Flusso attraverso una superficie chiusa

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1 Flusso attaveso una supefce chusa D solto uello che s chede d calcolae è l flusso del campo attaveso una supefce chusa (coè una supefce che dvde lo spazo n due egon una ntena ed una estena alla supefce) Consdeamo la supefce n fgua: I vetto Δ sono volt n dezon dvese pe element d supefce dves. In ogn punto vetto Δ sono pependcola alla supefce Pe convenzone hanno veso uscente dalla supefce. Nel caso 1 l campo elettco è uscente dalla supefce ( θ 1 <9 ) > l flusso è postvo Nel caso le lnee d campo sono paallele alla supefce (θ 9 ) > flusso è nullo Nel caso 3 le lnee d campo sono entant nella supefce ( 18 >θ 3 >9 ) > l flusso è negatvo Poché l flusso totale è una somma algebca, l flusso totale attaveso la supefce chusa è popozonale al numeo d lnee d foza che escono dalla supefce meno l numeo d lnee d foza che entano nella supefce. > se N lnee uscent > N lnee entant < se N lnee uscent < N lnee entant se N lnee uscent N lnee entant nd ˆ n d n componente del campo elettco nomale alla supefce d

2 Ø Il teoema d Gauss mette n elazone l flusso d un campo elettco attaveso una supefce chusa e la caca n essa contenuta. Ø Il teoema d Gauss s cava a pate da una supefce sfeca, ma l sultato è del tutto geneale e vale pe ogn supefce chusa. Ø Consdeamo una sfea d aggo ed una caca postva posta al cento della sfea stessa. 1 Campo elettco su un ˆ ualsas punto della supefce della sfea 4πε Ø Le lnee d campo sono adal ed hanno veso uscente > pependcola alla supefce della sfea n ogn punto Ø Defnto un ualsas elemento Δ della supefce le lnee d campo sono paallele alla nomale d Δ Ø Il flusso attaveso l elemento d supefce -smo saà: Ø Il flusso totale attaveso la sfea saà: n d Teoema d Gauss (1) d d Δ Δ Il campo sulla supefce della sfea è costante 4π Δ ea totale della supefce chusa > aea della sfea 4π

3 d Teoema d Gauss () N: ( coè l ntegale su una supefce chusa d un elemento d supefce) è popo la supefce stessa: und n uesto caso l ntegale è popo la supefce della sfea ( che vale 4π ) d 4π d 4π Ø Rcodando che 1 4πε s ottene: 4π 1 4πε ε Il flusso totale d un campo elettco geneato da una caca attaveso una sfea centata n è popozonale alla caca stessa ed ndpendente dal aggo della sfea stessa

4 bbamo tovato che nel caso d una supefce sfeca ed una caca puntfome contenuta n essa l flusso del campo geneato dalla caca attaveso la supefce della sfea è ndpendente dal aggo della sfea e pa a : Quanto vale l flusso n caso d una supefce chusa geneca? Consdeamo delle supefc chuse che ccondano una caca (S1 sfeca, S ed S3 non sfeche). Ø Il flusso che attavesa la supefce S1 è pa a /ε. Ø Il flusso è popozonale al numeo d lnee d campo che attavesano la supefce Ø Questo numeo è uguale pe le te supefc Teoema d Gauss () ε Il flusso totale attaveso una ualsas supefce non dpende dalla foma della supefce Il flusso totale attaveso un ualsas supefce chusa che cconda una caca puntfome ed è dato da Potemmo sceglee una sfea che non ha ε la caca al cento Il flusso totale d un campo elettco che attavesa una supefce chusa è ndpendente dalla poszone della caca all nteno della supefce

5 Teoema d Gauss (3) Consdeamo oa una caca puntfome posta al d fuo d una supefce chusa d foma abtaa lcune lnee d foza entano nella supefce alte escono ma sempe: Il numeo d lnee d foza che entano è uguale al numeo d lnee d foza che escono. Il flusso totale d un campo elettco attaveso una supefce che non contene cache è nullo stendamo oa uest concett al caso geneale d pù cache puntfom e d una dstbuzone d caca Il flusso attaveso una ualsas supefce è dato da: nd ˆ ( ) 1 nˆ d Il flusso elettco attaveso una ualsas supefce è la somma de fluss dovuta a camp elettc geneat dalle sngole cache ʹ ʹʹ S ˆnd " ˆnd ʹ + ʹ 3 Sʹ S ʹʹ nd ˆ " Sʹ ˆnd + S Sʹ 1 ˆnd ˆnd " 1 nd ˆ + ˆ nd ε ε ε + 3 ε + 3 ε 1 + Teoema d Gauss: Il flusso elettco totale attaveso una ualunue supefce chusa è uguale alla caca totale contenuta all nteno della supefce dvsa pe ε n ε..

