk non sultano affatto essee equlbate ta loo se olte all esteno (esste uno squlbo d foze, coè la loo sultante non è nulla). La gandezza caattestca delle popetà dell untà d supefce è l enega supefcale σ, ben desa dall enega posseduta dalle molecole nel bulk e dpendente dalla natua de flud sepaat n esame. Ad esempo, quando delle bolle s defomano, a patà d olume, aumenta la supefce estena: n queste ccostanze, poché aumenta l contbuto enegetco d supefce, compaono delle foze (dette caplla o supefcal) che ostacolano tal defomazon, mpedendo che la bolla camb la popa foma ndefntamente. S è dmostato che la pessone che s genea all nteno d una supefce d sepaazone ta fas d foma qualunque, defnta come pessone capllae, ea pa a: pσ Pnt Pest σ ( + ), doe R R R ed R appesentano agg d cuatua pncpal della supefce n questone elat a cech osculato pependcola alla nomale alla supefce (nel caso d sfee: R R ); petanto, la pessone capllae assume alo eleatssm solo nel caso d cop pccol, pe qual, coè, due Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

67 agg d cuatua abbano alo estemamente bass. Ne è un esempo peculae la nebba, la quale è costtuta da mcogocce d acqua (pù pccole delle cosddette pole fn dell aa) che fanno una noteole fatca ad eapoae; occoe qund un consdeeole salto temco pe ncee la loo fote enega supefcale pe untà d massa; è questo l moto pe cu a lello ndustale pe elmnae le gocce pù pccole d lqud o sold n gas s coe a de pecptato elettostatc, qual hanno la funzone d fa adee ad una paete queste patcelle, e se lqude fno a ceae un flm lqudo. Noteole mpotanza assumono anche cosddett fenomen d capllatà: mmegendo un tubo d pccolo dameto, apeto supeomente, n un lqudo, s ossea che la supefce lbea ento l tubo s ncua, fomando quello che d noma s defnsce mensco, e nel contempo l lqudo s nnalza o s abbassa spetto a quello ccostante. Attaeso la supefce del mensco s detemna un busco salto d pessone; pe l equlbo del sstema, l lqudo nel tubo dee nnalzas oppue abbassas a seconda che la pessone capllae nel lqudo n cospondenza del mensco sa nfeoe o supeoe alla pessone nel gas. La tensone ta due fas della stessa sostanza è detta tensone supefcale, mente se le fas appatengono a dese spece s pala d tensone ntefaccale, appesentata dal aloe assoluto della dffeenza ta le tenson supefcal delle due fas. Sostanza σ (eg/cm ) acqua 7 (5 C) ~40 (00 C) mecuo ~70 (5 C) keosene ~0 La tensone supefcale nel sstema CGS è msuata n Eg /cm ( Eg / cm 000 kg / s ), oppue ne / cm Immagnando d opeae n un ecpente po d mputà e d scaldae un lqudo fno alla sua tempeatua d ebollzone, c s accogeebbe che, tale fenomeno, n ealtà non s efca, solo a tempeatue maggo s lbea una gossa bolla mposa (la stessa cosa ale pe l pocesso opposto). Questo peché la nucleazone d una nuoa fase è poblematca a causa dell alta P σ (pe ceae pccole bolle s necessta d toppa enega): pe solee tale poblema s aggungono de nucle d eapoazone/condensazone (o gem o sem) pe faoe la fomazone d bolle (o cstall pe l pocesso d fomazone d una fase solda). Concludendo, l laoo d defomazone d una bolla è dato dal podotto ta σ e la aazone d supefce: L σ ΔS Se le bolle sono pccole (~mm) estano ndefomate a causa dell alto aloe d P σ. 3. Stma della eloctà ascensonale delle bolle n salta n una fase lquda. Su scala ndustale è molto dffuso l pocesso d nsufflamento d una coente d gas all nteno d un lqudo, utle talolta soltanto come mezzo d mescolamento delle due fas, senza fae uso d stument meccanc (pale ); questo peché nel moto d salta d bolle d gas all nteno della fase Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

68 lquda (a patto d aee ρ g < ρ l ), tal bolle s tascnano deto una ceta quanttà d lqudo adeente alla loo supefce posteoe: l suo olume è n genee pa a 5-0 olte quello della bolla. Questo è spegato dal fatto che dal punto d sta meccanco l lqudo è molto pù gdo del gas. La supefce anteoe della bolla è la pma a ene n contatto con l lqudo: s pala qund d lqudo ntefaccale; l ntefacca sulta soldale con l lqudo e l gas soldale con l ntefacca; s ottene un poflo d eloctà smmetco spetto al polo. L oggetto con cu s ha a che fae è d tpo sfeco non pefettamente egolae, ma leggemente schaccato, smle a un cappello d fungo pocno. lqudo Intefacca lqudo-gas s muoe soldalmente al lqudo. gas uante la salta s fomano otc adeent alla pate posteoe della bolla. Il poflo d eloctà lungo bod è patto, aggunge l suo massmo sull asse della bolla defomata e s annulla nel cento de otc nten ad essa. Poflo d eloctà La stma della eloctà ascensonale è molto mpotante pe l ngegnee chmco. Se nume d Reynolds sono abbastanza alt (Re > 0-30) l fattoe d attto è cca costante: pe bolle ndefomate ale cca , mente se le defomazon sono edent sale a. Consdeando una bolla a cupola sfeca n salta: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

69 F ach - A dameto della sfea defomata, o dameto appaente (è maggoe del dameto della bolla sfeca ndefomata). - V b olume bolla. - codando che: FAch ρlvb g Fp ρgvbg F p l blanco n condzon non stazonae (es. alla patenza), ma n egme lamnae tene conto del fatto che la massa totale A pesa n consdeazone compende anche del lqudo adeente alla bolla, l quale qund offe neza (esstenza) alla fomazone della bolla stessa; esso è, scendo la seconda equazone della dnamca (equazone d Newton): d dt V b ρ ρ Δρ ( eloctà elata) m FAch Fp FRES lvg b gvg b FRES Vg b FRES F ach e F es sono foze atte del momento e la bolla s stacca soltanto quando le pme sono maggo delle seconde. d In condzon stazonae 0, qund dt f ρl f ρl π π FRES A A f ρ l S con A S doe s è l dameto sfeco 4 4 equalente. L equazone nzale denta a cu π π 3 f ρl S SgΔρ 4 6 (appossmazone douta al consdeae l V b quello d una sfea e f una costante) 3 sgδρ fρ l 0.8 gδρ s fρ l A o damet d bolla d dstanza dal luogo d dstacco, la bolla ha aggunto la sua eloctà asntotca d salta, che pe bolle gand (cca ½ cm 3 ) aa (n qualsas fludo) ta 0.3 e 0.6 m/s. Appossmando ρ l ρ g ρ l, consdeando l aloe d f pa a e un s d cm, la eloctà d salta elata della bolla è d cca 0.5 m/s Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

70 Regme Lamnae Idaulco f costante Puamente Vscoso f costante / Reynold In egme puamente scoso, sappamo che qund (con p A ): 4 f (oggett assmlabl a sfee) e Re Re ρc p, μ c 4μ π F ρ 3 πμ c RES c p c p ρc p8 (l pedce c ndca che sono fet alla fase contnua attono all oggetto) che espme la ben nota FORMULA I STOKES. Infne, consdeando l equazone d Newton (equazone d blanco) n condzon stazonae, pe bolle pccole (non defomabl) o pe oggett sfec n momento una fase fluda, s ha: Δ ρvg 3πμ p c p π 3 a cu s caa sosttuendo l aloe del olume d una sfea pefetta ( V b p ): 6 Δρgp. 8μ c 3. Il blanco dell enega meccanca: l teoema d Benoull. Il blanco dell enega totale è elato a tutte le fome enegetche che possono accumulas n un sstema d olume e supefce assegnat, che possono essee tasfete o taspotate, tasfomate o geneate ento d esso: tale blanco espme l pncpo d conseazone dell enega. Veà qu peso n consdeazone l Teoema d Benoull che è un blanco d enega mpopo n quanto fa femento solo a fome patcola d enega e n condzon ben defnte. Tale teoema, nella sua ognaa foma, consdeaa esclusamente l moto non dsspato d un fludo ncompmble, che non fosse soggetto a scamb d enega con l ambente ccostante: così lmtato, esso assumea un caso patcolae del pncpo d conseazone dell enega e, pù pecsamente, la conseazone dell enega meccanca, essendo a po esclusa la possbltà d Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

71 tasfomazone d tale foma d enega n alte fome. Successamente, esso enne esteso n dese dezon, toglendo d mezzo l una o l alta delle potes esttte. Esso è ottenuto moltplcando l blanco popo della quanttà d moto pe un temne appopato, che sulta essee la eloctà. S penda n consdeazone un sstema fludodnamco n egme stazonao: ρ τ + ρg p ; t moltplcando entamb memb pe la eloctà del fludo, s ottene un blanco d potenze: ρ : τ + ρg p. t τj oe : τ j S ammetta che l fludo consdeato sa soggetto alla sola foza d massa che dea dal campo gatazonale (campo conseato); n tal caso, la foza d massa è oamente conseata e, ndcata con z la quota geodetca del geneco punto, msuata al d sopa d un qualsogla pano ozzontale d femento, essa sulta anche espmble medante la elazone: ρ g ( ρgz) (doe l acceleazone d gatà è supposta costante). In temn d deate sostanzal s ha pe a addend: ( ) ( ) + t t t t t Il blanco sctto è un blanco d enega meccanca che assume le cause d aazone d enega cnetca pe untà d massa del fludo (essa dpende dall enega dsspata pe gl sfoz scos, dalle pedte d caco e dalla aazone d quota assocata al fludo). Consdeando un sstema fludodnamco n condzon stazonae e po d sfoz scos (tpcamente dsspat, del tpo τ ), pe tal flud eulean o pefett, p d dsspazon, l equazone tpca, che cosponde ad un blanco d foze, è la seguente (Equazone d Euleo): p p + p p t t ( ρgz) ρgz + ( ρgz) ( ρgz) t t In condzon stazonae s annullano le deate pazal delle gandezze consdeate spetto alla aable tempoale, qund sosttuendo tal alo nell equazone pecedentemente ottenuta e passando alle deate sostanzal, s ottene: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

72 ( / ) p ( ρgz) ρ ( ρ + p + ρgz) 0. t t t t Questo sgnfca che lungo la geneca lnea d coente s consea la somma: ρ + p + ρgz cost ; ddendo tutto pe ρg ed ntoducendo l peso specfco γ, s peene alla pù comune espessone: p z + cost γ + g, nota come Equazone d Benoull: essa espme la conseazone dell enega meccanca ed è accettable fntanto che non sano sgnfcat fenomen dsspat (nel caso pù geneale, nfatt, occoe tene conto anche delle pedte d caco doute a dsspazon enegetche). Al pmo membo dell equazone d Benoull compae la somma d te lunghezze (spettamente note come quota geodetca, altezza pezometca ed altezza cnetca), spesso ndcata come tnomo d Benoull o, con dzone tatta dall daulca tadzonale, caco totale. Petanto, è possble enuncae l teoema d Benoull nella seguente manea: nel moto pemanente d un fludo pefetto pesante ncompmble, l caco totale s mantene costante lungo ogn taettoa. Al teoema d Benoull, peò, può esse attbuto un pecso sgnfcato enegetco, che ne costtusce l essenza e l mpotanza: s può, nfatt, dmostae che l caco totale appesenta l enega meccanca complessa posseduta dall untà d peso del fludo n momento (enega specfca). Il teoema d Benoull potebbe, petanto, anche enuncas così: nel moto pemanente d un fludo pefetto pesante ncompmble, l enega meccanca specfca s mantene costante lungo ogn taettoa. Esso sulta, con cò, una foma patcolae del pncpo d conseazone dell enega, gustfcata dalla ccostanza che essendos escluso ogn elemento dsspato, con l potes d fludo pefetto, esta esclusa anche la possbltà che pate dell enega meccanca possa tasfomas n enega temca. L ae nolte ammesso l ncompmbltà pota ad escludee l eentualtà che l sstema enegetcamente solato possa geneae caloe compendo laoo, come può aene nelle tasfomazon de gas compmbl. Il teoema d Benoull espme, dunque, la possbltà e le modaltà d tasfomazone dell enega meccanca d un lqudo da una foma all alta: n patcolae, l aumentae della eloctà pe l dmnue della quota pezometca e ceesa. Benché esso sa aldo goosamente, almeno nell espessone fn qu esamnata, soltanto pe quell enttà astatta che pende l nome d lqudo pefetto, tuttaa esso toa, anche così, numeose ed mpotant applcazon a pù dspaat poblem dell daulca: tutte le olte, pecsamente, che le dsspazon doute alla scostà sano tascuabl d fonte alle contempoanee tasfomazon d enega che esso pone n edenza. Natualmente, l tascuae tal dsspazon, ealmente sempe pesent, pota a sultat che deono consdeas soltanto appossmat, ma che possono essee accettat e pefezonat medante l mpego d oppotun coeffcent coett, alutabl su base spementale. C s lmteà qu ad esamnae n dettaglo soltanto qualche stuazone eamente tpca, che, ta l alto, consentà d mettee n luce qualche fatto concettualmente nteessante. Quando sstem non sono pù consdeabl come flud lqud pefett e s ha dsspazone, l caco totale non s mantene costante ma anno contablzzate delle pedte d caco: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

73 Δ z + p γ + g pedte L equazone d Benoull può semplfcas ulteomente se non s hanno aazon d quota lungo una ceta lnea d coente: p + cost. ρ 33. Modaltà d efflusso. Come gà accennato n pecedenza, lo studo de pocess d efflusso d lqud attaeso fo apet nelle paet de ecpent ha costtuto, un tempo, un asto captolo dell daulca applcata: la cosddetta foonoma; se ne tatteanno, qu, soltanto alcun aspett fondamental pe qual s possa utlzzae l teoema d Benoull. Un foo apeto nella paete o nel fondo d un ecpente s chama genecamente luce. S possono dstnguee due gand categoe d luc: le luc a battente, che hanno tutto l loo contono ad una quota nfeoe a quella del pelo lbeo nel ecpente, e le luc a stamazzo (o stamazz), che hanno, nece, soltanto la pate nfeoe del loo contono soggacente al pelo lbeo e, qund, bagnata dal lqudo effluente. La coente che ha ogne da una luce s chama getto o ena lquda. C s lmteà, soltanto, all efflusso da luc a battente a spgolo o, coè col bodo afflato, n modo che la ena se ne stacch nettamente, ncendo le foze d adesone. Consdeamo, nnanztutto, l caso che la luce sa apeta sul fondo pano del ecpente; eso la luce conegono taettoe che poengono da ogn punto del ecpente: n patcolae, quelle che lambscono l fondo pano aano alla luce n dezone ozzontale e, soltanto dopo ae abbandonato l bodo, pegano gadualmente eso l basso pe effetto della gatà e delle pesson esstent all nteno del lqudo (conegono, dunque, ancoa pma d dspos sensblmente paallele n dezone etcale). La pma sezone tasesale della coente, doe questo aene, pe le taettoe pefeche oa consdeate e conseguentemente anche pe tutte quelle ntene al getto s chama sezone o ena contatta: essa ha aea nfeoe a quella della luce e l espeenza ha mostato che, pe le luc ccola, pesenta una contazone massma ad una dstanza d cca un dameto dal pano della luce Questa dstanza sulta tascuable ne calcol se l lello del lqudo nel sebatoo è alto, mente sulta mpotante nel caso n cu esso sa basso. La ena contatta è pesente ndpendentemente dalla foma geometca del foo a patto che esso sa a spgolo o. Il coeffcente d contazone pe la ena contatta pe sezone ccolae s stma essee pa a π % (questo ndca che la sezone d passaggo è nfeoe a quella complessamente π Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

74 dsponble e pa a cca l 60% d essa). In cospondenza della ena contatta, la eloctà d efflusso del lqudo assume l aloe massmo. L mpotanza della pesenza della sezone contatta sta appunto nel fatto che, essendo essa attaesata da taettoe sensblmente ettlnee e paallele (qund pe descele tutte, basta analzzane una), la coente s può consdeae gadualmente aata, e qund dostatca la dstbuzone della pessone: nel caso oa consdeato, gacendo la sezone n un pano ozzontale, possamo senz alto concludee che la pessone elata è nulla n ogn suo punto, essendo nulla al contono che è a contatto con l atmosfea (pelo lbeo). Lo stesso non può ceto affemas pe la sezone n cospondenza della luce: pe la fote cuatua delle taettoe che l attaesano, la quota pezometca, e qund la pessone, cescono dal bodo eso l nteno, secondo una legge dffclmente deducble pe a teoca, aggungendo l aloe massmo n cospondenza del bacento della sezone; l espeenza ndca che l altezza pezometca p / γ è all ncca pa a 0,6 olte l affondamento della luce sotto lo speccho lqudo. Indcheemo con h tale affondamento, cu s dà tadzonalmente l nome d caco sulla luce; pù genealmente, pe ncludee anche l caso d luc apete n paet non ozzontal, s desgna come caco l affondamento del bacento della luce. Applchamo, oa, l teoema d Benoull ad una geneca taettoa che, patendo da un punto A ento l ecpente, abbastanza lontano dalla luce peché la eloctà s possa tenee ancoa tascuable, aggunga un punto B della sezone contatta; pe potelo fae, dobbamo natualmente pesuppoe la stazonaetà del momento. ette z A e z B le quote de punt A e B sopa un geneco pano d femento e p A / γ l altezza pezometca nel punto A, pa al suo affondamento sotto l pelo lbeo, l teoema d Benoull c dà: pa A p B B z A + + z B + +. γ g γ g Ma p B / γ 0, essendo l punto B sulla sezone contatta, e possamo anche tenee nulla l altezza cnetca n A, pe quanto gà osseato; s caa: B g p A z A + z B h + δ B gh, γ aendo desgnato con δ la pccola dstanza etcale fa la luce e la sezone contatta. Faccamo notae che l pmo membo dell equazone sctta appesenta l enega cnetca (specfca) che ha tatto ogne dalla dmnuzone d enega potenzale appesentata dal secondo membo; se la luce non è molto possma al pelo lbeo, s può tascuae δ d fonte ad h e caae la notssma fomula d Tocell, ottenuta dall alleo d Galleo pe a spementale: essa dce, n sostanza, che la eloctà d efflusso d un lqudo da una luce è pa a quella che assumeebbe un gae, nzalmente n quete, cadendo nel uoto pe un altezza uguale al caco. L nfluenza de fatt dsspat che abbamo ammesso d pote tascuae è oamente nel senso che la eloctà d efflusso effetta sulteà un pochno mnoe d quella tocellana: l enega dsspata andà, nfatt, a scapto dell enega cnetca esdua nella sezone contatta. Il poblema potea essee solto anche pù faclmente consdeando z B 0 (quota ena contatta) e z A z (punto su pelo lbeo); sccome n un efflusso la P è quella atmosfeca s può scee: Pa + gz ρ Pa + ρ gz Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

75 La potata attaeso tale foo ccolae saà: Q A foo π π + Vefflusso In ealtà la potata effetta peedebbe l podotto d Q pe un aloe C VBenoull che appesenta l appoto ta la eloctà spementale d efflusso e quella calcolata con l teoema d Benoull, da cu: Q effetta A π π + C μa 0.6A π C, π + doe foo foo foo μ n ealtà pe effluss etcal l appossmazone dettata da coeffcente C è quas tascuable. Rgugto: moto tubolento Vena contatta S consde, oa, un alto tpo d luce: quella ettangolae soggacente ad una paatoa pana pazalmente apeta. Olte all nteesse concettuale che oa saà posto n edenza, essa pesenta anche un noteole nteesse applcato, peché un dsposto del genee può essee mpegato, come s edà pù aant, pe la egolazone della potata mmessa n un canale. Veso la luce conegono taettoe che poengono da ogn punto del ecpente: n patcolae, quelle che lambscono la paete del ecpente muoendos etcalmente eso l basso, aate alla luce, non escono oamente a descee un angolo d 90 e petanto s detemna una contazone della ena fluda. Essa contazone è posta n un pano etcale e, nolte, appogga su un contono soldo, costtuente l fondo del canale. Poché, pe defnzone, nella sezone contatta le taettoe sono ettlnee e paallele, la coente è gadualmente aata: la cospondente dstbuzone dostatca delle pesson è d tpo tangolae, annullandos la pessone, oamente, n cospondenza del pelo lbeo della coente. La lnea d coente s addzza n dezone ozzontale dopo -3 damet salendo un po al d sopa dell altezza della paata. L allagamento successo alla contazone detemna una zona d allentamento con fomazone d otc, detto gugto. In questa zona l moto è tubolento. Nel caso n cu l lello del lqudo fosse basso, all nteno della ena fluda la eloctà aeà da punto a punto: assumendo un aloe mnmo nella pate supeoe e uno massmo n quella nfeoe (questa dffeenza è causa d otc nel gugto). Assunto l fondo del canale come pano d femento delle quote, l teoema d Benoull, applcato alla taettoa AB che pate da un punto A ancoa sensblmente n quete e gunge ad un punto B Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

