Forza elettrostatica 1.1

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1 1. La foza elettostatca 1.1 La legge d Coulomb Foza elettostatca 1.1 S tova spementalmente (ad esempo con una blanca d tosone d Cavendsh) che fa due cache puntfom n uete e nel vuoto s esecta una foza elettca pa a: F 21 = ˆ 4" dove F 21 è la foza elettostatca esectata nel vuoto su 2 da 1, 12 è la dstanza fa 1 e 2, ˆ è l vesoe detto da 1 veso 2, ed 0 " # 10 $12 C 2 N $1 m $2 è una costante che pende l nome d costante delettca del vuoto. Tale foza sulta attattva ta cache d segno opposto, epulsva ta cache dello stesso segno. Ovvamente una foza d uguale modulo e dezone ma d veso opposto vene esectata su 1 da Enega potenzale elettostatca Pe dmostae che la foza elettostatca è consevatva e pe detemnane l enega potenzale, calcolamone l ntegale d lnea ta due punt A e B (cambato d segno): B F $ el ( " ) # d l B 1 Q = $ " d = Q B 1 = 1 Q 1 Q = E 2 p (B) E p (A) " B A A A A E p ( ) E p (") = 1 Q 4#$ 0 1 Q ==> E p ( ) = 1 Q avendo posto E p ( ) = 0 4#$ 0 " 4" 0 Oss. Ossevamo che, come deve essee pe la consevatvtà del campo d foze, vale la elazone dffeenzale: F el ( ) = "E p ( ). 1.3 Il campo elettco statco Def. Sa data una dstbuzone abtaa d cache elettche nello spazo, statca spetto ad un sstema d femento nezale. Alloa s defnsce campo elettco statco E n un geneco punto dello spazo ndvduato dal vettoe poszone la foza elettca pe untà d caca esectata sulla caca d pova nfntesma n uel punto, coè fomalmente E ( ) lm F "0 ( ) /, essendo F ( ) la foza d Coulomb sultante esectata sulla caca d pova dalla dstbuzone d caca n esame. Def. Le cache che appatengono alla dstbuzone d caca elettca esponsable del campo elettco così defnto sono dette sogent del campo elettco. Oss. sull utlzzo dell opeazone d lmte nella defnzone d campo elettco. S not che l ntodue n un punto dello spazo una caca d pova al fne d defne opeatvamente l campo elettco geneato dalle alte cache n uel punto, compota n lnea d pncpo, che tale caca possa age su tal alte cache dello spazo, andando a petubane la dsposzone ognaa, e und ad alteane l campo Pe tale motvo, s scegle una caca d pova nfntesma, e s defnsce l campo attaveso una opeazone d lmte, opeazone lecta peché la caca elementae è davveo pccolssma, e può senz alto consdeas nfntesma. 1 O

2 Oss. sull untà d msua del campo elettco. Come conseguenza detta della defnzone, l campo elettco s msua n NC 1. Ex. Campo elettco geneato da una caca puntfome n uete nello spazo vuoto. Il campo elettco geneato n un geneco punto P dello spazo da una sngola caca puntfome posta nel vuoto e fema n una ceta poszone, nella uale pendamo l ogne del sstema d femento, vale dunue E ( ) = 4" 0 2 û, dove û è l vesoe adale uscente dalla caca. S tatta d uno de te veso del sstema d coodnate sfeche, che sono una estensone al caso tdmensonale delle coodnate pola nel pano. La coodnata d un punto P dello spazo è la dstanza d P dall ogne: """ OP, OP. Campo elettco geneato da una dstbuzone d caca statca In base al pncpo d sovapposzone degl effett, l campo elettco geneato n un punto P da una dstbuzone dsceta d cache statche vale E ( ) = 1 ( # ) 4" 0 # 3 2 $, dove è l vettoe poszone del geneco punto P n cu calcolamo l potenzale ed è l vettoe poszone della caca sogente ( appesenta pecò la dstanza ta P e la caca sogente ). Pe una dstbuzone contnua d cache statche avemo E ( d ( ) ( " ) ) =, # " 3 dove d ( ) è la caca nfntesma n poszone, che cosponde a ( ")d# pe una dstbuzone d cache d volume, a ( ") ds pe una dstbuzone d cache d supefce, e nfne a ( ")dl pe una dstbuzone d cache lnea, essendo po contestualmente l ntegale n uestone spettvamente un ntegale d volume, d supefce o d lnea. Oss. sulle dstbuzon contnue d caca. S cod che l evdenza spementale, ma smentta da alcun espemento, è che la caca elettca sa sempe comunue uantzzata, coè l valoe d ogn caca n natua non è alto che multplo della caca elementae, und una dstbuzone d caca che sa goosamente contnua non è n ealtà ma stata ossevata, e non v è agone d cedee che possa esstee. Qund ogn dstbuzone d caca è n ealtà una dstbuzone dsceta d caca, tuttava, essendo la caca elementae molto pccola spetto alle cache n goco nel mondo macoscopco, è possble tattae spesso una dstbuzone d caca come se fosse contnua, e cò sulta assa vantaggoso da un punto d vsta fomale, gaze alle potent popetà degl stument matematc d ntegale e devata. Oss. su lmt d valdtà della tattazone. Da uanto abbamo vsto, l campo elettco statco vene geneato da cache elettche statche, che pendono l nome d sogent del campo. Le fomule che abbamo vsto valgono solo nel caso statco e pe oa solo nel vuoto, coè n uno spazo n cu le unche patcelle pesent sono le cache sogent feme spetto all osevatoe nezale. E tuttava possble genealzzae la defnzone opeatva del concetto d campo elettco al caso d cache sogent n moto spetto ad un ossevatoe nezale. In uesto caso s pala d Campo Elettco non Statco, e la sua espessone veà a dpendee anche dal tempo, coè E = E(,t) (campo elettco vaable nel tempo).

