Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica finanziaria aa Lezione 4: Martedì 24/2/2015

Transcript

1 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca fnanzara aa Lezone 4: Martedì 24/2/2015 professor Danele Rtell 1/31?

2 Attualzzazone I fattor d attualzzazone conugat rspettvamente alle legg lneare ed esponenzale sono: ϕ L (t) = t, 2/31?

3 Attualzzazone I fattor d attualzzazone conugat rspettvamente alle legg lneare ed esponenzale sono: ϕ L (t) = t, ϕ E(t) = 1 (1 + ) t 2/31?

4 Attualzzazone I fattor d attualzzazone conugat rspettvamente alle legg lneare ed esponenzale sono: ϕ L (t) = t, ϕ E(t) = 1 (1 + ) t qund le legg d attualzzazone ne due regm sono a L (t; C) = C 1 + t, a E(t; C) = C (1 + ) t 2/31?

5 Valore attuale e forza d nteresse a(t; C) = C exp ( t 0 ) δ(s)ds 3/31?

6 Sconto Nel momento n cu calcolamo l valore attuale d un captale dsponble nel futuro nella pratca commercale s compe quella che vene comunemente chamata operazone d sconto. 4/31?

7 Sconto Nel momento n cu calcolamo l valore attuale d un captale dsponble nel futuro nella pratca commercale s compe quella che vene comunemente chamata operazone d sconto. Lo sconto S t è la somma che vene sottratta ad un captale C t esgble al tempo t > 0 se s vuole dsporne antcpatamente. 4/31?

8 Sconto Nel momento n cu calcolamo l valore attuale d un captale dsponble nel futuro nella pratca commercale s compe quella che vene comunemente chamata operazone d sconto. Lo sconto S t è la somma che vene sottratta ad un captale C t esgble al tempo t > 0 se s vuole dsporne antcpatamente. Se C a ndca l valore attuale, calcolato secondo un dato regme d captalzzazone, del captale C t dsponble al tempo t > 0 s ha la relazone C a = C t S t 4/31?

9 Sconto commercale S parla d sconto commercale se lo sconto è drettamente proporzonale al captale ed al tempo 5/31?

10 Sconto commercale S parla d sconto commercale se lo sconto è drettamente proporzonale al captale ed al tempo S c t = C t d t 5/31?

11 Sconto commercale S parla d sconto commercale se lo sconto è drettamente proporzonale al captale ed al tempo S c t = C t d t Ne vene che l valore attuale nello sconto commercale è dato dalla formula C c a = C t S c t = C t C t d t = C t (1 dt) 5/31?

12 Sconto razonale S parla d sconto razonale quando la somma scontata St r è tale che, se mpegata n regme semplce per l tempo t al tasso dà come montante l captale C t C t = S r t (1 + t) 6/31?

13 Sconto razonale S parla d sconto razonale quando la somma scontata St r è tale che, se mpegata n regme semplce per l tempo t al tasso dà come montante l captale C t C t = S r t (1 + t) = Sr t = C t 1 + t 6/31?

14 Sconto composto S parla d sconto composto quando la somma scontata St e è tale che, se mpegata n regme composto per l tempo t al tasso dà come montante l captale C t C t = S e t (1 + )t 7/31?

15 Sconto composto S parla d sconto composto quando la somma scontata St e è tale che, se mpegata n regme composto per l tempo t al tasso dà come montante l captale C t C t = S e t (1 + )t = S e t = C t (1 + ) t 7/31?

16 Rendte Il concetto d rendta ha nel calcolo fnanzaro la funzone d strumento d ndagne teorca nella valutazone d dverse stuazon fnanzare che s verfcano n stant temporal dvers. 8/31?

17 Rendte Il concetto d rendta ha nel calcolo fnanzaro la funzone d strumento d ndagne teorca nella valutazone d dverse stuazon fnanzare che s verfcano n stant temporal dvers. La comprensone d questa nozone è ndspensable quando ad una prestazone fnanzara fanno rscontro un certo numero d controprestazon, cascuna delle qual matura n stant dvers: rmborso d un prestto o valutazone d un nvestmento 8/31?

18 Defnzone Sa n N un ntero postvo. S dce rendta temporanea, un nseme fnto d captal Cs, dsponbl a temp ts, s = 1, 2..., n 0 C1 C2 C3 t1 t2 t3... Cs... ts Cn tn Fgure 1: Asse de temp R = (ts ; Cs ) 9/ L2 3M 33 22?

19 Defnzone. Sa assegnata la rendta R = (t s ; C s ) e sa f(t) un fattore d montante. La quanttà: V (R; t n ) = n k=1 C k f(t n t k ) prende l nome d montante della rendta R all stante fnale t n 10/31?

20 Montante n Regme composto V (R; t n ) = n C k (1 + ) t n t k k=1 11/31?

21 Montante n Regme semplce V (R; t n ) = n k=1 ) C k (1 + (t n t k ) 12/31?

22 Defnzone. Sa assegnata la rendta R = (t s ; C s ) e sa ϕ(t) un fattore d sconto. Il valore attuale della rendta R è: n V (R; 0) = C k ϕ(t k ) k=1 13/31?

