L ANALISI MONOVARIATA: Variabilità e mutabilità. Prof. Maria Carella

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1 L AALISI MOOVARIATA: Varabltà e mutabltà Prof. Mara Carella

2 Varabltà Le msure d tendenza centrale non sono suffcent alla comprensone de fenomen. Una sntes approprata deve tener conto del modo n cu s dstrbuscono le dverse modaltà della varable VARIABILITA è l atttudne del carattere a presentars con modaltà fra loro dverse e dstant

3 Dalle msure d tpctà alle msure d varabltà (1) Perché usare le msure d varabltà? 1. I valor med non esprmono realmente l andamento del fenomeno quando nella dstrbuzone de dat è presente un valore atpco che rende non sgnfcatvo l ndce. I valor med sono utl quando la varabltà delle osservazon non è elevata. Per msurare la dspersone de cas nelle modaltà s rcorre agl ndc d varabltà.

4 Dalle msure d tpctà alle msure d varabltà () caramelle X 0 9 n 10 1 = 10 Osservamo, ad esempo la dstrbuzone della varable caramelle per =10 consumator: se sntetzzassmo con la meda artmetca (μ=1) dremmo che n meda n U s manga 1 caramella a testa dando una descrzone dstorta della realtà. Valore d sntes con maggore capactà nformatva n questo caso sarebbe per es. la Moda=0 che c dce che l 90% d U non consuma caramelle Che cosa rende dffcle la sntes d questa varable statstca? Qual è l aspetto caratterstco d questa U che μ non resce a spegare? S tratta della varabltà d X

5 Dalle msure d tpctà alle msure d varabltà (bs ) X Y /7 147/7 X = 1 Y = 1 Osservamo le due dstrbuzon della varable età, possamo notare che esse hanno la stessa meda, par a 1, ma notamo anche che le modaltà sono estremamente dfferent. Questa dfferenza vene colta attraverso gl ndc d varabltà. Come per le msure d tendenza centrale, ndc d varabltà s dfferenzano a seconda del tpo d varable sottoposta ad anals.

6 Varabltà ella termnologa statstca la varabltà fa rfermento a caratter quanttatv, mentre per caratter qualtatv assume l nome d mutabltà La msura della varabltà del carattere deve sottostare a due mportant condzon: 1. la varabltà deve rsultare sempre nulla se tutt termn osservat sono ugual;. la msura della varabltà deve crescere al crescere della dfferenza tra le modaltà

7 Msure della varabltà Per msurare la varabltà la metodologa statstca rcorre alle seguent categore d ndc: Intervall d varazone Indc d dspersone attraverso qual s msura quanto le modaltà d una dstrbuzone dfferscono da un valore caratterstco della dstrbuzone stessa; Indc d dsuguaglanza attraverso qual s msura la dstanza fra tutte le modaltà della dstrbuzone stessa.

8 Varabltà Gl ndc possono essere dstnt n IDICI ASSOLUTI DI VARIABILITA sono espress nella stessa untà d msura del fenomeno IDICI DI VARIABILITA RELATIVI prescndono dall untà d msura de termn della dstrbuzone per cu sono pù adeguat per esegure l confronto tra fenomen dvers

9 Msure della varabltà A) ITERVALLI DI VARIAZIOE Indc basat sulla dfferenza tra due valor poszonat sgnfcatvamente CAMPO DI VARIAZIOE osservazone pù grande osservazone pù pccola W = xs x1 DIFFEREZA ITERQUARTILICA quartle superore quartle nferore Dq = Q3 Q1

10 Consderamo le valutazon d una prova sostenuta da 4 student. Calcolamo l campo d varazone Xmax = 9; Esempo 1a Prova 1 studente 3 studente 5 3 studente 8 4 studente 9 meda 6,5 Procedamo facendo la dfferenza tra l dato pù grande e l dato pù pccolo: l ntervallo n cu sono compres valor del carattere è 6 Xmn = 3 Range W= 9 3 = 6