3 1.4 Il potenzale elettostatco S defnsce dffeenza d potenzale elettostatco fa due punt dello spazo A e B l ntegale d lnea del campo elettostatco, cambato d segno, lungo un pecoso ualunue che congunga punt A e B: B V ( B) V ( A) = # E " d l. A Pe uanto guada l ntegale d lnea, s tatta dello stesso concetto che s tova nella defnzone d lavoo. Il potenzale elettostatco è und smle ad una enega potenzale, con la dffeenza che nell ntegale tovamo l campo elettco anzché la foza consevatva (l segno meno è pesente anche nell enega potenzale). E possble dae uesta defnzone peché s dmosta che uesto ntegale, nel caso statco, non dpende dal cammno patcolae scelto, ma solo da due estem A e B, popo come l lavoo d una foza consevatva. Questa popetà del campo elettostatco, che pemette d defnne l potenzale n uesto modo, s espme dcendo che l campo elettostatco è un campo consevatvo. Conseguenze mpotant del fatto che l campo elettco è consevatvo: 1. " E d l = 0. L ntegale lungo una lnea chusa (ccutazone) del campo elettostatco è sempe nullo. 2. E = "V. Il campo elettostatco è pa al gadente del potenzale elettostatco cambato d segno, popo come una foza consevatva è pa al gadente dell enega potenzale cospondente cambato d segno. Cò mplca che l campo elettostatco è sempe otogonale alle supefc eupotenzal, coè alle supefc lungo le ual l potenzale elettostatco è costante. 3. In base alla sua defnzone, l potenzale elettostatco sulta sempe defnto a meno d una costante addtva abtaa (come ogn tpo d enega potenzale), che nfatt scompae facendo la dffeenza d potenzale fa due punt. Pe una dstbuzone d caca contenuta n una egone lmtata dello spazo, s può sempe sceglee d poe pa a 0 l potenzale a dstanza nfnta da tale egone dello spazo: V ( ) = 0. Assumendo tale convenzone, che è la pù usata, s cava che l potenzale geneato da una caca puntfome n un geneco punto a dstanza dalla caca vale: V ( ) = 4" 0. Oss. Untà d msua In base alla defnzone, po, l untà d msua del potenzale elettostatco è l N mc 1 = JC 1 (Joule su Coulomb). A tale untà d msua devata s dà pe bevtà un nome nuovo, coè l Volt (V):1 V 1 JC "1. D conseguenza anche l untà d msua del campo elettco assume una seconda denomnazone accanto alla pma: E Potenzale Elettostatco geneato da una dstbuzone d caca [ ] = NC 1 = Vm 1 (Volt su meto). Applcando l pncpo d sovapposzone degl effett, che vale anche pe l potenzale olte che pe l campo elettostatco (essendo ueste due gandezze legate da un euazone lneae), s ottene l potenzale geneato da una dstbuzone d caca ualsas, sempe ponendo pa a 0 l potenzale a dstanza nfnta dalle cache sogent. Nel caso dsceto avemo: V ( ) = 1 4" 0 #, dove è l vettoe poszone del geneco punto P n cu calcolamo l potenzale ed è l vettoe poszone della caca sogente. Nel caso d una dstbuzone d cache contnua, nvece, avemo: V ( ) = 1 d ( # ), 4" 0 % $ # $ 3