23 Valore attuale n Regme composto V (R; 0) = n C k (1 + ) t k k=1 14/31?

24 Valore attuale n Regme semplce V (R; 0) = n C k (1 + t k ) 1 k=1 15/31?

25 Eserczo. Una rendta è costtuta da captal 800, 250, 1 500, qual sono dsponbl rspettvamente dopo un mese, quarantotto gorn, quattro mes, otto mes e dec gorn dall orgne della rendta. Determnare, n regme semplce, l montante ed l valore attuale al tasso annuo = 0, /31?

26 Eserczo. Una rendta è costtuta da captal 800, 250, 1 500, qual sono dsponbl rspettvamente dopo un mese, quarantotto gorn, quattro mes, otto mes e dec gorn dall orgne della rendta. Determnare, n regme semplce, l montante ed l valore attuale al tasso annuo = 0, 06. Soluzone {( ) 30 R = 360 ; 800, ( ) ; 250, ( ) ; 1 500, ( )} ; /31?

27 Eserczo. Determnare, n regme semplce, l montante ed l valore attuale al tasso annuo = 0, 06. Soluzone {( ) 30 R = 360 ; 800, {( ) 1 R = 12 ; 800, ( ) ; 250, ( ) 2 15 ; 250, ( ) ; 1 500, ), ( 1 3 ; ( )} ; )} ( ; /31?

28 Eserczo. Soluzone {( ) 1 R = 12 ; 800, V ( R; 25 ) 36 = [ = = 3 820, 25 ( ) 2 15 ; 250, ( ) 1 3 ; 1 500, ( )] ( )] [ [ [ ( )} ; ( )] + 15 ( )] 36 19/31?

29 Eserczo. Soluzone {( ) 1 R = 12 ; 800, V (R; 0) = = = 3 666, 62 ( ) 2 15 ; 250, ( ) 1 3 ; 1 500, ( )} ; /31?

30 Eserczo. Una rendta è costtuta da captal 800, 250, 1 500, qual sono dsponbl rspettvamente dopo un mese, quarantotto gorn, quattro mes, otto mes e dec gorn dall orgne della rendta. Determnare, n regme composto, l montante ed l valore attuale al tasso annuo = 0, 06. V ( R; 25 36) = 3 819, 21 V (R; 0) = 3 667, 75 21/31?

31 Eserczo. Una rendta è costtuta da captal 800, 250, 1 500, qual sono dsponbl rspettvamente dopo un mese, quarantotto gorn, quattro mes, otto mes e dec gorn dall orgne della rendta. Determnare, n regme composto, l montante ed l valore attuale al tasso annuo = 0, 06. V ( R; 36) 25 = 3 819, 21 V (R; 0) = 3 667, 75 NB 3 819, 21 = 3 667, 75 ( ) /31?

32 Eserczo Una rendta è costtuta da due termn: 3 all epoca t = 1 e 4 all epoca t = 2. Sapendo che l suo valore attuale è d 6 determnare, n regme esponenzale l tasso untaro d nteresse. 22/31?

33 Eserczo Una rendta è costtuta da due termn: 3 all epoca t = 1 e 4 all epoca t = 2. Sapendo che l suo valore attuale è d 6 determnare, n regme esponenzale l tasso untaro d nteresse. V (R, 0) = 3 (1 + ) (1 + ) 2 22/31?

34 Eserczo Una rendta è costtuta da due termn: 3 all epoca t = 1 e 4 all epoca t = 2. Sapendo che l suo valore attuale è d 6 determnare, n regme esponenzale l tasso untaro d nteresse. V (R, 0) = 3 (1 + ) (1 + ) 2 v = (1 + ) 1 = 4v 2 + 3v 6 = 0 22/31?

35 Eserczo Una rendta è costtuta da due termn: 3 all epoca t = 1 e 4 all epoca t = 2. Sapendo che l suo valore attuale è d 6 determnare, n regme esponenzale l tasso untaro d nteresse. V (R, 0) = 3 (1 + ) (1 + ) 2 da cu v = 1 8 v = (1 + ) 1 = 4v 2 + 3v 6 = 0 ( ) = 0, e = 1 = 0, v 22/31?

36 Il metodo d Newton Data una funzone f : [a, b] R con valor d segno opposto agl estrem d [a, b] se f è contnua esste almeno un elemento r ]a, b[ per cu f(r) = 0. Se ammettamo che f sa dervable con dervata d segno costante n ]a, b[ tale elemento r è unco. y O r x 23/31?

37 y O r x x 1 o x 24/31?

38 y O r x 2 x x 1 o x 25/31?

39 x 0 [a, b], tale che f(x 0 ) 0, x n = x n 1 f(x n 1), per ogn n N. f (x n 1 ) 26/31?

