Dinamica del corpo rigido

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1 Dnamca del copo gdo Un copo gdo è pe defnzone un copo che non s defoma duante l movmento. Se non s defoma voà de che la dstanza j fa due punt qualsas e j del copo esta costante: j = cost pe ogn e j. Il moto d un copo gdo non vncolato può essee o d pua taslazone o d pua otazone ntono ad un punto oppue geneco. Quest ultmo può essee vsto come una combnazone del moto d taslazone e del moto d otazone ntono al cento d massa (CM). Moto d taslazone utt punt, fa cu l CM, s muovono su taettoe fa loo paallele. CM La dnamca può essee studata feendos solo al moto d taslazone del CM, codando la legge: M a CM = F est Moto d otazone ntono ad un punto punt s muovono su taettoe ccola concentche con cento. Abbamo gà vsto che le otazone sono detemnate dal momento delle foze, dobbamo studae qu d seguto, la dnamca d otazone d un copo Il moto geneco moto d taslazone del CM + otazone ntono al CM CM

2 In effett, non studeemo l caso geneale della dnamca d un copo gdo non vncolato, ma c lmteemo solo al caso d un copo gdo che può muoves ntono ad un asse fsso che lo attaves. In questo moto, essendo l copo gdo ( j = cost pe ogn e j) tutte le sue patcelle (m ) hanno la stessa veloctà angolae ω, che è detta anche veloctà d otazone del copo. (Infatt se ω non fosse la stessa, la dstanza fa due patcelle vaeebbe nel tempo ossa j cost) Enega cnetca d un copo gdo n otazone ntono ad un asse fsso ω Consdeamo una geneca patcella m del copo gdo a dstanza dall asse d otazone. Detta ω la veloctà angolae d otazone del copo gdo ntono all asse, la patcella m ha una veloctà lneae: v ω = qund la sua enega cnetca è: K = mv = mω. L enega cnetca d tutto l copo K ot può essee ottenuta come somma dell enega cnetca delle sngole patcelle: K ot = K = mω = ( m ) ω Intoducendo la quanttà I = m, detta momento d neza (dmenson = Kgm ) s può scvee Kot = Iω. S not che I = cost pe un dato copo gdo, fssato l asse d otazone.

3 Momento angolae totale d un copo gdo n otazone ntono ad un asse fsso z ω l z θ θ l p Consdeamo una geneca patcella m del copo gdo a dstanza da un punto d femento, posto sull asse d otazone. Detta ω la veloctà angolae d otazone del copo gdo, la patcella m ha una quanttà d moto p = mv ed un momento della quanttà d moto l = p. E evdente che l non è paallelo all asse d otazone (asse ẑ ). x y Il modulo d l è : l = p sen( 90 ) = m v l Popetà geometca: detto θ l angolo convesso fa l asse ẑ e la dezone d e detta chel e che ẑ segmento è pa a θ. la dstanza d m dall asse d otazone s ha, ossevando, che l angolo convesso fa la dezone d l e l Inteessa solo l = l senθ = m v senθ = m v ( senθ ) z ma ( senθ ) = e = v ω z = m v = m ( ω ) = m ω l La componente z del momento angolae totale è alloa: l = m ω = ( m ) L ω. z = z Ancoa, posto I = m, s ha che L z = I ω 3

4 Equazone della dnamca d otazone d un copo gdo ntono ad un asse fsso Dobbamo fae due consdeazon pelmna: una foza applcata n un punto, essendo l copo gdo, detemna la otazone d tutto l copo, solo la componente della foza (F p ) nel pano pependcolae all asse d otazone è esponsable del moto. τ F F p Consdeeemo petanto solo foze nel pano pependcolae all asse d otazone, che poduanno un momento τ est = F p paallelo all asse d otazone. dl Sappamo che pe sstem vale τ est = ma, nel caso d un copo gdo n dt otazone ntono ad un asse fsso L τ ed sono sempe paallel fa loo (e all asse d dl otazone), qund deve essee: τ est =. dt d dω L = I ω, con I = costante. ( Iω) = I = Iα τ = I α che è dt dt equazone della dnamca d otazone d un copo gdo ntono ad un asse fsso. La pecedente equazone è l equvalente pe otazone della elazone F = ma pe la taslazone del punto mateale, ossa le otazon sono detemnate dal momento delle foze applcate e la costante d popozonaltà fa momento e acceleazone angolae è l momento d neza. Maggoe è I, pù dffcle saà vaae l moto d otazone del copo. Il momento d neza. S è vsto che pe un copo gdo è possble defne l momento d neza spetto ad un asse come I = m dove è la dstanza della geneca patcella m dall asse d otazone. Dato un copo gdo e fssato l asse d otazone I è una quanttà costante. Esso c pemette d scvee: 4

