Dipartimento di Scienze Statistiche Università di Bologna. Matematica finanziaria aa lezione 11: 5 marzo 2014

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1 Dpartmento d Scenze Statstche Unverstà d Bologna Matematca fnanzara aa lezone 11: 5 marzo 2014 professor Danele Rtell 1/31?

2 2/31?

3 Formalzzamo: l debto resduo prospettvo n m, δ p m è l valore attuale n m delle rate α m+1,..., α n non ancora scadute: n m δ p m = s=1 α m+s (1 + ) s 3/31?

4 Formalzzamo: l debto resduo prospettvo n m, δ p m è l valore attuale n m delle rate α m+1,..., α n non ancora scadute: n m δ p m = s=1 α m+s (1 + ) s l debto resduo retrospettvo n m, δ r m è: δ r m = A (1 + )m m α s (1 + ) m s s=1 3/31?

5 Teorema δ r m = δp m Dunque nel regme composto ha senso parlare semplcemente d debto resduo all epoca m. onamo: δ m := δ r m = δp m 4/31?

6 Dmostrazone δ r m δp m = A (1 + )m m α k (1 + ) m k n m α k+m (1 + ) k 5/31?

7 Dmostrazone δ r m δp m = A (1 + )m m α k (1 + ) m k n m α k+m (1 + ) k Nel terzo addendo cambamo gl ndc h = k + m: δ r m δp m = A (1 + )m m α k (1 + ) m k n α h (1 + ) (h m) h=m+1 5/31?

8 Dmostrazone δ r m δp m = A (1 + )m m α k (1 + ) m k n m α k+m (1 + ) k Nel terzo addendo cambamo gl ndc h = k + m: δ r m δp m = A (1 + )m m α k (1 + ) m k n α h (1 + ) (h m) h=m+1 δ r m δp m = A (1 + )m m α k (1 + ) m k n α h (1 + ) m h h=m+1 5/31?

9 Dmostrazone δ r m δp m = A (1 + )m m α k (1 + ) m k n m α k+m (1 + ) k Nel terzo addendo cambamo gl ndc h = k + m: δ r m δp m = A (1 + )m m α k (1 + ) m k n α h (1 + ) (h m) h=m+1 δ r m δp m = A (1 + )m m α k (1 + ) m k n α h (1 + ) m h h=m+1 δ r m δp m = A (1 + )m m α k (1 + ) m k n α k (1 + ) m k k=m+1 5/31?

10 δ r m δp m = A (1 + )m n α k (1 + ) m k 6/31?

11 n δ r m δp m = A (1 + )m α k (1 + ) m k d altra parte s può scrvere: δ r m δp m = A (1 + )m (1 + ) m n α k (1 + ) k 6/31?

12 n δ r m δp m = A (1 + )m α k (1 + ) m k d altra parte s può scrvere: δ r m δp m = A (1 + )m (1 + ) m n α k (1 + ) k coè ( n ) δ r m δp m = (1 + )m A α k (1 + ) k 6/31?

13 n δ r m δp m = A (1 + )m α k (1 + ) m k d altra parte s può scrvere: δ r m δp m = A (1 + )m (1 + ) m n α k (1 + ) k coè ( n ) δ r m δp m = (1 + )m A α k (1 + ) k ma per la natura stessa delle rate allora δ r m δp m = 0 6/31?

14 Defnzone Se è un prestto se m {1, 2,..., n} e se m < τ < m + 1 chameremo: 1. debto resduo prospettvo l valore attuale n τ delle rate non scadute da m + 1 al termne del prestto; 7/31?

15 Defnzone Se è un prestto se m {1, 2,..., n} e se m < τ < m + 1 chameremo: 1. debto resduo prospettvo l valore attuale n τ delle rate non scadute da m + 1 al termne del prestto; 2. debto resduo retrospettvo la dfferenza, valutata n τ fra l montante della prestazone A n τ e l montante n τ delle rate pagate α 1,..., α m 7/31?

