CAMPI DI FORZA CONSERVATIVI - ENERGIA POTENZIALE E POTENZIALE ELETTRICO

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1 CMPI DI OZ CONSEVTIVI - ENEGI POTENZIE E POTENZIE EETTICO Camp Vettoal Defzoe: u campo vettoale è ua egoe dello spazo, cu og puto è defto u vettoe. Ta camp vettoal d patcolae teesse fsca v soo camp d foza gavtazoale, elettca e magetca. No tatteemo camp d foza geeale e fe, l campo elettco geeato da ua caca putfome. avoo Defzoe: data ua patcella che s muove lugo ua lea u campo d foza, da u puto zale veso u puto fale, s defsce lavoo svolto dalle foze del campo sulla patcella che s muove lugo la lea data, la gadezza umeca che s ottee co le seguet opeazo: ) muovedos lugo la lea a pate dal puto zale veso l puto fale s fssao su d essa abtaamete, ell ode cu s cotao, + put,,, + modo che ed +; 3 + ) s cosdeao gl spostamet S,,...,, e pe cascuo d ess s pede l vettoe del campo u puto scelto a pacee el tatto d lea ta due estem dello spostameto; 3) dcado co l vettoe del campo scelto abtaamete lugo lo spostameto, e co + S lo stesso spostameto, s svolge la somma d tutt podott scala ta vetto foza e vetto spostameto elatv, ovveo s calcola che s scve pù stetcamete così S ; ) s pocede oa alla scelta d ulteo put lugo la lea oetata e s pete l pocedmeto dal puto. Queste opeazo coducoo ad u pocesso seza fe pe la atua cotua della lea, peò, se esste u umeo a cu le somme d sopa s avvcao sempe pù co l pocedee delle scomposzo della lea tat spostamet sempe pù pccol, uesto umeo è l lavoo svolto dalla foze del campo sulla patcella che s muove lugo la lea data da veso e s dca co lm, dove S max è l valoe massmo de modul degl max spostamet u dato passo del pocedmeto d calcolo del lavoo. Possamo oa fae ua cosdeazoe tutva d caattee geeale: ualuue sa la scelta de put sulla lea, l pocesso d calcolo d cu sopa pota alla costuzoe d ua polgoale costtuta dalla successoe degl spostamet da u puto al successvo, ual sultao geealmete va va sempe pù pccol e tal da cofodes sempe pù co la lea data. Quest spostamet tedoo ad assumee la dezoe della etta tagete alla lea el puto zale dello spostameto. a cosdeazoe oa fatta c fa vee mete che pe l calcolo del lavoo s possa utlzzae ua successoe d spostamet così pccol da essee, cascuo d ess, dstguble da u pccolo tatto d lea avete la sua stessa oge. Quest spostamet elemeta, taget alla lea, l chameemo spostamet ftesm e l deoteemo co l smbolo ds.

2 Camp d osa Cosevatv - Eega Potezale e Potezale Elettco Ossevamo po che l lavoo svolto dalle foze del campo su ua patcella che pecoe ua lea u seso avà sego opposto a uello svolto dalle foze del campo uado la patcella pecoe la stessa lea ell alto seso ovveo. Ifatt la somma: () otteuta ad u ceto passo del pocedmeto d calcolo del lavoo, vetedo solo l veso d pecoeza della patcella, mateedo la stessa decomposzoe della lea e lo stesso vettoe foza pe og tatto d lea, dvee: co ' ' + ' ' ' ' () ', ', ' 3,..., ', e ', ', ' 3,..., ' cu s osseva che tem delle somme () e () soo a due a due oppost, pe cu la somma d ftesm tatta da () ds dvee esattamete opposta alla somma degl ftesm tatta da () ovveo ds ( ds) ds' '. Camp d foza cosevatv Defzoe: s dce che u campo d foza è u campo d foza cosevatvo se l lavoo svolto dalle foze aget su ua patcella che s muove da u puto veso u puto del campo, o dpede dalla taettoa seguta dalla patcella, ma solo dalla poszoe zale e da uella fale. I camp cosevatv elettostatco e gavtazoale, vestoo ua patcolae mpotaza fsca, olte pe ess esste ua elegate tattazoe matematca gaze alla possbltà d defe el loo teo ua fuzoe scalae de put P dello spazo, chamata spettvamete potezale elettco e potezale gavtazoale, dcata co V ( P), che cosete d effettuae ua otevole semplfcazoe de calcol eet l lavoo svolto dalle foze del campo sulle patcelle. Caattee cosevatvo de camp d foze cetal Defzoe: u campo d foze dove tutt vetto del campo appategoo a ette passat pe uo stesso puto dello spazo (detto ceto d foza), avet tutte l veso detto el ceto d foza o l veso opposto, e l cu modulo dpede dalla dstaza dal ceto d foza, è detto campo d foza cetale. Pe esempo l campo elettco podotto da ua caca putfome Q postva, è adale co ceto la caca, ed è detto el veso che s allotaa dalla caca. Questo campo agete su ua caca putfome è duue u campo d foza cetale. Dmostamo oa che è cosevatvo. Il agoameto seguto uesto caso può essee esteso ad og + Q + campo d foze cetal. Immagamo d pedee ua caca postva e d spostala da u puto ad u puto del campo elettco geeato da ua caca putfome Q pue postva, fema. Mosteemo oa che l lavoo svolto dalle

