Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica finanziaria aa lezione 9: 20 marzo 2013

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1 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca fnanzara aa lezone 9: 20 marzo 2013 professor Danele Rtell 1/31?

2 an d ammortamento La rata α k scadente al tempo k è decomposta n quota captale e quota nteress : α k = c k + h k 2/31?

3 an d ammortamento La rata α k scadente al tempo k è decomposta n quota captale e quota nteress : α k = c k + h k condzone d chusura n c k = A k=1 2/31?

4 ogn quota captale pagata va a ncrementare l debto estnto e a dmnure l debto resduo ε m = ε m 1 + c m δ m = δ m 1 c m ε 0 = 0 δ 0 = A Le quote nteress sono determnate proporzonalmente al debto resduo al pagamento precedente dal tu h m = δ m 1 3/31?

5 h 1 = A, 4/31?

6 h 1 = A, h 2 = [A c 1 ] 4/31?

7 h 1 = A, h 2 = [A c 1 ] h 3 = [A (c 1 + c 2 )] 4/31?

8 h 1 = A, h 2 = [A c 1 ] h 3 = [A (c 1 + c 2 )] 4/31?

9 h 1 = A, h 2 = [A c 1 ] h 3 = [A (c 1 + c 2 )] h n = [A (c 1 + c c n 1 )] 4/31?

10 Il pano d ammortamento è la tabella replogatva del rmborso del prestto. Esplcta, per ogn scadenza, la rata pagata, la quota captale, la quota nteress, l debto estnto e l debto resduo. Queste quanttà sono dette, gl element del pano d ammortamento 5/31?

11 Esempo La somma A = vene rmborsata n un anno medante quattro rate trmestral al tasso = 0, Sapendo che le prme tre rate pagate sono state d 250 s determn l ultma rata e s compl l pano d ammortamento 6/31?

12 Esempo La somma A = vene rmborsata n un anno medante quattro rate trmestral al tasso = 0, Sapendo che le prme tre rate pagate sono state d 250 s determn l ultma rata e s compl l pano d ammortamento passo zero: l tasso annuo va trasformato n trmestrale 4 = 0, possamo tranqullamente prendere 4 = 0, 01 6/31?

13 passo uno: scomposzone della prma rata h 1 = 4, δ 0 = 4 A = 0, = 10 7/31?

14 passo uno: scomposzone della prma rata h 1 = 4, δ 0 = 4 A = 0, = 10 c 1 = α 1 h 1 = = 240 7/31?

15 passo uno: scomposzone della prma rata h 1 = 4, δ 0 = 4 A = 0, = 10 c 1 = α 1 h 1 = = 240 ε 1 = ε 0 + c 1 = = 240 7/31?

16 Trmestre α k c k h k δ k ε k , , , 00 10, , , 00 8/31?

17 passo due: scomposzone della seconda rata h 2 = 4, δ 1 = 0, = 7, 6 9/31?

18 passo due: scomposzone della seconda rata h 2 = 4 δ 1 = 0, = 7, 60 c 2 = α 2 h 2 = 250 7, 60 = 242, 40 10/31?

19 passo due: scomposzone della seconda rata h 2 = 4 δ 1 = 0, = 7, 60 c 2 = α 2 h 2 = 250 7, 60 = 242, 40 δ 2 = δ 1 c 2 = , 40 = 517, 60 11/31?

20 passo due: scomposzone della seconda rata h 2 = 4 δ 1 = 0, = 7, 60 c 2 = α 2 h 2 = 250 7, 60 = 242, 40 δ 2 = δ 1 c 2 = , 40 = 517, 60 ε 2 = ε 1 + c 2 = , 40 = 482, 40 12/31?

21 Trmestre α k c k h k δ k ε k , , , 00 10, , , , , 40 7, , , 40 13/31?

22 passo tre: scomposzone della terza rata h 3 = 4, δ 2 = 0, , 60 = 5, /31?

23 passo tre: scomposzone della terza rata h 3 = 4 δ 2 = 0, , 60 = 5, 176 c 3 = α 3 h 3 = 250 5, 176 = 244, /31?

24 passo tre: scomposzone della terza rata h 3 = 4 δ 2 = 0, , 60 = 5, 176 c 3 = α 3 h 3 = 250 5, 176 = 244, 824 δ 3 = δ 2 c 3 = 517, , 824 = 272, /31?