76 p della sezone contatta, dà: + A p B B z A z B + +. L altezza cnetca n B sulta, dunque, γ γ g uguale al dslello ta pel d acqua nel sebatoo e nella sezone contatta; poché questo ale, oamente, pe qualsas taettoa, coè pe qualsas punto della sezone contatta, dobbamo concludee che la eloctà è unfomemente dstbuta, popo come nel caso pecedente. In pù s ha che la potata olumetca attaesa la ena contatta è pa a: Q& π C ( )S C S μs 0.6S con S sezone del foo e S sezone ena. π + In foma dffeenzale s aà qund: d(zs dt b ) d(zsb ) S gz con S b sezone bacno, o meglo 0.6S gz. dt a quest ultma equazone s può po calcolae l tempo necessao allo scacamento del sebatoo, medante un oppotuna ntegazone. Concettualmente analogo è l caso d una luce a spgolo o, d foma qualsas, apeta n un setto etcale o nclnato, posto fa due sebato che contengano lqudo sensblmente n quete, con dffeent lell del pelo lbeo. Anche n questo caso la ena, che ene detta sommesa, che sbocca dal sebatoo a lello maggoe n seno al lqudo contenuto nell alto, pesenta una sezone contatta poco a alle della luce, con dstbuzone dostatca della pessone; poché sul suo contono essa s toa n equlbo col lqudo n quete ccostante (coè sono ugual le pesson n due punt nfntamente cn, stuat, spettamente, ento e fuo della ena), tale dstbuzone dostatca è quella che compete al lqudo ccostante, appesentata ancoa da un dagamma tangolae. Adattando l solto agonamento alla geneca taettoa AB, s conosce che, anche n questo caso, la eloctà ha lo stesso aloe n tutt punt della sezone contatta, e che l aloe teoco (tocellano) sulta: t gh essendo h l dslello fa pel lbe ne due ecpent, che s usa ancoa chamae caco. Appaentemente pù semplce, ma n ealtà d pù dffcle ntepetazone concettuale, è l caso d una ena sboccante da una luce n paete etcale dettamente nell atmosfea. Anche qu s ha una sezone contatta, attaesata da taettoe sensblmente ettlnee, ma è facle conoscee che n essa la dstbuzone della pessone non segue la legge dostatca: basta pensae che la pessone è nulla n tutt punt del contono, che pue non sono tutt alla stessa quota; ed è stato, anz, spementalmente accetato che la pessone è nulla anche n tutt punt nten della sezone. Un caso patcolae è costtuto dagl effluss da fo o luc pazalmente sommes: queste stuttue pendono l nome d stamazz e engono utlzzat pe egolae la potata tamte la aazone del lello del lqudo (gl stamazz sono gà stat desctt n una sezone pecedente e non eanno pes) Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

77 S dmosta che la ena contatta (e, qund, le pedte d caco localzzate) può essee etata gudando l fludo all uscta dal sebatoo: l nto deale è quello che faosce lnee d coente ozzontal, coè che fa n modo che le lnee d coente abbano una cuatua pa a quella che l lqudo aebbe natualmente qualoa non fosse alcuna estzone. S eda oa l caso delle pedte d caco localzzate n punt patcola d condotte. Tale caso s efca qualoa s abbano aazon busche del dameto della condotta come quelle llustate nelle fgue che seguono. In cospondenza della sezone contatta, s hanno pedte d caco Δp local(dsspazon enegetche), doute a cambament d sezone o d dezone, busch o pù o meno gadual. La causa d tal dsspazon è douta alla aazone d eloctà della coente n cospondenza alla aazone del dameto. S eda nnanztutto l caso n cu s ha un busco allagamento. La coente, a seguto dell aumento della sezone dsponble pe l passaggo, subsce un allentamento cu cosponde un aumento della pessone. Il fludo n ao s toa qund d fonte un muo d pessone che lo costnge a pegas su se stesso fomando de otc n cospondenza alla zona d espansone. Le lnee d coente deono espandes fno ad occupae tutta la sezone dsponble. Il fludo, duante la sua espansone s compota come se geneasse un getto n ambente llmtato: le lnee d coente pù estene del fludo assumono nfatt spetto all asse del condotto un angolo d -5 (pa coè a quello che s ha ne gett n ambente llmtato). Fa eccezone l caso d gett ultasonc ne qual l angolo assunto tende a cca 45. Nel caso analzzato, s ha una pedta d enega del fludo legata a mot d mescolamento del fludo. Pe tal stuazon, l fancese Boda mostò spementalmente che: Δ p espansone ρ( ) (doe e appesentano le eloctà mede su due dstnte supefc e, con > p > p ). Nel caso n cu l efflusso aenga n ambente lbeo (sezone nfnta) le pedte d caco pe allagamento d sezone sono sctte nella fomula: Δ p espansone ρ doe è la eloctà della sezone appena pma dell allagamento. Le pedte localzzate ne degent, doe dstacch d ena non possono patcamente essee etat, possono anche essee agguadeol; degent hanno, talolta, funzon molto mpotant: s pens a dffuso collocat subto a alle delle tubne a eazone, n patcolae d quelle a bassa caduta. S compende, qund, come n tal cas l loo dsegno debba essee studato con molta cua, pe due al mnmo possble le pedte localzzate e, coè, le dsspazon d enega. Al fne d etae tal pedte può essee adottato un sstema d accodo che consenta d gudae le lnee d coente fno al dameto fnale etando così la fomazone d otc. L nclnazone della condotta d accodo eà pogettata oppotunamente con un angolo d -5 al fne d segue la natuale dsposzone assumble dalle lnee d coente (questa tpo d accodo ene detto a Ventu, n onoe d Ventu che fu l pmo ad utlzzalo). Nel caso duale d busco estngmento, nece, la causa pncpale della dsspazone d enega a cecata Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

78 nell aumento d eloctà della ena fluda; l espeenza ha potato a conoscee che, se l appoto ta l dameto nzale e quello fnale è maggoe o uguale a, la pedta d caco localzzata ha lo stesso aloe d quella d mbocco del sebatoo. Lo stesso Boda dmostò che alea la seguente fomula: Δ p 4 contazon e ρ( ) Nel caso n cu l efflusso aenga dall ambente lbeo ad una sezone pccola (sezone che è n senso elato nfntesma) le pedte d caco pe estzone d sezone sono desctte dalla fomula: 4 Δ p contezone ρ doe è la eloctà della sezone appena dopo l estngmento. L angolo d conegenza assunto dalle lnee d coente pù estene è n questo cas d cca I tonch d condotta gadualmente conegent non danno luogo a pedte d caco eta patcamente appezzabl, gaze al fatto, conoscuto spementalmente, che nelle coent acceleate s efca non soltanto un appattmento del dagamma d dstbuzone della eloctà, ma anche una geneale attenuazone de fatt tubolent. Spementalmente, s è mostato come le pedte d caco localzzate, n un conegente conco, dentno tascuabl gà con angol d conegenza d 45. Entando nella pate a sezone mnoe, la coente accelea pù d quello che saebbe chesto pe mantenee la potata e s foma una zona a flusso mnoe (dmnuzone della sezone n cu scoe la maggo pate del fludo), da qu la pesenza d una estzone d ena fluda e d otc. Come gà detto le pedte d caco pe la estzone d sezone sono mno spetto al caso pecedente. Concludendo, nel caso n cu la aazone d sezone non sa eleata, le pedte d caco sono espmbl tamte la fomula: ρ Δ p ( ) mente le potenze dsspate s ottengono moltplcando tale aloe pe la potata olumetca. 34. La teoa dello Stato lmte fludodnamco. Pe la compensone del moto de flud n cnanza d supefc d contono è molto mpotante la teoa dello stato lmte lamnae fludodnamco, peché è popo n possmtà de conton che s efcano fenomen d taspoto pù mpotant pe lo scambo d caloe e matea Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

79 Tale teoa, douta a Pandtl e potata aant da numeos cecato nel coso del secolo scoso, consente d detemnae alcune popetà del moto n possmtà de conton, l andamento de pofl d eloctà, d tempeatua e d composzone, degl sfoz fludodnamc, de fatto d attto, de coeffcent d scambo e così a. Quando una coente fluda neste un oggetto l suo moto è nfluenzato dalla pesenza dell oggetto stesso: nfatt sulla supefce d contatto fa oggetto e fludo le eloctà elate sono nulle, mente a dstanza da essa l campo d eloctà patcamente non sente della pesenza dell oggetto e la coente è come se pocedesse ndstubata. La teoa dello stato lmte fludodnamco nddua una zona d nfluenza del campo d moto, d spessoe molto dotto spetto alle dmenson dell oggetto, n cu s localzzano sostanzalmente pù eleat gadent d eloctà. L ndduazone d questa zona d nfluenza, detta appunto stato lmte, consente delle noteol semplfcazon delle equazon d Nae-Stokes endendo l poblema pù tattable. La tattazone che seguà, tuttaa, saà effettuata pe odn d gandezza. S consdeeà l moto lamnae e lo stato lmte su oggett pan estendendo po alo ottenut, medante l uso del pncpo d smltudne estesa, ad alte geomete. S consde un moto bdmensonale, la cu eloctà ha due component non nulle secondo due dezon spazal, n un sem-pano nfnto n modo da pote eplcae le consdeazon fatte anche su stat paallel al pano y. L espeenza mosta che, pe eloctà molto pccole, l moto è patcamente scoso; pe conto, pe eloctà pù eleate la pate nezale dello sfozo fnsce pe pealee decsamente sulla pate scosa n quas tutto l campo della coente, salo che n uno stato d fludo, adacente alla paete, doe lo sfozo scoso sulta essee paagonable a quello nezale: questa egone è, appunto, lo stato lmte lamnae. S pendano alcune popetà geneal delle equazon d taspoto ed s esamnno cas lmte d moto estemamente lento (Re<<) e d fludo dalla scostà molto dotta (Re>>). Nel caso d mot estemamente lent o d flud dalla scostà estemamente eleata, come pe esempo gl ol lubfcant (Re<<, coè mot puamente scos), gl sfoz d caattee scoso possono essee consdeeolmente supeo a quell nezal, peché quest ultm sono d un odne d gandezza popozonale al quadato della eloctà, mente pm sono funzon lnea della stessa. Il caso lmte degl sfoz scos molto pccol n confonto a quell nezal (Re>>, coè mot quas ounque eulean), nece, este un mpotanza d gan lunga maggoe spetto al caso pecedente; nfatt, flud pù comun, come aa ed acqua, pesentano scostà molto bassa e, con ess, s ottengono nume d Reynolds eleat anche pe eloctà modeste. Questo secondo caso sulta, tuttaa, abbastanza delcato da tattae dal punto d sta matematco: n effett, non è possble semplcemente elmnae temn scos dalle equazon d Nae-Stokes, dal momento che ess pesentano l odne massmo d deazone pesente nelle equazon. S facca femento ad una stuazone d moto pano, attono ad un copo d foma aeodnamca, y (y) Poflo d eloctà Stato lmte Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano nella dezone della coente fluda che lo neste; s supponga, nolte, d aee a che fae con un fludo a denstà e popetà fsche costant e d toas n condzon stazonae. Il sstema d femento pesenta l asse tangente alla supefce n ogn suo punto e l asse y ad esso pependcolae. La condzone d adesone del fludo alla paete

80 mpone, come gà detto, la pesenza d fot gadent d eloctà, nomalmente alla paete stessa: cò sgnfca che anche pe flud con scostà molto basse, nella zona possma alla paete, saanno pesent sfoz scos confontabl con quell nezal (se y 0 0), laddoe, ad una dstanza suffcente dalla paete, tal sfoz tendeanno ad essee tascuabl. Ma qual è questa dstanza suffcente, coè qual è l estensone della zona d nfluenza δ () della paete? Una sposta assoluta non s può dae, n quanto occoeebbe ntegae le equazon d Nae-Stokes; l ntuzone fsca, sno ad un ceto punto, può peò soccoee la dffcoltà matematca. In effett, se la eloctà d appocco della coente è abbastanza eleata, s è potat a tenee che lo stato d fludo nteessato pesantemente dagl sfoz scos sa elatamente pccolo ed addossato alla paete che genea tal sfoz, e tale è l potes fatta da Pandtl, po confemata dalle soluzon numeche goose. S teà che l azone della scostà sa tascuable n tutto l campo d moto tanne che nella zona possma alla paete (doe sono localzzat fot gadent d eloctà), che questa zona (stato lmte) enga defnta, da un punto d sta opeato, dalla condzone che gl sfoz sano dello stesso odne d gandezza d quell nezal e che la sua pofondtà meda sa pccola elatamente ad una dmensone lneae caattestca del copo mmeso, nella dezone della coente. In tal modo, è come se s sudddesse l campo d moto n due pat, una (pe y>>δ) caattezzata dalle equazon euleane ( ρ p e aldtà del teoema d Benoull) e che occupa quas tutto t l campo, ed una, n possmtà della pate (y<<δ()), nella quale le equazon d Nae-Stokes, come s edà, possono noteolmente essee semplfcate. Le potes semplfcate ntodotte da Pandtl, al fne d endee tattable l poblema sono le seguent: la pessone totale ene depuata da quella fludostatca; la poezone dell equazone n dezone z, pependcolae al pano y,è nulla. lo spessoe d stato lmte n cu s localzzano le aazon d eloctà è molto mnoe spetto alla estensone locale del pano (δ<< ) ; flud newtonan ncompmbl. Patendo dalla pma potes, se s conglobano n un solo addendo l gadente d pessone statca e quello dnamco: ρg p stat P tot p l equazone d Nae-Stokes s può scee come segue: ρ μ t dn P + p stat Rcodando che μ / ρ ν, s può anche scee: P ν. t ρ Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

81 Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano Poettando tale equazone n un pano bdmensonale (pma n dezone e, po, lungo y), s ottengono due dstnte equazon che, unte all equazone d contnutà, fonscono un sstema d te equazon n te ncognte: + ρ + ν + ρ + ν + 0 y y p ) y ( y p ) y ( y y y y y y y y pe δ () y 0 L 0. S pocedeà oa ad alcune anals dell odne d gandezza degl addend delle equazon. Come temn d femento della eloctà, s penda ) ( pe la componente ed un aloe 0 y pe la y, che è d un odne d gandezza ancoa ncognto; se s ndca con ō l opeatoe odne d gandezza, s aà che: o e y y y o δ 0 (la msua massma d y cosponde popo allo spesso dello stato lmte ) ( δ ). Inolte, s ha che: 0 () Φ Φ e 0 y0 y Ψ Ψ. all equazone d contnutà 0 y y +, s può dedue, sempe pocedendo pe odn d gandezza, che: y0 δ coè anche che: () 0 y 0 y << δ L odne d gandezza della componente d eloctà secondo y è molto nfeoe a quello della componente della eloctà msuata n dezone. Nell ambto dell potes d laoo fatta ( ) ( << δ ), s caa che la componente d eloctà secondo y nello stato lmte è d un odne d gandezza nfeoe d quello della componente secondo.

82 S ha po che, moltplcando entamb memb dell uguaglanza sctta poco sopa pe, y0 δ coè due contbut nezal sono dello stesso odne d gandezza e, petanto, non è lecto tascuae l uno spetto all alto. Inolte: ν ν << δ << y de due temn d sfozo scoso sulta mpotante solo quello che cosponde alla deata seconda spetto ad y (elata, nsomma, a gadent mpost dalla paete, nomalmente alla dezone d moto). Al d fuo dello stato lmte ale l teoema d Benoull, oeo n tale zona sono null gl sfoz scos e l moto è non dsspato (moto euleano, o otazonale), petanto s ha: ρ + p cost da cu pe deazone spetto alla aable s ha che: ρ dp d d d Inolte, all nteno dello stato lmte, essendo questo sottle, la pessone è costante e aa solo con : p p : y y : p y0 y δ, essendo << y << δ p Se s può tenee la pessone come una funzone nota (e non pù ncognta ento lo stato lmte), edentemente una delle equazon sctte non è pù necessaa; l equazone da scatae è, oamente, quella n, pe la quale l anals condotta ha elato che suo contbut sono d un y odne d gandezza nfeoe a cospondent della pma equazone. S peene, così, alle equazon d stato lmte d Pandtl, che costtuscono un sstema del secondo odne spetto a e del pmo odne spetto a : y + y y y + 0 y ν y + d d Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

83 L odne massmo d deazone, come oo, s fesce alla aable y. L eoluzone dello spessoe d stato lmte dà l dea della dstanza fno alla quale s sente l nfluenza della fenata douta al moto elato del fludo n possmtà della paete pana semnfnta: lontano da essa, nece, la coente s muoe d moto unfome. S pocede a questo punto ad una tattazone pe odn d gandezza, al fne d caae lo spessoe dello stato lmte fludodnamco. I due addend che compaono al pmo membo dell equazone d Pandtl sono, come gà sto dall anals pe odn d gandezza solta sull equazone d contnutà, dello stesso odne e, petanto, la loo somma non fa aae l odne d gandezza complesso. unque, a snsta dell equazone d Pandtl è come se s aesse un unco addendo: Δ Δ 0 0 (sto che l odne d gandezza massmo d è popo ; qualoa, nece, la paete s ncu, alloa aeebbe n funzone d ). Passamo al secondo membo dell equazone dffeenzale n esame: compae la scostà cnematca ν, l cu odne d gandezza esta naato, e l odne d gandezza dell addendo elato agl sfoz scos è (sto che l odne che y può assumee è dato dallo y δ() spessoe δ () ). Rscendo, alloa, l equazone al completo, s peene ad una banale espessone algebca (ottenuta solo utlzzando gl odn d gandezza de a temn ): / d ( ) / ν ν δ δ ( ) d + / δ ( ) ν d (l addendo s annulla peché l moto è pano e, al d fuo dello stato lmte, la coente s d muoe ndstubata, oeo la è unfome). Pe admensonalzzae tale spessoe, basta ddelo pe una lunghezza caattestca e, codandos che Re, s peene ad un espessone d questo tpo: ν / δ ( ) ν / Re (la tattazone analtca goosa poteebbe anche all ottenmento del coeffcente moltplcato: δ( ) / 4.64 Re ). Questo sgnfca che l odne d gandezza del appoto δ ( )/ è la adce quadata dell neso del numeo d Reynolds, elato alla lunghezza. Essendo, pe potes, δ ( )/ <<, dee sultae che Re >> Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

84 Con appocco Ingegnestco s appossma l aloe eale d δ con quel aloe della dstanza y che saebbe necessao pe aggungee l 90% del aloe asntotco della eloctà ; n alcun test d letteatua ene ndcato come spessoe d stato lmte eale quello calcolato basandos sul 95% del aloe della eloctà ( ). Tutte queste consdeazon fatte sono alde fntanto che δ ( ) / <<, e coè Re >>. Il aloe nfeoe d Re pe la aldtà è stato toato essee cca 0. Il moto è po lamnae pe nume d 5 Reynolds nfeo al aloe ctco ReCR , n cospondenza del quale s nnesca la tubolenza ed l moto denta caotco ed egolae. (Se, nece, l moto aene all nteno d un condotto clndco, l numeo d Reynolds s aluta n funzone del dameto e non d e s ha 3 che Re,CR.5 0 ). Rpendamo momentaneamente l espessone del fattoe d attto, codando che n un moto pano la eloctà d appocco è popo pa a : f F Aρ τ ρ (pe una coente fluda che neste l pano paallelamente ad, l unca foza agente è quella scosa F τ, douta all adesone del fludo alla paete). d alla legge d Newton, s caa l aloe d τ μ μ μ μ Re (s dy δ( ) δ( ) cod che nelle alutazon pe odn d gandezza s pescnde da ogn segno - ). Sosttuendo tale espessone nella fomula pecedentemente sctta pe l fattoe d attto, s ottene la seguente elazone monoma: 0 f μ ν δ ρ δ / Re Re Re Re Re / ( ) ( ) La tattazone analtca goosa pota a alo d f d: o o fτ Re localmente 0.5 f.4 Re medamente. τ Nel caso n cu la coente fluda nesta una supefce sfeca o clndca (non ben poflata), è un punto l cu la coente neste l oggetto pependcolamente (detto punto d stagno anteoe), n cospondenza del quale s annulla la eloctà. Esste un punto, che pe oggett clndc cosponde ad un angolo al cento d cca 00, mente pe sfee d cca 0, doe la coente, passando da una zona d mnma pessone ad una d pù alta pessone, dà luogo a ccolazon e dstacco dello stato lmte. eto l oggetto s ceano, n conseguenza, de otc, che tendono ad aumentae le dsspazon enegetche. Tal otc s dstaccano n modo altenato e nnescano una tubolenza nella sca che s genea deto l oggetto mmeso. S dmosta spementalmente che l fattoe d attto complesso è dato dalla somma d due temn, l pmo de qual douto allo stato lmte (detto fattoe d attto scdo) ed l secondo alla fomazone d otc: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

85 tot stato lmte otc / f f + f 0.7 Re + f otc (oe, nel caso d una sfea mmesa, f otc 0. 44, pe oggett sfec f 0. 5 e pe oggett. clndc f otc.. ). otc Veà oa esposta una bee anals pe la stuazone che s efca nella zona d mbocco de condott. Consdeando una tubazone all nteno della quale scoe un fludo, n zona d mbocco s passa da un poflo patto d eloctà a un poflo paabolodco: cò aene gaze alla fomazone d uno stato lmte; s assume che quando lo spessoe d stato lmte è dentato pa al aggo del tubo, l moto è penamente sluppato (n cospondenza, coè, d δ ( ) / ). poflo d eloctà patto L d mbocco Edentemente, dato che samo n condzon stazonae, la potata esta la stessa n ogn sezone lungo l asse del condotto e, qund, la deceleazone è accompagnata da un acceleazone del fludo eso l asse. Se s tascua questo fatto, n pma appossmazone, s può mmagnae che la legge d sluppo dello stato lmte sa analoga a quella lungo un pano ndefnto (questa potes è / cetamente accettable fno a quando δ << R ); alloa: ma 4.64 δ. Quando ν δ R / s ha lo sluppo completo del poflo d eloctà e la lunghezza d mbocco L cospondente, sto che < >, sulta essee: ma / L < > L 4.64 ν / L / < > L 4.64 ν / & 0.5 Re / L A no, tuttaa, nteessa fae femento ad un Re, legato a Re L come segue: Re Re L < > L ν < > ν Re L L Re Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

