Esercitazione 1 del corso di Statistica 2

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1 Eserctazone del corso d Statstca rof. Domenco Vstocco Dott.ssa aola Costantn 8 Aprle 008 Eserczo n. S consder un campone d 00 student d cu s conoscono le seguent probabltà dstnt secondo l sesso (Mmascho, Ffemmna) e l età (G d età -6, A d età -8). Sapendo che:(m) 0,, (G) 0,6 e che (G M) 0, rcavare la dstrbuzone d frequenza doppa: Età G A Sesso M F Tot. Tot. 00 ( M ) x 0, x 0,* x ( G) 0,6 x 0,6* x / 00 x ( G M ) 0, x 0,*0 8 0 / 00 0

2 Eserczo n. Supponamo d avere un urna contenente pallne, d cu verd, blu e rosse. S vuole determnare la probabltà che, estraendo due pallne con e senza remmssone, esse sano: a. dello stesso colore; b. al pù una pallna verde; c. due pallne d cu almeno una blu; d. due pallne d cu solo la prma rossa; e. due pallne d cu una verde e l altra non rossa; Soluzone Estrazone Bernoullana (o con remmssone) a. ( due pallne dello stesso colore ) [( R R ) ( V V ) ( B B )] ( R ) ( R ) ( V ) ( V ( R R ) ( B ) ( B ) ) ( V V ) ( B B ) 6 0 0, b. ( al pù una pallna verde ) [( V V ) ( V V ) ( V V )] [( V V ) ( V V ) ( V V )] ( V ) ( V ) ( V ) ( V ) ( V ) ( V ) 0,8 c. ( due pallne d cu almeno una blu ) [( B B ) ( B B ) B B )] ( ( B ) ( B ) ( B ) ( B ) ( B ) ( B ) 0,

3 d. ( due pallne d cu solo la prma rossa ) 8 ( R R ) ( R ) ( R ) 0, e. ( due pallne d cu una verde e l altra non rossa ) [( V R ) ( R )] V posto che ( ) ( V ) ( V ) ( B ) ( B ) ( V ) ( V V ) ( V B ) ( B V ) V 0,8 Estrazone n blocco (o senza remmssone): a. ( due pallne dello stesso colore ) [( R R ) ( V V ) ( B B )] ( R R ) ( V V ) ( B B ) ( R ) ( R R ) ( V ) ( V V ) ( B ) ( B B ) ,8 b. ( al pù una pallna verde ) [( V V ) ( V V ) ( V V )] [( V V ) ( V V ) ( V V )] ( V ) ( V V ) ( V ) ( V V ) ( V ) ( V V ) 6 0,8 c. ( due pallne d cu almeno una blu )

4 [( B B ) ( B B ) B B )] ( ( B ) ( B B ) ( B ) ( B B ) ( B ) ( B B ) 0, d. ( due pallne d cu solo la prma rossa ) 8 ( R R ) ( R ) ( R R ) 0, e. ( due pallne d cu una verde e l altra non rossa ) [( V R ) ( R )] V posto che 0 ( ) ( V V ) ( V ) ( B V ) ( B ) ( V B ) ( V V ) ( V B ) ( B V ) V 0 0,8 Eserczo n. Una fabbrca produce ganc per appendere quadr e l vende n confezon da 0. Il propretaro della fabbrca ha stmato che la probabltà che n una scatola non v sano ganc dfettos è 0,8, la probabltà che v sa un ganco dfettoso è 0, e la probabltà che v sano due ganc dfettos è 0,0. Sa X la varable casuale che descrve l numero d ganc dfettos; la dstrbuzone d X è rportata nella tabella. a. Calcolare e rappresentare grafcamente la funzone d rpartzone d X. b. Calcolare l valore atteso e la varanza d X.

5 Soluzone Tab. Ganc dfettos 0 robabltà 0,8 0, 0,0 0,8 0,6 F(x)0, per x < 0 F(x)0,8 per 0 x F(x)0, per x F(x) per x 0, 0, 0,0 0 b. Nel caso d varabl casual dscrete l valore atteso è dato da Nel nostro caso abbamo: μ E [ X ] x p [ X ] x( X x) 0 0,8 0, 0,0 0, 8 μ E x 0 Tale rsultato può essere nterpretato nel modo seguente: se s consdera un elevato numero d scatole l numero medo d ganc dfettos per scatola è 0,8. er le varabl casual dscrete la varanza è data da: σ ( x μ) p Nel nostro caso la varanza è data da:

6 σ x 0 ( x μ) ( X x) ( 0 0,8) 0,8 ( 0,8) 0, ( 0,8) 0,0 0, La varanza può anche essere calcolata come dfferenza tra l valore atteso del quadrato d X e l quadrato della meda. σ E μ Var ( X ) E[ X ] μ [ X ] 0 0,8 0, 0,0 0, 0,8 0,0 σ 0, 0,0 0, σ σ 0,8 Eserczo n. Lancando tre monete, s consder la v.c. descrtta dal numero delle teste che s presentano n una prova. Spazo degl event x p CCC 0 /8 /8 CCC /8 CTC TCC TTC /8 /8 TCT CTT TTT /8 /8 Calcolare l valore atteso e la varanza d X. Applcando la formula del valore atteso: μ E[ X ] x p abbamo: E ( X ) 0, per cu n una prova l numero atteso d teste è par a ,. Var(X) σ ( x μ) p (0,) 0, (,) 0, (,) 0, (,) 0, 0, Soltamente σ rsulta un ndce d varabltà pù convenente da utlzzare perché è espresso nella stessa untà d X.

7 σ σ 0, 0,866 Il numero d teste che s presenta n cascun lanco è dverso da quello atteso (,) medamente per 0,866 teste. Eserczo n. Da un ndagne statstca emerge che gl talan hanno n meda l lvello d colesterolo a untà, con una varanza par a untà. a. Calcolare la probabltà che l lvello d colesterolo sa compreso tra 0 e 00 untà. ( X μ kσ ) k Δ Δ kσ k 8, 66 σ 8,66 ( X < ) (0 X 00) 0,8 8,66 b. Calcolare la probabltà che l lvello d colesterolo sa compreso tra 00 e 0 untà. ( X μ kσ ) k Δ k, per k > 0 la dsuguaglanza è valda. σ 8,66 ( X < ) (00 X 0) 0,88, c. Calcolare la probabltà che l lvello d colesterolo sa compreso tra e untà. ( X μ kσ ) k Δ 0 k, per k > 0 la dsuguaglanza è valda. σ 8,66 ( X < 0) ( X ) 0,8,

8 c. Calcolare la probabltà che l lvello d colesterolo sa compreso tra 0 e 0 untà. ( X μ kσ ) k Δ k 0, per k < 0 la dsuguaglanza è banale n termn d contenuto σ 8,66 nformatvo ( X < ) (0 X 0) 0, D conseguenza, quando l ampezza dell ntervallo aumenta X assume con maggore probabltà valor dstant da μ.