40 Teorema Sa f : [a, b] R una funzone d classe C 2, strettamente crescente e convessa e tale che f(a) < 0, f(b) > 0. Allora la successone: x 0 = b, x n+1 = x n f(x n) f (x n ), converge decrescendo all unco zero d f(x) n [a, b]. 27/31?

41 Metodo d Newton per trovare lo zero d f(v) = α 3 v 3 +α 2 v 2 +α 1 v A Conduce all terazone della funzone F (v) = v f(v) f (v) = v α 3v 3 + α 2 v 2 + α 1 v A 3α 3 v 2 + 2α 2 v + α 1 28/31?

42 Eserczo Una rendta è costtuta da due termn: 3 all epoca t = 1 e 4 all epoca t = 3. Sapendo che l suo valore attuale è d 6 determnare, n regme esponenzale l tasso untaro d nteresse. 29/31?

43 Eserczo Una rendta è costtuta da due termn: 3 all epoca t = 1 e 4 all epoca t = 3. Sapendo che l suo valore attuale è d 6 determnare, n regme esponenzale l tasso untaro d nteresse. V (R, 0) = 3 (1 + ) (1 + ) 3 29/31?

44 Eserczo Una rendta è costtuta da due termn: 3 all epoca t = 1 e 4 all epoca t = 3. Sapendo che l suo valore attuale è d 6 determnare, n regme esponenzale l tasso untaro d nteresse. V (R, 0) = 3 (1 + ) (1 + ) 3 v = (1 + ) 1 = 4v 3 + 3v 6 = 0 29/31?

45 Eserczo Una rendta è costtuta da due termn: 3 all epoca t = 1 e 4 all epoca t = 3. Sapendo che l suo valore attuale è d 6 determnare, n regme esponenzale l tasso untaro d nteresse. V (R, 0) = 3 (1 + ) (1 + ) 3 v = (1 + ) 1 = 4v 3 + 3v 6 = 0 Iteranda d Newton F (v) = v 4v3 + 3v 6 12v /31?

46 Notare che posto f(v) = 4v 3 + 3v 6 è f(0) = 6 e f(1) = 1 30/31?

47 Notare che posto f(v) = 4v 3 + 3v 6 è f(0) = 6 e f(1) = 1 ongo v 0 = 0, 75 qund v 1 = F (v 0 ) = 0, 75 4 (0, 75) , (0, 75) = 0, /31?

48 Notare che posto f(v) = 4v 3 + 3v 6 è f(0) = 6 e f(1) = 1 ongo v 0 = 0, 75 qund v 1 = F (v 0 ) = 0, 75 4 (0, 75) , (0, 75) = 0, proseguendo v 2 = F (v 1 ) = 0, (0, ) , (0, ) /31?

49 Notare che posto f(v) = 4v 3 + 3v 6 è f(0) = 6 e f(1) = 1 ongo v 0 = 0, 75 qund v 1 = F (v 0 ) = 0, 75 4 (0, 75) , (0, 75) = 0, proseguendo v 2 = F (v 1 ) = 0, (0, ) , (0, ) dunque v 2 = 0, /31?

50 Notare che posto f(v) = 4v 3 + 3v 6 è f(0) = 6 e f(1) = 1 ongo v 0 = 0, 75 qund v 1 = F (v 0 ) = 0, 75 4 (0, 75) , (0, 75) = 0, proseguendo v 2 = F (v 1 ) = 0, (0, ) , (0, ) dunque v 2 = 0, proseguendo v 3 = F (v 2 ) = 0, /31?

51 Notare che posto f(v) = 4v 3 + 3v 6 è f(0) = 6 e f(1) = 1 ongo v 0 = 0, 75 qund v 1 = F (v 0 ) = 0, 75 4 (0, 75) , (0, 75) = 0, proseguendo v 2 = F (v 1 ) = 0, (0, ) , (0, ) dunque v 2 = 0, proseguendo v 3 = F (v 2 ) = 0, NB v 3 v 2 = 0, /31?

52 Se calcolo v 4 = F (v 3 ) rtrovo le stesse prme 6 cfre decmal d v 3 e se calcolo l polnomo f(v) = 4v 3 + 3v 6 n v 3 trovo 6, /31?

53 Se calcolo v 4 = F (v 3 ) rtrovo le stesse prme 6 cfre decmal d v 3 e se calcolo l polnomo f(v) = 4v 3 + 3v 6 n v 3 trovo 6, In effett la radce è ( v = ) /31?

54 Se calcolo v 4 = F (v 3 ) rtrovo le stesse prme 6 cfre decmal d v 3 e se calcolo l polnomo f(v) = 4v 3 + 3v 6 n v 3 trovo 6, In effett la radce è ( v = ) Non dmentchamoc del tasso che è = 1 v 1 = 0, /31?

55 Se calcolo v 4 = F (v 3 ) rtrovo le stesse prme 6 cfre decmal d v 3 e se calcolo l polnomo f(v) = 4v 3 + 3v 6 n v 3 trovo 6, In effett la radce è ( v = ) Non dmentchamoc del tasso che è = 1 v 1 = 0, ( ) 2/ /31?