86 opo l tatto d mbocco L, l moto dene completamente sluppato, con pofl d eloctà paabolc (moto alla Poseulle). efnendo l appoto n L / come numeo d damet d mbocco, s caa: L / < > L 4.64 ν / n / Re L / Re L / / Re 4.64 / Una teoa pù sofstcata, e l espeenza, dmostano, peò, che la lunghezza d mbocco del egme lamnae è cca doppa spetto a quella appena alutata: n & 5 0 Re Voglamo oa dmostae che esste una detta connessone ta l numeo d Reynolds ctco ne X c 5 condott e quello d stato lmte. Pe lo stato lmte Re (come dmostato da ν Raylegh ). Oa s uole dmostae che, mettendoc nelle condzon d moto all nteno d tub (L X c ), Re L 500. ; c qund s ha che: Re L L L Re ν L Rcodando po che η 0.05Re, s caa: X 5 Re L L 5 Re Re Re C.V.. E stato assunto che la tubolenza ento l condotto s nnesca quando lo stato lmte che s stablsce all mbocco denta tubolento su una dstanza pa alla lunghezza d mbocco. 35. Lo Stato-lmte mateale e l calcolo del coeffcente d scambo d matea. Inteessante è po l caso d dffusone attaeso lo stato lmte stazonao che s sluppa ntono ad un oggetto (senza eazone chmca nel fludo ); Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

87 c ( c b ) c w + l equazone che desce l compotamento della geneca spece che ene taspotata sa con moto conetto che dffuso concde oamente con la seconda legge d Fck ed è la seguente: c t c,m c con w c e qund Δ c c c w 0 c ( c b ) y c b δ ( ) δ ( ) c c c b c w c w Ф γ δ c y S deduce oa dall equazone d Fck quella defnble d stato lmte mateale ( analoga all equazone d Pandtl pe lo stato lmte fludodnamco) Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

88 ( + ) y y c c ( + ) ν y y Le condzon al contono (due spetto alla aable y e una spetto alla aable ) pe tale poblema sono le seguent: - pe y 0, c c w ; - pe y, c c b ; - pe 0, c c b ; doe c w è la concentazone sulla supefce y0, e c b è la concentazone d bulk pesente nella coente d appocco e a dstanza dalla supefce d scambo. I gadent d eloctà caattezzano uno specfco taspoto d matea, che eà alutato. δc( ) c Poché cetamente <<, alloa saà possble tascuae l temne contenuto all nteno dell opeatoe Laplacano applcato a c. Le due equazon, depuate de loo temn tascuabl, sono le seguent: c ( + y ) c y y ( + y ) ν y y S pocede oa con una admensonalzzazone dell equazone: pe pma cosa s ceca d espmee la concentazone n temn admensonal, medante una tasfomazone lneae: c c γ c c b w w doe c b c w appesenta la foza motce. La pma equazone assume qund la seguente foma: γ ( + y ) γ y y Le condzon al contono dentano petanto le seguent: - pe y 0, γ 0 (poché c cw ); - pe y, γ (poché c cb ); - pe 0, γ ( c c ); S cea po una sota d eloctà admensonale Φ, data dal appoto: b Φ, da cu Φ Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

89 doe è la eloctà poettata sull asse n possmtà dello stato lmte fludodnamco e è la eloctà d appocco del fludo n esame. La seconda equazone assume qund la seguente foma: + y Φ ν Φ ( ) y y Le condzon al contono dentano petanto le seguent: - pe y 0, Φ 0 : - pe y, Φ ; - pe 0, Φ ; Le due gandezze appena defnte soddsfano la stessa equazone, a meno del paameto e ν (se ν alloa Sc e le due equazon admesonalzzate hanno la stessa soluzone, esplctando così la loo stettssma elazone). δc( ) Oa s potzz che δc( ) << δ( ), coè che << ; s aà che 0< γ < all nteno dello stato δ( ) lmte mateale, e 0<Φ< all nteno dello stato lmte fludodnamco (che è d maggo spessoe). S deduce alloa, sulla base d questa potes, che l appoto Φ ento lo stato lmte mateale può essee appesentato, con buona appossmazone, dalla tangente all ogne della cua che desce l andamento della componente della eloctà e coè, sempe ento lo stato lmte mateale: y δ ( ) Qund pe stmata pe y pa allo spessoe dello stato lmte mateale, ca ca δc () δ () ca δc () δ () alla pma equazone, sempe pocedendo pe odn d gandezza, s caeà che: δ δ c Δc Δc δ c Moltplcando po entamb memb pe δc, s ha che: δ Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano 3 δc δ δ

90 Rcodando po, dalla teoa dello stato lmte fludodnamco,che δ Re, s ha che δ ν ν Re δ Sosttuendo qund nell equazone pecedente, s ha che 3 δ c δ c 3 Sc Sc δ ν ν δ c Δc In odn d gandezza s deduce alloa: J k cδc k y δ Intoducendo l numeo d Shewood con lunghezza caattestca : K c Sh δc δ δc δ y 0 Re 0.5 Sc c / 3 c δ c La tattazone goosa (alo medo su tutta la lunghezza ) pota a Vsto che (δc/δ) 3 /Sc ne ene che Sc>> Sh 0.5 / 3.7 Re. 0 Sc Pe lqud n genee Sc >> mente pe gas Sc ( n questo caso δ c δ, coè pofl d eloctà e concentazone, es admensonal, concdono) così che la espessone pecedente può essee utlzzata pe tutt flud. Pe fluss attono ad un oggetto s ha che (gaze al metodo d soapposzone de compotament asntotc): Sh ContbutoffusoneStazonaa + ContbutoStatoLmte + ContbutoTubolento Applcando l pncpo d smltudne estesa, s può genealzzae pe ogn geometa, aando oppotunamente l coeffcente moltplcato, che pe l contbuto dello stato lmte è compeso ta 0.6 a.7. Come gà esposto, pe un oggetto nestto da una coente fluda, è pesente un angolo d dstacco dello stato lmte pa a quello che pooca l nsogee d otc (la pate posteoe dell oggetto è potata a uno scambo mateale n egme tubolento). / / 3 Sh CdS + cost Re Sc + costre 0.8 Sc / 3 In un clndo la lunghezza caattestca della zona d dstacco de otc è cca un dameto (angolo d cca 00 ) costante tubolenza pa a 0.0. La sfea, nece è meglo poflata, e cò conduce ad un angolo d dstacco maggoe d 0 e la lunghezza caattestca d dstacco è ¼ o /5 del dameto costante tubolenza pa a Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

91 Nel caso d una sfea: Sh mente pe un clndo: Sc Sc / / / Re Re, / / / 3 Sh app 0.7Re Sc + 0.0Re Sc Con le condzon seguent: Sc >> e 0 < Re <. La letteatua pefesce delle fome monome, che nel caso del flusso attono ad oggett clndc fanno s che: Sh cost Re Sc / 3 Con 0.8 pe Re >. 0 5 e 0.65 o 0.7 se < Re < Nel caso d egme tubolento all nteno d tub, l contbuto al numeo d Shewood saà pa a: Sh Re Sc / Caduta o salta n massa. Pe la caduta o salta n massa (fase dspesa costtuta da pù oggett) le legg fno ad oa esposte algono ancoa a patto che s consdeno alcun accogment: 0 ) la eloctà elata è ε, doe 0 è la eloctà supefcale della fase contnua e ε c l gado c d dsponbltà olumetca della fase contnua (coè la fazone d olume occupata dalla fase contnua); se l oggetto è unco, questo aloe concde con l untà. ) tutt gl oggett sono sostanzalmente dentc. 3) la dstanza ta bacent d due oggett contgu è pa a,6 o,7 damet (cca ). 4) Nel caso ad esempo d fle d tub come negl scambato d caloe, pochè la dstanza è la stessa pe tutt gl oggett della fla e lo stato-lmte è molto pccolo spetto alla dstanza ta d ess, s può consdeae la fla come costtuta da oggett solat. 5) La dsposzone degl oggett è a tangolo equlateo. 6) La seconda fla è nestta da otc dstaccats dalla pma e questa tubolenza dstuba la fomazone dello stato-lmte. La tubolenza fa cescee coeffcent d scambo d matea e quest dstub assottglano lo stato-lmte lamnae n fomazone: s ha un taspoto d tubolenza eta nello stato-lmte e la seconda fla ha coeffcent d scambo mateale maggoe del 0% spetto alla pma fla. 7) La teza fla aa alla satuazone de dstub: cee quell della seconda fla e quell della pma non ntecettat da essa. 8) Nella teza fla s ha un aumento del 0% de coeffcent d scambo spetto alla pma e d cca l 0% spetto alla seconda. 9) alla quata fla n po la satuazone è dentca alla teza. 0) Se l numeo d fle è molto alto, l mno aloe de coeffcent delle pme due fle è tascuable Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

92 37. Il blanco d enega. Il blanco d enega è elato a tutte le fome enegetche che possono accumulas nel sstema consdeato, che possono essee tasfete o taspotate, tasfomate o geneate ento d esso, è coè una espessone del pncpo d conseazone dell enega. In patca è un modo mplcto d scee l I pncpo della temodnamca: le ae fome d enega, coè l laoo, l caloe, ecc., sono fa loo pemutabl, coè ntescambabl. Il blanco dell enega totale è l unco blanco non mpopo, pechè tene conto d tutt contbut d enega e non solo d alcune patcola fome d essa. Sono nece blanc mpop pe esempo quello elato all enega meccanca (cca quello d Benoull), pochè tengono conto solo d un tpo d enega. Le fome enegetche da pendee consdeazone sono le seguent: (tot) - enega ntena (posseduta dal sstema n V, U, e da fluss mateal n esso entant (tot) attaeso S, U & S, funzone de alo delle aabl d stato localmente esstent). L enega ntena è legata all enega popa che possede ogn molecola e alle nteazon che esstono fa le molecole che costtuscono l nseme consdeato; (tot) - enega cnetca (posseduta dal sstema n V, K, e da fluss mateal n esso entant (tot) attaeso S, K & S, funzone delle eloctà localmente esstent); - laoo L & V computo nell untà d tempo sulla massa contenuta nel olume V, douto a camp d foze d massa esten agent sulle spece component l sstema (equalente ad accumulo d enega potenzale se camp esten sono conseat: caso pù fequente l campo gatazonale); - laoo L & e (conenzonalmente s consdea come un contbuto negato, peché estatto dal sstema) computo dal sstema su macchne o loo pat nsete nel sstema ed eogato all esteno: può essee laoo meccanco (n pompe, compesso, moto, etc.), elettco (ple, accumulato, bagn elettoltc, etc.), eletto-magnetco (plasm, fon ad nduzone, etc.) e così a (nel caso d geneato natualmente è posto); - laoo L & S computo sulla supefce S d contono del sstema dalle foze supefcal desctte dal tensoe degl sfoz (n patcolae dagl sfoz d compessone); esso consta d due contbut: L & τ, douto agl sfoz scos τ, ed L & P, causato dagl sfoz d pessone; - flusso temco Q & entante nel sstema e douto a gadent d tempeatua e tasfement enegetc (che s efcano pe conduzone, qund pe azone d contatto, attaeso S, e pe aggamento, qund pe azone a dstanza, dettamente nel olume V) sa pu sempe attaesando la supefce S. Se lao comput s cumulano n un solo addendo ( L & tot ) e le due fome d enega ntena e cnetca s fondono nell addendo enega totale del sstema E, l blanco può essee espesso fomalmente come segue: con: d E dt E & + Q& + & S L tot Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

93 E (tot) (tot) U + K ; (tot) (tot) U, K spettamente enega ntena ed enega cnetca total accumulate nel olume V; tot tot E & S U& S + K& S somma, spettamente, del flusso globale d enega ntena e d enega cnetca assocat al flusso mateale taspotato attaeso la supefce S del domno; Q & flusso temco globale tasfeto pe conduzone attaeso S o pe aggamento dettamente n V; L & tot somma algebca d tutte le potenze tasmesse al sstema dalle foze d olume, d supefce e dalle macchne medante le qual l domno cee o fonsce potenze dall esteno L & V + L& S L& e. L & e, conenzonalmente, è laoo computo eso l esteno e, qund, da contbuto negato all accumulo d enega nel sstema. L & V cosponde alla aazone, nell untà d tempo, dell enega potenzale del sstema. Il blanco sctto, come s può edee, è espesso n temne d potenze, coè d lao comput nell untà d tempo. Come nel caso del blanco mateale, pe sstem effettamente d dmenson fnte (almeno n due dezon), coè macoscopc, può essee sgnfcato dstnguee nel contono S del sstema pù contbut: - un contbuto S () che cumula tutte la sezon attaeso le qual fluss mateal sono pealentemente conett ed effettamente entant nel sstema, e tal sono alloa anche fluss d enega ntena e cnetca; - un contbuto S () che cumula tutte le sezon attaeso le qual fluss mateal sono pealentemente conett ed effettamente uscent dal sstema, e tal sono alloa anche fluss d enega ntena e cnetca; - un contbuto S (m) attaeso l quale flusce matea pe fluss dffus, e tale sono alloa que tp d fluss assocat ad enega ntena e cnetca. Notamo che le sezon S () ed S () concdono genealmente con sezon d taglo su tubazon o appaecchatue fatte otogonalmente all asse delle stesse: è lecto, alloa, tascuae su queste sezon contbut dffus, sa d caloe che d matea e sa molecola che tubolent. Sulla supefce S (m), nece, dato che le eloctà dffuse sono sempe pccole, l contbuto da esse dato al flusso d enega cnetca è del tutto tascuable e, qund, flusce solamente enega ntena. Come gà detto l blanco popo d enega s sce come: d dt (U (tot) (tot) + K ) U& + K& + L& + L& + Q& + L& L& τ. (tot) S Consdeando tascuabl contbut dat da fluss mateal dffus sngol temn dell equazone possono esse sctt nel seguente modo: V (tot) S n (tot) (tot) U + K (Û + ) ρdv doe l pmo temne ndca l enega ntena pazale massa (enega ntena del componente feta all untà d massa) mente l secondo è l enega cnetca pe untà d massa del componente (se fluss dffus sono tascuabl la eloctà concde con quella fludodnamca). P V e Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

94 U& (tot) S + K& (tot) S n S (Û + ) ρ ns Q& S q n ds V q dv, doe l ettoe q appesenta l flusso temco specfco (genealmente somma d un contbuto condutto e d uno adato), oeo la quanttà d caloe che attaesa la supefce d contollo nell untà d tempo (natualmente se l domno e l ambente esteno sono alla stessa tempeatua, l aloe d questo ntegale è nullo). L& P p nds L& L& τ V S τ : ds S n S ρ g dv L & e è un dato del poblema, da non pendee n consdeazone su un olume elementae. efnendo Û n ( ω n Û ) U ( U ), complessamente s ha: ( ρû + ρ ) [ ρ(û + )] q (p) ( τ : ) + ρ g t ρ t (Û + ) q (p) ( τ : ) + ρ g Il possmo obetto saà quello d ottenee l blanco mpopo d enega entalpca dal blanco popo d enega totale, tamte sottazone d quello mpopo d enega meccanca. al blanco d enega meccanca come blanco d foze( ρ τ p + ρg ) è possble t ottenee quello n temn d potenze moltplcando entamb memb pe la eloctà: ( ) ρ t τ p + ρg Sottaendo membo a membo blanc d enega totale e meccanca s ottene: Û ρ t q ( τ : ) + τ (p) + p Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

95 Rcodando che: o ( p) p p ; ρ ρ o ρ ; t ρ t o ( τ : ) : ( τ) + τ : (: ) con (: ) equalente al tensoe della eloctà d defomazone del fludo ( (: j ) Δ con Δ j ( + ) ; S ha come sultato: j ρ Û t q τ : Δ p τ : Δ se s doesse appesentae n foma goosa saebbe costtuto da 8 temn pe flud non newtonan, mente pe quell newtonan s semplfca noteolmente sto che τ μδ da cu ene defnta la funzone d dsspazone Φˆ Δ Δ : essendo quest ultma un quadato sulta essee sempe una quanttà posta e aable con l gadente d eloctà al quadato. Û ρ t q + μφˆ p Il temne fludo. μ Φˆ appesenta le dsspazon d tpo scoso, che s tasfomano n enega ntena del (Il contbuto da esso fonto è fondamentale nell ndusta almentae e plastca: negl estuso può potae alla decomposzone d polme ne pop monome a causa dell enome cescta dell enega ntena. Gl shuttle n ento dallo spazo hanno una eloctà d cca km/h e l contbuto dato da μ Φˆ pota ad un ncemento della tempeatua fno a C: pe oae a questo poblema engono nset degl scud temc n mateal a bassa conduzone temca e contenent sostanze n gado d decompos pe pols endotemca). Ne cas che s affonteanno n seguto, salo patcola condzon, s pescndeà dal contbuto dato dalla funzone d dsspazone: ρ Û p ρ q + t ρ t Intoducendo la gandezza entalpa: H U + pv che a lello nfntesmo denta l espessone pecedente può essee sctta come segue: p Ĥ Û + ρ Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

96 Ĥ ρ t q + p t che pende l nome d blanco mpopo d entalpa. p Il temne ha una ceta leanza solo ne cas d esploson, d popagazone d detonazon e t (a solo ttolo d esempo) d mpant d poduzone dell etlene ad alta denstà, pe cu n genee s può tascuae questo contbuto: Ĥ ρ q (blanco mpopo entalpco). t Allo stesso sultato s potebbe peene anche n alto modo, nfatt s può fa fguae la (tot) (tot) (tot) gandezza entalpa ( H U + pv U + L& P ) puttosto che l enega ntena ed l laoo douto agl sfoz d pessone, ottenendo la seguente espessone (meno goosa, peò, del blanco popo d enega totale): d dt (H & (tot) (tot) (tot) (tot) + K ) HS + K S + L τ & & + Q& + L& Se le popetà specfche, fete all untà d olume o d supefce, aano sensblmente con la poszone, l esecuzone de blanc non può essee condotta su base esclusamente globale, ma è anztutto necessao descee l eoluzone n V e su S delle aabl d stato dalle qual le gandezze specfche dpendono. Tuttaa, pe alcun sstem pe cu è possble fae potes d elata unfomtà delle aabl d stato, saanno possbl ulteo semplfcazon, medante le qual sol blanc macoscopc sono adeguat alla soluzone de poblem d calcolo. Quest sstem, ancoa una olta, saanno quell a paamet concentat (coè caattezzat, nel loo compotamento, da alo delle sole aabl d uscta, come le appaecchatue o loo pat ben mscelate), oppue quell n cu s ha eoluzone essenzalmente lungo una coodnata plegata (ad esempo l asse dell appaecchatua, come ne sstem a flusso assale o a flusso a pstone). Se s esamnano le appaecchatue n cu s ha eoluzone lungo una coodnata plegata (genealmente l asse d un clndo, come pe eatto tubola, assobto a contatto contnuo, etc.), denta necessao effettuae l blanco pe element d olume dv msuat lungo quella coodnata; nell ambto d quest element d olume s ammettono unfom popetà come composzone, tempeatua, pessone e eloctà e tutte le gandezze funzon d esse. Ulteo semplfcazon possono essee ntodotte n elazone al tpo d poblema ed alle caattestche delle appaecchatue sulle qual s eseguono blanc; ad esempo, nelle appaecchatue nelle qual aengono pealentemente tasfomazon chmche o chmco-fsche, le aazon d enega cnetca e lao comput da camp d foza esten sono genealmente dk ( tot) (tot) tascuabl ( 0, K & S 0, L& 0). Se, po, non c sono macchne nsete nel sstema (coè dt L& e 0 ), se s tengono unfom le popetà specfche sulle sezon d entata e d uscta e se s tascua l contbuto enegetco douto al tensoe degl sfoz scos (qund pe appaecchatue nelle qual aengono pealentemente tasfomazon chmche e chmco-fsche, senza appoto d laoo esteno), alloa l equazone del blanco globale d enega s duce alla ben pù nota espessone: V L& e Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

97 (tot) d ) S H dt (tot H& + Q& oeo: entalpa accumulata nell untà d tempo fluss global d potenza (entalpca + temca). Qualoa la supefce del domno fosse nteessata da sol scamb d caloe, ancoa n egme stazonao, s annulleebbe la deata tempoale al pmo membo e s peeebbe alla seguente fomula. & ( tot S + Q & 0. H ) Pe quel che guada l flusso temco Q &, esso dpende dal tpo d supefce d scambo temco (T ) S, dalla aazone d tempeatua e da un coeffcente d scambo temco h (analogo al (T) coeffcente d scambo d matea, che s msua ad esempo n kcal / h C m ): Q & h ΔT S. E edente l analoga con la legge pe l taspoto dffuso d matea: J K c Δ c (tuttaa, mente Δ c appesenta una dffeenza d concentazone, Δ T è una dffeenza d tempeatua caattestca, coè una dffeenza d potenzale genealzzato pe l fenomeno d taspoto dffuso d caloe). S eda, ma solo come esempo, l caso d un eattoe tubolae pe la poduzone dell andde maleca a pate a butano. La eazone è esotemca e occoe sottae caloe al sstema pe etae che l catalzzatoe sa danneggato a causa del aggungmento d tempeatue olte l lmte tolleato dal catalzzatoe stesso. Il eattoe è qund ealzzato da una see d Refgeante Tub d eazone tub contenent l catalzzatoe dspost n paallelo all nteno d un sstema nel quale ene fatto scoee un fludo efgeante la cu natua dpende dalle tempeatue n goco. La dsposzone scelta consente d aee una eleata supefce d scambo e d etae zone calde nel catalzzatoe. Il dmensonamento del sstema deeà dall accoppamento delle equazon d blanco d matea con quelle d blanco entalpco. Quest ultmo, sctto pe esempo ntono ad un tubo d eazone, n condzon stazonae, saà: H& H& + Q& Il poflo d tempeatua lungo tub pesenteà un massmo. T n out L Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

