Algebra vettoriale: un breve formulario. E r

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2 slde# Geoge Stokes Ilanda Olve Heavsde Inghltea G. Stokes dede mpotant contbut alla teoa della popagaone ondulatoa con patcolae femento a flud (equaon d Nave-Stokes) all'ottca e all elettomagnetsmo. Il teoema d Stokes è ta cadn dell algeba vettoale. O. Heavsde fsco e ngegnee elettonco ntodusse l fomalsmo de faso pe l anals delle et e la tasfomata d Laplace pe l anals de tansent. Inolte fomulò le equaon d Mawell ntoducendo la modena notaone d calcolo vettoale.

3 slde#3 Nel seguto ndcheemo col smbolo un geneco campo scalae e coè una funone scalae d punto: Analogamente un geneco campo vettoale e coè una funone vettoale d punto saà ndcata col smbolo v v : 1. Il gadente Le devate paal fomano un vettoe detto gadente d. Il smbolo è detto opeatoe nabla. Nel fomalsmo dell algeba vettoale Il nabla è appesentato come un vettoe e l gadente come l podotto d un vettoe pe uno scalae: Sulla base della defnone e utlando I veso degl ass coodnat s può qund scvee:

4 slde#4. La dvegena La dvegena è uno scalae appesentato come podotto scalae ta l opeatoe nabla e l vettoe : j j j 3. Il otoe Il otoe è un vettoe appesentato come podotto vettoale ta l opeatoe nabla e l vettoe : ( ) ε jk j k Rcodamo le defnon de smbol d Koneche e d Lev - Cvta: j 0 1 se gl ndc sono dves se gl ndc sono ugual ; ε jk se due ndc sono ugual se gl ndc sono n pemutaone pa se gl ndc sono n pemutaone dspa

5 Il Laplacano è un opeatoe scalae appesentato come podotto scalae ta l opeatoe nabla e se stesso. Può essee applcato tanto a un campo scalae quanto a un campo vettoale: slde#5 4. Il Laplacano Il Dalambetano ha la stessa stuttua del Laplacano ma contene anche una veloctà caattestca c e le devate spetto al tempo: 5. Il Dalambetano t c 1

6 slde#6 6. Identtà vettoal algono alcune denttà che è facle dmostae se s padonegga l fomalsmo de smbol d Koneche e Lev - Cvta (ma che comunque non sono dmostate qu): ( ) 0 ( ) ( 0 ) ( ) utle la seguente popetà de smbol d Koneche e d Lev - Cvta: ε k jk ε klm j lm l jm 7. Fome dffeenal A pate da un campo vettoale s può costue una foma dffeenale come podotto scalae pe lo spostamento nfntesmo: dφ B A dφ ds d d ( B) φ( A) ds B φ A d 8. Integal d lnea Una foma dffeenale può essee ntegata su una cuva ta I punt A e B. S ha così l ntegale d lnea: d Nota: n elettostatca l potenale è -f

7 slde#7 8. Integal d ccutaone Se la cuva è chusa l ntegale d lnea pende l nome d ccutaone e l smbolo pende un cechetto: Γ ds In un domno semplcemente connesso se l campo vettoale è otaonale la sua ccutaone è dentcamente nulla su qualunque cuva chusa Γ e vcevesa: 0 ds Γ 0 Rcodamo che un domno è semplcemente connesso se ogn cuva chusa appatenente al domno può essee contatta a un punto sena ma usce dal domno. Una sfea è un domno semplcemente connesso; una cambella (too) non lo è. 8. Integal d flusso Il flusso d un campo vettoale attaveso la supefce oentata è defnto come: Φ ( ) d nˆ d

8 slde#8 8. Teoema d Stokes S oent l olo Γ della supefce apeta secondo la egola della mano desta come n fgua. Con questa scelta vale l teoema d Stokes: Φ ( ) ( ) d Γ ds nˆ 8. Teoema d Gauss S oent la nomale alla supefce chusa veso l esteno come n fgua. Detto l volume nteno vale l teoema d Gauss: Φ ( ) ( ) d nˆ