6 pplcazon del teoema d Gauss a dstbuzon d caca smmetche Il teoema d Gauss è utle pe detemnae l campo elettco geneato da dstbuzon d caca che pesentano una ualche smmeta spazale. n ˆ Se S ha popetà d smmeta nome semplfcazone nd ε S Poché l teoema d Gauss è valdo pe ualsas supefce S s scelga, la scelta delle supefc gaussane su cu calcolae l flusso deve essee effettuata n manea appopata, n modo da avvantaggas della smmeta della dstbuzone d caca al fne d estae dall ntegale. La supefce da sceglee deve vefcae una ( o pù) delle seguent condzon: 1) Il valoe costate del campo sulla supefce deve essee dedotto dalla smmeta della dstbuzone d caca ( se cost sulla supefce lo posso tae fuo dall ntegale e l ntegale s duce semplcemente all aea totale della supefce n esame) ) Il podotto scalae ta l campo ed l vettoe supefce d s deve pote espmee come un semplce podotto algebco ( d) facendo n modo che sa pependcolae alla supefce ( // ) e nel calcolo dell ntegale 4) S deve pote dedue che l campo è nullo su tutt punt della supefce ttenzone: dffeent pozon della supefce gaussana posso soddsfae una dvesa condzone ta le 4 elencate, puché ogn pozone spett almeno una d esse d

7 sempo: Campo elettco geneato da una caca puntfome bbamo tovato la fomula che descve l campo elettco geneato da una caca puntfome Supponamo d non conoscee l campo elettco geneato da una caca puntfome postva e povamo a cavalo a pate dal teoema d Gauss e da consdeazon d smmeta. Poché l teoema d gauss vale pe ogn supefce, sceglamo uella che c convene d pù: una sfea d aggo centata n. n nd ˆ Il campo elettco geneato da una caca puntfome postva è adale ed uscente dalla caca ( la foza F che la caca esecta su una caca d pova posta n un punto dello spazo attono a è sempe detta lungo la congungente con ). / /d n ogn punto della supefce sfeca (vefcato l punto ) Il teoema d Gauss c dce che: l campo saà uguale su tutta la supefce (vefcato l punto 1) posso tae fuo dall ntegale d S ha und che: S n ε sfea S dove l ntegale nd ˆ d n n 4π ε 4πε S ε S n ε nd ˆ d aea della supefcedella sfea 1 Poché la caca totale pesente nella sfea è n 1 4πε Cost d 4π

8 Campo elettco n possmtà d una lamna pana caca Consdeamo una lamna ( d gand dmenson) pana con denstà supefcale d caca σ unfome. Detemnae l campo elettco n un punto vcno alla lamna e lontano da bod della lamna stessa Detemnamo anztutto la smmeta del campo n modo da pote sceglee la supefce gaussana pù oppotuna pe applcae l teoema d gauss: Il campo elettco, lontano da bod deve essee pependcolae alla lamna ed unfome. Poché la lamna è caca postvamente l campo saà uscente dalla lamna. Sulle due facce della lamna camp elettc avanno und segn oppost La supefce gaussana che convene sceglee è uella che flette la smmeta del campo ( paallelo alla nomale alla lamna ed uscente da essa n entamb lat) La supefce pù convenente saà: Una supefce clndca che attavesa la lamna, con asse pependcolae alla lamna stessa e con le due bas, d aea, eudstant dal pano caco

9 Campo elettco n possmtà d una lamna pana caca(1) Supefce chusa: Clndo come n fgua ( composto da una supefce lateale e due bas ccola) Con uesta scelta della supefce abbamo che: 1 // alla supefce lateale del clndo alla nomale alla supefce Il flusso attaveso la supefce lateale è nullo alle due bas del clndo > // alla nomale alle due supefc nd ˆ base d base Le due bas soddsfano la condzone pe la scelta della supefce Gaussana Le due bas soddsfano anche la condzone 1 poché l campo è unfome $ $ $ $ $ $ $ $ d d + d + #" d d d d + d S avant deto lateale + avant deto Il flusso totale attaveso l ntea supefce clndca saà : avant #" deto #"