11 Msure della varabltà: B) IDICI DI DISPERSIOE Indc basat sugl scart de sngol valor dalla meda o dalla medana SCARTO SEMPLICE MEDIO SCARTO SEMPLICE MEDIO DALLA MEDIAA SCARTO QUADRATICO MEDIO VARIAZA DEVIAZA

12 Me n x Me n x Me n x Me n x S n n n Me Lo SCARTO SEMPLICE MEDIO è la meda artmetca de valor assolut degl scart dalla meda. Msure della varabltà n x n x n x n x S n n n M LO SCOSTAMETO SEMPLICE MEDIO DALLA MEDIAA è la meda artmetca de valor assolut degl scart dalla medana.

13 Msure della varabltà SCARTO SEMPLICE MEDIO (nel caso d una sere) S n (nel caso d una dstrbuzone)

14 Msure della varabltà SCARTO DALLA MEDIAA Sme 1 Me (nel caso d una sere) Sme S 1 Me n (nel caso d una dstrbuzone)

15 Esempo: calcolo scarto semplce medo 1a Prova 1 studente 3 studente 5 3 studente 8 4 studente 9 meda 6,5 x 1 = 3 6,5 = 3,5; x = 5 6,5 = 1,5; x 3 = 8 6,5 = 1,75; x 4 = 9 6,5 =,75; Sm = 3,5 + 1,5 + 1,75 +,75 =,5 4 15

16 Msure della varabltà Lo scarto quadratco medo è la meda artmetca de quadrat degl scart dalla meda sotto radce E anche uguale alla meda quadratca degl scart. È uguale alla radce quadrata della varanza Scarto quadr. medo x x x x x x 1... n La varanza è la meda artmetca de quadrat degl scart dalla meda x x x x x x 1... Varanza n

17 Msure della varabltà SCARTO QUADRATICO MEDIO 1 S 1 n (nel caso d una sere) (nel caso d una dstrbuzone)

18 Msure della varabltà VARIAZA 1 (nel caso d una sere) S 1 n (nel caso d una dstrbuzone)

19 Esempo: calcolo varabltà (1) S calcol la varanza e lo scarto quadratco medo per la varable X che rappresenta l numero d post letto present n 6 repart ospedaler. n 1 n 1 Meda=81/6= 13.5 x x - - x X (x -μ) (x -μ)

20 Esempo: calcolo varabltà () S calcol la varanza e lo scarto quadratco medo per la varable X nella dstrbuzone d vot per un collettvo d 0student X n X n (x-μ)^*n ,89 =(18-1,30) * ,45 =(19-1,30) * ,07 =(0-1,30) * ,18 =(1-1,30) * ,47 =(-1,30) * ,89 =(3-1,30) * ,87 =(4-1,30) * ,38 =(5-1,30) * TOT 0 Σ=46 Σ=96,0 k 1 ( x μ=46/0=1,30 ) n 4,81 96,0 0,19 4,81

21 Msure della varabltà DEVIAZA (numeratore della varanza) Dev 1 (nel caso d una sere) Dev S 1 n (nel caso d una dstrbuzone) Dev Var

22 Esempo: calcolo devanza Calcolare la devanza dell età, espressa n ann, d 6 bambn scrtt ad una scuola d panoforte: 5; 6; 7; 7; 8; 10. 1) s deve calcolare prma la meda: ) n seguto la Somma de Quadrat degl scart d ogn valore dalla meda: = (5-7.16) +(6-7.16) +(7-7.16) +(7-7.16) +(8-7.16) +( ) = = =

23 La varanza: formula alternatva (1) La varanza s può calcolare anche come dfferenza fra la meda quadratca al quadrato e l quadrato della meda artmetca. M q 1) Partamo dalla propretà della meda artmetca ovvero

24 La varanza: formula alternatva () ) Dvdendo tutto per e semplfcando s rcava: d n k n s s d n k s 3) Sapendo che d=μ k s rcava 4) Ponendo K= 0

25 La varanza: formula alternatva (3) ovvero spostando Mq a prmo membro, possamo anche scrvere che Mq =μ + σ

26 La scelta delle msure d varabltà/dspersone Le msure d varabltà/ndc d dspersone (caratter quanttatv) d uso pù frequente nello studo de fenomen socal sono: Il campo d varazone La dfferenza nterquartle Lo scarto quadratco medo e la varanza Come sceglere tra le dverse msure della dspersone?

