ANELLI E SOTTOANELLI. contrassegna gli esercizi (relativamente) più complessi.

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1 ESERCIZI SU ANELLI E SOTTOANELLI N.B.: l smbolo contrassegna gl esercz relatvamente pù compless. 1 Sa X un nseme, e sa PX l suo nseme delle part. Indcando con l operazone d dfferenza smmetrca tra element d PX, coè Y Z := Y Z \ Y Z Y, Z PX s dmostr che PX ;, è un anello commutatvo e untaro, precsando quale ne sa l untà. S dmostr noltre che, se X > 1, esstono n tale anello de dvsor d zero. 2 Sa S un nseme d numer prm. Defnamo m Z S := n Q fattor prm d n sono tutt element d S S dmostr che: a Z S è un sottoanello d Q. b Ogn sottoanello d Q contenente 1 è d tpo Z S, per un certo nseme d prm S. 3 Dmostrare che l sottonseme Z[ ] d C defnto da Z[ ] := z C a, b Z : z = a + b è un sottoanello d C detto anello degl nter d Gauss. 4 Dato d Z, dmostrare che l sottonseme Z [ d ] d C defnto da Z [ d ] := z C a, b Z : z = a + b d è un sottoanello d C, e noltre è un sottoanello d R se d 0. Suggermento: È una dretta generalzzazone dell eserczo 3 qu sopra, che s r- ottene per d := 1. 5 Sa d Z, e sa A un sottoanello dell anello Z [ d ] consderato nel precedente eserczo 4 qu sopra tale che 1 A. Dmostrare che s ha necessaramente una delle due possbltà seguent: 1 A = Z, 2 k N + tale che A := a + k b d a, b Z. 1

2 2 ESERCIZI SU ANELLI E SOTTOANELLI Suggermento: Dall potes 1 A segue che Z A. Se vale l uguaglanza samo nel caso 1. Altrment, esste n A un numero della forma a + b d con a, b Z e b 0, e qund anche dato che a Z A s ha b d A ; ne segue che esste un tale ntero b d valore assoluto b mnmo possble. Allora ponendo k := b s ottene dmostrarlo! l denttà n 2. 6 Dato d Z, dmostrare che l sottonseme Q [ d ] d C defnto da Q [ d ] := z C a, b Q : z = a + b d è un sottoanello d C, ed è sottoanello d R se d 0. Inoltre, tale Q [ d ] è un campo. Suggermento: La prma parte dell enuncato s dmostra come per l eserczo 4 qu sopra. Per la seconda, s tratta d osservare che, dato a + b d Q [ d ] \ 0 che corrsponde a a, b 0 l suo nverso a + b d 1 1 = a + b può esser scrtto d nella forma a + b d 1 = α + β d per opportun α, β Q. 7 Sa R un anello. Dato un sottonseme S d R e un sottoanello A d R, sano S := r R r s = s r s S A := r R r a = a r a A a Dmostrare che S e A sono sottoanell d R. b Se R è untaro, dmostrare che anche S e A sono untar. c Dmostrare che S S e A A. d Se S 1 S 2 sono due sottonsem e A 1 A 2 due sottoanell n R nclus l uno nell altro, dmostrare che S 1 S 2 e A 1 A 2. e Dmostrare che S = S, dove S è l sottoanello d R generato da S. 8 Sa A I una famgla d anell. Nell nseme prodotto cartesano I A, s consderno le operazon a I a I := a + a, I a I a I := a a I per ogn a, a I I A. Dmostrare che: I a A I ;, è un anello; b A I ;, è commutatvo ogn A I è commutatvo; c A I ;, è untaro ogn A I è untaro.

3 ESERCIZI SU ANELLI E SOTTOANELLI 3 9 Sano A un anello commutatvo. Nell nseme prodotto cartesano E A := A A, s consderno le operazon e defnte per ogn a, b, c, d E A come segue: Dmostrare che: a, b c, d := a + c, b + d, a, b c, d := a c + b d, b c + a d a E A ;, è un anello; b se A > 1, l anello E A contene dvsor d zero; c se A è un domno d ntegrtà, dvsor d zero d E A sono tutt e sol della forma a, a oppure a, a, per ogn a A. 10 Sa A un anello, e x un smbolo formale. S defnscano n A[x] := a k x k n N, a k A k A [ x, x 1] n := a k x k m, n N, a k A k k= m + A[[x]] := a k x k a k A k + Ax := a k x k m N, a k A k k= m polnom polnom d Laurent sere [formal] sere d Laurent In cascuno d tal nsem, s defnscano le operazon a x + α j x j := ak + α k x k j k a x α j x j := a α j x k j k +j=k dove s deve ntendere a := 0 oppure α j := 0 se l ndce oppure j non compare esplctamente tra quell dell elemento polnomo, o sere, ecc. n esame. Dmostrare che: a A[x], A [ x, x 1], A[[x]] e Ax sono anell rspetto alle suddette operazon; b valgono le seguent relazon dove sgnfca è sottoanello d : A A[x] A [ x, x 1] Ax, A A[x] A[[x]] Ax ; c gl anell n a sono commutatv se e soltanto se l anello A è commutatvo; d se l anello A è untaro, allora gl anell n a sono untar e s specfch quale ne sa l elemento untà; e gl anell n a sono ntegr coè prv d dvsor d zero se e soltanto se l anello de coeffcent A è ntegro.