25 passo tre: scomposzone della terza rata h 3 = 4 δ 2 = 0, , 60 = 5, 176 c 3 = α 3 h 3 = 250 5, 176 = 244, 824 δ 3 = δ 2 c 3 = 517, , 824 = 272, 776 ε 3 = ε 2 + c 3 = 482, , 824 = 727, /31?

26 Trmestre α k c k h k δ k ε k , , , 00 10, , , , , 40 7, , , , , 824 5, , , /31?

27 possamo fnalmente determnare l ultma rata α 4 = δ δ 3 = 1, , 776 = 275, Trmestre α k c k h k δ k ε k , , , 00 10, , , , , 40 7, , , , , 824 5, , , , , 776 2, /31?

28 Somma degl nteress er ragon fscal, per certe tpologe d rmborso, serve conoscere l ammontare degl nteress pagat n un determnato perodo. Se n è l numero d pagament, consderamo due scadenze con valute m, p. Supponamo che 1 m < p n. La quota nteress della scadenza m è determnata dal debto resduo n m 1 mentre al pagamento della rata d valuta p l debto resduo è δ p. Indchamo con H(m, p) l ammontare degl nteress pagat fra l pagamento m e l pagamento p. Αm Α m 1 0 m1 m m1 p n 20/31?

29 La dfferenza fra l debto resduo n m 1, che è l debto n essere prma del pagamento della rata m, ed l debto resduo n p, che s genera al pagamento della rata p, ndca la dmnuzone del debto a seguto de pagament fra la scadenza m e la scadenza p. Dall altro lato nello stesso perodo l debtore ha versato α m + + α p. 21/31?

30 La dfferenza fra l debto resduo n m 1, che è l debto n essere prma del pagamento della rata m, ed l debto resduo n p, che s genera al pagamento della rata p, ndca la dmnuzone del debto a seguto de pagament fra la scadenza m e la scadenza p. Dall altro lato nello stesso perodo l debtore ha versato α m + + α p. La dfferenza fra queste due quanttà è la remunerazone del credtore nel perodo fra m e p qund è la somma delle quote nteress pagate, ed è data dalla formula: p H(m, p) = α k (δ m 1 δ p ) (1) k=m 21/31?

31 Usufrutto, Nuda propretà e Valore d un prestto S chama nuda propretà al tasso x e alla valuta m {1, 2,..., n} l valore attuale delle quote captale c m+1, c m+2,..., c n non ancora scadute. assando a smbol: A (x) m n m := k=1 c m+k (1 + x) k (2) 22/31?

32 Usufrutto, Nuda propretà e Valore d un prestto S chama nuda propretà al tasso x e alla valuta m {1, 2,..., n} l valore attuale delle quote captale c m+1, c m+2,..., c n non ancora scadute. assando a smbol: A (x) m n m := k=1 c m+k (1 + x) k (2) L usufrutto al tasso x e alla valuta m {1, 2,..., n} è l valore attuale delle quote nteress non scadute a partre da m : U (x) m n m := k=1 h m+k (1 + x) k (3) 22/31?

33 Il valore al tasso x del prestto è la somma d usufrutto e nuda propretà: V (x) m : = A (x) m = = n m k=1 n m k=1 + U (x) m c m+k (1 + x) k + α k+m (1 + x) k n m k=1 h m+k (1 + x) k s tratta, dunque, del valore attuale delle rate non ancora scadute valutate al tasso x cò sta a sgnfcare che per x = s ha: V () m = δ m. (4) 23/31?

34 Formula d Makeham U (x) m = x ( δ m A (x) m ) (5) 24/31?

35 Formula d Makeham U (x) m = x ( δ m A (x) m ) (5) Dmostrazone Le quote nteress sono date da h s = δ s 1, Fssata una scadenza m l debto resduo è n m δ m = c s c s (6) s=1 s=1 24/31?

36 Formula d Makeham U (x) m = x ( δ m A (x) m ) (5) Dmostrazone Le quote nteress sono date da h s = δ s 1, Fssata una scadenza m l debto resduo è n m δ m = c s c s (6) s=1 scrvamo (6) elmnando termn present n tutte e due le sommatore: δ m = n s=m+1 c s = 24/31? s=1 n m k=1 c k+m (6b)

37 Ora usamo (6b) per calcolare l usufrutto partendo da (3) U (x) m = n m k=1 h m+k (1 + x) k = n m n (m+k 1) = (1 + x) k k=1 p=1 n m k=1 c p+m+k 1 δ m+k 1 (1 + x) k 25/31?