27 Come sceglere tra le dverse msure della dspersone? Il Campo d Varazone non è una buona msura della varabltà sebbene sa d facle comprensone. Ha una bassa capactà nformatva perché dpende soltanto da valor estrem della dstrbuzone, non tene conto de valor ntermed che sono n generale pù numeros. Poco robusta perché rsente de valor anomal della dstrbuzone (coè quando Xmn è molto pccolo o X max è molto grande).

28 Campo d varazone(1) Dstrbuzon d tre dvers grupp secondo l età Età Prmo gruppo Secondo gruppo Terzo gruppo Totale Campo d varazone 5-18=7 5-18= =46 CAMPO DI VARIAZIOE: msura con scarsa capactà nformatva e non robusta

29 Campo d varazone(1bs) Calcolamo l campo d varazone (W) per tre prove sostenute da 4 student 1 a Prova a Prova 3 a Prova 1 studente 3 6 studente studente studente meda 6,5 6,5 6,5 range Range (W) 1 a prova = 6 dat pù eterogene Range (W ) 3 a prova = 1 dat pù omogene Range (W) a prova = W 1 a prova = 6 Stessa Dstrbuzone? 9

30 Campo d varazone(1bs) Osservazon: 1. Il campo d varazone fornsce nformazon sulla dstrbuzone de dat: pù W è pccolo pù dat sono omogene; pù W è grande pù dat sono dspers. 3. Tuttava W tene conto solo de dat estrem della dstrbuzone e non d tutt dat, pertanto dstrbuzon dverse ma con gl stess valor estrem hanno range ugual Es. Range 1 a prova = Range a prova. ma dstrbuzone 1 a prova Dstrbuzone a prova

31 Come sceglere tra le dverse msure della dspersone? La dfferenza nterquartlca: Msura che ha una bassa capactà nformatva perché non tene conto d tutt valor della dstrbuzone e molto robusta perché non rsente de valor anomal della dstrbuzone. È pù adattable come msura della dspersone rspetto allo s.q.m. quando c sono outler o dat asmmetrc.

32 Dfferenza nterquartle() Dstrbuzon d tre dvers grupp secondo l età Età Prmo gruppo (n) Secondo gruppo (n) Terzo gruppo (n) Totale Q1 Caso 33 X=18 Caso 33 X=18 Caso 33 X=18 Q3 Caso 100 X=4 Caso 100 X=4 Caso 100 X=4 DIFFEREZA ITERQUARTILE: msura robusta (non rsente de valor anomal present nella terza dstrbuzone) con scarsa capactà nformatva (non tene conto delle dfferenze present nelle dstrbuzon)

33 Come sceglere tra le dverse msure della dspersone? Lo scarto quadratco medo (σ) s usa quando dat non sono troppo asmmetrc o quando, come valore medo, s è usata la meda artmetca Msura che ha un elevata capactà nformatva perché tene conto d tutt valor della dstrbuzone Ha un basso grado d robustezza perché è nfluenzata da valor anomal Rsente della grandezza della meda della varable

34 Scarto quadratco medo(3) Dstrbuzon d tre dvers grupp secondo l età Età Prmo gruppo Secondo gruppo Terzo gruppo Totale Scarto quadratco medo,617,615 8,44 Meda 1,91 1,90 3,37 Scarto quadratco medo: msura con elevata capactà nformatva e non robusta