4 4 ESERCIZI SU ANELLI E SOTTOANELLI 11 Sa A un anello untaro, x un smbolo formale, e s adottno le notazon dell Eserczo 10 qu sopra; noltre, per ogn anello untaro R s denot con UR l sottonseme degl element nvertbl d R. Posto x Z := x z z Z, dmostrare che: a U A [ x, x 1] = U A[x] x Z = px x z px U A[x], z Z ; b la moltplcazone n A [ x, x 1] fornsce per restrzone somorfsm d grupp U A[x] x Z = U A [ x, x 1 ] e x Z U A[x] = U A [ x, x 1 ] c se A è ntegro, allora U A[x] = UA, U A [ x, x 1] = a x z a UA, z Z Suggermento: La parte a segue faclmente da x Z U A [ x, x 1] e dall osservazone che un prodotto d due fattor commutant tra loro è nvertble se e soltanto se due fattor sono nvertbl... La parte b segue drettamente dalla parte a. Nella parte c, l secondo enuncato segue dal prmo e dalla parte a. 12 Sa A un anello untaro, x un smbolo formale, e s adottno le notazon dell eserczo 10 qu sopra; noltre, per ogn anello untaro R s denot con UR l sottonseme degl element nvertbl d R. Dmostrare che a U A[[x]] + = a k x k A[[x]] a 0 UA b U Ax + = a k x k Ax a m UA k= m Suggermento: La parte b segue drettamente dalla parte a e dall osservazone che Ax = x m A[[x]]. La parte a segue dall osservazone che: m N [1] se + a k x k U A[[x]], allora a 0 UA ; [2] per ogn + a k x k A[[x]] con a 0 UA s ha dove a a k x k = + a k x k U A[[x]] a 1 0 a 1 0 a k x k = k=1 + [3] nell anello A[[y]] vale l denttà 1 y + a k x k U A[[x]] a 1 0 a k x k è una sere che comnca con 1; y k 1 y 1 = + y k A[[y]], dunque 1 y U A[[y]] ; [4] applcando le concluson n [3] a y := + k=1 = 1, che sgnfca che esste a 1 0 a k x k s ottene che con qualche

5 precsazone tecnca che la sere nvertble n A[[x]] ; ESERCIZI SU ANELLI E SOTTOANELLI 5 + a 1 0 a k x k = [5] da punt [4] e [2] possamo concludere che ogn sere + a k x k k=1 a 1 0 a k x k consderata n [2] è è nvertble n A[[x]], e da questo nseme a [1] ottenamo l enuncato n a. con a 0 UA 13 Sa A un anello untaro, A[[x]] e Ax come nell eserczo 12 qu sopra, e Γ A[[x]] := 1 + x A[[x]] = 1 + x fx fx A[[x]], x Z := x z z Z Dmostrare che: a valgono le seguent relazon tra sottogrupp moltplcatv: Γ A[[x]] U A[[x]] U Ax, x Z Z U Ax U Ax e qund n partcolare x Z U Ax ; b la moltplcazone nel gruppo U A[[x]] s restrnge ad un somorfsmo d grupp x Z U A[[x]] = U Ax, x z, fx x z fx 14 Sa A un anello, e S un nseme. Nell nseme A S d tutte le applcazon da S ad A, s defnscano operazon + e come segue: f + g s := fs + gs, f g s := fs gs s S f, g A S. Dmostrare che: a A S è un anello rspetto alle due operazon suddette; b se A è untaro, allora A S è untaro, precsando quale sa la sua untà; c se A > 1 e S > 1, allora A S non è ntegro coè possede dvsor d zero. 15 Sa A un anello, A A l nseme delle endofunzon d A coè le funzon da A n sé stesso, e consderamo n A A l operazone + defnta come nell eserczo 14 qu sopra e l operazone d composzone. a Dmostrare che n generale la terna A A ; +, non è un anello. b Determnare condzon sull anello A necessare e suffcent affnché la suddetta terna A A ; +, sa un anello. 16 Sa Γ ; + un gruppo abelano. Nell nseme EndΓ d tutt gl endomorfsm d Γ ; +, s defnscano operazon + e come segue: φ + ψ γ := φγ + ψγ, φ ψ γ := φ ψγ γ Γ φ, ψ EndΓ. Dmostrare che EndΓ ; +, è un anello untaro.

