I vettori. A cura di dott. Francesca Fattori Speranza dott. Francesca Paolucci

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1 I vetto cua d dott. Fancesca Fatto Speana (speana@fs.unoma3.t) dott. Fancesca Paolucc GRNDEZZE SLRI E VETTORILI S defnscono gandee SLRI quelle gandee caatteate solo da un valoe numeco o modulo come: tempo, massa, tempeatua, denstà, enega, pessone, etc. S defnscono gandee VETTORILI quelle gandee caatteate da un modulo, una deone e un veso, come pe esempo: posone, veloctà, acceleaone, foa, campo elettco, campo magnetco, etc. Queste gandee sono appesentate da vetto.

2 Popetà de vetto Due vetto e sono ugual se hanno lo stesso modulo, la stessa deone e lo stesso veso. S defnsce vettoe nullo quel vettoe che ha modulo eo e deone ndetemnata: 0 S defnsce vettoe opposto ad un vettoe, l vettoe ma veso opposto: ' ' d modulo uguale

3 Opeaon con vetto ddone R Sottaone ( ) R Popetà della somma (algebca) commutatva assocatva ( ) ( )

4 Moltplcaone pe uno scalae R Popetà della moltplcaone pe uno scalae dstbutva spetto alla somma d vetto ( ) dstbutva spetto alla somma d scala h h ( ) assocatva spetto al podotto d scala h h ( ) ( )

5 I veso Un vesoe è un vettoe d modulo untao. S defnsce come v v v e vene utlato pe defne una deone e su d essa un veso. Pe esempo, le deon e ves postv d una tena d ass catesan sono defnte da veso,,.

6 Podotto scalae Il podotto scalae ta due vetto e è defnto come: cosθ Il sultato è uno scalae. Popetà del podotto scalae commutatva dstbutva ( )

7 omponent vettoal Il vettoe può essee appesentato come somma de vetto, dove catesan:, e, e appesentano le poeon del vettoe lungo gl ass Il modulo del vettoe può qund essee espesso n funone delle sue component come: 2 2 2

8 Podotto scalae e component vettoal Il podotto scalae ta due vetto e può essee sctto come: ( ) ( ) avendo tenuto conto che: 0 1 Qund, l podotto scalae d un vettoe pe se stesso è: 2

9 Podotto vettoale Il podotto vettoale ta due vetto e è defnto come: Il sultato del podotto vettoale ta e è un vettoe otogonale al pano geneato da e l cu veso è desctto nelle fgue seguent: Il modulo del vettoe è dato da: snθ

10 Popetà del podotto vettoale ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 Se due vetto sono paallel o se almeno uno de due vetto è nullo, alloa l loo podotto vettoale è nullo. Se due vetto sono mutuamente pependcola, l modulo del loo podotto vettoale è l podotto de modul.

11 Esempo d uso delle component 60, 30 1,, 3 β α con. alcolamo 2 3 sn 2 1 cos 2 3 sn cos β β α α 3 2 qund s ha 3 2.

12 Pe calcolae l modulo: Pe calcolae la deone: 2 cosγ γ accos accos 41 7 Esempo d applcaone del podotto scalae: l lavoo d una foa Nel caso n cu la foa sa costante (codas che la foa è un vettoe!) possamo scvee: L F s ovveo L F s cosθ Qund, l lavoo non è alto che l podotto della poeone della foa lungo lo spostamento pe lo spostamento stesso.

13 Esempo d applcaone del podotto vettoale: l momento d una foa hamamo momento d una foa la tendena d una foa a povocae una otaone e defnamo l suo modulo come podotto del modulo della foa pe la dstana ta la etta d applcaone e l asse d otaone: (d bacco della foa). M Fd La stessa foa F applcato n un punto qualsas lungo la etta tatteggata n fgua, poduce lo stesso momento. Possamo qund scvee l modulo del momento come: con d snθ. M F snθ Se consdeamo quest equaone da un punto d vsta matematco, conoscamo che l secondo membo è l modulo del podotto vettoale ta l aggo vettoe che congunge l asse d otaone al punto d applcaone della foa e la foa stessa:

14 M F sn θ F ò suggesce d ntodue una defnone pù geneale d momento d una foa (come vettoe): M F In questo senso, la deone del vettoe momento concde con l asse d otaone (qund sappamo che la otaone avvene su un pano otogonale al momento). Il veso del vettoe m ndca n veso d otaone, secondo la egola della mano desta.