3 Partizioni dell unità 6

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1 Partzon dell untà Alessandro Ghg 29 ottobre 2014 Indce 1 Funzon lsce a supporto compatto 1 2 Rcoprment localmente fnt 5 3 Partzon dell untà 6 1 Funzon lsce a supporto compatto Lemma 1. Sano f C 1 (a, b) e g C 1 (b, c). Supponamo che esstano numer y 0, y 1 R tal che f() = 0 b b + (1) () = b b g () = y 1. + (2) Allora la funzone f() (a, b) F () = y 0 = b g() (b, c) (3) è d classe C 1 su (a, b) e la sua dervata è data da f () (a, b) F () = y 1 = b g () (b, c) (4) 1

2 Dmostrazone. La formula (1) dce che la funzone F è contnua su (a, b). Sappamo noltre che F è C 1 su (a, b) e su (b, c) e che la dervata F è v data dalla formula (4). Resta da provare che F è dervable anche n b e che la dervata F (b) = y 1. Segurà mmedatamente dalla (2) che F è contnua su tutto (a, c), coè che F C 1 (a, c). Per la defnzone d F applcando l teorema d de l Hôptal ottenamo: F () F (b) f() f(b) = = b b b b f () = y 1. b Analogamente s verfca che Dunque F () F (b) = y 1. b + b F () F (b) = y 1. b b Pertanto F è dervable n b e F (b) = y 1. Proposzone 2. Sa k N. Sano f C k (a, b) e g C k (b, c). Supponamo che esstano numer y 0, y 1,..., y k R tal che per = 0, 1,..., k s abba b D f() = b D g() = y. (5) + Allora la funzone defnta dalla formula (3) è d classe C k su (a, b). Dmostrazone. Il rsultato è noto per k = 0. Procedamo per nduzone su k 1. Per k = 1 è stato dmostrato nel lemma precedente. Procedamo per nduzone su k. Sa k > 1 e supponamo (potes nduttva) che l rsultato sa vero per ncollament d funzon C k 1. Sano f e g due funzon che soddsfano le potes della proposzone. Poché k > 1, esse soddsfano anche le potes del lemma precedente. Pertanto F C 1 (a, b). Per l potes nduttva applcata alle funzon f e g, la funzone f () (a, b) ϕ() = y 1 = b g () (b, c) è C k 1 su (a, c). Ma per la (4) ϕ = F. Dunque F C k 1 (a, c), ossa F C k (a, ). 2

3 Corollaro 3. Sano f C (a, b) e g C (b, c). Supponamo che per ogn N essta un numero y R tale che b D f() = b D g() = y. (6) + Allora la funzone defnta dalla formula (3) è d classe C su (a, b). Dmostrazone. Basta applcare la proposzone precedente per ogn k N. Teorema 4. Sa ϕ : R R la funzone defnta dalla formula { 0 0 F () = e 1/ > 0. Allora ϕ C (R). Dmostrazone. Sa f C ((, 0) la funzone dentcamente nulla e g C ((0, ) la funzone g() = e 1/. Dmostreremo che F è C applcando l corollaro precedente alle funzon f e g. È necessaro dmostrare che t delle dervate m-esme d f e d g per 0 esstono, sono fnt e concdono. Poché le dervate d f sono dentcamente nulle, è suffcente dmostrare che per ogn m N 0 Dm g() = 0. + Comncamo dmostrando che per ogn m N esste un polnomo p m (t) R[t] tale che ( ) 1 D m g() = p m e 1/. (7) Procedamo per nduzone su m. Se m = 0 la formula (7) è vera se s scegle l polnomo (costante) p 0 (t) = 1. Supponamo vera la formula (7) per m e calcolamo Ponamo ( 1 = p m [ D m+1 g() = D ) ] e 1/ ( 1 p m )( 1 ) 2 e 1/ p m ( 1 p m+1 (t) = t 2 p m(t) + t 2 p m (t). = ) e 1/ 2. 3