10 Campo elettco n possmtà d una lamna pana caca () Pe l teoema d Gauss n ε dove n è la caca acchusa nella supefce clndca Quanto vale n? Sappamo che la caca sulla lamna ha denstà supefcale σ ( caca pe untà d supefce) La supefce della lamna acchusa nel clndo d gauss è un dsco d aea La caca totale acchusa nel clndo saà und: σ n Il campo elettco geneato da una lamna con denstà supefcale d caca σ saà und: σ n ε ε σ ε n ε campo elettco geneato da una lamna con denstà supefcale d caca σ N: nel campo elettco non compae la dstanza dalla lamna. S può und dedue che σ/ε sa l campo elettco a ualunue dstanza dal pano > l campo è unfome ovunue

11 Condutto n eulbo elettostatco Ø In un conduttoe le cache (eletton) sotto l azone d un campo elettco sono lbee d muoves all nteno del mateale. Ø Un conduttoe s dce n eulbo elettostatco se le cache sono tutte a poso, coè la foza elettca sultante agente su cascuna d esse è nulla. Pe un conduttoe solato da tea, n eulbo elettostatco valgono le seguent popetà: 1) Il campo elettco all nteno del conduttoe è nullo ) Un ualsas eccesso d caca deve essee localzzato necessaamente sulla supefce estena del conduttoe 3) Il campo elettco appena al d fuo del conduttoe è pependcolae alla supefce n ogn punto ed ha ntenstà pa a σ/ε (dove σ è la denstà d caca supefcale) 4) Su un conduttoe d foma egolae la caca s accumula sulle egon d supefce con aggo d cuvatua mnoe

12 Condutto n eulbo elettostatco 1)Il campo elettco all nteno del conduttoe è nullo Se così non fosse le cache all nteno del conduttoe veebbe acceleate sotto l azone della foza elettca ed l conduttoe non saebbe und n eulbo elettostatco. Ma peché l campo all nteno d un conduttoe n eulbo elettostatco è nullo? Consdeamo una lasta conduttce neuta nseta n un campo esteno ( come n fgua). Sotto l azone del campo elettco gl eletton del conduttoe, lbe d muoves, s spostano veso snsta ceando un eccesso d cache negatve a snsta ed un eccesso d cache postve a desta. Questa nuova confguazone d caca genea un campo elettco nteno al conduttoe che s oppone al campo esteno. Gl eletton contnueanno a spostas veso snsta fn uando l campo nteno non uguagleà l campo esteno ed l campo totale all nteno del conduttoe sulteà nullo ) Un ualsas eccesso d caca deve essee localzzato necessaamente sulla supefce estena del conduttoe Consdeamo d pendee una supefce gaussana all nteno del conduttoe Il flusso attaveso tale supefce deve essee nullo n uanto l campo elettco è nullo und n essa la caca totale è nulla. Sceglamo la supefce ntena al conduttoe abtaamente vcna alla supefce anche n essa non c saanno cache n eccesso > tutta la caca n eccesso deve essee poszonata sulla supefce estena del conduttoe

13 Condutto n eulbo elettostatco 3)Il campo elettco appena al d fuo del conduttoe è pependcolae alla supefce n ogn punto ed ha ntenstà pa a σ/ε (dove σ è la denstà d caca supefcale) Utlzzamo ancoa l teoema d Gauss. Ø Consdeamo un conduttoe d foma geneca e sceglamo come supefce gaussana un clndo che abba le bas paallele alla supefce del conduttoe con una delle bas ntena al conduttoe e l alta appena al d sopa della supefce estena. Ø Il campo elettco è pependcolae alla supefce ( se cò non fosse la componente del campo lungo la supefce saebbe dvesa da zeo.> sotto l azone d uesta componente le cache s muoveebbeo sulla supefce ed l conduttoe non saebbe n eulbo elettostatco) // alla supefce lateale del clndo alla nomale alla supefce lateale Ø Il flusso attaveso la supefce lateale è nullo Ø Il flusso attaveso la supefce d base ( uella ntena al conduttoe) è nullo peché Ø Il flusso totale attaveso l clndo è pa al flusso attaveso la supefce della base supeoe ( che è pependcolae al campo ed n essa l campo è costante): n nd ˆ d d ma n σ > σ ε ε s σ ε