98 Rtonando alle equazon che espmono l blanco d enega, sottaendo al blanco dell enega totale quello dell enega meccanca, s ottene, come gà sto: dh dt (tot) H& (tot) S + Q& L& e + ˆ μφ dv Il temne μ ˆΦ è elato alle dsspazon scose, n pate, ma non del tutto, contenute nel blanco dell enega meccanca. A questo punto, patendo dall equazone d blanco enegetco globale, s cecheà d peene a quella ndefnta, comncando col legae le gandezze d blanco global a quelle specfche. Inzando dal flusso temco: NC Q& q n ds q dv. S Ĥ ω entalpa pe untà d massa ( ω è la fazone massa, mente Ĥ Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano V Ĥ è l entalpa pazale massa pe l componente, funzone dpendente da pessone, tempeatua e composzone). Se s ndca con ρ la denstà pazale del componente e se s tengono unfom le popetà specfche sulle sezon d entata e d uscta, s ha che l entalpa totale posseduta dal sstema è data da: H (tot) NC V ρ sstema) è pa a: Ĥ dv, mente l flusso entalpco totale attaeso S (detto eso l nteno del H& (tot) S NC S Ĥ ρ nds ; nella maggo pate de cas, tuttaa, s può pescndee da contbut puamente dffus e, qund: + j. conseguenza: NC NC (tot) H& Ĥ ρ nds ( ρ Ĥ ) dv (come al solto s è applcato l teoema della S S V degenza pe tasfomae l ntegale d supefce n uno equalente d olume). Se s fa tendee a zeo l olume, endendolo nfntesmo, alloa tutt gl ntegand dentano costant; feendo l equazone semplfcata del blanco globale d enega all untà d olume e sosttuendo alo appena caat, s ottene la seguente espessone: NC NC ( ρ Ĥ ) ( ρ Ĥ ) q t ; passando, oa, alla deata lagangana (o sostanzale), l equazone dffeenzale caata assumeà la seguente foma, gà n pecedenza ottenuta: Ĥ ρ q t Questa è l equazone ndefnta d blanco entalpco, dotta a mnm temn, n cu la gandezza NC Ĥ ω appesenta l entalpa massa medata su tutt component. Ĥ

99 Se s fosse auta anche una sgnfcata dsspazone scosa, all equazone pecedente, al secondo membo, s saebbe douto sommae un contbuto μ ˆΦ V : ˆΦ V è la funzone d dsspazone, che s duce a d dy qualoa sa un unco gadente d eloctà (pe flud con compotamento eologco non newtonano, al posto della scostà s pendeà n consdeazone la scostà appaente μ a ). I poblem che possono essee solt con l uso della sola equazone d blanco entalpco globale sono sostanzalmente elat a sol scambato d caloe; pù estesa è la classe de poblem che può essee solta con l uso accoppato d blanc global mateal ed enegetc (ed, eentualmente, anche d quanttà d moto). S coda qu l concetto che, mente la stuazone pù conenente pe l calcolo saebbe sempe quella d laoae con equazon global, al pù contenent una deata spetto al olume, msuato lungo una dezone plegata,oppue una deata tempoale (pe condzon non stazonae) le stuazon pù ealstche possono chedee una scala d desczone pù dettaglata, con modell a paamet dstbut (coè aazon spazal n pù dezon e, qund, equazon dffeenzal con pù aabl ndpendent). Pe utlzzae blanc global, enegetco compeso, occoe fae assunzon semplfcate, cascuna delle qual dee, peò essee gustfcata (n base alla natua del poblema, all espeenza che s ha su poblem sml o analogh, a egole d tpo sem-teoco, etc.). Entae ad analzzae cò che accade ento un appaecchatua sgnfca descee cò che accade su scale fenomenologche pù dotte, n temn d dstbuzon d eloctà, tempeatua, composzone, taspot d quanttà d moto, caloe, matea, eentualmente anche solo ntono a sngol aggegat alla cu scala eolono a fenomen. Cò mplca l utlzzazone e la soluzone d equazon che non possono, n genee, essee pù quelle global, anche se fequentemente esse appesentano ancoa pncp d conseazone d matea, quanttà d moto, enega, st alla scala adeguata; la soluzone d quest poblem non macoscopc, petanto, chede la messa a punto delle equazon ndefnte e d loo modfcazon. Tonando, a questo punto, all equazone ndefnta d blanco entalpco; dal momento che Ĥ Ĥ(T,p, ω ) è una funzone composta dpendente da pù aabl, la sua deata tempoale saà NC Ĥ Ĥ T Ĥ p Ĥ ω Ĥ uguale a: ρ ρ[ + + ]. S nota che ĉp (caloe specfco a t T t p t ω t T pessone costante); pe la maggo pate de flud, l temne che espme l effetto Joule-Thomson Ĥ p Ĥ ω ( ) è tascuable; nfne, s ha che Ĥ e ρ j + (questo peché p t ω t samo n assenza d fluss dffus) NC NC Ĥ ω Ĥ ω t ρ (dettamente dall equazone d blanco mateale). Petanto, sosttuendo l espessone così ottenuta nell equazone d blanco ndefnta ed solando al pmo membo l addendo contenente l caloe specfco, otteemo che: ρ Ĥ t q ρĉ P T t q NC Ĥ q + Q&, Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

100 doe l addendo Q & appesenta l caloe complesso d eazone, ossa l caloe sluppato da tutte le eazon chmche pesent, nell untà d olume e d tempo: tale quanttà è posta solo nel caso d eazon esotemche. Infatt appesenta la geneazone globale d matea douta a tutte le N eazon chmche che conolgono l componente ed è petanto data da: N ν jr J, doe ν j è l coeffcente stechometco del componente nella eazone j. Scambando la sommatoa n con quella n j (ndce pe le eazon) s ha: Ĥ νjr J ν jĥ Nc N Nc N R J ν j H j R j Qualoa fosse una sola eazone chmca con eloctà R, cu è assocata la aazone d entalpa Δ Ĥ, alloa s aebbe che: Q & ΔĤ R. S da, oa, qualche dettaglo n pù elato al ettoe flusso temco specfco: q ndca la capactà del fludo n esame d taspotae caloe, attaeso l untà d sezone tasesale e nell untà d W tempo (nfatt, esso s msua ad esempo n kcal / m s oppue n ). Pe sstem d dmenson m nfntesme, le aazon d tempeatua s conducono a gadent d tempeatua; fluss temc possono essee causat, n sstem omotem, anche da gadent d composzone: è l cosddetto effetto ufou, d mpotanza totalmente tascuable. La pozone molto pù sgnfcata d flusso temco taspotata nel mezzo fludo è quella douta a fenomen d conduzone temca, causat da gadent d tempeatua: l legame ta l flusso temco e l gadente d tempeatua T sulta essee dotato d segno negato, dal momento che fluss temc sono oamente dett da punt a tempeatua pù alta a quell con tempeatua pù bassa. La legge d Foue (lneae omogenea) c fonsce una semplce e spontanea espessone pe caattezzae l flusso temco n qualunque dezone dello spazo: q k T Il coeffcente k ( kcal / m C h W / m C) appesenta la conducbltà temca: tale popetà d taspoto caattezza la popetà delle molecole, degl on, degl eletton lbe d taspotae (con l loo spostamento) o tasfee pe uto l enega cnetca taslazonale (legata allo stato d agtazone molecolae). Essa dpende dalle eloctà e dstanze caattestche e può aae, nello spazo, con le aabl d stato( tempeatua, pessone, composzone ) del fludo. Tanto pe dae qualche dea pe odne d gandezza: pe mateal efatta la conducbltà kcal kcal temca è soltamente compesa ta 0. e 0., pe l accao è cca 0 e pe mateal mh C mh C kcal molto condutto (ame e agento) aa attono a 00. mh C Sosttuendo la legge d Foue nel blanco entalpco o temco, con l potes aggunta d tenee poco aable la conducbltà s otteà: Ĥ T Blanco temco e conseguente equazone d Foue: ρ k T ρĉ p k T ; t t Mente l equazone d Foue genealzzata all nclusone del temne d caloe d eazone: T ρ ĉ P k T + Q&. t In queste equazon sono eentualmente da aggungee gl alt temn d geneazone (qual la dsspazone scosa ecc.), gà nomnat n pecedenza. Q & Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

101 38. Analoge ta fenomen d taspoto: l numeo d Nusselt, l numeo d Shewood, l numeo d Pandtl e l numeo d Schmdt Rsultano daeo fot le analoge ta l blanco d matea, quello della quanttà d moto e quello d entalpa: equazone d blanco mateale s equazone d blanco d quanttà d moto s equazone d blanco entalpco: ω ρ j + t s ν t p + g ρ Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano T q + Q t s ρĉ & P legge d Fck s legge d Newton s legge d Foue (n temn mass): j ρ ω s τ μδ s q k T Queste ultme te legg toano la loo gustfcazone pmaa nel secondo pncpo della temodnamca, che asscua che l entopa totale d un sstema sa n contnuo aumento, oeo sempe e soltanto c sa ceazone d entopa ne sstem a eoluzone spontanea. Essendo queste te equazon d taspoto ta d loo analoghe, sulteanno sml anche le pocedue solute de a poblem da analzzae. Come gà detto se s suppone che la conducbltà temca sa suffcentemente unfome ounque (ad esempo non a sgnfcatamente con la tempeatua), s può, consdeandola costante, T potala al d fuo dell opeatoe degenza e scee: ρ ĉ P k T + Q& (s coda che t T d(gad(t)) ). In assenza d sogent d caloe e eazon chmche nel sstema, l equazone pecedente (che appesenta l equazone d Foue genealzzata) s semplfca nel seguente modo: T k ρ ĉp k T ; ddendo entamb memb pe ρ ĉp, appae la quanttà α dffustà t ρcˆ P temca (che ha la stessa untà d msua d quella mateale, oeo ad esempo m / s ). T Petanto, l equazone d Foue non genealzzata assumeà la seguente foma: α T, t T Q& mente quella genealzzata saà semplcemente: α T +. t ρĉp Aalendos del coeffcente d conducbltà temca, s defnsca la componente entante del flusso temco attaeso S; sa data una supefce pana, con nomale n, e caattezzata da una aazone d tempeatua Δ T pa alla dffeenza ta la tempeatua d bulk e quella ntefaccale, che appesenta la foza motce esponsable del taspoto d caloe. Valutamo l flusso temco T specfco poettato secondo tale nomale: q n q n k h ΔT (doe h è l coeffcente d n S scambo temco). Qund, coendo ad un appocco macoscopco, possamo caae una defnzone del coeffcente d scambo temco: - 0 -

102 h k ΔT Nel caso n cu sa molto accentuata la aazone d tempeatua n possmtà della supefce d scambo temco, è conenente appesentae l poflo eale d tempeatua, anzché con una cua, con una lnea spezzata: la tempeatua appae, così, come se fosse unfome n un ampo tatto della zona d bulk e subsse, po, una busca duzone ad andamento quas-lneae sno al aloe della supefce. Se s ndca con S T lo spessoe della zona d nfluenza temca (oeo della zona n cu aene l collo d tempeatua) e s appossma l poflo eo d tempeatua con la etta che nteseca nel punto y 0, s può modfcae la scttua del coeffcente d scambo temco nella seguente manea: T n h k Δ T/ Δ T/ S S k T S T Analogamente, nel blanco d matea S M ea lo spessoe della zona d nfluenza mateale e K C / S M. Nel caso dello scambo d matea ea stato defnto l numeo d Shewood : K C L ShL, nel quale L ndca la lunghezza caattestca tpca del poblema. Esste un agguppamento admensonale analogo anche pe l taspoto d caloe: esso è l numeo d Nusselt (temco) ed è così defnto (se pe lunghezza caattestca s assume ancoa L): Nu T h L k In entamb fenomen d taspoto, pe quelle stuazon deal n cu L S T o S M, data la defnzone d S T ed S M, s ha che Sh Nu : s ence, ancoa una olta, la fote analoga ta l blanco d matea e quello d caloe (anche se, nella ealtà, sa Sh che Nu dpendono dal numeo d Reynolds Re, dalla foma geometca, etc., pechè le lunghezze caattestche non sono S T e S M, bensì le lunghezze geometche degl oggett). In egme stazonao, pe dffusone temca n assenza d momento del fludo e d eazon chmche, s ha che: k T 0 ; nelle medesme condzon opeate, pe oggett sfec o assmlabl a sfee solate (ntoducendo l dameto equalente), l numeo d Shewood è pa a. h equalente ata l analoga ta due blanc, aemo dunque che anche Nu T k genealzzando pe una qualsas geometa (a patto che le dmenson nelle ae dezon dello 4 spazo non sano toppo dese ta loo): Nu T. ma + Pe cas d moto ntono ad oggett sfec mmes, qualoa nume d Reynolds copano un campo d alo puttosto ampo, s può dmostae che algono seguent legam funzonal (tascuando l contbuto tpco del egme puamente scoso che andebbe con (Re*Sc) /3 ) pe l taspoto d matea s popoebbe: mn Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

103 / Sh + 0.7Re Sc Così pe l analoga d taspoto d caloe : / Re 0.8 Sc / 3 Nu T Re / P / Re 0.8 P / 3 oe P appesenta l numeo d Pandtl, del tutto analogo al numeo d Schmdt: ν ν Sc s P (con ν scostà cnematca). Nel caso del clndo, le fomule sono α dentche tanne che pe l annullamento del pmo temne del secondo membo. Fssamo bene temn dell analoga ta due fenomen d taspoto: Blanco mateale(taspoto d matea ) ffustà mateale: Vscostà cnematca: ν Numeo d Shmdt: Sc ν / dc J y,m k cδc k c (c bulk cnt dy Numeo d Shewood: Sh k c * L / Flusso attono ad oggett sfec: / / 3 Sh + 0.6Re Sc Re efacca 0.8 Sc ) / 3 Blanco temco(taspoto d caloe) ffustà temca: α Vscostà cnematca: ν Numeo d Pandlt: P ν / α dt q y k hδt h(tbulk Tnt efacca ) dy Numeo d Nusselt: Nu h * L / k h c * L / α con h c h / ( ρ * c p ) Flusso attono ad oggett sfec / / / 3 Nu + 0.6Re P Re P T 39. Conezone natuale temca n egme lamnae. Esstono stuazon, defnte d conezone natuale, nelle qual l moto è douto a dffeenze d denstà o meglo, d peso specfco, esstent nel fludo, e loo olta poocate da dffeenze d tempeatua o d composzone. Un esempo banale d conezone natuale douta a gadent d composzone è osseable scoglendo pe esempo dello zuccheo o del sale n un bcchee d acqua. L acqua zuccheata o salata s toa ad aee desa denstà spetto a quella pua e s possono osseae, gaze ad un cambamento dell ndce d fazone, de moment n possmtà del deposto n fase d dssoluzone all nteno del bcchee. La soluzone del poblema della conezone natuale temca chede l uso dell equazone d contnutà globale, dell equazone d moto d Nae-Stokes e d quella d Foue. L equazone d moto del fludo nel suo nseme può essee sctta nel seguente modo, ddendo entamb memb pe ρ ed usando ν μ / ρ : p ν + g t ρ Nella conezone natuale, come gà detto, moment del fludo sono mpost dalle aazon d denstà, che mpongono de moment a ccuto chuso : l fludo a denstà mnoe ene spnto eso l alto, fno a quando la tempeatua o la composzone mantengono un peso specfco nfeoe spetto al bulk. Al cessae delle condzon che detemnano l cambamento d denstà spetto a Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

104 quella esstente nell ambente ccostante la denstà meda s pstna. Il momento eso l alto chama pe contnutà fludo dalle zone ccostant. S nstauano qund de moment d ccolazone. S assume che la zona nteessata da moment d conezone natuale sa d pccolo spessoe spetto alle dmenson caattestche del sstema peso n consdeazone. La eloctà meda attaeso qualunque sezone del fludo è petanto nulla. Il fenomeno d conezone natuale, legato pe esempo a gadent d tempeatua, può essee osseato n possmtà d un temosfone: ponendo un flo al d sopa dello stesso s ossea che esso s muoe. uante una gonata n cu neca, s possono osseae focch d nee, n possmtà delle paet d un edfco, pù caldo dell ambente ccostante, muoes eso l alto a causa delle coent d conezone natuale. Il moto d conezone natuale fu accuatamente studato da Loentz che ne fece la tattazone goosa solendo sem-analtcamente l poblema. In questa sede eanno utlzzate le potes adottate da Loentz pe la soluzone del poblema, che tuttaa eà affontato, come d consueto e pe semplctà, medante la tattazone pe odn d gandezza. Il caso che qu eà analzzato, che è anche quello che pù d fequente s nconta, è quello elato alla conezone natuale douta a gadent d tempeatua. Il sstema peso n consdeazone è llustato n fgua: la paete, consdeata etcale s toa ad una tempeatua T w maggoe della tempeatua dell ambente ccostante T b. Il fludo a contatto con la paete s scalda. La sua denstà sulta qund mnoe d quella ccostante e l aa s muoe eso l alto. S assuma qund come posto l asse lungo T w >T b la paete olto eso l alto. Pependcolamente all asse, eà peso l asse y. In possmtà della paete s aà una zona d spessoe lmtato all nteno della quale s ha un T gadente d eloctà e un gadente d tempeatua. I pofl qualtat d eloctà e d tempeatua sono ndcat n w fgua. S ossea che l poflo d eloctà, doendo T b quest ultma essee nulla sulla paete e olte lo stato nteessato da conezone natuale, pesenta un massmo, che saà anche l odne d gandezza delle. (,y) Lo spessoe nteessato da gadente d tempeatua e d eloctà ene ndcato con δ ndffeentemente pe le due y gandezze poché sono stettamente collegate: non esste gadente d eloctà se non esste gadente d tempeatua (lo stato lmte temco δ T e quello fludodnamco δ s possono consdeae dentc: δ T δ δ ). S dee pesumee che ancheδ <<, doe assume le ec della dmensone caattestca del sstema: nel caso n esame saà l altezza locale della paete. Loentz osseò che facendo femento alla denstà meda (o meglo alla denstà n cospondenza della quale 0 ), s può dedue una stma della dstbuzone d pessone ento l fludo (pe fenomen elatamente tanqull ed n egme lamnae), analoga a quella che s aebbe n condzon statche, con ρ ρ B, coè cospondente alla denstà nel bulk della fase lquda lontana dalla paete: p g p ρb g. ρb S ossea, ta l alto, che le eloctà ndotte da moment d conezone natuale, salo che ne cas estem qual sono pe esempo gl uagan, sono molto modeste, coè dell odne d qualche cm/s. Alloa, se s assume che l campo d pessone sa poco nfluenzato dal momento d conezone natuale e, pecò, concdente con quello fludostatco alutato alla denstà meda, s deduce come equazone d moto semplfcata: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

105 t ρb ν ( )g + g ν ρ ρ ( ρ )g ν ρ ρ ρ + ( ρ B B )g È mpotante sottolneae che alo d ρ B e d ρ non sono molto dffeent ta loo e pecò al aloe della denstà nel denomnatoe del secondo temne nel secondo membo s può sosttue la denstà posseduta dal fludo nel bulk ( ρ B ) senza commettee un gande eoe, tanto cò che conta è ρ ρ B che appesenta popo la causa del momento del fludo. La semplfcazone adottata consente d elmnae l ncognta pessone dal poblema. Pu non essendo goosa, questa equazone è genealmente adeguata allo scopo. In geneale, la denstà è contempoaneamente funzone d tempeatua, pessone e composzone. Le due cause pncpal d conezone natuale sono: - le dffeenze d denstà sono essenzalmente causate da dffeenze d tempeatua (conezone natuale d ogne temca, caso pù mpotante); - le dffeenze d denstà sono essenzalmente causate da dffeenze d composzone (conezone natuale d ogne mateale, caso meno mpotante). C s lmteà, come gà detto, al caso, pù mpotante, n cu la denstà è esclusamente funzone della tempeatua ed ndchamo con T B la tempeatua alla quale calcolae ρ B (pesente, coè, nel luogo de punt oe è nulla la eloctà e cospondente, n sostanza, alla tempeatua meda). È possble, sotto questa potes, alutae la dffeenza ρ ρ B medante uno sluppo n see d Taylo nell ntono del punto ρ B (se le escuson d tempeatua non sono eccesse, s possono tascuae temn d odne supeoe ed aestas al temne lneae): ρ ρ ρ ρ(tb ) + (T TB ) ( ρ ρb ) ΔT. T T TB T B ρ Pealto, defnendo l coeffcente d dlatazone cubca β come la aazone ρb T T B fazonale della denstà douta a gadent d tempeatua (dmensonalmente, esso cosponde all neso d una tempeatua), s ha l equazone d moto semplfcata pe la conezone natuale temca: ν t βgδt. La pecedente elazone può essee genealzzata aggungendo l contbuto da eentual aazon d concentazone, d solto tascuabl: ν βgδt + g t n ζ Δω Assocata all equazone d blanco entalpco e all equazone d contnutà pemette d solee l campo d eloctà e d tempeatua pe la conezone natuale: doe ζ ρ ω Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

106 ν βgδt t t α T t 0 I fenomen d conezone natuale pua, n stuazon concete anche se magnal, possono dae luogo a dstub su mot d conezone fozata (quell, coè, contaddstnt da una eloctà mposta al fludo), n conseguenza a dffeenze cospcue d tempeatua. Queste modfche de camp d moto possono alteae alo de coeffcent d scambo temco, n patcola condzon, aumentandol o ducendol, spetto alla conezone fozata pua. Il loo nteento è, tuttaa, lmtato a stuazon caattezzate da bass nume d Reynolds, assocate, pe conto, ad alt alo del numeo d Gashof, che è, come s edà, caattestco della conezone natuale. S ton oa all equazone pecedentemente sctta: ν βgδt. Poché le eloctà sono t puttosto pccole, le foze scose sultano domnant spetto a quelle nezal; come conseguenza l temne al pmo membo può essee tascuato (la deata sostanzale aa come l quadato d una eloctà, mente l addendo de mot scos come una pma potenza) e s peene, così, all espessone: ν βgδt Tale equazone andà poettata nella dezone pù sgnfcata pe l poblema che è la. A causa della dpendenza dell equazone sctta dalla tempeatua, essa a accoppata all equazone d Foue del campo temco: T t α Occoe nolte utlzzae anche l equazone d contnutà globale (nell potes d pote consdeae agoneolmente l fludo come ncompmble): T + y y 0 Complessamente s ha: ν + βgδt y y + 0 y T T T T + α + y y y Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