5 a) l enega cnetca: K = I ω b) l momento della quanttà d moto: L Z = Iω c) l equazone del moto τ = Iα E mpotante notae che I dpende non solo dalla massa (M) del sstema ma anche dalla dstbuzone ( ) delle sngole masse m spetto all asse d otazone, ossa uno stesso copo ha moment d neza dves se camba l asse d otazone. Esempo: clndo etto d massa M, lungo L con base ccolae d aggo <L. L Caso a) I a = M Caso b: I b = Poché la dstanza delle m dall asse d otazone è n meda mnoe nel caso a) spetto al caso b), sulta I a < I b. Esemp d moment d neza: ML 5

6 Lavoo nel moto otatoo ntono ad un asse fsso Consdeamo una foza F applcata n un punto P d un copo gdo che può uotae ntono ad un asse fsso passante pe ovveo applchamo al copo un momento τ = F con = P. Il punto P s muoveà lungo una cconfeenza d aggo. Calcolamo l lavoo nfntesmo dw fatto dalla foza F pe uno spostamento dl del punto P, cu cosponde una otazone del copo gdo d dθ. α F φ dθ dl P dw = F dl = F dl cosα Essendo dl nfntesmo, la sua dezone è tangente n P alla cconfeenza d aggo e d conseguenza (ved fgua): α+φ = 90 cosα = senφ dl = dθ. Segue che: dw = F dl cosα = F dθ senφ = (F senφ) dθ dw =τ dθ. Il lavoo nfntesmo dw può essee calcolato come podotto del momento applcato al copo pe la otazone nfntesma subta dal copo. Pe spostament fnt fa una θ f poszone nzale θ e una poszone fnale θ f abbamo: W = τdθ, che pe f τ θ θ f θ F = cost ( τ = cost) dvene W f = dθ = τ ( θ f θ ) W = τ Δθ. Detto I l momento d neza del copo, pe l teoema dell enega cnetca ed essendoc solo moto d otazone, possamo scvee: W θ f f = τdθ = K f K = Iω f Iω θ. f 6

7 Un esempo mpotante: l pendolo semplce Esso è costtuto da un punto mateale d massa m sostenuto da un flo deale d lunghezza l, lbeo d uotae ntono al punto d sospensone concdente con l estemo supeoe del flo. θ θ l mgsenθ m mgcosθ moto moto mg Lungo la dezone del flo, stante pe stante, = mgcosθ qund non s ha taslazone ma solo otazone govenata dalla legge: τ = Iα dove τ = l mg (modulo pa a lmgsenθ) ssevamo che l azone d (moto) τ è sempe d veso opposto allo spostamento angolae θ (ved fgua), matematcamente τ = lmgsenθ L equazone del moto dvene lmgsenθ = Iα () ma I= ml lmgsenθ = ml α α = (g/l)senθ moto acceleato. Consdeamo l caso d θ pccolo n modo da poe senθ θ, alloa α = (g/l)θ moto amonco d pulsazone ω = Conclusone: un pendolo semplce pe pccol spostament dalla poszone vetcale osclla d moto amonco. g l Equazone oaa: θ(t) = θ M cos(ω t + φ); peodo: = π = π ω l g ossevazon: l peodo a) è ndpendente dalla massa m (soconsmo) b) dpende solo da l c) pemette la detemnazone spementale d g. 7

8 Il pendolo eale o fsco Esso è costtuto da un oggetto mateale d massa M lbeo d uotae n un pano vetcale ntono ad un asse fsso ozzontale passante pe un suo punto (punto d sospensone). θ h La foza peso del copo Mg è applcata al CM. Mgsenθ CM Mgcosθ Mg Se I è l momento d neza del copo spetto all asse pe, pe la legge della dnamca d otazone e pe θ pccolo abbamo: τ = Iα hmgθ = Iα α = (hmg/i)θ moto amonco hmg pulsazone ω = ; peodo I = π I hmg E da sottolneae che, poché I dpende lneamente da M, è ndpendente dal M anche n questo caso. Infatt se consdeamo un asta omogenea d massa M d lunghezza l, sospesa pe un estemo, abbamo: l/ I = Ml qund 3 CM ( / 3 )Ml = π = π Mg( l / ) 3 l g ndpendente da M. 8

9 Un alto esempo: la caucola eale Consdeamo una caucola d massa M e d aggo che può uotae, senza attto, ntono ad un asse fsso pe l suo cento. Due masse sono poste come n fgua, legate da una fune deale. La dnamca del sstema è desctta dalla taslazone d m, dalla taslazone d m e dalla otazone ntono ad della caucola, ovveo dalle elatve equazon del moto: M pe m : + W = ma pe m : + W = ma pe M: τ = Iα, con I = M La fune deale mpone che se m s muove veso m l alto, m deve muoves veso l basso con m g m a = a (ovveo a = a = a) e la caucola m g deve uotae n senso oao con α = a/. Segue: a mg = ma, mg = ma, τ = M Calcolamo τ ossevando che esso è podotto dalle due foze e applcate alla caucola ossa τ = τ + τ conτ =, τ = e = =. I moment τ e τ sono paallel ed oppost con τ da pendee postvo secondo ves da no assegnat alle acceleazon. τ = τ τ = = ( ). mg = ma mg = ma ( ) = M a = m ( g + a ) = m ( g a ) a = Ma = m ( m m ) + m g + M Comment: ) l acceleazone delle masse è nvesamente popozonale alla massa M della caucola. Essa aggunge l massmo quando M=0 (ovveo se M<< m, m ). Questo è l caso della caucola deale, dove sulta (dalla teza equazone del sstema) anche =, ) l veso del moto è quello da no scelto (con a postva) se m < m, 3) se m =m ( a =0 ) l sstema è femo. 9