35 Scarto quadratco medo(3bs) Calcolamo lo Scarto quadratco medo per tutte le prove 1 a Prova a Prova 3 a Prova 1 studente 3 6 studente studente studente meda 6,5 6,5 6,5 scarto quadratco,38,49 0,43 Scarto q. 1 a prova =,38 dat pù eterogene Scarto q. 3 a prova = 0,43 dat pù omogene Scarto q. a pr. Scarto q. 1 a pr Le Dstrbuzon Dfferscono 35

36 Scarto quadratco medo(3bs) Osservazon: 1. Lo scarto quadratco medo e la varanza danno nformazon sulla dstrbuzone de dat: pù e sono pccol pù dat sono concentrat; pù e sono grand pù dat sono dspers.. Entramb gl ndc tengono conto d tutt dat della dstrbuzone 3. La varanza è espressa medante l quadrato dell untà d msura de dat 4. Lo scarto quadratco nella stessa untà d msura de dat e pertanto vene preferto alla varanza

37 Msure della varabltà C) Indc basat sulle dfferenze tra termn (MISURE DI DISEGUAGLIAZA) LA DIFFEREZA MEDIA è la meda delle dfferenze tra cascuna quanttà e tutte le altre msura la dseguaglanza meda tra termn della dstrbuzone

38 Dfferenza meda La dfferenza meda è calcolata utlzzando le dfferenze tra termn della dstrbuzone n valore assoluto : d h x x h Tal dfferenze possono essere: con rpetzone, quando s consderano tutte le dfferenze possbl, qund anche quelle rpetute (le dfferenze tra cascuno termne e se stesso ); senza rpetzone, quando s consderano solo le dfferenze dverse.

39 Dfferenza meda DIFFEREZA SEMPLICE MEDIA (senza rpetzone) 1 h1 ( h 1) S S 1 h1 h ( 1) n n h al denomnatore s consdera l numero d tutte le dfferenze ad eccezone d quelle nulle (ovvero s escludono le dfferenze con termn ugual)

40 Dfferenza meda DIFFEREZA MEDIA (con rpetzone) R 1 h1 h R S S 1 h1 h n n h al denomnatore s consdera l numero d tutte le dfferenze ncluse quelle con termn ugual (s calcolano anche le dfferenze rpetute)

41 Esempo calcolo: Dfferenze mede Calcolare l valore della dfferenza meda con e senza rpetzone su seguent dat: x = 1; ; 4; 7 1 h1 ( h 1) (4 1) La somma de valor assolut d tutte le dfferenze sarà qund: =40 La dfferenza meda è 40/1=3,3 con rpetzone 40/16=,5

42 Metodo d calcolo dfferenze mede LA MATRICE QUADRATA Dat valor x 1, x,, x n ordnat n modo crescente s calcolano le all nterno della matrce le dfferenze fra cascun termne e tutt gl altr, compreso se stesso. S ottene l quadro delle dfferenze, cu termn post sulla dagonale prncpale sono null. x 1 x x x n x 1 x 1 -x 1 x -x 1 x -x 1 x n -x x x 1 -x x -x x -x x n -x : : : : : x x 1 -x x -x x -x x n -x x n x 1 -x n x -x n x -x n x n -x n Il numero delle dfferenze è, d cu nulle e qund - = ( - 1) sono dverse da zero.

43 Esempo calcolo: Dfferenze mede Calcolare l valore della dfferenza meda con e senza rpetzone su seguent dat: x = 1; ; 4; Tot rghe 1 1-1=0-1=1 4-1=3 7-1= =1 -=0 4-= 7-= =3-4= 4-4=0 7-4= =6-7=5 4-7=3 7-7=0 14 Tot.col La dfferenza meda senza rpetzone è : *( )/1=40/1=3,3 La dfferenza meda con rpetzone è 40/16=,5

44 Esempo calcolo: Dfferenze mede Caso dstrbuzone: calcolare l valore della dfferenza meda su seguent dat: X h X n X,h TOT RIGA TOT COL