4 ( ) è la caca nfntesma n poszone dove d. Natualmente tutte ueste espesson valgono solo nel caso d cache feme e nel vuoto. 2. Modello classco d atomo In vtù della pefetta analoga esstente ta l nteazone gavtazonale ta due cop e l nteazone elettostatca ta cache d segno opposto, all nzo del secolo scoso fu poposto un modello d atomo del tutto analogo ad un mcoscopco sstema planetao. Nonostante tale modello abba avuto vta beve n seno alla comuntà scentfca, esso assunse un uolo patcolamente mpotante nell ambto d uella voluzone scentfca della fsca che potò alla teoa de uant, cadne d tutta la fsca modena. Il modello atomco d Thomson Pma del modello planetao d atomo fu poposto un modello pù semplce, pe così de statco. A popolo fu nel 1902 lo scoptoe dell elettone (pma patcella costtuente dell atomo), Joseph John Thomson l uale potzzò che l atomo fosse costtuto da una sfea pva d massa ma dotata d caca postva unfomemente dstbuta nella uale s toveebbeo mmes de gum elementa massv d caca negatva, gl eletton appunto. Quando ad un atomo vene fonta enega, come ne suo espement con tub a agg catodc, esso manfesta la tendenza a lbeae degl eletton, pedendo caca negatva (pocesso d onzzazone) e dvenendo und uno one postvo (a causa della dspatà ta la caca totale postva e la caca totale negatva che è dmnuta a seguto della onzzazone). Questo modello pu fonendo una pma ntutva desczone mcoscopca dell atomo pesentava numeos lmt: ) Attbuendo massa esclusvamente agl eletton s tovava che gà un sngolo atomo dell elemento pù leggeo n natua, l dogeno, doveva contenee cca 2000 eletton (pe pote tene conto della sua massa). ) Non spegava l ogne della dvesa tendenza degl atom d element dves a pedee eletton (dvese enege d onzzazone). ) E n dsaccodo con teoa dell elettostatca, n base alla uale s può dmostae che nessun sstema d cache ammette una confguazone d eulbo statco. v) Evdenze spemental dovute a Enest Ruthefod ne pm ann del 1900 dmostavano che la massa dell atomo è concentata n una egone molto pù pccola dell atomo stesso (l cosddetto nucleo, d aggo cca 10-5 volte nfeoe al aggo atomco). S tatta d espement d scatteng (o dffusone) d patcelle alfa (nucle d elo) su sottl lamne d oo... Il modello atomco d Ruthefod Pe ueste agon l modello d Thomson fu pesto sosttuto nel 1911 dal cosddetto modello d Ruthefod, che poponeva un modello pe così de planetao dell atomo: un nucleo denso e pccolo caco postvamente ccondato da eletton n moto otatoo su obte d dveso aggo. Il modello d Ruthefod è un modello dnamco dell atomo che pedce un eulbo dnamco del sstema d cache postva del nucleo e negatve degl eletton dovuta ad un blancamento della foza d attazone del nucleo con la foza centfuga dovuta al moto otatoo degl eletton, esattamente come accade nel nosto sstema planetao pe panet n moto otatoo ntono al Sole. In base alla teza legge d Kepleo, possamo anche faclmente stmae l peodo d voluzone dell elettone ntono al nucleo su d un obta ccolae d aggo R: 4

5 T = 4 2 m e R 3 = 4R " m R 0 e essendo k = e2. k e 2 4" 0 Sapendo po, dalla teoa dell elettomagnetsmo classco, che una caca che compe un moto oscllatoo d peodo T emette adazone elettomagnetca alla feuenza (1/T) d tale oscllazone, è possble stmae l odne d gandezza della feuenza della adazone emessa dagl atom ne pocess d ecctazone e dsecctazone (ossevata negl espement d assobmento o d emssone): = 1 T = 1 4"R e 2 "# 0 m e R I valo dedott da uesto calcolo, note le costant fsche e posto R cca uguale al aggo dell atomo (dell odne d m), sultavano dello stesso odne d gandezza delle feuenze ealmente ossevate (coè centnaa d THz). Nonostante uesto buon accodo ualtatvo, anche uesto modello pesentava alcune fondamental nconguenze sa con la teoa classca dell elettomagnetsmo sa con mpotant evdenze spemental: ) Pochè l elettone uotando ntono al nucleo agga esso dovebbe pedee enega e und potas su obte sempe pù ntene fno a cadee sul nucleo stesso. ) I calcol mostano che l tempo mpegato pe uesto decadmento è dell odne d 10 ns cca, und l atomo d Ruthefod è estemamente nstable ed l modello planetao non può n alcun modo endee conto della stabltà della matea nell unveso. ) Infne, espement d ecctazone e dsecctazone d numeose spece chmche avevano dmostato che ogn elemento uando s dseccta emette luce d patcola e caattestche lunghezze d onda, coè ogn elemento ha un caattestco spetto d emssone a ghe, mente un decadmento alla Ruthefod pevedebbe la emssone d un contnuo d lunghezze d onda. L anals ctca d ueste fondamental nconguenze del modello planetao dell atomo, e und della fsca classca su cu esso s fondava, detemnò l nascee d una nuova teoa fsca, la meccanca uantstca. 5