38 Ora usamo (6b) per calcolare l usufrutto partendo da (3) U (x) m = n m k=1 h m+k (1 + x) k = n m n (m+k 1) = (1 + x) k k=1 p=1 n m k=1 c p+m+k 1 δ m+k 1 (1 + x) k Cambamo ndc nella sommatora nterna ponendo q = p + k 1 ottenendo U (x) m n m n m = (1 + x) k k=1 q=k c q+m (Σ) 25/31?

39 La somma n (Σ) s calcola ragonando passo passo. termne da sommare è Se k = 1 l (1 + x) 1 (c m+1 + c m c n ) (k = 1) 26/31?

40 La somma n (Σ) s calcola ragonando passo passo. termne da sommare è Se k = 1 l (1 + x) 1 (c m+1 + c m c n ) (k = 1) assando a k = 2 s trova l addendo (1 + x) 2 (c m+2 + c m c n ) (k = 2) 26/31?

41 La somma n (Σ) s calcola ragonando passo passo. termne da sommare è Se k = 1 l (1 + x) 1 (c m+1 + c m c n ) (k = 1) assando a k = 2 s trova l addendo (1 + x) 2 (c m+2 + c m c n ) (k = 2) Così procedendo fno al penultmo ndce k = n m 1 (1 + x) (n m 1) (c n 1 + c n ) (k = n m 1) 26/31?

42 La somma n (Σ) s calcola ragonando passo passo. termne da sommare è Se k = 1 l (1 + x) 1 (c m+1 + c m c n ) (k = 1) assando a k = 2 s trova l addendo (1 + x) 2 (c m+2 + c m c n ) (k = 2) Così procedendo fno al penultmo ndce k = n m 1 (1 + x) (n m 1) (c n 1 + c n ) (k = n m 1) a all ultmo k = n m (1 + x) (n m) c n (k = n m) 26/31?

43 er determnare l usufrutto queste denttà vanno a loro volta sommate. Se le organzzamo tenendo n evdenza le quote captale ottenamo (1 + x) 1 c m+1 + [ (1 + x) 1 + (1 + x) 2] c m+2 + [ (1 + x) 1 + (1 + x) 2 + (1 + x) 3] c m+3 + ] + [(1 + x) (1 + x) (n m) c n 27/31?

44 er determnare l usufrutto queste denttà vanno a loro volta sommate. Se le organzzamo tenendo n evdenza le quote captale ottenamo (1 + x) 1 c m+1 + [ (1 + x) 1 + (1 + x) 2] c m+2 + [ (1 + x) 1 + (1 + x) 2 + (1 + x) 3] c m+3 + ] + [(1 + x) (1 + x) (n m) rcordata la defnzone d a fgurato n formula abbamo c n U (x) m = n m k=1 c m+k a k x 27/31?

45 esplctando l smbolo fnanzaro ottenamo U (x) m = x = x n m k=1 ( n m k=1 c m+k ( 1 (1 + x) k ) c m+k ) n m (1 + x) k c m+k k=1 28/31?

46 esplctando l smbolo fnanzaro ottenamo U (x) m = x = x n m k=1 ( n m k=1 c m+k ( 1 (1 + x) k ) c m+k ) n m (1 + x) k c m+k la tes (5) scende da (6b) e dalla defnzone d nuda propretà (2) k=1 28/31?

47 Rmborso d un prestto con rate unform Nel rmborso del prestto con rate costant, la relazone fondamentale è rscrtta nell potes che la somma prestata A sa resttuta con rate costant d mporto α k = α a temp t 1 = 1,..., t n = n 29/31?

48 Rmborso d un prestto con rate unform Nel rmborso del prestto con rate costant, la relazone fondamentale è rscrtta nell potes che la somma prestata A sa resttuta con rate costant d mporto α k = α a temp t 1 = 1,..., t n = n Ragonando prospettvamente: n A = α k (1 + ) k = α k=1 n (1 + ) k = α a n k=1 29/31?

49 qund: α = A a n = A α n 30/31?

50 qund: con α = A = A α n a n α n = 1 (1 + ) n 30/31?

51 qund: α = con α n = A = A α n a n 1 (1 + ) n debto resduo prospettvo δ m = A α n a n m 30/31?

52 qund: α = con α n = A = A α n a n 1 (1 + ) n debto resduo prospettvo δ m = A α n a n m debto resduo retrospettvo δ m = A [ (1 + ) m ] α n s m 30/31?

53 Eserczo α n [ an m + s m ] = (1 + ) m 31/31?