3 Camp d osa Cosevatv - Eega Potezale e Potezale Elettco foze del campo sulla caca o dpede dalla lea seguta da ma solo dalla poszoe zale e fale, o detto alt tem, mosteemo che uesto campo elettco è cosevatvo. Cosdeamo uo spostameto ftesmo; el podotto scalae ds, ds cotbusce solo co la sua compoete ds' detta come l campo elettco, ovveo adale, petato l lavoo ftesmale ds è uguale al lavoo svolto dalla foza del campo sulla caca uado uesta s sposta pe u tatto uguale alla compoete ds ' d ds. Quato abbamo appea asseto vale pe og lavoo ftesmale ds, petato, l lavoo sulla caca svolto dalle foze elettche del campo uado uesta s muove da a, essedo la somma (fta) d lavo ftesmal, dpedeà ach esso solo dalle compoet ftesmal degl spostamet lugo le dezo adal co ceto Q e dalle foze aget su cascu tatto ftesmale secodo ua legge oppotua della dstaza dal ceto d foza, deftva ud l lavoo dpedeà solo dallo spostameto adale complessvo ovveo da e ( aggo della sfea d ceto Q e passate pe, aggo della sfea d ceto Q e passate pe ) e ud dalla poszoe d e d e o dal cammo seguto da. Eega potezale Defzoe: fssato u puto, s defsce eega potezale d ua data patcella posta u puto P d u campo cosevatvo, l lavoo che le foze del campo compoo sulla patcella uado uesta s sposta lugo u cammo ualuue dal puto P al puto d femeto. Idcheemo l eega potezale d ua patcella co U ( P) oppue co ( P) U se dal cotesto s capsce a uale patcella è assocata l eega potezale. I smbol: ( P) P U a fuzoe eega potezale, è defble solo e camp cosevatv e la sua mpotaza sede el fatto che l lavoo svolto dalle foze del campo sulla patcella che s sposta dal puto la puto lugo u cammo ualuue è data semplcemete dalla dffeeza delle eege potezal che assume el puto zale e fale, ovveo: U ( ) a elazoe pecedete s cava mmedatamete se s cosdea pe l calcolo del lavoo svolto dalle foze del campo su, ua lea ta e passate pe l puto d femeto (fgua basso a ssta). U U - U + U - U a fuzoe eega potezale d ua patcella è defta a meo d ua costate addtva k. Mosteemo cò ossevado che uado s fssao put d femeto dves pe l eega potezale P), scelte dvese d compotao valo dves d P). Oa se azché cosdeae l puto d femeto e ud l eega potezale P), s cosdea l puto e la elatva eega potezale U (P) della patcella ello stesso puto P, U (P) e P) soo legat ta loo dalla semplce elazoe: U '( P) P) + k dove K è ua costate, uguale al lavoo svolto dalle foze del campo sulla patcella uado uesta s sposta da a fatt: U' ( P) + P) k + P ' P ' dove s è scelta pe l calcolo d U (P) ua lea passate pe che usce P co (fgua alto a desta). 3