107 Nell potes d esstenza d uno stato d dmensone dotta nel quale aene l fenomeno d T ( δ / << ) s ha, come conseguenza, la semplfcazone: T, se y è la nomale alla dy supefce d scambo e s suppone (pe geomete non pane) che l aggo d cuatua sa gande spetto a δ. Essendo la paete assmlata ad un sem-pano ndefnto, l moto sultante è bdmensonale, nelle dezon etcale () ed ozzontale (y). La semplfcazone della geometa non a consdeata come una gae estzone sulla aldtà de legam ta nume dmensonal che s sluppeanno, dal momento che ess possono faclmente essee estapolat: è, nfatt, sempe applcable l semempco pncpo d smltudne estesa pe tattae geomete dffeent da quella pana. Poettando l equazone d moto pecedentemente sctta sull asse pù sgnfcato, oeo l asse, s ha: y β g Δ T, ν Le seguent condzon al contono sono : pe 0 pe y δ pe y 0 T y y 0 y 0 0 e e e T T T T T T B W B. In questo caso s nota (ed è stuazone specfca della conezone natuale pua) che non fgua alcuna eloctà estena mposta al sstema dalle condzon al contono: l odne d gandezza della msua della eloctà (coè l suo aloe massmo) saà, dunque, da dedus dall anals del sstema d equazon. A questo punto, pe semplfcac le cose, effettueemo ancoa una olta una alutazone pe odn d gandezza, con lo scopo d dedue le msue ncognte e δ. L equazone d contnutà gaantsce che / e y /y sano dello stesso odne d gandezza e, petanto, la somma d due temn dello stesso odne d gandezza non altea l odne d gandezza complesso. Rscendo l equazone d moto poettata sull asse e quella d Foue sotto foma d odn d gandezza, s peeà al seguente sstema algebco d due equazon n due ncognte: βgδt δ ν Δ T/ Δ T/ α δ α δ L espessone così toata d (che è pa alla eloctà massma data dalla conezone natuale) α βgδt può essee sosttuta nella pma equazone del sstema: ; pe endee admensonale l 4 δ ν temne al pmo membo, è suffcente moltplcae l ntea equazone, a desta e snsta, pe un 3 : Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

108 δ 4 4 βgδt να 3 Rcodando che l numeo d Pandtl è defnto come: P ν / α, con de semplc passagg algebc è possble caae la seguente espessone equalente: δ 4 4 βgδt ν 3 P La quanttà ta paentes quade, che costtusce un agguppamento admensonale, pende l nome d numeo d Gashof, basato sulla geneca lunghezza d femento; petanto, la fomula defnta saà la seguente: δ (G P) / 4 Passamo, oa, al coeffcente d scambo temco del fludo esposto alla lasta e alutamo, pe la geneca lunghezza, l numeo d Nusselt locale, n odn d gandezza: ΔT hδt k δ h k δ Nu δ Nu / 4 cos tan te (G P) ; la costante d foma può essee dedotta attaeso una ntegazone numeca delle equazon dffeenzal e sulta essee compesa ta cca 0,6 e 0,7: Nu 0.6 (G P) / 4 Anche n questo caso, è possble estendee l sultato ottenuto ad alte geomete: ad esempo, a cop solat nel fludo o a clnd ozzontal, doe la lunghezza caattestca è appesentata dal dameto del clndo, oppue a clnd etcal, doe c s fesce all altezza del clndo, e così a. La aldtà dell espessone così caata è, peò, lmtata alla stuazone d moto puamente scoso: cò sgnfca che gl sfoz nezal deono essee tascuabl spetto a quell scos; molto semplcemente, la fomula sluppata ale pe flud pe qual P > e G < 0, oeo fntanto che non s nstau la tubolenza; questo sultato può essee toato basandos su un numeo d Reynolds appaente basato sulla eloctà massma data da mot conett: o l aloe del Reynolds ctco pe lo stato-lmte fludodnamco è cca , da cu s caa, codando che nel caso d gas P, che Re app ma G G G ν P δ P P ( ) 0 o Nel caso d lqud questo aloe è supeoe. o Se l Gashof supea tale aloe ctco, l moto denta tubolento Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

109 La conezone natuale può aene anche su pan T b ozzontal: consdeando un nomalssmo fludo pe cu la denstà dmnusce al aae della tempeatua, s può affemae che s aanno de mot conett solo se la tempeatua del pano ozzontale saà maggoe d quella dell aa sopastante, n questa condzone l aa calda del suolo, meno densa, T w tendeà a sale eso l alto, pendendo l posto dell aa fedda (maggoe denstà) pù pesante che s abbasseà d quota, occupando, pe contnutà, la poszone del fludo n salta. Nel caso sa, nece l aa al suolo ad aee tempeatua mnoe (e qund denstà maggoe), non s aà nessun moto conetto: tale stuazone ene detta d nesone temca, e nel caso della meteoologa ha come conseguenza la concentazone degl nqunant al suolo. Nel caso n cu al pano ozzontale a tempeatua dffeente cosponda l sofftto del nosto sstema, le celle conette s ceeanno solo nel caso n cu la T w T b < 0. a quanto appena sto esta oo da sottolneae che s aà effcace conezone natuale solo pe cet segn (posto o negato) del aloe cospondente alla dffeenza ta le denstà del fludo pesso la paete e nel bulk. Qualtatamente s può adottae la desczone che segue: l fludo adeente alla paete ozzontale a tempeatua T w maggoe della T b d quello soastante tendeebbe a sale tutto nseme, ma, a questo punto, l fludo feddo non potebbe pù muoes e dscendee; la soluzone è offeta da un patcolae effetto, che peede l nstauas d otc: ess, dopo ae computo all ncca una otazone completa ntono al popo bacento (pe contnutà) possono dstaccas, e altenatamente sale n quota, così che l fludo caldo tende a sale e quello feddo ha la possbltà d scendee e pendene l posto. al punto d sta dello scambo temco, la legge che desce tale fenomeno è: Nu L cos t (G) n P m Le condzon opeate sono stazonae, ma esstono mot otcos e l coeffcente d scambo temco h non può dpendee dalle dmenson del pano (dalla sua lunghezza caattestca); esso dpende nfatt dalle dmenson delle celle, da cu dea l unca condzone pe cu l pano debba aee estensone maggoe delle celle (queste sono, n meda, d alcun mm). 3 βgδt L Rcodando che l numeo d Gashof è defnto come G e che quello d Nusselt è ν hl Nu, pe elmnae la dpendenza da L bsogna che n ⅓ (s elmna aable L), nolte la k scostà, che egola lo spessoe dello stato lmte, non può n questa stuazone entae n goco, ν qund m ⅔: l numeo d Pandtl è P ed eleandolo alla ⅔ pemette d elmnae la scostà α dall equazone. La alutazone della costante moltplcata pota ad un aloe della stessa d cca 0,4. Nu L 0.l38 ( G P ) / 3 L Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

110 Questa equazone desce la conezone natuale pe paet ozzontal sa n egme lamnae che tubolento e pe paet etcal n egme tubolento, mente n egme lamnae l legame è Nu L (G P). 40. Lo scambo temco all esteno de tub Pe cò che guada la pate estena de tub utlzzat pe lo scambo temco, come gà osseato s può leae che su d ess s sluppa uno stato lmte che s dstacca a un angolo d cca 00 (mmagnando l tubo nestto dal fludo pependcolamente al suo asse). Olte la zona d dstacco lo scambo aene n egme tubolento a causa della fomazone d otc douta al allentamento della coente fluda deto l oggetto. La teoa che eà oa affontata, elata allo stato lmte temco, s basa, essenzalmente, come nel caso dello stato lmte fludodnamco, sulla detemnazone dello spessoe d zone d nfluenza. S consdeeanno sempe, pe semplctà, poblem pan e, coè, n due aabl (con la conenzone che la coodnata s estende nella dezone dello sluppo dello stato lmte, mente la coodnata y s fesce alla dezone nomale e, coè, nel senso del flusso d ogne dffuso). Con agonamento analogo a quello sto pecedentemente, saà sempe possble tenee, se esste una zona d nfluenza δ <<, che: <<. y Il poblema d nteesse è oa quello della detemnazone dello stato lmte temco su d una lasta pana sem-nfnta, sulla quale scoe una coente fluda, lo stato coè n cu s collocano gadent d tempeatua esstent nel sstema; po, tamte l pncpo d smltudne estesa, saà possble genealzzae sultat ottenut, estendendol anche ad alte geomete. S consde, petanto, un pano d estensone sem-nfnta nestto da una coente, che pocede con eloctà costante e caattezzata da una dstbuzone d tempeatua unfome; s ndcheanno gl spesso dello stato lmte del poflo d eloctà e d quello temco, con δ V e δ T ; al loo nteno aà luogo l gosso delle aazon d eloctà e d tempeatua. S supponga, nolte, che la paete s to ad una tempeatua T W, mente lontano da essa l fludo y T sa caattezzato da una T unfome. Se T W T, alloa eà geneato δ () un taspoto d caloe dalla paete eso l nteno o ceesa. S codano oa due mpotant Φ(y popetà dello stato lmte Θ(y) fludodnamco che seanno nel seguto: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

111 δ Re y y f cos t. δ δ ( ) (appossmando l poflo d eloctà nello stato lmte con una etta) Intoducendo due agguppament dmensonal che c consentano d mettee a confonto pofl d eloctà con quell d tempeatua: Φ y funzone( δ V ) e T T Θ T T W W ; s not che ndca la eloctà del fludo al d fuo dello stato lmte, Φ assume aloe nullo n cospondenza del pano ed untao lontano da esso e che la quanttà ( T TW ) che compae al denomnatoe dell espessone d Θ non è nent alto che la foza motce esponsable del taspoto d caloe. Supposta nota la dstbuzone d eloctà, se s olesse pecoee la stada pù goosa pe detemnae la dstbuzone d tempeatua, occoeebbe solee l equazone d Foue non genealzzata: T t T α T T T T + y α ( + ), y y con le seguent condzon al contono: pe 0 pe y 0 pe y T è unfome T T T W. T Edentemente oa, nel campo spazale delmtato dallo stato lmte temco ( 0 y δt () ), a utlzzato l poflo d eloctà, che s ottene dalla soluzone del poblema d stato lmte fludodnamco. Tuttaa, se s effettua la semplfcazone tpca d tutt poblem d spessoe d zona d nfluenza a due dmenson, eseguendo una alutazone n temn d odn d gandezza, c s ende faclmente conto d quanto pù ageole dent la tattazone. Alloa, s ossea che: T T << y δ (pe T <<, nolte T aa sostanzalmente lungo y); nolte, due addend che compaono al pmo membo dell equazone dffeenzale sono dello stesso odne d gandezza (come è deducble dalla anals pe odn d gandezza effettuata sull equazone d contnutà) e, petanto, la loo somma non fa aae l odne d gandezza T complesso. unque, a snsta dell equazone è come se s aesse un unco addendo pa a. al momento che fa Θ e T è un legame puamente lneae, possamo tanqullamente sosttue Θ al posto d T nell equazone d Foue: - - Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

112 Θ Θ α ; y se è, po, eo che la maggo pate delle aazon d tempeatua aengono ta 0 e δ T, la eloctà che s msua all nteno della zona d nfluenza temca è popo quella che s legge n cospondenza d y δt. Se lo spessoe fludodnamco è molto mnoe dello spessoe temco, alloa nella maggo pate del campo temco la eloctà è unfome e pa a ; cò s efca, ad esempo, n tutt metall lqud, con qual s sluppa molto pù apdamente l poflo temco puttosto che quello d eloctà. Pe contasto al compotamento pecedente, è oo che quando P >> (lqud odna) lo spessoe fludodnamco è maggoe d quello temco (ale a de che s sluppa pù lentamente l poflo d tempeatua). Immagnando che nell nteallo 0 y δt () l poflo d eloctà, l cu lmte supeoe è ( δ T ) <<, sa pessoché lneae, s può stmae l aloe ( δ T ) n base alla seguente popozone (gustfcata dal fatto che l odne d gandezza d è quello che s ha n cospondenza d y δ T ): Φ ( δ T ) δ cos t δ T V. In odn d gandezza s aà qund (a meno della costante): δ ΔΘ ΔΘ T α ; δv δt S cech, oa, d detemnae l appoto ta lo spessoe dello stato lmte temco e quello dello stato lmte fludodnamco, moltplcando e ddendo tutto dappma pe δ V e, po, pe la scostà cnematca ν e pe : δ ( δ T V ) 3 α δ V δ ( δ T V ) 3 α δ V α δ V ν ν ν α ν δ V. S ossea faclmente che sosttuzon, s caa che: ν Re, α ν P, mente δ V Re / ; effettuando tal δ ( δ T V ) 3 Re/ P Re/ δ δ T V P / 3. Se s olesse dedue, a questo punto, l coeffcente d scambo temco locale, s doebbe scee: T Δ/ T K q h Δ/ T K K h ; y δ δ II numeo d Nusselt ale qund: y 0 T T - - Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

113 h / 3 / / 3 Nu P cos tan te Re / 3 P k δt δ V P δ V. a una tattazone analtca pù goosa (e non agonando sugl odn d gandezza), s deduce che la costante è pa a 0.343: Nu / / Re P (alda localmente) Se, nece, s aluta l coeffcente medo sulla lunghezza L, s peeà ad un espessone dentca alla pecedente, con la sola dffeenza che la costante sulta essee doppa spetto a quella che fgua nel numeo d Nusselt locale e, qund, pa a cca 0.686: Nu / / Re P (alutata con coeffcente medo) Quando P (caso de gas), le equazon d Pandtl e Foue ese admensonal hanno la stessa, dentca, espessone (essendo να): Φ Θ + + y y Φ Φ ν ( + Θ Θ α ( + Φ ) y Θ ) y petanto ammetteanno la stessa soluzone (analoga a quella ottenuta n pecedenza) e δ T δv. S dmosta, nece, che nel campo ntemedo de alo d P, oeo ta gl asntot P e P 0, l numeo d Nusselt medo su tutta la estensone dello stato lmte possa così essee stmato: Nu L 0.69Re / L P / P / 6 Come gà osseato altoe pù olte, gl stess sultat ottenut pe l taspoto d caloe possono essee tasfet, pe analoga, al taspoto d matea (se non esste alcuna eazone chmca nello stato lmte d concentazone) o ceesa ; basta sosttue l numeo d Nusselt temco col numeo d Nusselt mateale, l numeo d Pandtl con quello d Schmdt. Le espesson ottenute, po, possono essee estese anche ad alte geomete, con la lmtazone che la dpendenza funzonale guad quelle pozon d supefce d contono n cospondenza delle qual non s hanno ccolazon (esponsabl d endee l moto alquanto smle ad un moto tubolento) Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

114 4. La conezone fozata ed l poblema d Gaetz-Nusselt: taspoto d caloe ne mot lamna all nteno d condott. In questo paagafo, eà consdeato solamente l taspoto d caloe n assenza d sogent, coè caattezzato dall equazone d Foue non genealzzata, ed a popetà fsche costant: T α T. t Il moto aene all nteno d un tubo a sezone ccolae (d asse e aggo ) ed è semplcemente lamnae, con l fludo consdeato d tpo newtonano. Tale poblema può guadae pe esempo l caso n cu l fludo sa olo con scostà d cca 00 cp che chedeebbeo toppa enega pe l taspoto n egme tubolento. Nel caso n cu c toassmo nella zona d mbocco, coè n fase d sluppo del moto (stato-lmte n eoluzone) lo scambo temco è desctto dall equazone gà toata pe lo stato-lmte temco: Nu T 0.7 Re / P / 3 C s occupeà oa del caso n cu l moto è completamente sluppato (fnta coè la zona d mbocco). R y R- In tal condzon, pofl d eloctà sultano essee paabolc e l unca componente d eloctà desa da zeo è quella assale (oeo la () mente 0 ). Sa, po, assegnata la tempeatua sulla supefce d contono attaeso la quale aene lo scambo temco: T Tw. S potebbeo, n ealtà, consdeae alte condzon al contono, ma l pncpo empco d smltudne estesa c gaantsce che legam ta des nume dmensonal sono elatamente poco dpendent dal tpo d condzone al contono (olte che dalla foma geometca del sstema oggetto d studo). Supponamo, nfne, che le aazon d tempeatua sano contenute, essenzalmente, n uno spessoe d fludo δ T elatamente dotto spetto al aggo del condotto. In ealtà, pe flud des da metall lqud, coè pe gas e lqud odna ( P, ne qual coè la dffustà d moto peale sulla dffustà temca), questa potes può sempe essee accettata; essa consste, dunque, nel tenee che gadent d tempeatua sano tascuabl n tutto l campo e localzzat soltanto nelle cnanze della paete. L estensone della zona d nfluenza temca ene soltamente denomnata spessoe d stato lmte temco. In condzon stazonae ed n assenza d sogent d caloe, l equazone d Foue può essee così sctta: T α T ; t dalla defnzone d deata sostanzale, tuttaa, s caa che: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

115 T t T t + T T + T T T T ( temn e sono null, spettamente peché stamo opeando n egme stazonao e t peché è nulla la componente adale della eloctà). L equazone d Foue, espessa n coodnate clndche e nel caso n cu non sa moto otatoo (coè elcodale) all nteno della tubazone, denta: T α T ( ) + T al momento che le aazon d tempeatua sono pesent pealentemente n dezone adale e T sultano molto mno lungo l asse, l addendo sulta tascuable). Senza alcun pegudzo pe la genealtà della tattazone, s assuma ad esempo che l fludo sta scaldandos : uol de assumee che la tempeatua sulla paete del tubo (T W ) sa sempe e ounque maggoe d quella meda d sezone pesente nel fludo all nteno (T B o d bulk). Il nosto scopo è quello d toae un legame ta a agguppament admensonal, sotto foma d espessone monoma o combnazone d espesson monome, a meno d una o pù costant d foma, senza doe solee l equazone d Foue, ma deducendo da essa solo quelle nfomazon mpotant che sono elate all odne d gandezza de a addend. Come gà n pecedenza nella utlzzazone d questa conenente pocedua d appossmazone, gl odn d gandezza degl addend dffeenzal engono dedott come appot ta gl odn d gandezza delle aazon (coè delle msue ) del numeatoe e del denomnatoe. In ogn dezone spazale s alutano gl odn d gandezza pe ogn componente d eloctà e pe ogn coodnata. Opeeemo nell potes ( sempe gustfcata nel caso d funzon ounque monotone) che le aazon massme sano quelle agl estem del campo ( 0 y δt, con y dstanza dalla paete, coè pe y 0 s è sulla paete stessa) assumamo anche che l condotto sa abbastanza lungo, ossa che >> : se << ( ) e (e, petanto, la quanttà L potes T << L è tascuable spetto ad δ pota ad accettae l esstenza d uno zona d nfluenza smle ad uno stato lmte temco n possmtà della paete. Il pmo che, nella seconda metà dell 800, decse d affontae tale poblema, senza tuttaa adottae semplfcazon come quelle che qu sono poposte, fu Gaetz, l quale s popose d solee completamente l equazone dffeenzale lneae (ma a coeffcent non costant), facendo coso ad uno sluppo n see d auto-funzon non conducbl ad alte funzon note n quel tempo, qual Foue, Bessel ecc.: egl ebbe la pazenza d detemnae numecamente le pme poche,ma suffcent al suo scopo,auto-funzon. No c appesteemo a toae soltanto soluzon appossmate dell equazone d Foue, aalendoc delle seguent condzon al contono, fscamente sgnfcate: ) Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

116 pe 0 pe 0 se R T T T 0 T T 0 W (all'ngesso) (poflo smmetco all'asse) (la tempeatua d paete è assegnata) In altenata alla condzone n R d tempeatua assegnata è possble anche poe una condzone alla Neumann e coè sulla deata nomale pe cu: n R q dato k dt d R coè la quanttà d caloe taspotata è legata al flusso assegnato all esteno del condotto. Va subto detto che questa condzone poebbe subto poblem pe la soluzone analtca, ma ene qu chamata solo pe cuostà. A alo suffcentemente eleat d s aà δ T R, coè l poflo della tempeatua saà completamente sluppato e con una foma abbastanza smle a quello d eloctà: alloa, se la caduta d tempeatua ha luogo n un stetto spessoe δ << T R ed l scaldamento del fludo pocede eso l nteno del tubo con adeguata pogessone, nello spessoe della zona d nfluenza temca δ T saà possble confondee l poflo paabolco d eloctà con la sua tangente (appossmazone d Leeque), ottenendo, n possmtà della paete del condotto, un andamento appossmatamente lneae. Rcodando che la eloctà massma sulta essee l doppo d quella meda, sceemo: () ma ( ) < > ( ), R R doe la <> ndca la eloctà meda d mscela,coè quella tale che l suo podotto pe la sezone del condotto dà la potata olumetca (nel caso d flud non-newtonan s ottengono pofl sml, ma d odne supeoe). Sosttuendo tale espessone nel pmo membo dell equazone d Foue, deando spetto ad e sceglendo la y come coodnata conenente (y è la dstanza dalla paete: y R, da cu dy -d), n possmtà della paete aemo che: o R < > < 4 8 R > (oe l segno - è douto al fatto che la tangente con cu appossmamo la paabola è negata nella coodnata y, mente qu nteessa un poflo posto d eloctà) o y > y 0 < 8 (nel caso n cu non fossmo n un condotto ccolae s useebbe l dameto daulco) Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