14 nega potenzale elettca La foza elettostatca è una foza consevatva. Possamo und assegnae una enega potenzale elettca al sstema d patcelle cache nel uale agsce la foza elettostatca. Se l sstema vaa la sua confguazone da uno stato nzale ad uno fnale, la vaazone d enega elettostatca è pa al lavoo, cambato d segno, della foza elettostatca. ΔU U U Poché l enega potenzale elettca è sempe defnta a meno d una costante, s attbusce enega potenzale nulla allo stato n cu le patcelle sono a dstanza nfnta l una dall alta. L Consdeamo una caca puntfome mmesa n un campo elettostatco. La foza elettca agente sulla caca saà: F e è una foza consevatva poché è data dalla somma d foze consevatve. f Quando la caca s muove soggetta al campo elettco, l campo elettco fa un lavoo sulla caca stessa. Se consdeamo uno spostamento nfntesmo della caca l lavoo nfntesmo s computo dal campo saà: dl Fe ds F e d ds ΔU U f U L dl d s f f U ( ) Integale d lnea. Poché l campo elettco è consevatvo, Questo ntegale non dpende dal pecoso effettuato dalla caca elettca pe andae dalla poszone nzale alla poszone fnale, ma dpende solo dallo stato e dallo stato f

15 Potenzale elettco Ø L enega potenzale dpende dall ntenstà della caca d pova. ΔU d s Ø S defnsce la gandezza potenzale elettco che è data dall enega potenzale pe untà d caca n una dato punto del campo elettco. P V U d s Ø Il potenzale è una popetà del campo, che esste ndpendentemente dalla pesenza o meno d una caca pova nel punto dello spazo n cu vene detemnato. Ø Il potenzale elettco n un punto abtao P dello spazo è uguale al lavoo pe untà d caca necessao pe potae una caca postva dall nfnto al punto P. Ø Il potenzale è una gandezza scalae ha dmenson d un enega su una caca e nel SI la sua untà d msua è l volt V: V J C 1 Ø 1V 1J/C > Dato un campo elettco ed una caca da 1C mmesa n esso, pe spostae la caca elettca ta due punt del campo che hanno una dffeenza d potenzale ΔV1V bsogna svolgee un lavoo d 1J dall esteno Ø lettonvolt: ev 1e 1V J Un elettonvolt è l enega cnetca guadagnata da un elettone acceleato attaveso una dffeenza d potenzale d 1 V(oppue è l lavoo necessao a spostae un elettone ta due punt nel campo che dffescono d 1 Volt) f nega potenzale elettca Potenzale elettco

16 Quando una caca postva s muove nel veso del campo elettco, l enega potenzale elettca del sstema caca-campo dmnusce (analoga con l campo gavtazonale) Dffeenza d potenzale elettco Ø S defnsce dffeenza d potenzale fa due punt e, la vaazone d enega potenzale uando una caca d pova s muove ta due punt, dvsa pe la caca d pova. ΔV ΔU d s Dffeenza d Potenzale Dffeenza d potenzale n un campo elettco unfome: Ø Consdeamo un campo elettco unfome detto lungo l asse y negatvo Ø La dffeenza d potenzale ta due punt e sepaat da una dstanza d (lungo la dezone delle lnee d campo) è data da: ΔV ds y cos y Il segno è dovuto al fatto che V < V (V all nfnto) ds y y dy ds y ( y y ) d N: Le lnee d foza n geneale puntano veso una dezone a potenzale elettco mnoe dy y y ΔV d d y Ø Se una patcella d caca s muove dal punto al punto la vaazone d enega potenzale saà: ΔU ΔV d Dffeenza d enega potenzale n un campo elettco unfome su una caca

17 Dffeenza d potenzale n un campo elettco unfome (contnua) bbamo vsto che una patcella d caca mmesa n un campo elettco che s muove lungo una lnea d foza del campo da un punto ad un punto dstant ta d loo d, subsce una vaazone d enega potenzale ΔU d Consdeamo oa una patcella che s muove fa due punt ualsas e del campo. Sa θ l angolo ta la dezone dello spostamento e le lnee d foza del campo. La vaazone d potenzale saà data da: V d d " Δ Δ cosθ y x Δy d dx î + dy ĵ dx î+dy ĵ ( ) Δx N: Δ cosθ Δx d ( d dstanza ta ed l pano contenente pependcolae al campo ) la componente Δy dello spostamento non pota contbuto alla vaazone d potenzale. S ha nfatt che. x dx î + dy ĵ x y y ˆ j Δy ˆj Δxî + Δyĵ Δ Muovendos lungo punt che gaccono su una supefce pependcolae al campo non s ha vaazone d potenzale elettco (ΔV) ueste supefce sono eupotenzal Poché U V ΔU -L pe andae da un punto ad un alto su una supefce eupotenzale non s compe lavoo L ΔU ΔV Il lavoo pe spostae una caca lungo una supefce eupotenzale è nullo ΔV Δx d

