Propagazione degli errori

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1 Propagaone degl error Voglamo rcavare le ncertee nelle msure ndrette. Abbamo gà vsto leone un prma stma degl error sulle grandee dervate valda n generale. Consderamo ora l caso specco d grandee aette da error casual e cerchamo le ormule per calcolare le ncertee. Vedremo due cas: Formula generale per le unon d una varable. Esemp: conosco l ncertea nella msura del lato L d un cubo cerco l ncertea sul volume VL 3. conosco l ncertea nella msura dell angolo Θ cerco l ncertea su cosθ. Formula generale per le unon d pù varabl. Esempo: conosco l ncertea nella msura dello spao percorso e nella msura del tempo mpegato cerco l ncertea sulla veloctà meda vs/t. Marta Calv 009 Leone 6 pag.

2 Formula generale per le unon d una varable Date msure della grandea aetta solo da error d tpo casuale } sano e la meda artmetca e la devaone standard. { Sa una generca unone della grandea. Se la unone è dervable n volte nell ntorno d posso svlupparla n sere d Talor: Faccamo l potes che gl sano tutt vcn ad scart pccol allora posso arrestare lo svluppo al prmo ordne: - Marta Calv 009 Leone 6 pag.

3 Calcolamo la meda artmetca delle : { } 0 0 Calcolamo la varana : { } { } Marta Calv 009 Leone 6 pag. 3

4 In conclusone nell potes che gl scart sano pccol: Formula generale per la propagaone degl error per le unon d varable Esemp: Incertea sul volume V L 3 : V L 3 V 3L V 3 L L 3L V L L 3 V L 3 L Incertea su cosθ : cosθ -snθ cosθ snθ Θ Marta Calv 009 Leone 6 pag. 4

5 k con k costante ed esponente numero reale k ' k k k k Esempo d applcaone: 7 7 Marta Calv 009 Leone 6 pag. 5

6 Esemp ESERCIZIO: Uno studente eettua 0 msure del perodo T n second d un pendolo semplce la cu lunghea è d 07.0 ±0.5 cm: T{ }. Calcolare l valore dell acceleraone d gravtà g. T.06 ± 0.05 s g? g g L L T T L g π T 9.93m / s Marta Calv 009 Leone 6 pag. 6

7 Formula generale per le unon d pù varabl Consderamo una generca unone d due varabl rsultat ottenut s possono po estendere aclmente a unon d tre o pù varabl. S abbano coppe d msure delle grandea e aette solo da error d tpo casuale sano e e rspettvamente le loro d t t h d t d d } { mede artmetche e devaon standard. Se la unone è dervable n volte nell ntorno d posso l l d T l svlupparla n sere d Talor:... Marta Calv 009 Leone 6 pag. 7

8 Faccamo l potes che gl scart d da e d da sano pccol allora s può arrestare lo svluppo d Talor al prmo termne. Calcolamo la meda artmetca delle : 0 0 Calcolamo la varana : { } { } Marta Calv 009 Leone 6 pag. 8

9 I tt l l l l propagaone degl error per le unon d due varabl. Fornsce l ncertea su n unone dell ncertea su e su e delle dervate paral d rspetto Inseme a: costtusce la ormula generale per la Abbamo ntrodotto la grandea covarana: e rspetto. Marta Calv 009 Leone 6 pag. 9

10 Covarana Dato un nseme d msure delle grandee e s densce covarana: La covarana ha le dmenson del prodotto A derena della varana la covarana può essere sa postva che negatva. Se tutt gl scart d sono dello stesso segno d quell d allora ho una somma d termn postv vceversa se succede che tutt gl scart d sono d segno opposto d quell d allora ho una somma d termn negatv. Quando gl error sono ndpendent e casual la covarana è somma d termn postv e negatv e per rsulta nulla: 0. Marta Calv 009 Leone 6 pag. 0

11 Allora se e sono grandee statstcamente ndpendent e aette da error solo casual l tero termne nell espressone d s annulla e rmane: p Questa ormula s generala aclmente al caso d unone d pù varabl v w : vw..:... w v w v dove le dervate sono calcolate n v w. E la ormula generale per la propagaone degl error per grandee ndpendent ed error casual valda nell potes d scart pccol abbamo approssmato arrestando lo svluppo n sere d Talor al prmo ordne approssmato arrestando lo svluppo n sere d Talor al prmo ordne. Marta Calv 009 Leone 6 pag.

12 k k Caso nteressante è la unone del tpo: con k costante numer real e sano e ndpendent. Allora per scart d e pccol s ha: k k k k k k k k k k Per e : k L ncertea relatva su è data dalla somma n quadratura delle ncertee relatve su e. Marta Calv 009 Leone 6 pag.

13 Combnaon lnear Un caso partcolare è quello n cu è una unone lneare d e n tal caso natt le dervate successve alla prma s annullano: a b a b 0 0 Allora oale ormule ue date dventano esatte e non pù un approssmaone a o valda solo per scart pccol: a b a b ab Inoltre s può dmostrare che se e sono ndpendent 0 e hanno unone denstà d probabltà Gaussana anche a b ha unone denstà d probabltà Gaussana con valore centrale e devaone standard: a b Z a b l ntervallo attorno Z con sem-ampea ha una probabltà del 68% ecc.. Marta Calv 009 Leone 6 pag. 3

14 In partcolare allora se ab : e se e sono varabl casual ndpendent: L ncertea su è data dalla somma n quadratura delle ncertee su e quando e sono ndpendent e le ncertee sono d tpo casuale. Marta Calv 009 Leone 6 pag. 4

15 Errore standard della meda Possamo ora dmostrare la ormula gà data per l ncertea relatva alla meda artmetca d msure della grandea. La meda artmetca può consderars come una partcolare unone delle msure... e tale unone è una combnaone lneare. Allora poché cascuna msura è ndpendente dalle altre e ha unone denstà d probabltà Gaussana anche ha unone denstà d probabltà Gaussana con valore centrale e varana rspettvamente dat da: X... essendo le varane a dellee tutte ugual. Marta Calv 009 Leone 6 pag. 5

16 da cu: errore standard della meda Allora tutte le ormule d propagaone degl error vste no qu valgono non solo per le ncertee sulle sngole msure date dalle devaon standard ma anche sosttuendo n esse l errore standard della meda. Marta Calv 009 Leone 6 pag. 6

17 Abbamo vsto la ormula generale per la propagaone degl error per unon Lmte superore a dalla dseguaglana d Schwart Abbamo vsto la ormula generale per la propagaone degl error per unon d due varabl: Dseguaglana d Schwart S può dmostrare che: Allora possamo rcavare un lmte superore a che rsulta ndpendente dal valore della covarana: Da cu: Marta Calv 009 Leone 6 pag. 7

18 Incertea sulla devaone standard Ctamo nne sena dmostrarlo anche un altro rsultato nteressante l valore dell ncertea sulla devaone standard: Qund se calcolata l a partre da poche msure la devaone standard d è determnata con un errore relatvo non pccolo. Esempo: 5 / 35% 50 / 0% Marta Calv 009 Leone 6 pag. 8