16 Traducendo le parole n formule abbamo: n m δ p τ = h=1 δ r τ = A(1 + )τ α m+h (1 + ) (m+h τ ), m α k (1 + ) τ k "m #! "m1 "n 0 m! m1 n 8/31?

17 Traducendo le parole n formule abbamo: n m δ p τ = α m+h (1 + ) (m+h τ ), h=1 δ r τ = A(1 + )τ m α k (1 + ) τ k "m #! "m1 "n 0 m! m1 n anche n questo caso s dmostra che δ r τ = δp τ Anche nel caso d valute comprese fra due scadenze ha senso parlare d un solo debto resduo. 8/31?

18 Infne, se m < τ < m + 1 s ha che: δ τ = (1 + ) τ m δ m 9/31?

19 debto estnto = parte d prestto rmborsata all epoca m Smbolo ε m ε m = A δ m 10/31?

20 an d ammortamento La rata α k scadente al tempo k è decomposta n quota captale e quota nteress : α k = c k + h k 11/31?

21 an d ammortamento La rata α k scadente al tempo k è decomposta n quota captale e quota nteress : α k = c k + h k condzone d chusura n c k = A 11/31?

22 ogn quota captale pagata va a ncrementare l debto estnto e a dmnure l debto resduo ε m = ε m 1 + c m δ m = δ m 1 c m ε 0 = 0 δ 0 = A 12/31?

23 ogn quota captale pagata va a ncrementare l debto estnto e a dmnure l debto resduo ε m = ε m 1 + c m δ m = δ m 1 c m ε 0 = 0 δ 0 = A Le quote nteress sono determnate proporzonalmente al debto resduo al pagamento precedente dal tu h m = δ m 1 12/31?

24 ogn quota captale pagata va a ncrementare l debto estnto e a dmnure l debto resduo ε m = ε m 1 + c m δ m = δ m 1 c m ε 0 = 0 δ 0 = A Le quote nteress sono determnate proporzonalmente al debto resduo al pagamento precedente dal tu h m = δ m 1 13/31?

25 h 1 = A, 14/31?

26 h 1 = A, h 2 = [A c 1 ] 14/31?

27 h 1 = A, h 2 = [A c 1 ] h 3 = [A (c 1 + c 2 )] 14/31?

28 h 1 = A, h 2 = [A c 1 ] h 3 = [A (c 1 + c 2 )] 14/31?

29 h 1 = A, h 2 = [A c 1 ] h 3 = [A (c 1 + c 2 )] h n = [A (c 1 + c c n 1 )] 14/31?

30 Il pano d ammortamento è la tabella replogatva del rmborso del prestto. Esplcta, per ogn scadenza, la rata pagata, la quota captale, la quota nteress, l debto estnto e l debto resduo. Queste quanttà sono dette, gl element del pano d ammortamento 15/31?

31 Esempo La somma A = vene rmborsata n un anno medante quattro rate trmestral al tasso = 0, Sapendo che le prme tre rate pagate sono state d 250 s determn l ultma rata e s compl l pano d ammortamento 16/31?

32 Esempo La somma A = vene rmborsata n un anno medante quattro rate trmestral al tasso = 0, Sapendo che le prme tre rate pagate sono state d 250 s determn l ultma rata e s compl l pano d ammortamento passo zero: l tasso annuo va trasformato n trmestrale 4 = 0, possamo tranqullamente prendere 4 = 0, 01 16/31?

33 passo uno: scomposzone della prma rata h 1 = 4, δ 0 = 4 A = 0, = 10 17/31?

34 passo uno: scomposzone della prma rata h 1 = 4, δ 0 = 4 A = 0, = 10 c 1 = α 1 h 1 = = /31?

35 passo uno: scomposzone della prma rata h 1 = 4, δ 0 = 4 A = 0, = 10 c 1 = α 1 h 1 = = 240 ε 1 = ε 0 + c 1 = = /31?