117 Tonando all equazone d Foue completa e lneazzando l opeatoe laplacano, peeemo alla seguente espessone: T (y) < 8 > T y T α y T ΔT S esegua oa una alutazone pe odn d gandezza: y MAX δt e. Con tal sosttuzon, s ottene una banale equazone algebca dalla quale è possble caae lo spessoe della zona d nfluenza temca: < 8 > δ ΔT ΔT 3 α T α δt. δ 8< > T dendo tale spessoe pe una lunghezza eleata al cubo (pe esempo l dameto), caamo un agguppamento admensonale; se, po, s moltplca e s dde l secondo membo pe la scostà cnematca ν, s esce ad ndduae un Re : δ 3 T 3 α 8< > 8 ν α ( ) < > ν 8 Re α ( ) ν 8Re P δt ( Re ) P / 3 A questo punto, s è solt ntodue un nuoo agguppamento admensonale, che pende l nome d numeo d Gaetz ed è così defnble: Gz : < > α Re P δt Gz / 3 unque, lo stato lmte temco sussste a goe nelle condzon d moto lamnae solo se Gz >>, δ nfatt T δ << T << Gz >>. R Cechamo d toae, adesso, un legame semplce ta l numeo d Nusselt e quello d Gaetz, patendo dalla defnzone d flusso temco e pocedendo, po, ad una alutazone pe odn d gandezza (s agona con alo assolut): T q hδt k y 0 ΔT hδt k δ T k h δ T alla defnzone d numeo d Nusselt pecò ene: Nu h k δ T Nu Gz / 3 espessone alda pe Gz >>, anche se la tattazone goosa non fonsce esattamente un fattoe pa a, bensì un aloe d cca,75: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

118 Nu.75Gz / 3 Con l cescee dello spessoe δ T (coè con l dmnue d Gz), non è pù possble pescndee dal aggo d cuatua del condotto; nolte, la msua della eloctà nel campo d tempeatua non è pù commsuata a δ T, peché è oamente e dettamente data dalla stessa <>. I pofl d tempeatua s mantengono molto sml ta d loo, fno a dentae quas patt. La conseguenza è che, pe Gz <<, l numeo d Nusselt denta una costante, cca pa a 4 (una alutazone goosa della costante mosteebbe che essa, pu dpendendo dalle condzon al contono adottate pe l poblema, s agga comunque ntono al aloe 4, assumendo alo compes ta 3,7 e 4,5). Una soluzone d buona appossmazone può essee ottenuta n tutto l campo d alo d Gz, combnando semplcemente due compotament asntotc: / Gz. Nu + La soluzone goosa del poblema è estemamente pù complcata, ma sostanzalmente l sultato n temn d legam ta nume dmensonal non è tanto pù accuat0 d quello così ottenuto, che è enomemente pù semplce. Con cò estano caattezzat poblem tpo pù sgnfcat pe fenomen d taspoto, n egme lamnae e pe la conezone temca fozata ento condott. Rassumendo: / 3 o Assegnata la tempeatua: Nu Gz o Assegnato un flusso d caloe costante: Nu Gz / 3 o Appossmazone: Nu Gz Se s utlzza l numeo d Schmdt puttosto che quello d Pandtl pe defne Gz, l espessone analoga che s potebbe popoe pe l analogo taspoto d matea saà la seguente: / 3 Sh (Re mateale Sc ) ; pe geomete dese da quella semplcemente ccolae, applcando l pncpo d smltudne estesa, s possono genealzzae le espesson sctte, a patto che s consde l dameto daulco (che, pe esempo, non concde col dameto eo e popo della sezone ne mot a canaletta, n 4 sezone d passaggo 4A condott non del tutto pen d lqudo): h. pemeto bagnato p Pesno se l fludo scoe n moto lamnae ta due laste pane ndefnte (d lunghezza caattestca L e dstant ta loo s), è ancoa possble alutae l dameto daulco, nonostante la 4 s / L/ geometa sa enomemente lontana da quella ccolae: h 4s. Se s solesse l L / / poblema n foma goosa (coendo, ad esempo, a see d Foue), s scopebbe che l sultato ottenuto non s dscosta d molto da quello pma sctto: petanto, s commette un eoe soltamente tascuable effettuando tal appossmazon. Pe alo d Re > 500, dopo una zona d tanszone s nstaua l egme tubolento, ma, pe etae complcazon calcolstche dettate da tale passaggo, s può affemae che pe alo d Re > 0000 c saà scuamente un egme tubolento. / Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

119 Il egme tubolento è caattezzato dal caos, nstauato a scala molto maggoe de mot anch ess caotc d scala molecolae che s sluppano alla scala del lbeo cammno medo; quest fenomen caotc pesentano analoge fenomenologche che s petono su scale dffeent. Medamente l fludo aanza, ma al suo nteno sono pesent aggegat (agglomeat contenent comunque gand nume d molecole) che s muoono d moto caotco soapponendo l loo caos al moto medo del fludo stesso; all nteno d quest aggegat sono pesent aggegat mno e così a fno ad un punto doe ess sono così pccol da estngues con meccansmo puamente scoso. Gl aggegat tubolent a causa della loo scala, masscca se compaata con quella de pocess dffus d scala molecolae, causano, a loo olta, un taspoto dffuso molto maggoe: alo degl esponent del numeo d Reynolds ne legam ta nume admensonal dentano pù gand e coeffcent d scambo, a patà d tutto l esto, dentano anche molto pù eleat che n moto lamnae. Pe la maggo pate de flud eccetto metall lqud (pe qual P<<), qund pe gas e lqud odna, s dmosta, nfne, che è alda, n egme tubolento, ento condott, la seguente elazone, detta fomula d ttus-boelte, ta agguppament dmensonal: 0.8 / 3 Nu 0.03Re P. 4. Il muo d Foue. Cò che c s appesteà a fae oa è consdeae l poblema del cosddetto muo d Foue, che fa femento a mateal dotat d una modesta conducbltà temca (qund puttosto efatta).. S pens che ne mateal efatta (matton d slce amofa, conglomeat d lana d eto e così a) sono lmtate le dspeson temche pe a d alo d k che scendono ben al d sotto d 0. kcal/m h C. Inece mateal buon condutto d elettctà (come la gan pate de metall) sono anche buon condutto d caloe: le due conducbltà sono nfatt n appoto costante. L odne d gandezza della conducbltà d mateal maggo condutto (tpo l ame e l agento) è d 00 W/(m C). Gl acca hanno conducbltà temche dell odne d 0 W/(m C), mente le matee plastche hanno alo d conducbltà ntono a 0. W/(m C), fno a scendee a cca 0. (nelle stesse untà d msua) pe efatta (tpo la lana d eto). Il poblema del muo d Foue nasce dalla olontà d studae la tasmssone del caloe attaeso una paete pana nfntamente estesa (appunto assmlable ad un eo e popo muo ) e d spessoe s ; s sca, petanto, l equazone d Foue non genealzzata: T α T t. Se s opea n condzon stazonae, s annulla l pmo membo dell equazone (le eloctà sono nulle essendo solda la paete), mente se s consdea una paete pana nfntamente estesa nelle due dezon spazal dese da y (assunto come asse nomale), s peene alla seguente foma semplfcata: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

120 Nelle condzon sopa esposte, l poflo d tempeatua sulta essee esattamente lneae; andando ad ntegae la pecedente equazone dffeenzale, pe y s ( spessoe della paete), s ottene come soluzone: T 0 ΔT T + y, s T 0 y oe con Δ T ndchamo la dffeenza d tempeatua a caallo della paete. Petanto, se s ha a che fae con un poflo lneae d tempeatua, n pesenza d un unca paete pana, l flusso temco potà essee alutato nella seguente manea: dt ΔT q k k hδt h dy s s (da notae che pe fa scompae l segno - s è semplcemente agonato n temn assolut). k s k >k T 0 k k T T Qualoa, nece, fosseo pesent pù paet pane n see (caso smle a quello d pù esstenze elettche n see n un ccuto), la tempeatua msuable sulla supefce d contatto ta le due paet adacent saà la stessa. Cò che camba è la pendenza del poflo d tempeatua ento le due paet adacent, a causa del deso aloe d conducbltà temca ta una paete e l alta. S consea, nece, l flusso temco: s s dt dt k k, dy dy q oeo: (doe Δ TI T0 T e Δ TII T T ). q k ΔT s I k ΔT s II Il flusso complesso aà: q UΔ T tot oe con l smbolo U s è solt ndcae l coeffcente d scambo temco globale, paameto che aluta la capactà globale d scambae caloe attaeso una see d paet (solde o flude) ntemede, mente Δ Ttot T0 T Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

121 Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano - - L neso d tale coeffcente ndcheà, petanto, la esstenza offeta dal fludo nello scambae caloe: h n h h U amo una apda dmostazone della fomula sctta pe l flusso totale, patendo dal fatto che è costante l flusso che attaesa le due paet cne (con T 0 ndcheemo la tempeatua estena della paete d snsta, con T la tempeatua ntemeda ta le due supefc e con T quella estena della paete d desta): ) T (T h ) T (T h q 0 se ddamo ambo memb pe h e potamo a desta gl addend contenent la tempeatua ntemeda T (che è ncognta), ottenamo: h h T T h h T Isolando T : 0 h h T h h T T + +. conseguenza, l flusso totale del sstema saà pa a: tot tot h h T h h h T h h h h h ) T (T h h h h h T h h T ) h h ( T h ) T (T h q + Δ + Δ / / + + / + / ; potando, nfne, h al denomnatoe e codandos che h h U +, s caa: tot tot tot T U U T h h T q Δ Δ + Δ In manea pù semplce s può opeae anche come segue:

122 q q q h h q (T 0 (T T ) q T ) q h q h q T h 0 T h T T + T 0 T T0 T q + h h U T T U ΔT ( 0 ) tot Una olta noto l flusso temco q s può caae la tempeatua ntemeda T da una delle due equazon sctte. Nel caso n cu s abba una paete metallca e due flud n momento alla sua desta ed alla sua snsta (come pe esempo nel caso d scambato d caloe), occoeà consdeae anche la esstenza popa del metallo e quella douta alla pesenza d eentual ncostazon: U H tot h + h + s k m m + s k (doe con s m ed s s ndcano spettamente gl spesso della paete metallca e delle ncostazon, mente con k m e k le elate conducbltà temche). s S osse che l appoto ene genealmente ndcato come esstenza temca specfca del k mateale, mente /U pende anche l nome d esstenza temca globale. Petanto, dalla paete monostato s passa a quella a doppo stato aggungendo una esstenza addzonale. Estendendo questo sultato alle paet pane multstato, s può affemae che la esstenza temca globale è quella della paete monostato, con l aggunta d una esstenza addzonale pe cascuno stato n pù (sulta, così, ancoa pù edente l analoga ta la see d esstenze temche e quella d esstenze elettche). Paet multstato sono utlzzate nella ealzzazone de fon: gl stat nten a contatto con fum, e spesso con la sostanza n laoazone (es. poduzone del eto), sono costtut da mateal altamente esstent alla coosone qual l ossdo d zcono (quest sono molto costos e qund gl stat sono sottl), man mano che c s sposta eso l esteno engono poste, pma, paet d mateal cobent (efatta, n gado d abbattee la tempeatua solant temc) come matton n slce, e po stat, pù spess, altamente efatta e con bassa esstenza alla coosone. S potebbe fae un analoga, pe concett, appena st, guadant l flusso temco, con l taspoto d matea: consdeando fas, sano esse due lqud o un lqudo ed un gas (non gas, n quanto, se post a contatto, s mscelano faclmente), s ha che all ntefacca le molecole sono un po pù lbee spetto alle alte pesent nel bulk. k k Le eloctà taslazonal delle molecole sono agual alla eloctà d popagazone del suono nel mateale (es. cabone 0000 m/s), mente all ntefacca () () c I c B la eloctà è quella d dffusone, che è dell odne de Fase μm/s. Le concentazon ntefaccal appatenent alle () () c I c due fas sono dffeent, ma a causa della bassssma B Fase eloctà dffusa, spetto a quella taslazonale, macoscopcamente s pecepsce una stuazone d equlbo. Se l andamento dell equlbo fosse lneae (caso () () molto fotunato), coè C, l coeffcente d - - Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano I HC I

123 scambo mateale globale potebbe essee caato dal seguente sstema: () k(cb C () CI HCI () I () ) k (C () I C () B ) 43. Le popetà d taspoto molecola n geneale e ne gas. Nell esposzone de legam ta fluss molecola (d matea, d quanttà d moto e d caloe) e gadent (genealmente d concentazone, d eloctà e d tempeatua) che l poocano, sono stat ntodott alcun coeffcent fenomenologc qual: ( dffustà mateale d n mscela), μ ( scostà pe flud Newtonan) e k ( conducbltà temca). Al posto delle ultme due gandezze, sono anche state ntodotte alte due, omogenee con la dffustà mateale dal punto d sta dmensonale, pa a: - ν μ / ρ scostà cnematca, detta anche dffustà d quanttà d moto; - α K /( ρĉp ) dffustà temca. Con l esclusone de flud a compotamento eologco non Newtonano, tal popetà d taspoto molecolae sono funzon dello stato locale de mateal (coè d tempeatua, pessone e composzone) e d gandezze molecola (massa delle molecole o peso molecolae, damet molecola, sezon d collsone, etc.). Poché queste popetà d taspoto nteengono genealmente n ogn alutazone d coeffcent d scambo (d matea o caloe) e d pedte d caco o d sfozo fludodnamco su oggett, è mpotante consdeae una teoa d tal gandezze, pe a d molteplc agon concete. Ad essa conene dae l nome d teoa della dspesone. Essa è legata al fatto che, dat due sstem sepaat, con una ceta entopa complessa, ed l sstema costtuto dalla mscela de due, quest ultmo ha sempe entopa maggoe, ed è qund pù stable: la dspesone s basa qund sul secondo pncpo della temodnamca (faclmente ntuble sto che fluss molecola s fondano su d esso). Tutte le gandezze pecedentemente chamate, che hanno untà d msua dmensonalmente pa ad [L /t], possono essee consdeate come de e e pop coeffcent d dspesone. La dspesone è appesentable medante l podotto d una eloctà caattestca, una lunghezza caattestca e d un fattoe χ che tene conto delle dmenson dello spazo nel quale aene l fenomeno. S può petanto scee:, m ISPERSIONE χ caattes L, tca caattestca Il fattoe χ è un paameto geometco nesamente popozonale al numeo delle dezon dello spazo (consdeando uno spazo sotopo) n cu ha luogo l fenomeno dspeso: esso aà /3 n uno spazo sotopco tdmensonale, / nel caso bdmensonale (come ad esempo può essee quello d una pazza pecosa da nddu che s muoono n modo casuale) ed qualoa l fenomeno s slupp n un unca dezone (quale può essee sualzzato su una stada pecosa da ecol con eloctà dstbuta n modo casuale ). S analzz oa la dspesone pe l caso de gas. La caattestca è la eloctà meda d agtazone molecolae, cca pa alla eloctà del suono. Le molecole s muoono casualmente utandos Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

124 puttosto elastcamente, conseando coè la quanttà d moto e l enega cnetca d taslazone, dopo una dstanza d moto lbeo defnta come lbeo cammno medo che appesenta la lunghezza caattestca d nosto nteesse l caattestca λ. Su tale dstanza le molecole taspotano la popa quanttà d moto, la popa enega cnetca taslazonale e la popa denttà molecolae. Il taspoto è analogo pe tutte le popetà taspotate (anche se la ν sulta penalzzata poché, essendo la quanttà d moto una gandezza ettoale, chede un detemnato oentamento). Tuttaa s può de che: Gas Ideal α ν,m Monoatomc P /3 Batomc P 3/4 Tatomc P 4/5 A questo punto, sulta possble legae le popetà d taspoto molecola alle gandezze molecola (massa molecolae M, sezone d collsone d, numeo n d molecole nell untà d olume, eloctà meda d agtazone, coolume e così a) e, utlzzando po le connesson ta queste e le aabl d stato, ceae n defnta de legam ta popetà d taspoto molecola e aabl d stato (tempeatua, pessone, etc.). Pe esempo, la scostà cnematca molecolae caattezza la popetà d taspotae le dese component d quanttà d moto da luogh a quanttà d moto pù eleata a luogh adacent con una quanttà d moto nfeoe (o ceesa): oa, n un gas la quanttà d moto posseduta, medamente, dalle molecole ene taspotata dal momento caotco delle molecole stesse, conseandos, peò, nel moto lbeo ta un uto e l alto. Nell uto, la quanttà d moto (ed anche l enega cnetca taslazonale) ene scambata e s dstbusce; dunque, una lunghezza caattestca (alla scala molecolae) pe quest taspot molecola è popo l lbeo cammno medo λ. alta pate, la popetà d taspoto n questone dpende anche dalla eloctà con cu, medamente, s muoono (s agtano) le molecole (coè da u ); nfatt, mente l numeo d att d taspoto pe untà d supefce e pe untà d tempo è popozonale ad n u, l numeo d att fet alla sngola molecola (qund la popetà molecolae n senso stetto) è, appunto, equalente, n meda, ad u. Alloa, n base a questo semplcstco appocco, la scostà cnematca molecolae dee essee popozonale a λ u, ale a de: ν cos tan te λ u. S not che tale legame è stato dedotto, Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

125 sostanzalmente, sa su una base meccancstca che sulla base d consdeazon molto possme a quelle d un anals dmensonale, condotta alla scala molecolae. Una anals pù completa aebbe fonto l aloe della costante pa ad /3, così che: ν λ u. S 3 cod adesso, dalla teoa d Mawell-Boltzmann, che: 8RT u ca 3 / πm (RT) ν 3 / / RT 3π M Pd N Aogado λ πd n πd N AogadoP doe: M peso molecolae R costante unesale de gas T tempeatua P pessone d dameto equalente della molecola n numeo d molecole pe untà d olume numeo d Aogado moltplcato pe la concentazone N a C N a P/RT a un anals condotta solo pe odn d gandezza s saebbe potut gungee ad un sultato smle (a meno d una costante moltplcata): l enega cnetca d un gas deale (che cosponde anche alla sua enega totale) è espessa come U N m 3 N k bt 3 nrt oe U enega ntena totale m massa sngola molecola N numeo molecole eloctà meda molecolae k b costante d Boltzmann R / N a J/K T tempeatua assoluta R costante de gas J/(mol*K) alla pecedente elazone s può caae che, pe la sngola molecola: m a cu la eloctà quadatca meda sulta essee: Quest ultma espessone s dffeenza da quella goosa pe un fattoe d cca 0.9 (confondendo la massa della sngola molecola, con l peso molecolae della spece): 3 k b qm 0.9 qm T 3k b m T Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

126 S not che pe quest gas (deal) la dpendenza d ν, α,,m dalla tempeatua e dalla pessone è, spettamente: ν T 3/ Ebbene, questo tpo d dpendenza funzonale s mantene con ottma appossmazone anche pe gas polatomc (eentualmente n mscela), n condzon suffcentemente lontane da quelle ctche: dunque, anche n questo caso l modello semplfcato c ha fonto de sultat daeo sgnfcat e ald pe studae pue l compotamento d sstem ben pù complcat. Il coeffcente d dffusone d matea può essee dedotto con le stesse consdeazon con le qual s è ntodotto ν ; nfatt, l meccansmo d taspoto molecolae è esattamente l medesmo: taspoto pe spostamento su dstanze dell odne del dameto medo collsonale delle molecole e con eloctà caattestca pa a quella d popagazone del suono (s cod, semplcemente, che la dffustà ne lqud è molto nfeoe a quella de gas, pe a dello stato addensato che ostacola l momento delle molecole su dstanze fnte). Infne, modell molecola elat alla dffustà temca, analogamente alle alte popetà d taspoto, sono pue fondat sulla alutazone d eloctà caattestche (dello spostamento o dell uto) e d dstanze caattestche. Ancoa una olta, l modello pù semplce è quello de gas monoatomc pu deal, assmlabl a sfee gde; n un modello sffatto, s può cetamente stmae che l enega temca sa taspotata pe spostamento con lo stesso meccansmo aldo pe le popetà gà esamnate (s ha che P Sc ); tuttaa, occoe notae che la gandezza oa taspotata è l enega taslazonale meda delle molecole d gas. Concludendo s può codae che l coolume della sngola molecola, moltplcato pe l numeo d Aogado defnsce l coolume molae: P V π d 3 N 6 a Ne mot molecola allo stato gassoso le foze attatte ta le molecole sono dettamente popozonal a -7, questo pooca un gande effetto sulle dstanze, che se sono d poch damet, potano a zone d alta denstà e qund a gas possm alla condensazone (apo). Pe semplctà quest gas saanno consdeat deal, le molecole assmlabl a sfee, pes molecola e damet tpc de component, mente la alutazone d ν e α saà effettuata con metod d calcolo scu anche se complcat, mente quell appossmat saanno utlzzabl solo se s aà cetezza d tutt paamet. Le molecole effettuano nello spazo una otazone gda, la cu fequenza, spetto ad un qualunque asse d femento sulta essee d cca 0-3 Hz. La meccanca statstca ha dmostato che duante la otazone, le molecole emettono quant, adazon lumnose, nel campo degl nfaoss a lunghezze d onda caattestche dpendent dalla fequenza d otazone. In geneale ale la fomula νλ c (fequenza * lunghezza d onda eloctà della luce). Anche pe le molecole pù gand, gaze all altssma fequenza d otazone, è possble assocae un dameto sfeco equalente, l cu uso è ammssble, cospondente al dameto massmo della stessa, n quanto duante l moto otatoo descono una stuttua sfeca. Inolte pe stuttue aent catene d almeno 5 o 6 atom legat lneamente (es. nomal-paaffne doe gl angol ta due legam C-C sono d cca 0 ) s ha la tendenza alla fomazone d stuttue pseudo- cclche Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

127 stantanee: l uso del dameto medo collsonale come dameto sfeco equalente è agoneolmente accettable nella meccanca molecolae appossmata. noteole nteesse è lo studo della dffusone d un componente A n un componente B: obetto pmao è quello d passae dalle popetà del sngolo componente a quelle della coppa. 8RT Rcodando che ca pe l autodffusone, s può genealzzae l peso molecolae πm A utlzzando una fomula che coda molto l metodo d combnazone asntotca: M AB M A + M B La somma degl nes è gustfcata dal fatto che la eloctà d dffusone delle molecole d un gas è nesamente popozonale alla adce quadata della loo massa: qund sono component aent peso molecolae mnoe a domnae l fenomeno n quanto, a patà d tempeatua, n possesso d una eloctà pù eleata. Se A e B hanno dameto dffeente ta loo, s doà defne un dameto d collsone della mscela (pensae ad una collsone decentata): d AB A + ( d d ) Inolte pe sstem non deal, anno aggunte le foze attatte ntemolecola, che gocano solo sul dameto d collsone, n quanto gaze ad esse l lbeo cammno medo s accoca. B Cono collsone nel caso deale Caso eale: foze attatte deano taettoa È mpotante sottolneae che nella tattazone da no effettuata l peso molecolae medo e l dameto d collsone non dpendono dalla fazone molecolae de due component nella mscela peché samo nteessat solo alla dffusone d A n B e agl ut ta coppe d patcelle; un metodo pù gooso consdeando sa ν che α poteebbe a defne le due gandezze M e d n funzone della fazone molecolae. Nel caso d mscele, po, è possble aee una stma gossolana, facendo la meda molae o massa delle dffustà de sngol component Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