10 ssevazone sull enega meccanca ne sstem gd. Se un sstema meccanco, che nclude cop gd, evolve sotto l azone soltanto d foze consevatve s può applcae la consevazone dell enega meccanca ossevando che pate dell enega va assocata al moto d otazone de cop gd. Consdeamo, ad esempo, una caucola d massa M e aggo che può uotae, senza attto, ntono ad un asse fsso pe l suo cento con una massa m, come n fgua, legata da una fune deale. y(t) m mg Supponamo d lascae, a t 0 = 0, m fema n poszone y 0 (con anche la caucola fema) L enega meccanca E M è: E M = mgy 0 ; solo enega potenzale. Al geneco stante t> t 0 la massa m tasla con veloctà v e M uota con veloctà angolae ω (con v=ω). L enega meccanca E M è: EM = mv + Iω + mgy ; enega cnetca d taslazone e d otazone ed enega potenzale. In ogn stante d tempo è ovvamente: mv + Iω + mgy = mgy0 Nel caso d pagna pecedente, con ovvo sgnfcato de smbol, l enega meccanca E M, n un geneco stante d tempo, è: E M = mv + mv + Iω + mgy + mgy 0

11 ssevazon sulla consevazone d L pe sstem gd n otazone ntono ad un asse fsso. ) S osseva che un dsco d massa M, n otazone ntono ad un asse passante pe l cento paallelo ad un pano ozzontale, s muove estando vetcale (caso a). Cò, ovveo la consevazone d L, c pemette d andae n bccletta! ω Mg L = Iω L = Iω f a N P P P Caso a Caso b Le foze estene n goco sono: la foza peso Mg applcata n e la foza d attto f a ed l vncolo N applcate al punto d contatto P. Esse hanno momento nullo spetto a P: τ Mg = Mg = 0 peché // Mg τ f = d fa = 0; τ N = d N = 0 peché d = 0 a qund τ est = 0 e petanto L = cost n patcolae n dezone e veso ossa l dsco non può cambae pano d otazone. In ealtà, s ha che N non è applcato esattamente n P e questo causa una dmnuzone d ω ovveo del modulo d L, ma non della sua dezone, mente f a causa una coelata dmnuzone della veloctà d taslazone del cento d massa. Se pe una pccola aspetà del pano l dsco non è pù pefettamente vetcale (caso b), l momento della foza peso non è pù nullo e l dsco vaa buscamente l pano d otazone. S può dmostae che questo effetto è pù evdente quanto pù è pccola ω ovveo L=Iω. In conclusone: l dsco lancato con elevata ω, su un pano eale ozzontale, s muove vetcalmente ma pogessvamente allenta pe nteazone con l pano fn tanto che ω non dvene suffcentemente pccolo n modo che pccole aspetà del pano lo fanno cadee.

12 ) Un alta conseguenza della consevazone d L è mostata n fgua. Questa stuazone mette n evdenza la natua vettoale della consevazone d L. 3) Caso d I vaable Se duante la otazone d un copo ntono ad un asse fsso l momento d neza del copo I vene modfcato da foze ntene al esso o/e da foze estene d momento nullo, L tot esta costante e qund L= Iω = cost. L Z = I ω = I f ω f = cost ω f = (I /I f )ω f con, f = stato nzale, fnale Se, come n fgua, I f < I e qund (I / I f )> ω f > ω K f > K ΔK > 0 Infatt: I K f = I fω f = I f ω = Iω = K > I f I f I f I I K se ΔK>0 v è un lavoo fatto sul sstema. S può dmostae che n effett l aumento dell enega cnetca è pa al lavoo fatto dalle foze ntene nel cambae I. Gustfchamo questa affemazone con l esempo seguente.

13 Massa m n moto ccolae ntono ad un punto, sottoposta all azone d una fune deale. La massa m, s avvcna al cento d otazone (passando da un obta d aggo ad una d aggo < ) peché è tata da una foza paallela al aggo ( = mv / = mω ) ovveo è sottoposta ad un momento della foza nullo e qund l suo momento della quanttà d moto L è costante. dl Dette v e v le veloctà d m spettvamente sull obta d aggo e s ha che: L =cost= mv = mv v = v ( / ). Se, come n questo caso, <, abbamo che v > v e qund K > K ΔK= K K = m v m v = m v >0. Pe l teoema dell enega cnetca, se c è una ΔK dovà essec un lavoo W fatto dalla foza sul sstema tale che W =ΔK. Vefchamolo: W = F dl = dl dl= d e v = m W = d = v m d dove = v v W = mv d = mv d = mv 3 = mv W = mv = ΔK come atteso. 3