4 Allora p m+1 è ancora un polnomo e D m+1 g() = p m+1 ( 1 ) e 1/ 2. È così provata la (7). A questo punto possamo calcolare p m (y) 0 Dm g() = + y + e y = 0. È così provato che tutte le dervate d f e d g tendono a 0 per 0, dunque l corollaro precedente asscura che F C (R). Defnzone 5. Se X è uno spazo topologco e f : X R è una funzone, l supporto d f è l nseme supp(f) := { X : f() 0}. Corollaro 6. Esste una funzone monotona crescente f C (R) tale che f 1 (0) = (, 0] e f 1 (1) = [1, + ). Dmostrazone. Indchamo con F una qualunque funzone lsca su tutto l asse reale e tale che F () = 0 per < 0 ed F () > 0 per > 0. Il teorema precedente asscura l esstenza d tal funzon. Ponamo ψ() = F ()F (1 ). La funzone ψ è lsca su tutto R, è strettamente postva su (0, 1) e supp(ψ) = [0, 1]. Sa h() = 0 ψ(ξ)dξ. Allora h() = 0 per < 0, mentre per 1, h() = h(1) > 0. Inoltre h è crescente su R ed è strettamente crescente su [0, 1]. Qund 0 < < 1 0 < h() < h(1). La funzone ha le propretà desderate. f() = h() h(1) Corollaro 7. Esste una funzone η C (R n ) tale che η() = 1 se e solo se 1 e supp(η) = B(0, 2). Dmostrazone. Sa f la funzone costruta nel Corollaro precedente. Ponamo η() := f(2 ). La norma è una funzone lsca su R n \{0}, dunque η è lsca su R n \ {0}. Ma η() = 1. Per lo stesso motvo supp(η) = B(0, 2). Sccome η 1 su B(0, 1), η è lsca anche n 0. Dunque η ha le propretà desderate. 4

5 2 Rcoprment localmente fnt Questa sezone vene da [1, p. 187]. Proposzone 8. Ogn varetà dfferenzable ammette una base numerable formata da nsem relatvamente compatt. Dmostrazone. Sa B la famgla degl apert della forma ϕ 1 (B(, r)) dove (U, ϕ) è una carta su M e B(, r) ϕ(u). Quest apert sono relatvamente compatt perché ϕ 1 (B(, r)) = ϕ 1 (B(, r)). È facle verfcare che questa famgla d apert è una base della topologa d M. Sa po B una qualunque base numerable d M. Allora la famgla B formata dagl element d B che sono contenut n qualche elemento d B è ancora una base ed è numerable perché B B. Se V B, per defnzone esste un elemento V B tale che V V. Dunque V V. Qund V è compatto. B è la base cercata. Lemma 9. Su ogn varetà dfferenzable M esste una esaustone n compatt, ossa una successone d compatt K 1, K 2,... tal che K K +1 per ogn e K = M. Dmostrazone. Sa {P } la base costruta nel lemma precedente. Ponamo K 1 := P 1. Supponamo nduttvamente d avere costruto compatt K 1 K 2 K 2 K 3 K K. Sa r > 0 un numero tale che K P 1 P r. Ponamo K +1 := P 1 P r. Allora K K +1. Procedendo n questo modo ottenamo una successone d compatt che soddsfa per costruzone la prma rchesta. Poché P K, anche la seconda propretà è verfcata. Defnzone 10. Se A è un rcoprmento aperto d M, dcamo che un altro rcoprmento aperto B è un raffnamento d A se per ogn B B esste A A tale che A B. Defnzone 11. Una famgla F d sottonsem d M è localmente fnta se per ogn M esste un ntorno W d che nterseca solo un numero fnto d element d F. Lemma 12. Se A è un rcoprmento aperto d una varetà M, allora esste una successone d carte (U, ϕ ) d M tal che 1. {U } è un raffnamento numerable localmente fnto d A; 2. ϕ (U ) = B(0, 3); 5

6 3. gl apert V := ϕ 1 (B(0, 1)) rcoprono M. Dmostrazone. Sa {K } una esaustone n compatt. Ponamo K 1 = K 0 =. Per ogn = 0, 1, 2,... faccamo la seguente costruzone. Supponamo che A = {A α } α I. Per ogn α I e per ogn p ( K +2 K 1 ) A α sceglamo una carta (U p,α, ϕ p,α ) tale che 1. p U p,α ( K +2 K 1 ) A α ; 2. ϕ p,α (p) = 0; 3. ϕ p,α (U p,α ) = B(0, 3) Possamo sempre trovare una carta del genere. Basta sceglere una carta qualsas attorno a p, restrngere l domno, comporre con una traslazone e una dlatazone e qund restrngere d nuovo l domno. Ponamo V p,α := ϕ 1 p,α(b(0, 1)). Gl apert V p,α formano un rcoprmento d K +2 K 1. Sccome K +1 K è un compatto contenuto n K +2 K 1, possamo trovare degl apert V p1,α 1,..., V pn,α n che rcoprono K +1 K. Ponamo per semplctà V,k := V pk,α k, U,k := U pk,α k, ϕ,k := ϕ pk,α k. Rcaptolando, per ogn = 0, 1, 2,... abbamo trovato delle carte ϕ,k : U,k B(0, 3), k = 1,..., n, tal che U,k A α per un certo α I, U,k K +2 K 1. Inoltre gl apert V,k = ϕ 1,k (B(0, 1)) rcoprono K +1 K. Segue mmedatamente che M = (K +1 K ) =0 n =0 k=1 per cu {V,k } e {U,k } sono rcoprment apert d M. Inoltre sono raffnament d A. Resta da dmostrare che {U,k } è localmente fnto. Osservamo che U j,k K j. Infatt se j >, s ha K K j 1 dunque U j,k K ( K j+2 K j 1 ) K K K j 1 =. Dato M sceglamo tale che K. Allora gl apert U j,k con j > non ntersecano l ntorno K d. Qund gl apert che lo ntersecano sono n numero fnto. V,k 3 Partzon dell untà Teorema 13. Sa A = {A α } α I un rcoprmento aperto d M. Allora esste una successone d funzon {f } C (M) tal che 6