128 44. Popetà ne lqud ffustà temca: pe quel che guada la dffustà temca ne lqud odna, nece, s assume che la dstanza fa cent delle sfee gde sa cca pa al loo dameto d (dstanza ta due bacent); l enega temca (cnetca) n un sstema condensato ene, edentemente, tasfeta pe uto. Pecò, la eloctà caattestca delle azon molecola d tasfemento è quella degl ut u, mente la dstanza caattestca è quella alla quale l tasfemento enegetco aene pe uto ( d ): non s necessta d uno spostamento fnto, ma bastano le bazon. La eloctà d uto può essee stmata da un alto fenomeno che è anch esso legato alla eloctà degl ut, coè la popagazone del suono. S fa, alloa, l assmlazone che, n un mezzo lqudo, u S. alta pate, tuttaa, la eloctà del suono n un lqudo omogeneo è noto, dall acustca, essee pa a cca (essendo ĉp ĉ pe lqud): S. ρ p S può anche affemae che, nel caso de sold omogene, n geneale, non sono state sluppate delle teoe suffcentemente estese; s può soltanto de che la dpendenza dalla composzone è molto mpotante e che pe sold cstalln, nella maggo pate de cas, la conducbltà temca dmnusce con la tempeatua, mente s ossea un aumento pe sold amof, come sono molt efatta. Nel caso d metall allo stato fuso (ma anche allo stato soldo), l enega cnetca è taspotata anche da scam d eletton lbe, che nonostante abbano una massa molto pccola ( kg), possedono eloctà cne a quella della luce e dpendendo l enega cnetca dal quadato della eloctà l loo contbuto non è tascuable: un alta conducbltà temca è assocata anche ad un eleata conducbltà elettca (essttà elettca costante * α). I metall mglo condutto d caloe ed elettctà sono l agento, l ame e l allumno. ffustà mateale d un componente A n un lqudo: passando oa alla dffustà A,S (dffustà d A nella soluzone) d molecole ne lqud odna, s può popoe la teoa d Stokes- Ensten (qu, oamente, dotta alla sua essenza udmentale). Il lbeo cammno medo è, n questo caso d alto addensamento molecolae, la dstanza pe un momento fnto: al fne d dffondee nel lqudo (fase alquanto addensata) occoe che la molecola d dameto d to alloggo (coè un buco nella fase lquda, assmlable ad una gabba) n poszone adacente, e n gado d osptala. unque, doà muoes nel lqudo su una dstanza cca pa al suo dameto: cò sgnfca che l CAR d. La condzone d dffustà saà qund l passaggo dalla poszone nzale ad una catà contnua adacente. La eloctà caattestca cosponde alla eloctà con cu la molecola s sposta nella catà adacente a dstanza d. In questo momento, la molecola è assoggettata a due tp d foze, e dunque conolge l equalenza ta due tp d enega (o lao). L enega d momentazone taslazonale pe la molecola (dalla meccanca statstca) è l contbuto atto ( enega tasmessa alla molecola pe effetto delle bazon delle molecole che la ccondano) ed esso è pa a: 3 E ATT kt Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

129 (doe k costante d Boltzmann, pa a R/N a, con R costante de gas ). Nel taslae sulla dstanza d (dopo la quale s aesta), la molecola nconta la esstenza del flusso ccostante (come se esso fosse un contnuo, ecco l ntuzone d Ensten: le molecole che ostacolano l cammno sono cos numeose e cne da potes consdeae una fase contnua). Poché dmensonalmente (d) e eloctà d momento ( CAR ), la ea ncognta, sono tal che l numeo d Reynolds assocato è pccolssmo, la foza esstente che ene ncontata è data dalla legge d Stokes coè: F 3 RES πμ LIQ (μ LIQ scostà della mscela). Questa esstenza allo spostamento assobe oamente sulla dstanza d una enega E RES F RES d 3πμ LIQCARd. Tutta l enega tasmessa, s dsspa nel passaggo da un buco a quello adacente, così che ene E ATT E RES e coè: da cu, e, d conseguenza: CAR d 3 3πμ LIQ CARd kt, CAR kt d πμ LIQ d,m 3 CAR kt d 6πμ LIQ d Il coeffcente d dffustà cesce elocemente all aumentae della tempeatua n quanto la scostà dmnusce al suo ncementas. (questa fomula s può anche applcae pe dffusone d aeosol o nelle dspeson collodal, l suo lmte sta nella non applcabltà allo studo della dffusone d on n ambent onzzat, n quanto entano n goco delle enege elettostatche). Taspoto quanttà d moto: scostà cnematca. a ultmo, s pass alla esone non solo eduta, ma anche udmentale (e tuttaa con sultat coett) della Teoa douta a Eyng pe la pedzone della scostà cnematca ne lqud odna (coè semplc, non polmec, omogene, ecc.). Le molecole d quest lqud sono mmagnate polatomche. Il tasfemento d quanttà d moto (alla scala molecolae) ha luogo pe meto d otazon estene (contbuto pncpale) e de mot taslazonal (ut) delle molecole. La dstanza su cu esso tasfemento aene può essee dunque anche molto leante (se paagonato a damet molecola). In questo caso è l CAR la ea ncognta, tuttaa se s ndca con f la fequenza d popagazone del meccansmo, la dstanza d popagazone saà ottenuta come l CAR /f. unque, ν L /3 l CAR. Quanto a, dalla 3 f meccanca statstca s può desumee che 3 m kt (con m massa molecolae) e qund: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

130 kt 3. Sosttuendo, ene m ν L kt mf. La fequenza del fenomeno è quella tpca della teoa kt E dello stato d tanszone, coè, pù banalmente, quella cospondente a V f ep (h h RT costante d Planck). Sosttuendo nella espessone d ν L, s elde kt, e coè: ν L h m E V ep RT E è l enega d attazone pe l pocesso d tasmssone degl sfoz scos. Essendo, sostanzalmente, legata alle otazon estene delle molecole polatomche, può essee stmata come una fazone pa a, cca, /3 della entalpa molae d apozzazone: E Δ 3 V H VAP 45. Le ogn e la natua della tubolenza. Ne paagaf pecedent, sono stat tattat pe lo pù poblem d moto lamnae: s è sto che le equazon elate a questo tpo d moto sono note e che, pe un ceto numeo d cas semplc, è sempe possble calcolae, n modo elatamente apdo, la dstbuzone delle eloctà e d alte quanttà ad essa connesse. L'unco ostacolo che s pesenta nell'applcazone d queste equazon è appesentato dalle dffcoltà matematche che s ncontano ne sstem n moto lamnae con pù component non nulle delle eloctà. S edà qu che non sono dsponbl de metod patcolamente semplc pe la detemnazone de pofl d eloctà nel caso d moto tubolento, nonostante che oamente le equazon d contnutà e quelle caattestche del moto s applchno anche nel caso d moto tubolento; cò è compensble n quanto le dmenson mede degl aggegat d fludo che s geneano nella tubolenza sono gand n confonto al cammno lbeo medo delle molecole. Quelle equazon, se potesseo essee solte, daebbeo alo stantane delle eloctà e della pessone, che nel caso d moto tubolento sono fluttuant egolamente ntono a loo alo med. ata tuttaa la non lneatà ntnseca nsta ne temn nezal contenut nell equazone d moto, le soluzon stantanee e local non possono essee calcolate, ed è stato qund necessao sluppae alt metod. S mosteà come le equazon d aazone possano essee medate n un bee nteallo d tempo pe ottenee le stesse equazon "medate nel tempo"; queste equazon danno alo med delle dstbuzon delle pesson e delle eloctà. La sola dffcoltà consste nel fatto che l'equazone del (t) moto medata contene la componente del flusso d quanttà d moto tubolenta τ y : mente nel caso d moto lamnae le component dello sfozo poteano essee espesse medante la legge d (t) Newton, le τ y deono, adesso, essee tattate desamente. A causa del momento dsodnato, caotco, che ha luogo nel moto tubolento, è logco attendes de pogess solo da que metod che tengono conto del moto dsodnato e delle legg del caso. A tutt'ogg non c'è una teoa statstca goosa della tubolenza che sa completamente soddsfacente, peò molta stada è stata fatta nell'ndagne teoca spementale delle quanttà che possono, n ultma anals, essee spegate da qualsas teoa statstca Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

131 S penda oa n consdeazone l equazone d moto d un fludo (equazone d Nae-Stokes), anche nella esone semplfcata pe flud newtonan (ρ,μ costant): () l ρ τ p + ρg μ p+ ρg t (l ndce pe l moto lamnae). L'equazone sctta dce che ogn pccolo elemento d fludo ene acceleato a causa delle foze che agscono su d esso; s toa, n alt temn, la seconda legge d Newton della dnamca nella foma: (massa) (acceleazone) (somma delle foze). S lea, qund oamente, che l blanco della quanttà d moto sa pefettamente equalente alla seconda legge d Newton. Tale equazone è tpcamente non-lneae e la non lneatà è contenuta nel temne deata sostanzale le cu poezon nelle te dezon dello spazo sono, pe,y,z: t t y z 3 + k + + y + z k La non lneatà ntoduce anche la possbltà che, n un ceto campo de paamet caattestc delle equazon, non esstano soluzon dell equazone d moto stessa. Pe detemnae lmt d esstenza delle soluzon s coe all admensonalzzazone dell'equazone d moto, che, pe esempo, può essee effettuata utlzzando una tattazone pe odn d gandezza: V V p L L L ρ μ + ρg. dendo temn nezal e quell scos, s edenza l numeo d Reynolds che è l paameto caattestco del egme d moto: n un detemnato nteallo d alo del numeo d Reynolds l moto può essee stazonao e stable, mente al d fuo d esso non esste alcun moto stable ed odnato. Il numeo d Reynolds msua, come sto, l appoto fa temn nezal (non lnea) e temn scos (lnea). Poché la non lneatà delle equazon è legata al temne nezale, è alloa ntuto che s abba nstabltà del moto pe nume d Reynolds suffcentemente alt. S gustfca, così, qualtatamente l esstenza d un numeo d Reynolds ctco al d sotto del quale l moto è stable e d un numeo d Reynolds ctco al d sopa del quale non lo è affatto. Il concetto d stabltà è analogo a quello della statca delle costuzon, della meccanca azonale e della temodnamca. Un sstema s dce n equlbo stable se, a seguto d petubazon ad esso mposte, s pota nella confguazone ognaa, al cessae d queste. S dce nece nstable se, sottoposto ad una petubazone, anche d pccola enttà, s allontana ndefntamente dalla confguazone nzale, potandos n condzon non coelabl ad essa né alla petubazone mposta. Quest concett algono non solo pe sstem statc, ma anche pe sstem dnamc, qual ad esempo eatto chmc o flud n moto stazonao. Facendo femento popo a quest ultmo, sono stat ndduat due nume d Reynolds ctc, uno nfeoe ed uno supeoe (che sono funzone, n geneale, della geometa del sstema). Il numeo d Reynolds ctco nfeoe ndca l lmte al d sotto del quale l moto stazonao è stable pe qualunque ampezza del dstubo ntodotta. Quello ctco supeoe, nece, ndca l lmte al d sopa del quale anche una petubazone nfntesma può dstuggee lo stato d egme. Nella zona ta ess compesa, detta d tanszone, s può aee eentualmente moto stable, se s etano delle gosse petubazon. In tal condzon, è dffcle peedee a po la confguazone fludodnamca che effettamente s stablà ed è, qund, oppotuno etae d pogettae appaecchatue destnate ad opeae n questo campo Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

132 Al d sotto d Re c, l moto ha stuttua d egolatà pe eloctà e pesson e s muoe secondo lnee d coente ad andamento egolae: s muoe, coè, come pe lamne nettamente dentfcabl e poducbl (moto lamnae). Il egme che s nstaua al d sopa del numeo d Reynolds ctco non ha nece alcuna attnenza con un egme stazonao: esso saà, n temn d eloctà e d pesson local, del tutto caotco e non detemnable (coè le equazon che descono l moto non sono solubl). Il egme d moto tubolento può, petanto, essee affontato solo facendo coso a consdeazon d tpo statstco. L assetto d moto tubolento sulta pù stable quando quello lamnae non lo è pù ed è tale da gaante, al d sopa del numeo d Re c, la massma dsspazone, soddsfacendo qund l secondo pncpo della temodnamca. Il moto tubolento, pe l quale alo d pessone e eloctà local stantane non sono defnbl, possede delle popetà mede tempoal estemamente sgnfcate: mente n esso non è asscuata nessuna poducbltà locale stantanea, è nece asscuata una poducbltà meda tempoale, senza la quale non saebbe possble alcuna pedzone elata a questo tpo d moto. La meda s ntendeà fatta su nteall d tempo abbastanza gand, spetto al peodo delle fluttuazon tubolente, da asscuae la poducbltà de alo medat local. Le gandezze fluttuant (eloctà e pessone) possono essee appesentate da una see d contbut, tutt funzone del tempo. Ad uno d quest contbut è assocato un peodo caattestco pù gande degl alt (peodo fondamentale), al quale sono collegabl tutt peod degl alt contbut (come fazon del pecedente). E come se esstesse una fequenza fondamentale alla quale è assocable un tempo caattestco della tubolenza. Medando su tale tempo pesson e eloctà, s ottengono gandezze che, pe moto globalmente stazonao (coè con pesson e eloctà costant al contono), sultano medamente stazonae. Pe calcolae alo stantane puntual delle aabl n goco, a alo medat s deono soappoe de contbut fluttuant, che aano localmente n funzone del tempo. Nello stato d tanszone, l fenomeno è eso pù complcato dalla pesenza d esstenze ntene che hanno este analoga a quella delle enege d attazone. Le consdeazon fatte algono anche se l moto è aable nel tempo, puché le aazon del sstema abbano luogo su temp lagamente supeo a peod massm delle fluttuazon tubolente. Un moto macoscopcamente aable pesenteà maggoe popensone allo sluppo della tubolenza quanto pù l tempo caattestco delle sue aazon s acneà al peodo popo delle fluttuazon tubolente. Poché la tubolenza assole la funzone d dsspae maggo quanttà Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

133 d enega conolte nel momento, l suo nnesco è legato stettamente all esstenza d foze scose (dsspate) contapposte a foze nezal (conseate). ato che le foze scose sono legate a gadent d eloctà (che pesentano genealmente l loo massmo n possmtà delle paet solde), s può gossolanamente affemae che sono popo gl ostacol sold nel fludo a geneae tubolenza (che, po, s popaga e sluppa a dstanza della paete). Raylegh dmostò, appunto, che condzone necessaa pe l nnesco della tubolenza nello stato lmte pano lamnae è l esstenza d un punto d flesso nel poflo della componente d eloctà paallela al pano. È anche noto che la tubolenza n un tubo scabo sa legata alle dmenson della scabostà. S not che, n un moto n egme tubolento, al fluttuae della eloctà anche composzon e tempeatue fluttuno (e qund anche le gandezze temodnamche che da esse dpendono, coè aabl d stato e eloctà d eazone). Le equazon ndefnte d blanco d quanttà d moto, ma anche quelle d matea ed enega non hanno, n base alle consdeazon fatte, alcuna soluzone detemnstca nel campo tubolento. a esse, tuttaa, s deono pote caae almeno delle nfomazon guadant alo med local (d eloctà, pessone, composzone e tempeatua); è dunque spontaneo opeae su quelle equazon una medazone, onde n esse fguno solamente gandezze tubolente. Il tempo caattestco d medazone doà essee suffcentemente gande spetto a quello tpco delle fluttuazon tubolente e suffcentemente pccolo spetto al tempo d aazon sgnfcate de mot mcoscopcamente aabl. Le gandezze che s oglono medae nelle equazon sono dese, pecò è oppotuno stable un ceto numeo d popetà geneal dell opeatoe medo tempoale. ata l mpotanza dell opeazone d medazone tempoale, Reynolds mse a punto alcune egole pe l calcolo d tal mede tempoal. Consdeata una geneca gandezza scalae A (t, p) (funzone d tempo e poszone), s defnsce meda tempoale sull nteallo T: t + T A (t, p) A( τ, p)dτ. T La gandezza A fluttuante, a causa della tubolenza, può essee consdeata somma d due contbut: A A + A' con A meda e A' fluttuazone ; algono le seguent popetà: A' 0, A A, A B AB. L opeatoe medazone è ntecambable con tutt gl opeato lnea, n patcolae con gl opeato d deazone e somma: A A t t ; A k A k t ; ( A + B) k A k B + Anche pe un ettoe c algono le stesse popetà. conseguenza, è possble anche l ntecambabltà con l opeatoe: A A c c. Pe quel che guada, nece, l podotto d gandezze fluttuant, scala o ettoal, la meda tempoale dà luogo a due contbut: AB A B + A' B'. S not anche che : A ' B' AB' A' B. La medazone dell opeatoe deata sostanzale dà luogo a due contbut: k Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

134 A t A A A A + + A + A + ' A' t t t A + t ( A' ' ), doe s è defnto: A t A + A t (s cod che, essendo potzzato l fludo ncompmble, l equazone d contnutà c dce che 0 e, qund, anche che ' 0 ). Applcando l opeatoe meda e le sue popetà fnoa ste all equazone d Nae-Stokes, s ottene: (l p g ) ρ μ + ρ τ p + ρg, t doe l apce l ndca l tensoe degl sfoz n egme lamnae; osseamo, peò, che: AB ( A + A')( B + B') AB + A' B + B' A + A' B' AB + A' B' (nfatt, sa A' B che B' A s annullano, dal momento che, pe defnzone, la meda d gandezze fluttuant è dentcamente nulla). Il temne A ' B' s annulleebbe soltanto nel caso n cu le due gandezze fluttuant A e B fosseo n opposzone d fase (sto che, n geneale, la meda tempoale d una gandezza quadatca non può alee zeo). Tonando alla meda del pmo membo dell equazone d moto: ρ t ρ t ' + + ρ( ' ) s dmosta, seendos dell equazone d contnutà ed aalendos delle popetà dell opeatoe ( t) Nabla, che: ρ ( ' ') ( ρ' ' ) τ. S sono coè edenzat degl sfoz aggunt nella dezone della fluttuazone, dout alla tubolenza, dett sfoz d Reynolds. Tal sfoz s sommano agl sfoz scos (quell contassegnat dall apce l), così da geneae un tensoe degl sfoz totale (fatto d ben noe component), caattestco del moto del fludo n egme tubolento: τ (l) + τ (t) τ (totale). Petanto, l equazone d Nae-Stokes pe l egme tubolento poettata nella dezone assumeà la seguente foma: ρ t ρ t + ( ρ' τ ' ) μ (totale) p p + ρg + ρg. ρ t + τ (t) τ (l) p + ρg Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

135 Come s è auto modo d notae, la medazone tempoale eseguta sul temne d taspoto conetto (coè d /t) ha geneato un temne d taspoto conetto medato e, soapposto a questo, uno specfco contbuto legato alla fluttuazone tubolenta d eloctà. al punto d sta fsco, cò cosponde a consdeae che, n egme tubolento, al taspoto conetto (quale ene ealzzato dalla eloctà medata) s soappone un ulteoe contbuto d taspoto, che è specfcamente douto all esstenza delle fluttuazon tubolente. Come gà n pecedenza affemato s può petee che, n egme tubolento, qund, taspot d matea, enega e quanttà d moto sono molto pù ntens d quell n moto lamnae. Rassumendo, le equazon d taspoto medate mantengono la stessa stuttua delle equazon ognal, con le sole, seguent, modfcazon: - le gandezze stantanee (non detemnabl n egme tubolento) sono sosttute da gandezze medate. - le eentual funzon d geneazone stantanea (non lnea) d matea e caloe sono sosttute n pma appossmazone, da funzon delle gandezze medate (solo n cas specal occoe tenee conto d contbut aggunt). - a fluss specfc molecola medat s addzonano fluss specfc tubolent (n patcolae agl sfoz scos s assocano sfoz tubolent, anche denomnat sfoz d Reynolds). La scttua delle equazon ndefnte n egme tubolento, facendo uso delle gandezze medate, è così usuale ed netable che, spesso, non engono neppue ndcate le sopassegnatue d medazone, data la loo oetà. È anche ntuto che le fluttuazon d tutte le gandezze sono causate da fluttuazon del ettoe eloctà, causa pmaa che pooca fluss addzonal tubolent d quanttà d moto, matea e caloe. Gl element d fludo s spostano da zone nelle qual la quanttà d moto, d caloe e d matea sono maggo eso zone doe sono meno eleate. La conseguenza è che anche pe fluss tubolent dee esstee un legame con gadent che l poocano. Conducbltà temca, scostà e dffustà mateale non saanno, peò, pù gandezze scala, dpendent solo da T,P e composzone, bensì funzon del campo d moto e della geometa del sstema. Pe te tp d taspoto e possble scee, tascuando temn d geneazone: (totale) (totale) (l) (t) ρ τ d τ τ + τ μ + ( ρ' ' ) t ω (totale) (totale) (l) (t) ρ j j j + j ( ρ,m ω ) + ρ' ω ' t T (totale) (totale) (l) (t) ρ + (l) ĉ q q q q p q + ρĉp't' t Consdeando anche temn d geneazone pe l equazone d taspoto d quanttà d matea, sctta pe gandezze mola, s ha: NC ω (totale) ρ j + ν j R j(t,ck ), t doe componente n esame, j eazone j-esma, k eagente k-esmo Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