6 6 ESERCIZI SU ANELLI E SOTTOANELLI 17 Sa Γ un gruppo abelano, e sa EndΓ l nseme d tutt gl endomorfsm d Γ, con la sua struttura d anello untaro canonca ntrodotta nell eserczo 16 qu sopra. Sa Λ un sottogruppo d Γ, e End Λ Γ := φ EndΓ φλ Λ. Dmostrare che End Λ Γ è un sottoanello d EndΓ, contenente l denttà. 18 Dato un anello A ed un semgruppo S, s defnsca l nseme A[ S ] := σ S a σ σ a σ A, σ S e n esso le operazon + e date da η S a η η + κ S a κ κ := σ S η S a η η κ S a κ κ := σ S Dmostrare che: a a σ + a σ σ η,κ S : η κ=σ a η α κ σ A[ S ] è un anello rspetto alle due operazon suddette; b A[ S ] è commutatvo A e G sono commutatv; c se A è untaro e S è un monode, allora A[ S ] è untaro, precsando quale sa la sua untà; d se A è untaro e S è un monode, allora U A[ S ] US, dove dentfchamo ogn elemento σ S con l corrspondente elemento d A[ S ] dato da ν S δ ν,σ σ. 19 Con la notazone dell eserczo 18 qu sopra, per ogn n N + s consderno due semgrupp addtv N n := N n ; + e Z n := Z n ; + ottenut come prodotto dretto d n cope d N ; + con sé stesso e d n cope d Z ; + con sé stesso. Dmostrare che per ogn anello A esstono somorfsm d anell canonc A [ N n] [ ] = A x1,..., x n, A [ Z n] [ = A x1, x 1 1,..., x n, x 1 ] n 20 Dat un A un anello e n N +, consderamo l nseme M n A := Mat n n A delle matrc quadrate! n n a coeffcent n A. Dmostrare che: a rspetto alle operazon d somma coeffcente per coeffcente e d prodotto rghe per colonne, M n A è un anello; b se l anello A è untaro, allora anche l anello M n A è untaro; c se n > 1 e A 0, allora M n A è non ntegro; d se n > 1 e A A 0, allora M n A è non commutatvo. Suggermento : I punt a e b s ottengono per verfca dretta. Per punt c e d, s stud prma l caso n = 2, cercando due matrc non nulle che abbano prodotto la matrce nulla per c e due matrc che non commutno tra loro

7 ESERCIZI SU ANELLI E SOTTOANELLI 7 per d. Po l caso generale s ottene da quello n = 2 mmergendo tra le matrc n n quelle 2 2 come opportune matrc a blocch Sa A un anello, R un sottoanello d A ; sa po M n A l anello delle matrc quadrate d tagla n a coeffcent nell anello A ntrodotto nell Eserczo 20 qu sopra, M n R l analogo anello per R, che dentfchamo n modo ovvo ad un sottonseme d M n A. Dmostrare che allora M n R è sottoanello d M n A. 22 Sa A un anello untaro, sa n N +, e sa M n A l anello delle matrc n n a coeffcent n A. Dmostrare che l centro dell anello M n A è dato da Z M n A = dag z, z,..., z z ZA dove dag z, z,..., z := z z z z z ndca la matrce scalare che ha sulla dagonale l coeffcente z rpetuto n volte, n tutte le poszon. Suggermento: Per centro d un anello R ntendamo ZR := z R z r = r z, r R. Sa E h,k := j=...,n; δ,h δ k,j =1,...,n; la matrce elementare con 1 n poszone r, s e 0 altrove A A per ogn r ed s. Data una matrce M = j=...,n; m,j s ha E =1,...,n; h,k M E p,q = m k,p E h,q. Se M Z M n A allora E h,k M E p,q = M E h,k E p,q = δ k,p M E h,q, per cu s ha m k,p = 0 per k p, dunque M è una matrce dagonale M = dagµ 1,..., µ n. Utlzzando una matrce d permutazone P σ := j=...,n; δ,σj con σ S =1,...,n; n una permutazone d 1,..., n s ottene P σ M Pσ 1 = P σ dagµ 1,..., µ n Pσ 1 = dag µ σ1,..., µ σn. D altra parte, poché M Z Mn A abbamo anche P σ M Pσ 1 = M, e qund rcavamo che µ 1 = µ 2 = = µ n =: µ. Percò M = dagµ,..., µ è una matrce scalare! Infne, dovendo M commutare n partcolare con tutte le matrc scalar che formano un sottoanello d M n A somorfo ad A, ottenamo che µ ZA. 23 Sa A un anello untaro, sa n N +, e sa GL n A l gruppo delle matrc n n nvertbl a coeffcent n A. Dmostrare che l centro d GL n A è dato da Z GL n A = dagz, z,..., z z ZA UA

