Meccanica Dinamica del corpo rigido
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- Ivo Corsini
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1 Meccanca Dnamca del corpo rgdo 7
2 ω L Equaon del moto: Momento angolare: Energa cnetca: Sstem corpo rgdo E F K dp dt L L + L ω M otaone d un corpo rgdo L ω Momento d nera: r dm V dl dt r m L L ω L dstana dall asse d rotaone Corpo omogeneo e smmetrco Momento angolare: Equaone del moto: M dl α dt L ω Acceleraone angolare
3 Moto d rotaone: Calcolo de moment d nera L ω r dm V Momento d nera M α Analogo della massa (una volta fssato un asse d rotaone!) + E n generale funone d (x,y,) ω K ( x y ) ρ ( r ) dv V r dm ρdv ( x, y, ) y r dr 3 πρ S r dr 0 m ρs π Esempo: Momento d nera d un dsco sottle omogeneo rspetto all asse d smmetra V r dm r S ρ ds 4 π ρ S π ρ S 4 m S ds π rdr 4 0 r ρ π rdr S Clndro omogeneo: x m M m
4 Momento d nera Momento d nera d corp omogene d forma notevole (asse d smmetra) r h Mr r 5 Mr l Ml a dm V b Cubo: M a + b 6 ( ) Ma Momento d nera può sempre essere scrtto come k m r r h m ( ) M r + r Parete clndrca: Clndro: k aggo gratore Mr Mr
5 M ( V ρ ) 5 5 ρ 0 ρ 0 ( V ρ) ( V ρ) + ( V ρ ) π 4π 0 4π 0 ρ ρ0 + ρ π ρ ρ 5 0 5
6 Teorema d Huygens-Stener ' Coordnate del punto generco P ne due sstem: x ' b y Asta: Momento d nera Noto l momento d nera rspetto a un asse passante per l, possamo trovare l momento d nera per un asse ad esso parallelo? r r ' x' P y' x + mb Esemp: Asse al bordo Clndro: x ' y y ' + b ' Momento d nera d P rspetto all asse : m ( x + y, Momento d nera totale: m ( x + y ) m x' + m ( y' + m ( x' + y' ) + m y' b + mb Momento d nera per un asse a dstana b dal centro d massa E sempre < m + m ' ml + m( l / ) ' ) 3 m 3 ml ' 0 l / b) mb
7 Dnamca del corpo rgdo Momento d nera e energa cnetca Corpo n rotaone ntorno all asse ' Energa cnetca d rotaone: ' b v E ω ( + ) mb ω K Huygens-Stener ω + mb ω EK ω + mv Energa cnetca d rotaone rspetto all asse (per l ) EK m ω + mv v (Teorema d Köng) Energa cnetca del moto del ntorno all asse Esempo: Clndro omogeneo, rotaone ntorno asse m ω + m ω m ω
8 Urt fra corp rgd Conservaone della quanttà d moto: Se la fora mpulsva dell urto rende trascurabl (durante l urto) tutte le fore esterne Conservaone dell energa cnetca: Se s tratta d un urto elastco (fore conservatve) dl ( ) M E mv v dt Conservaone del momento angolare: + Se agscono solo fore nterne, allora per qualunque polo; L cost. ( E ) Se M 0 rspetto a un polo, fsso n un sstema nerale o concdente con l, allora L costante per quel polo Esempo. Urto completamente anelastco, non vncolato Pano orontale lsco m v m v Esempo. Urto completamente anelastco, vncolato Pano orontale lsco Perno m v m Fora vncolare mpulsva ω v Conservaone d: Energa cnetca: N Quanttà d moto: S Momento angolare: S (per qualunque polo) Conservaone d: Energa cnetca: N Quanttà d moto: N Momento angolare: S (per l polo ) Nel caso non s conserva la quanttà d moto: l vncolo durante l urto agsce come una fora esterna mpulsva. Perno ω
9 Pendolo semplce Pendolo composto Massa trascurable l mg mg T π l g T?
10 θ l h l h' ' Perodo Pendolo composto Equaone del moto: T Centro d oscllaone Pccole oscllaon: π ω α M mghsnθ d θ + mghsnθ 0 dt d θ mgh + θ 0 dt θ ( t) θ0 sn( ωpt + φ) l ω P mgh / π π mh g g Lunghea rdotta mh + mh( h ' + h) h ' + h mh mh Huygens-Stener mh + h mh h ' Lunghea rdotta per oscllaon ntorno a : l ' ' mg ' mh ' P + mh mh' asse parallelo a per ' l mhh ' + mh' mh' (asse d rotaone : per, ortogonale al pano) h + h' l M r F Moto armonco mh ( h' + h) T T ' Perno e centro d oscllaone sono ntercambabl
11 Perno L Pendolo composto Pendolo revesble d Kater (87) Metodo per msure d precsone d g Msure d g con pendolo semplce sono mprecse (non dealtà del flo, centro d massa, etc.) ' Centro d oscllaone Asta rgda con due pern e fss a dstana L nota con precsone S sposta lungo l asta una o pù masse mobl fnché non s hanno perod ugual T T T ' n queste condon L l e qund abbamo: D ~ m T π L g g 4π T L Precsone: fno a Pendolo d Kater
Meccanica Dinamica del corpo rigido
Meccanca 8-9 6 Fora peso sul corpo rgdo Corpo sottoposto alla fora peso: Su ogn elemento nfntesmo d massa dm agsce la fora Rsultante delle fore: F peso V g dm Momento rsultante (polo ): M V Energa potenale:
Rotazione rispetto ad asse fisso Asse z : asse di rotazione
Rotaone rspetto ad asse fsso Asse : asse d rotaone 1 1 1 Ek= ω = ω= ω om. d nera: propreta d ogn corpo rgdo Dpende da: massa, forma e dmenson del corpo asse rspetto al quale lo s consdera Asta omogenea:
Corpi rigidi (prima parte)
Corp rgd (prma parte) Corp rgd Un corpo rgdo è un corpo n cu le dstane tra le vare par che lo compongono rmangono costan3. r CM d CM È un po parcolare d sstema d N parcelle. Valgono ancora le legg dp dt
asse fisso nel tempo in rotazione attorno ad un asse fisso dell asse di rotazione rimarranno fermi al passar del temporispetto al sistema inerziale
Rotaon rgde attorno ad un asse fsso nel tempo un corpo rgdo n rotaone attorno ad un asse fsso ha un solo grado d lberta n quest cas per descrvere l moto converra rferrs ad un polo fsso se l asse d rotaone
Meccanica Dinamica del corpo rigido
eccnc 7-8 Dnmc del copo gdo 8 Equon del moto: ω L F m ( E ) TOT omento ngole: Eneg cnetc: Sstem d punt E K dp dt L L + L ω ( ) E otone d un copo gdo L ω omento d ne: dl dt dm V L L ω L dstn dll sse d otone
( F) Anello frenato Dati. M=2 kg massa dell anello R=2 m raggio dell anello rad ω= 10 (negativo perchè in senso orario) velocità iniziale dell'anello
Anello renato Dat M= kg massa dell anello R= m raggo dell anello rad = 10 (negatvo perchè n senso oraro) veloctà nale dell'anello s = 0 veloctà nale dell'anello F= 10 ˆ 5ˆj ora applcata al dsco r = O=+
urto v 2f v 2i e forza impulsiva F r F dt = i t
7. Urt Sstem a due partcelle Defnzone d urto elastco, urto anelastco e mpulso L urto è un nterazone fra corp che avvene n un ntervallo d tempo normalmente molto breve, al termne del quale le quanttà d
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