18 Potenzale elettco pe una caca puntfome solata Consdeamo una caca puntfome postva. Il campo elettco geneato da uesta caca è: Dffeenza d potenzale elettco ta l punto ed l punto : ΔV ds Consdeamo l agomento dell ntegale, se θ è l angolo ta ˆ e ds, s avà: k ˆ ds avvenuta duante lo spostamento ds k ˆ ds k ds cosθ k Sosttuamo nell ntegale: ΔV V V k d L ntegale è ndpendente dal pecoso effettuato pe andae da e e dpende solo dalle coodnate adal d e (coè dalle loo dstanze dalla caca che genea l campo) > la foza elettca è consevatva Ponendo l potenzale a zeo uando s ottene che l potenzale elettco dovuto ad una caca elettca n punto a dstanza da essa vale: ΔV d 1 1 V V V k k k d k d ds cosθ vaazone nfntesma della dstanza dalla caca d 1 k V k ˆ k 1 k 1 d d s ΔV k 1 1 potenzale elettco dovuto ad una caca elettca puntfome n punto a dstanza da essa

19 Potenzale elettco pe cache puntfom V k Tutte le cache poste su una supefce sfeca d aggo centata nella caca hanno lo stesso potenzale pa a V k Le supefc eupotenzal pe un campo geneato da una caca puntfome solata sono appesentate da una famgla d sfee concentche alla caca N: le lnee d foza del campo sono sempe pependcola alle supefce eupotenzal

20 Potenzale elettco pe un sstema d cache Ø Sstema d cache: Se nvece d avee una sola caca solata abbamo un sstema d cache puntfom l potenzale elettco d uesto sstema d cache s ottene medante l pncpo d sovapposzone: V V k Il potenzale elettco calcolato n un punto P, dovuto ad un sstema d cache puntfom è uguale alla somma de potenzal elettc n uel punto dovut alle sngole cache Ø Dstbuzone contnua d caca: Il potenzale elettco calcolato n un punto P, geneato da una dstbuzone d caca contnua s può detemnae mmagnando d suddvdee la dstbuzone d caca n element nfntesm d, tal da potel consdeae cache puntfom e und d sommae tutt contbut al potenzale dovut a cascuna caca V V k d lm d V Il potenzale elettco è una gandezza scalae pe cu non sono necessae consdeazon vettoal uando s somma su tutt contbut potenzale elettco calcolato n un punto P, dovuto ad un sstema d cache puntfom (l potenzale è nullo all nfnto) dv k N: calcolae l potenzale nel punto P è pù facle che calcolae l vettoe campo poché V totale è dato da una somma algebca, mente l valoe totale del campo è dato da una somma vettoale d k d potenzale elettco calcolato n un punto P, dovuto ad una dstbuzone contnua d cache

21 nega potenzale pe una coppa d cache puntfom Consdeamo una coppa d cache 1 e e detemnamo l enega potenzale d uesto sstema. Il potenzale elettco dovuto al campo geneato dalla caca n un punto P dstante 1 da saà Il lavoo che deve effettuae l campo geneato da pe spostae la caca 1 da P all nfnto ( senza acceleazone) è pa alla vaazone d potenzale cambata d segno moltplcata pe la caca 1 L ΔU U( ) U U V k 1 1 L enega potenzale elettca della coppa d cache 1- s può espmee come: U V k nega mmagazznata dal sstema 1 - uando le due cache sono sepaate da una dstanza 1 V k 1 lavoo necessao pe spostae la caca 1 da P all nfnto Se 1 e hanno stesso segno U> ( LU> > è l sstema che compe lavoo, le cache s allontanano spontaneamente) Se 1 e hanno segno opposto U< (LU< > bsogna compee lavoo sul sstema pe potae 1 all poché 1 e s attaggono)