8 8 ESERCIZI SU ANELLI E SOTTOANELLI dove dagz, z,..., z ndca una matrce scalare come nell eserczo 6 e UA è l gruppo degl element nvertbl n A. Suggermento : Per centro d un gruppo G ntendamo ZG := g G g γ = γ g, γ G. Osservamo che I n +E h,k GL n A per ogn h k, dove I n è la matrce denttà d tagla n. Allora, data una matrce M Z GL n A s ha I n +E h,k M = M I n +E h,k che equvale a E h,k M = M E h,k : come nell eserczo 22 qu sopra, questo mplca che M sa una matrce scalare. Sccome le matrc d permutazone P σ stanno n GL n A per ogn σ S n s può procedere come prma e concludere che M è dagonale, del tpo M = dagµ,..., µ con µ ZA. Infne, M = dagµ,..., µ è nvertble come matrce se e soltanto se µ è nvertble n A, coè µ UA, q.e.d. 24 Dat un A un anello e n N +, consderamo l nseme M n A delle matrc n n a coeffcent n A, con la sua struttura d anello rspetto alla somma coeffcente per coeffcente e al prodotto rghe per colonne. Sano B n + A e Bn A sottonsem delle matrc trangolar superor e delle matrc trangolar nferor rspettvamente, coè a,j t + n A := M,j=1,...,n; na a,j = 0 > j a,j t n A := M,j=1,...,n; na a,j = 0 < j Dmostrare che t + n A e t n A sono sottoanell d M n A. 25 Sa A un anello. Consderamo l nseme delle matrc trangolar superor nfnte a coeffcent n A, coè l nseme t + A := M = m,j m =1,2,...;,j A, j N +, m,j = 0 > j e l analogo nseme delle matrc trangolar nferor nfnte a coeffcent n A, coè t A := M = m,j m =1,2,...;,j A, j N +, m,j = 0 < j Dmostrare che: a entramb t + A e t A sono anell rspetto alle operazon d somma componente per componente e d prodotto rghe per colonne date dalle formule usual; b se A è untaro, allora gl anell t ± A sono entramb untar.

9 ESERCIZI SU ANELLI E SOTTOANELLI 9 26 Sa A un anello. Con le notazon dell eserczo 25 qu sopra, consderamo l sottonseme t ± ;f A d t ± A defnto così: t + ;f A := M = m,j =1,2,...; t+ A m,j = 0 j 0 t ;f A := M = m,j =1,2,...; t A m,j = 0 0 Dmostrare che t ± ;f A è sottoanello d t ± A. 27 Sa A un anello untaro. Con le notazon dell eserczo 25 qu sopra, consderamo l nseme delle matrc trangolar superor nfnte nvertbl a coeffcent n A e l nseme delle matrc trangolar nferor nfnte nvertbl a coeffcent n A, coè due grupp T A ± := U t ± A degl element nvertbl ne due anell t ± A. Dmostrare che grupp T A ± sono descrtt esplctamente da T A ± := M = m,j =1,2,...; t± A m l,l UA l N + 28 Sa A un anello untaro. Con le notazon dell eserczo 31 qu sopra, consderamo l sottonseme T ± ;f A d T A ± dato da T + ;f A := M = m,j =1,2,...; T A + m,j = 0 j 0 T ;f A := M = m,j T =1,2,...; A m,j = 0 0 Dmostrare che T ± ;f A è sottogruppo d T ± A. 29 S consder l nseme R N d tutte le successon d numer real, con la sua struttura naturale d anello come defnta nell eserczo 14. Sa po Conv R N l sottonseme d R N formato da tutte le successon convergent coè per le qual essta lmte fnto, e analogamente sa Dv R N l sottonseme d R N formato da tutte le successon dvergent coè per le qual essta lmte nfnto postvo oppure nfnto negatvo; nfne, sa Boun R N l sottonseme d R N formato da tutte le successon lmtate, coè cu valor sano compres n un ntervallo fnto [ a, b ] con a b n R dpendent dalla successone lmtata n esame. Dmostrare che a Boun R N è sottoanello d R N ; b Conv R N è sottoanello d Boun R N, e qund anche d R N ; c Dv R N non è sottoanello d R N.

10 10 ESERCIZI SU ANELLI E SOTTOANELLI 30 S consder l nseme R R delle endofunzon d R con la sua struttura naturale d anello come defnta nell eserczo 14. Sa po C 0 R l sottonseme d R R delle funzon contnue, e per ogn k N sa C k R l sottonseme d R R delle funzon dfferenzabl d classe k coè dervabl k volte con dervata k esma contnua. Dmostrare che a C 0 R è sottoanello d R R ; b C k+1 R è sottoanello d C k R e qund anche d R R per ogn k N.