7 1. f 0; 2. supp(f ) è compatto; 3. la famgla {supp(f )} è localmente fnta; 4. per ogn c è un α I tale che supp(f ) A α ; 5. =1 f 1. Dmostrazone. Sceglamo (U, ϕ ) e V come nel Lemma 12. Sa η C (R n ) tale che η() = 1 se 1 e η() = 0 se 2. Defnsco g C (M) nel modo seguente: { η ( ϕ (p) ) se p U g (p) := 0 se p M \ ϕ 1 (B(0, 2)). Su U \ ϕ 1 (B(0, 2)) le due defnzon concdono, dunque g è ben defnta. D altronde è lsca sa su U che su M \ ϕ 1 (B(0, 2)), qund è lsca dappertutto. Evdentemente g 0. Il supporto d g è un chuso contenuto n ϕ 1 (B(0, 2)), dunque è compatto. Sccome supp(g ) U, la famgla {supp(g )} è localmente fnta, perché {U } è localmente fnto. Qund g := =1 g è una funzone lsca perché localmente è una somma fnta d funzon lsce. Sccome esste α tale che U A α, anche supp(g ) A α. Ora osservamo che M = V e g 1 su V. Qund g(p) > 0 per ogn p M. Ponamo f := g /g. Allora supp(f ) = supp(g ), qund tutte le propretà dmostrate contnuano a valere per le funzon {f }. Inoltre f = 1 g =1 g = 1. =1 Lemma 14. Sa X uno spazo topologco e sa E X un nseme con la seguente propretà: per ogn X esste un ntorno V tale che E V è chuso n V. Allora E è chuso. Dmostrazone. Sa Ē. Allora Ē V. Ma Ē V è la chusura d E V n V e E V è chuso n V. Pertanto Ē V = E V. Dunque E. Lemma 15. Sa X uno spazo topologco e sa {F } una famgla localmente fnta d sottonsem chus. Allora anche F := F è chuso. 7

8 Dmostrazone. Sa X e sa W un ntorno tale che I() := { : W F } sa fnto. Allora F W = F W, I() che è chuso n W perché è una unone fnta d chus. precedente F è chuso. Per l lemma Teorema 16. Sa A = {A α } α I un rcoprmento aperto d M. Allora esste una famgla d funzon {f α } α I C (M) tal che 1. f α 0; 2. la famgla {supp(f α )} è localmente fnta; 3. per ogn α I s ha supp(f α ) A α ; 4. α I f α 1. Dmostrazone. Sceglamo una successone d funzon {f } come nel Teorema 13. Per ogn N esste un α I tale che supp(f ) A α. Sceglamo un tale α e chamamolo τ(). In questo modo abbamo defnto una funzone τ : N I tale che per ogn N s ha supp(f ) A τ(). Ora ponamo f α := τ 1 (α) dove s ntende che f α = 0 se α τ(n). Le propretà (1) e (4) sono ovve. C restano da dmostrare le propretà (2) e (3). Sa p M e sa W un ntorno d p tale che supp(f ) W = se 0. Allora supp(f α ) W = se α τ({1, 2,..., 0 }). Dunque la famgla {supp(f α )} è localmente fnta. Infne osservamo che l nseme {p M : f α (p) 0} è contenuto nell nseme F := supp(f ). τ 1 (α) Questo nseme è una unone localmente fnta d chus, dunque è un chuso. Pertanto anche supp(f α ) F. Ma F A α. Cò dmostra la propretà (3). Una famgla d funzon come le {f } del Teorema 13 o una famgla d funzon come le {f α } del Teorema 16 è chamata una partzone dell untà subordnata al rcoprmento A. f, 8

9 Rferment bblografc [1] W. M. Boothby. An ntroducton to dfferentable manfolds and Remannan geometry, volume 120 of Pure and Appled Mathematcs. Academc Press Inc., Orlando, FL, second edton,