36 Trmestre α k c k h k δ k ε k , , , 00 10, , , 00 18/31?

37 passo due: scomposzone della seconda rata h 2 = 4, δ 1 = 0, = 7, 6 19/31?

38 passo due: scomposzone della seconda rata h 2 = 4 δ 1 = 0, = 7, 60 c 2 = α 2 h 2 = 250 7, 60 = 242, 40 20/31?

39 passo due: scomposzone della seconda rata h 2 = 4 δ 1 = 0, = 7, 60 c 2 = α 2 h 2 = 250 7, 60 = 242, 40 δ 2 = δ 1 c 2 = , 40 = 517, 60 21/31?

40 passo due: scomposzone della seconda rata h 2 = 4 δ 1 = 0, = 7, 60 c 2 = α 2 h 2 = 250 7, 60 = 242, 40 δ 2 = δ 1 c 2 = , 40 = 517, 60 ε 2 = ε 1 + c 2 = , 40 = 482, 40 22/31?

41 Trmestre α k c k h k δ k ε k , , , 00 10, , , , , 40 7, , , 40 23/31?

42 passo tre: scomposzone della terza rata h 3 = 4, δ 2 = 0, , 60 = 5, /31?

43 passo tre: scomposzone della terza rata h 3 = 4 δ 2 = 0, , 60 = 5, 176 c 3 = α 3 h 3 = 250 5, 176 = 244, /31?

44 passo tre: scomposzone della terza rata h 3 = 4 δ 2 = 0, , 60 = 5, 176 c 3 = α 3 h 3 = 250 5, 176 = 244, 824 δ 3 = δ 2 c 3 = 517, , 824 = 272, /31?

45 passo tre: scomposzone della terza rata h 3 = 4 δ 2 = 0, , 60 = 5, 176 c 3 = α 3 h 3 = 250 5, 176 = 244, 824 δ 3 = δ 2 c 3 = 517, , 824 = 272, 776 ε 3 = ε 2 + c 3 = 482, , 824 = 727, /31?

46 Trmestre α k c k h k δ k ε k , , , 00 10, , , , , 40 7, , , , , 824 5, , , /31?

47 possamo fnalmente determnare l ultma rata α 4 = δ δ 3 = 1, , 776 = 275, Trmestre α k c k h k δ k ε k , , , 00 10, , , , , 40 7, , , , , 824 5, , , , , 776 2, /31?

48 Somma degl nteress er ragon fscal, per certe tpologe d rmborso, serve conoscere l ammontare degl nteress pagat n un determnato perodo. Se n è l numero d pagament, consderamo due scadenze con valute m, p. Supponamo che 1 m < p n. La quota nteress della scadenza m è determnata dal debto resduo n m 1 mentre al pagamento della rata d valuta p l debto resduo è δ p. Indchamo con H(m, p) l ammontare degl nteress pagat fra l pagamento m e l pagamento p. Αm Α m 1 0 m1 m m1 p n 30/31?

49 La dfferenza fra l debto resduo n m 1, che è l debto n essere prma del pagamento della rata m, ed l debto resduo n p, che s genera al pagamento della rata p, ndca la dmnuzone del debto a seguto de pagament fra la scadenza m e la scadenza p. Dall altro lato nello stesso perodo l debtore ha versato α m + + α p. 31/31?

50 La dfferenza fra l debto resduo n m 1, che è l debto n essere prma del pagamento della rata m, ed l debto resduo n p, che s genera al pagamento della rata p, ndca la dmnuzone del debto a seguto de pagament fra la scadenza m e la scadenza p. Dall altro lato nello stesso perodo l debtore ha versato α m + + α p. La dfferenza fra queste due quanttà è la remunerazone del credtore nel perodo fra m e p qund è la somma delle quote nteress pagate, ed è data dalla formula: p H(m, p) = α k (δ m 1 δ p ) (1) k=m 31/31?