4 Camp d osa Cosevatv - Eega Potezale e Potezale Elettco avoo del campo elettco geeato da ua caca putfome Q, su ua caca putfome Pe semplctà d calcolo cosdeamo oa solo l caso d Q + e d + co + che s muove lugo u tatto adale dal puto al puto, l caso geeale del calcolo del lavoo su ua lea ualsas cogugete due put ualsas saà cosdeato seguto. Calcolamo petato l lavoo svolto dalle foze elettche sulla caca che s muove dal puto la puto. Secodo la defzoe d lavoo a u ceto puto del pocesso d calcolo s ottee: dove + è u vettoe paallelo ed euveso a mete è l vettoe poszoe del puto spetto alla caca Q. Nel pocesso d calcolo del lavoo s cosdea come foza del campo el tatto -esmo ua foza temeda ta la foza e + e pecsamete la foza adale agete el puto temedo del tatto + la cu dstaza da Q è popo la meda geometca delle dstaze d e + d + da Q. Tale puto, el tatto -esmo dsta ( + meda geometca ta ed +) da Q e l modulo della foza agete sulla caca posta esso, pe la legge d Coulomb è uguale a: Q Pe l caattee adale sa della foza coulombaa che degl spostamet, vetto foza e elatv spostamet soo paallel ed euves (le cache Q e etambe postve ud s espgoo), petato la somma d sopa può essee sctta come somma de podott de modul delle foze pe l ampezza de elatv spostamet così come segue: Oa se sosttuamo valo d ueste foze e spostamet, la somma dvee: ( ) ( ) da cu, poedo evdeza l fattoe comue, s ha: svolgedo podott s ottee la somma: ( ) + ( ) + ( ) ( ) cu s osseva che l secodo teme d u addedo ta paetes è opposto al pmo teme dell addedo successvo ta paetes, e petato, cacellado tem oppost s ottee l valoe: + Queste semplfcazo s applcao ad oguo degl ft pass pe l calcolo del lavoo, petato ache la somma fta co gl spostamet ftesm ds assume l valoe: + ovveo: (3)

5 Camp d osa Cosevatv - Eega Potezale e Potezale Elettco Nel caso geeale del calcolo del lavoo su ua lea ualsas cogugete due put o appateet alla stessa etta adale, l lavoo, teedo coto del caattee cosevatvo de camp d foza cetal, può essee calcolato scegledo u patcolae pecoso modo da semplfcae calcol. Come pecoso sceglamo uello che va da a attaveso l tatto adale e l tatto ccolae co ceto la caca Q,, co sulla stessa supefce sfeca co ceto Q passate pe. Nel tatto l lavoo vale essedo '. ' Nel tatto sulla sfea pe e co ceto Q, l lavoo è ullo come faclmete s deduce ossevado che gl spostamet ftesm soo taget alla sfea e petato pepedcola alle cospodet foze elettche adal su, pe cu l podotto scalae ds pe og tatto ftesmo e duue, ache la loo somma (fta) ' è uguale a zeo. Oa, essedo, pe calcol pecedet s ha: + ' ' + ' '. Questa espessoe vale ache uado le cache Q e soo etambe egatve o hao sego opposto se s cosdeao ella fomula co l loo sego da tedes come sego algebco. I coclusoe, ualsas sao put e e ualsas sa l pecoso seguto dalla caca pe potas da a, le foze elettche del campo geeato da Q compoo u lavoo calcolable co la (3). Eega potezale elettca e potezale elettco Daemo oa la defzoe d potezale elettco. Pe fssae le dee cosdeamo u campo elettostatco geeato da ua caca putfome Q e ua caca elettca mmesa uel campo. ssato u puto d femeto ftamete lotao da Q ( patca così lotao che lì l campo elettco è patcamete ullo), s defsce eega potezale della caca posta el puto del campo l lavoo che le foze del campo compoo sulla caca uado uesta s sposta da veso l fto. Questo lavoo, ud l eega potezale d, pe uato abbamo detto pecedetemete è data da: ( pe ) Come s vede, l eega potezale della caca è dettamete popozoale a. Dvdedo l eega potezale Q d pe la caca stessa, uesta spasce e s ottee l cosddetto potezale elettco: V(. Estedamo oa l utle ozoe d potezale elettco a ualuue campo elettostatco. Defzoe: s chama potezale elettco u puto P l appoto ta l eega potezale d ua caca posta P e la caca stessa. I smbol U ( P) V( P) Questo appoto è dpedete dalla caca cosdeata, uato l eega potezale è dettamete popozoale alla caca, e petato defsce ua uova fuzoe dello spazo, l potezale elettco. Pe camp elettc s è solt fssae come puto d femeto pe l calcolo dell eega potezale d ua caca, u puto ftamete lotao dal campo oppue u puto sul teeo. Nel pmo caso possamo alloa de che: s chama potezale elettco u puto P l lavoo che le foze del campo compoo su ua caca uado uesta s sposta dal puto P veso u puto ftamete lotao, dvso l valoe della caca. Il potezale elettco s msua Volt (V), V J/C. Vale olte la seguete elazoe: ) ) V( V( ) Petato s dce che ta due put e v è la dffeeza d potezale d Volt (V) se le foze del campo compoo l lavoo d Joule su ua caca d Coulomb uado uesta s sposta da u puto all alto. 5