136 In geneale R j(t,c k ) R j(t, ck ) peché anno consdeat anche de temn aggunt, ma se le enege d attazone e calo d eazone sono pccol, s può consdeae che contbut font da contbut n pù sano tascuabl, da cu s può scee: R j(t,c k ) R (T, c ) j k 46. Moto tubolento penamente sluppato ne condott e pofl unesal d eloctà. I poblem tattat fnoa guadano essenzalmente moto scoso n assenza d gadent e moto lamnae. S è sto, po, come sa possble medae le equazon d blanco della quanttà d moto nel caso tubolento, al fne d utlzzale pe dedue pofl d eloctà medat. S edà, adesso, l poblema tpo del moto tubolento penamente sluppato nelle tubazon. Lo scopo è quello d tattae l'effetto della tubolenza sulle condzon d moto e sullo scambo temco e mateale all nteno delle tubazon. L'esempo pù semplce, meglo sluppato e da pù tempo studato è, appunto, quello del moto tubolento completamente sluppato ne condott ccola. In ealtà, questo studo fonsce, come al solto, nfomazon che possono essee estese ad alte stuazon, anche appaentemente molto dese, è non può essee petanto consdeato lmtato (basteà applcae, come oma ben noto, l empco pncpo d smltudne estesa o ntodue l concetto d dameto daulco). Pma d comncae, codamo che, n egme caotco, agl sfoz scos lamna anno a sommas quell d Reynolds (dout, coè, alla tubolenza): τ (T) j μ (t) Δ j τ (l) j μδ ρ ' ', doe (t) μ appesenta la scostà tubolenta, una spece d tensone aable n tutte le dezon dello spazo; essa, a dffeenza della scostà lamnae, non è funzone della tempeatua, della pessone e della composzone del sstema, ma dpende esclusamente dallo stato d moto del sstema stesso. La somma delle due dese scostà (lamnae e tubolenta) dà luogo alla scostà dnamca totale del sstema: j j μ (TOT) μ + μ (t) ν (TOT) ν + ν (t) (analogamente, essteà anche una scostà cnematca totale, data dalla somma de due contbut). Fatte queste pemesse, saà, dunque, possble espmee gl sfoz compless nel sstema (e, pe semplctà, suppoemo d aee a che fae con un solo gadente d eloctà): τ (TOT) y μ (TOT) d dy μ (l) d dy μ (t) d dy Secondo la tattazone d Pandtl, nel caso d moto tubolento n una tubazone possono essee dstnte te zone caattezzate da un deso compotamento fludodnamco: la pate centale, nteessata da molto penamente tubolento, una zona d tanszone e, nfne, una zona a moto lamnae n cnanza della paete (n cospondenza della quale, qund, la tubolenza s annchla). Nella tattazone che segue eà caattezzato l poflo d eloctà n cascuna d queste te dffeent zone. Se s conglobano n un solo addendo l gadente d pessone statca e quello dnamco, come gà sto tattando lo stato lmte, s ha, poettando lungo la dezone : Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

137 g Φ P p + ρφ ρ t τ L'assunzone d moto completamente sluppato (coè a pate zone d mbocco ), all nteno d un tubo a sezone ccolae d aggo R, sta a sgnfcae che ( ) (oe è la coodnata assale del condotto ed quella adale), coscché: doe: θ coodnata angolae e θ P P( ) (TOT) 0 dp d Δ P pedta d caco sulla lunghezza L. L'equazone d moto, poettata lungo l asse, dene alloa: ρ( + ) τ (TOT) dp d entamb gl addend al pmo membo, peò, s annullano, peché la è solo funzone d e non d e peché la componente adale (n base all equazone d contnutà) è dentcamente nulla. S caa, alloa, la seguente espessone (sctta n coodnate clndche): (TOT) d ( τ d ) ( τ è l unca componente del tensoe degl sfoz desa da zeo). S not come l pmo membo dell equazone sctta dpenda soltanto da, mente l poflo d pessone a lneamente solo lungo l asse : una funzone d dee, n alte paole, essee dentcamente uguale ad una funzone d e cò è possble solo quando entambe le funzon sono delle costant. Alloa, ndcando con L la lunghezza del tubo, s potà scee l tutto come segue: P d ΔP d ( τ L d dp d d (TOT) ΔP ) L Integando una olta questa banale equazone dffeenzale s ottene: ( tot) Δ P R ( tot) Δ τ P +costante τ R, L R L R essendo automatcamente nulla la costante d ntegazone. (TOT) Sulla paete lo sfozo ale τ τ, coè, pe /R, s ha che R Δp (TOT) τ w τ τw. L R w R Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

138 A questo punto, s seguà la tattazone seguta da Pandtl, l quale osseò che, n egme tubolento, pofl d eloctà subscono una busca aazone n possmtà della paete mente sono appossmatamente patt nella pate centale del condotto. Vsto che la maggo pate delle aazon d eloctà aene ben lontano dall asse del tubo, sulta pefeble sosttue la coodnata con la y, che ndca popo la dstanza delle paete dall asse : R R y R y R τ y R (TOT) ( ) τ w S comnc adesso ad analzzae pofl d eloctà nella zona d moto tubolento penamente (TOT) (t) (l) sluppato. Nelle cnanze della paete, s ha che τ τ + τ τ. Se, po, s tascua lo sfozo scoso spetto a quello tubolento (l che è lecto pe la zona penamente tubolenta), s ha (TOT) (t) che: τ τ τ. y y W Poché y 0, lo sfozo potà essee peso coettamente pa allo sfozo τ w sulla paete, petanto s aà: y y y W () l d μ dy τ w Integando s ha petanto: () l μ τ w y + cos tan te τ w y (la costante è pa a 0 doendo essee 0 pe y0). Moltplcando e ddendo pe la denstà s ha: μ () τ τ y y ρ ρν ν τw τw y y ρy * ρ ρ ν ν l 0 0 ρy * μ () l Lo sfozo sulla paete appesenta la esstenza del mateale al moto e, dmensonalmente, concde τw con l podotto della denstà pe la eloctà d attto al quadato: τw ρ * *. Tale ρ eloctà d attto è netablmente legata al fattoe d attto: τ W * f < >. ρ< > < > f * Intoducendo a questo punto una eloctà admensonale e una dstanza admensonale asse-paete, che assomgla ad un numeo d Reynolds sulla dstanza y: + * y + y * ν Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

139 s ottene: + y + pe 0 y + y 0 + y 0 +, che dà n foma admensonale l estensone dello stato lamnae è stato toato spementalmente pa a cca Zona d moto penamente tubolento. S affont oa l poblema d detemnae l poflo d eloctà nella zona d moto tubolento penamente sluppato. Se s tascua lo sfozo scoso spetto a quello tubolento (l che è lecto pe la zona penamente tubolenta): τ ( tot) ( t) In base alla fomula d Pandtl, che lega la scostà cnematca al modulo del gadente d eloctà: τ (t) d d ν k y l (doe y è la dstanza dalla paete e l è detta lunghezza d d d mescolamento) s ha, potzzando aldo un legame lneae fa sfozo e gadente d eloctà: τ ( ) d d d d t ρl Poché la eloctà meda n dezone dmnusce col cescee d alloa: d d d < 0 e d d d Pecò s ha: Posto po R-y s ha: ( t) τ ρl d d ( t) τ ρl d dy e con l'potes d Pandtl, l k y s ottene: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

140 τ ( ) d dy t ρky e sosttuendo l'espessone d τ ξρ (τοτ) pecedentemente ottenuta: ρ d ky τ0 y dy R Pe quanto non sa ndspensable, s commette un eoe pccolo pendendo un secondo membo y nece d τ 0 R : d ρky τ 0 dy a cu: d τ 0 y ± dy k (delle due soluzon s pendeà quella posta). La gandezza τ 0 /ρ è pa alla eloctà d attto * al quadato. Integando s ottene: ρ * lny + costante k La pena tubolenza s ha nella zona d là della cosddetta zona ntemeda o d tanszone. etto y lo spessoe della zona ntemeda,,l aloe della eloctà all'olo esteno della zona ntemeda, la costante ene alloa detemnata da: *, lny + costante k e pecò s ha: * y + ln pe y y, k y Intoducendo nuoamente le aabl admensonal + e y +,s ha qund: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

141 y ln C + lny pe y y k y k doe C ln y k + + La costante C è stata detemnata spementalmente e ale 5.5. Essendo po k0.4, s ha: ln y pe y y + Tale espessone sulta alda y + 30 (aloe detemnato spementalemente). Nella zona ntemeda (doe gl sfoz scos sono d odne d gandezza confontable con quell tubolent) ene postulato che la foma del legame funzonale + (y + ) sa la stessa della zona penamente tubolenta, coè: C +C3lny pe 5 y 30 Con C e C 3 costant da detemnas n modo che l poflo sult contnuo, coè s sald a quello dell'equazone del sottostato lmte lamnae pe: y + y e a quella dello stato tubolento pe: y + y + 30 Poché l'equazone sctta pe la zona penamente tubolenta dà: e s ha anche, nello stato lamnae, che: + 5 S deduce: ln 30 4 pe y 30 + C +C3ln30 4 C-3 + C C +C3ln con cu lny pe 5 y 30 S può mmedatamente constatae che all'olo esteno del sottostato lamnae anche le tangent del poflo d eloctà, calcolato con le espesson ottenute (sottostato lamnae o zona ntemeda) concdono; nfatt s ha: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

142 + + d d 5 e dy dy y Questa condzone anz può see pe calcolae l aloe d y + 0 spementalmente. se esso non fosse noto Rassumendo sultat pecedent, pe qualsas aloe del numeo d Reynolds puchè n campo suffcentemente tubolento (Re>0000) e pe tub lsc, l poflo d eloctà unesale, n condott ccola ale: y pe 0 y lny pe 5 y lny pe 30 y L'equazone è suffagata da numeos dat spemental anche se teocamente non è completamente soddsfacente. Essa costtusce la base pe dedue pofl d tempeatua e coeffcent d scambo temco n moto tubolento all'nteno de tub. Una mgloe appesentazone de dat spemental e una cua teocamente pù soddsfacente, peché elmna una dscontnutà analtca almeno ta la zona lamnae quelle ntemede, s potebbe ottenee faclmente utlzzando pe la scostà cnematca tubolenta la fomula d essle. L'nteento della ugostà secondo quanto detemnato da Nkuadse lasca quas nalteata la foma de pofl unesal d eloctà; n patcolae nella zona tubolenta l'equazone del poflo d eloctà è la seguente: + +.5lny + f (ugostà) Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

143 48. Glossao. Meccanca de flud: è l settoe della fsca che studa l compotamento de flud, ossa delle sostanze lqude e gassose, dal punto d sta statco e dnamco. I flud possedono la popetà d flue, coè d oppoe solo una debole esstenza a foze che tendono a fa scoee loo stat l uno spetto all alto. La meccanca de flud è fondamentale pe des setto delle scenze applcate: ngegnea chmca, cle e meccanca, aeonautca, meteoologa, achtettua e ngegnea naale, oceanogafa. S possono dstnguee due am des della meccanca de flud: la fludostatca, a sua olta dstnta n statca de gas e dostatca, che studa le condzon d equlbo de flud n quete, e la fludodnamca, dsa n aeodnamca e dodnamca, che s occupa n geneale de flud n moto. Il temne dodnamca s applca pù popamente al flusso d lqud o al flusso a bassa eloctà d gas che possono essee consdeat ncompmbl. L'aeodnamca, o dnamca de gas, ndaga nece l compotamento de gas quando le aazon d pessone sono suffcentemente alte da non pemettee d tascuae gl effett della compmbltà. Ta le numeose applcazon della meccanca de flud, sono da menzonae la populsone a getto, le tubne, compesso e le pompe. Lo sfuttamento della pessone dell'acqua e dell'olo n ngegnea è nece un agomento d competenza dell'daulca. Fludo: è un copo mateale che, a causa della mobltà delle amass d molecole che lo compongono, può sube delle gand aazon d foma sotto l azone d foze d mnma enttà, che tendono a dentae tascuabl quando la eloctà con cu aene la defomazone tende ad annullas; n patcolae, un fludo n quete non oppone alcuna esstenza a cambament d foma. I flud s possono schematcamente dstnguee n due gand class: lqud e gas. Lqud: flud ne qual le molecole sono così addensate, sa pue n modo caotco; a causa del gado d addensamento ess oppongono gande esstenza alle aazon d olume; sono, petanto, poco compmbl anche se assolutamente defomabl. Gas: flud ne qual le molecole sono, n geneale, così abbastanza dstanzate spetto alle dmenson delle stesse, che sono n gado d aae noteolmente l popo olume anche a causa d foze d modesta enttà: mmedata conseguenza è l fatto che un gas occupa tutto lo spazo del ecpente ento cu esso s toa; a dffeenza de lqud, dunque, ess sono faclmente compmbl. Flud semplc e compless: pm sono appesentat da lqud e gas pu, mente alla seconda categoa appatengono tutt que sstem che appaono macoscopcamente omogene, ma che, n ealtà (dal punto d sta mcoscopco), non lo sono affatto (s pens, pe esempo, alle sospenson o emulson d polme, alle soluzon, al sapone o al eto, che possono essee tenut lqud pescos). Foze d massa: compendono tutte le foze estene che engono esectate da alt cop a dstanza su tutte le patcelle del sstema, popozonalmente alla loo massa, e d noma sono espesse come foze pe untà d massa (bast pensae alla foza d gatà, alla quale cosponde l peso della massa fluda). Foze d supefce: compendono, nece, tutte le foze che engono esectate su una pate qualsas del sstema contnuo attaeso la sua supefce d contono; tal foze, dette anche sfoz, sono espesse, nel sstema patco, n kgp/m. La foza elementae agente sull elementno nfntesmo d supefce ds ene spesso anche chamata spnta elementae su ds. Lo sfozo è costtuto da una componente nomale ed una tangenzale all elemento d supefce su cu agsce. La maggo pate de flud non soppota, n condzon usual, appezzabl sfoz nomal d tazone; d noma, pecò, nella meccanca de flud aemo a che fae esclusamente con sfoz nomal d compessone. enstà: è la msua della massa contenuta nell untà d olume: la sua untà d msua nel S. I. è, petanto, l kg/m 3 ; l peso specfco, nece, fonsce l peso nell untà d olume e pecò, nel Sstema Intenazonale, è msuato n N/m 3. Fa le due gandezze sussste la ben nota elazone: Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

144 ρg, essendo g l modulo dell acceleazone d gatà (pa a cca m/s ). La denstà ed l peso specfco d un fludo sono funzon sa della pessone p che della tempeatua T (olte che della composzone); la elazone ρ ρ(p,θ), che espme questo fatto, s desgna comunemente come equazone caattestca o equazone d stato del fludo (ad un solo componente). Nel caso de lqud, tuttaa, l nfluenza della pessone sulla denstà è assa pccola ed n geneale tascuable nel campo delle specfche applcazon: n tutt lqud la denstà (e qund anche l peso specfco) dmnusce all aumentae della tempeatua (fa eccezone, come ben noto, l acqua, la cu denstà pesenta un massmo pe T 4 C). Compmbltà: tendenza d un fludo a modfcae l suo olume (e qund la sua denstà) al aae della pessone alla quale è assoggettato. Pe lqud, consdeabl n pma appossmazone ncompmbl, è lecto ammettee che la denstà ed l peso specfco sano ndpendent dalla pessone (nel caso d pocess sotemc, l equazone d stato de lqud s duce alla semplce condzone ρ costante); pe gas, nece, l equazone caattestca alla quale d noma s fa femento è quella, ben nota, de gas pefett: pv n RT, oe R è la costante de gas pefett, n è l numeo d mol d gas contenute nel olume V. Malgado gas sano, pe defnzone, flud compmbl, l loo momento può essee studato come se s tattasse d flud ncompmbl tutte le olte che non compota fot aazon della pessone, e qund della denstà. Tensone supefcale: è la popetà della supefce de lqud d compotas come una membana elastca; l fenomeno è douto alle foze d coesone ta le molecole del lqudo (coè quelle che chedono a lqud d eapoae con assobmento d enega) Vscostà o attto nteno: è la esstenza che s nconta quando s fa scoee una pate d un fludo spetto alle pat cne (l suo neso è la fludtà); la sua untà d msua nel S. I. è l Ns/m (anche se, non aamente, ene espessa con l untà d msua del sstema C.G.S.: Pose 0. Ns/m ). Pe la maggo pate de flud che nteessano le applcazon patche, la scostà μ pesenta un aloe patcamente costante pe date condzon d tempeatua, coè, pù pecsamente, ndpendente dagl sfoz sa tangenzal che nomal: flud pe qual s efca questa popetà engono chamat newtonan (s pens, ad esempo, a tutt gas ed a quas tutt lqud omogene non macomolecola). Come gà accennato, la scostà d un fludo dpende dalla tempeatua: pe gas s è toato che μ aumenta (debolmente) secondo una legge del tpo μ AT / /( + B/T) (essendo T la tempeatua assoluta); ne lqud, al contao, la scostà dmnusce all aumentae della tempeatua, secondo legg d aazone pù complesse. Accuate ecent espeenze hanno mostato che la μ, al contao d quanto ea stato tenuto nzalmente, aa anche con la pessone alla quale l fludo è sottoposto: l nfluenza della pessone, peò, è assa lmtata e s ende appezzable soltanto pe aazon dell odne d mglaa d N/cm. d noma, qund, essa ene tascuata nel campo d nteesse: n ogn caso, s tatta d un aumento della scostà con la pessone. Vscostà cnematca: è pa al appoto fa la scostà μ e la denstà ρ; è msuata n m /s. Assobmento de gas: è la popetà caattestca de lqud d pote assobe detemnate quanttà de gas con cu engono a contatto attaeso una supefce lbea; la ben nota legge d Heny pecsa come l olume d gas che può essee assobto nell untà d olume del lqudo sa ndpendente dalla pessone, mente la massa del gas assobble, a patà d tempeatua, sult essee dettamente popozonale alla pessone. Manometo (semplce): è l pù usato stumento atto a msuae la pessone n un punto, adatto pe un qualsas fludo: essenzalmente è costtuto da un tubo ad U, d cu una estemtà è collegata con l ecpente contenente l fludo e l alta è n comuncazone con l atmosfea; nella pate nfeoe del tubo ad U s dspone un lqudo con peso specfco supeoe a quello del fludo n esame (genealmente è mpegato del mecuo, con γ Hg N/m 3 ). Pe effetto dello stato d pessone del fludo nel ecpente, l lqudo manometco s pota a quote dese ne due am del manometo, e s può leggee faclmente l dslello Δ fa due mensch fomats Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano

145 Baometo: è lo stumento che msua la pessone atmosfeca, coè quella esectata dal peso dell atmosfea che c soasta. Pessone elata: è data dalla dffeenza fa la geneca pessone assoluta e quella atmosfeca: p el p ass p atm. Legge d Sten: peso n consdeazone un fludo n quete (soggetto uncamente all azone del campo gatazonale), ncompmble ed sotemo (qund la sua denstà è ndpendente dalla pessone e costante n tutta la massa fluda), ed ndcata con z la quota geodetca del geneco punto P (msuata al dsopa d un qualsogla pano ozzontale d femento), s dmosta essee alda p la seguente espessone: z + cost, detta equazone fondamentale della statca de flud pesant γ ed ncompmbl o legge d Sten. La gandezza p/γ è, al pa d z, una lunghezza e ene denomnata altezza pezometca; alla somma z + p/γ, nece, s dà l nome d quota pezometca. Tale equazone sta alloa ad ndcae che a tutt punt d un fludo pesante ncompmble n quete compete la stessa quota pezometca, l cu aloe è detemnato quando sa assegnata la pessone n un punto d data quota z; con cò sulta completamente ndduata la dstbuzone della pessone n tutta la massa fluda. La legge d Sten può anche essee espessa nel seguente modo: la pessone p esectata da uno stato d fludo è dettamente popozonale alla pofondtà h dello stato, alla denstà ρ del fludo ed all acceleazone d gatà g: p (ρg)h γh. Legge d Achmede: un copo mmeso n un lqudo è soggetto ad una foza olta eso l alto (spnta d Achmede) d ntenstà eguale al peso del lqudo spostato; se ndchamo la denstà del lqudo con ρ ed l olume spostato con V, la foza aà: F A ρvg mg. Legge d Pascal: affema che la pessone che ene esectata su una supefce qualsas d un lqudo s tasmette con la stessa ntenstà su ogn alta supefce a contatto con l lqudo, ndpendentemente da come questa è oentata. Equazone ndefnta del moto: espme le condzon d equlbo dnamco n ogn punto del campo. Equazone d contnutà: flette l pncpo d conseazone della massa nel sstema n esame. Equazone d stato: nddua l legame fa la denstà, lo stato d sfozo al quale s toa sottoposto l fludo e la sua tempeatua; d noma, consdeeemo pocess sotemc, coscché la tempeatua non compaà come aable: se l fludo può essee assunto ncompmble, l equazone d stato s duce alla semplce condzone ρ costante. Teoema della degenza (o d Gauss-Jodan): pemette d passae da un ntegale d supefce ad uno d olume, facendo uso dell opeatoe lneae nabla (capace d tasfomae una gandezza ettoale n una scalae equalente): A n ds A dv, S A oe A d(a) V A y + y A z +. z 49. Test consglat:. Ctn, G. Noseda, IRAULICA casa edtce ambosana, Mlano. Alfons, Os: Poblem d Idaulca e meccanca de flud - casa edtce ambosana, Mlano. G.K. Batchelo, An Intoducton to Flud ynamcs, Cambdge Unesty pess. Pncp d Ingegnea Chmca, Mao ente, Elseo Ranz, UTET. Fenomen d Taspoto, Bd R.B., Stewat W.E., Lghtfoot E.N., Casa Edtce Ambosana, Mlano Mao ente, Gula Bozzano Meccanca de Flud con Pncp d Ingegnea Chmca Poltecnco d Mlano