Esercizi di Probabilità e Statistica

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1 Esercz d Probabltà e Statstca Samuel Rota Bulò 25 maggo 2007 Funzon d v.a., meda, varanza, moda, medana, quantl e quartl. Vettor aleator, denst condzonata, covaranza, correlazone. Eserczo 1 Sa Y ax + b una v.a. funzone della v.a. X con a, b real. Verfcare che E[Y ] E[X] + b e V ar[y ] a 2 V ar[x]. Introducamo questa notazone: p X (x) P {X x}, e rcordamo che se Z Φ(X) allora E[Z] Φ(x )p X (x ) Calcolamo la meda d Y E[Y ] E[aX + b] (ax + b)p X (x ) a x p X (x ) +b p X (x ) ae[x] + b }{{}}{{} E[X] 1 e la sua varanza V ar[y ] E[(Y E[Y ]) 2 ] E[(aX + b (ae[x] + b)) 2 ] E[(aX ae[x]) 2 ] E[a 2 (X E[X]) 2 ] Calcolando la meda d Y abbamo vsto che la meda è un operatore lneare ovvero, comunque o prenda a, b, X abbamo che E[aX + b] ae[x] + b d conseguenza se consderamo Z (X E[X]) 2 abbamo che E[a 2 Z] a 2 E[Z] E[(X E[X]) 2 ] a 2 V ar[x] Eserczo 2 Un urna contene 3 pallne numerate da 1 a 3. S estraggono con rensermento due pallne e sa X la v.a. che ndca la dfferenza n modulo de numer estratt. S determn: 1. la funzone d probabltà d X; 1

2 2. la funzone d rpartzone d X; 3. la meda e moda della dstrbuzone;[8/9, 1] 4. la varanza d X;[0.54] 5. P (X 2) e P (2 X < 5).[1, 2/9] Determnamo la funzone d probabltà. Per autarc mettamo n tabella le dfferenze n valore assoluto delle due estrazon. X 1 X Sccome ogn combnazone è equprobable, calcolamo la funzone d probabltà come rapporto tra cas favorevol e cas total 1/3 se 0 P (X ) 4/9 se 1 2/9 se 2 Da questa rcavamo la funzone d raprtzone 1/3 se 0 F X () P (X ) 7/9 se 1 1 se 2 Calcolamo la meda della dstrbuzone. E[X] P (X ) La moda è 1 n quanto è l valore per cu la funzone d probabltà è massma. La varanza è data da V ar[x] E[X 2 ] E[X] 2 2 P (X ) 0 ( ) Infne calcolamo le due probabltà utlzzando la funzone d rpartzone. P (X 2) F X (2) 1 P (2 X < 5) P (1 < X 4) F X (4) F X (1) Eserczo 3 Una partta d 6 stereo ne contene 2 dfettos. Un locale acqusta 3 d quest stereo a caso. Se X conta l numero d stereo dfettos, trovarne la funzone d probabltà e la funzone d rpartzone. Calcolarne: 2

3 1. meda e varanza d X; [1, 0.4] 2. moda; [3/5] 3. P (X 1) e P (0 < X 2).[0.6, 0.8] X s dstrbusce con legge pergeometrca d parametr n 6, b 2, k 3. La funzone d probabltà è data da ( b n b ) P (X ) )( k ( n k) da cu sosttuendo 1/5 se 0 P (X ) 3/5 se 1 1/5 se 2 La funzone d rpartzone è data da 1/5 se 0 F X () P (X ) 4/5 se 1 1 se 2 La meda è data da E[X] La varanza è data da P (X ) V ar[x] E[X 2 ] E[X] 2 La moda è 1. Concludamo l ultmo punto. 2 P (X ) 1 0 P (X 1) P (0 < X 2) F X (2) F X (0) Eserczo 4 Una moneta equlbrata vene lancata 2 volte. Sa X la varable che conta l numero d teste e Y la dfferenza fra numero d teste e numero d croc. S determn 1. la funzone d probabltà congunta d (X, Y ); 2. la funzone d probabltà margnale d Y ; 3

4 3. la covaranza fra X e Y ; [0] 4. P (X 0 Y < 0). [1] lo spazo camponaro dell espermento è dato da tutte le coppe d est del lanco delle due monete ovvero TT, CC, TC, CT e rspettv valor del vettore aleatoro (X, Y ) sono (2, 2), (0, 2), (1, 0), (1, 0). La funzone d probabltà può essere espressa come rapport tra cas favorevol e cas total, vsto che abbamo uno spazo d probabltà unforme, qund 1/4 se (x, y) (2, 2) P {(X, Y ) (x, y)} 1/4 se (x, y) (0, 2) 1/2 se (x, y) (1, 0) La funzone d probabltà margnale d Y vene calcolata nel seguente modo ottenendo P {Y y} P {(X, Y ) (x, y)} x0 1/4 se y 2 P {Y y} 1/2 se y 0 1/4 se y 2 Calcolamoc anche la margnale d X utlzzando la formula P {X x} P {(X, Y ) (x, y)} ottenendo x { 2,0,2} E facle verfcare che n generale 1/4 se x 0 P {X x} 1/2 se x 1 1/4 se x 2 P {(X, Y ) (x, y)} P {X x}p {Y y} ne segue che X e Y sono dpendent. Calcolamo la covaranza dove Cov[X, Y ] E[XY ] E[X]E[Y ] e E[XY ] xyp {(X, Y ) (x, y)} 4P {(X, Y ) (2, 2)} 1 x0 y { 2,0,2} E[X] xp {X x} 1 x0 4

5 e d conseguenza E[Y ] y { 2,0,2} yp {Y y} 0 Cov[X, Y ] Infne rspondamo all ultmo punto utlzzando la defnzone d probabltà condzonata P {X 0 Y < 0} P {X 0, Y < 0} P {Y < 0} P {(X, Y ) (0, 2)} P {Y 2} dove abbamo che è sempre vero che se la dfferenza fra l numero d teste e l numero d croc è mnore d 0, allora non ho avuto teste ne due lanc. Eserczo 5 Sano X P os(λ), λ > 0, e Y P os(µ), µ > ( 0, due ) v.a. λ ndpendent e sa Z X + Y. S dmostr che X Z n Bnom n, λ+µ. Possamo dmostrare la proposzone dell eserczo verfcando che ( ) ( ) ( ) n n λ µ P {X Z n}. λ + µ λ + µ Inzamo utlzzando la defnzone d probabltà condzonata e l potes d ndpendenza tra X e Y. P {X Z n} P {X, Z n} P {Z n} P {X, Y n } P {X + Y n} P {X, X + Y n} P {X + Y n} 1 P {X }P {Y n } P {X + Y n} Rcordamo che se X e Y sono v.a. ndpendent d Posson d parametr rspettvamente λ e µ, allora la loro somma è ancora una v.a. d Posson d parametro λ + µ. Qund P {X + Y n} (λ + µ)n Svluppamo l numeratore d P {X Z n}. P {X }P {Y n } λ µn e λ! (n )! e µ e (λ+µ) E nfne mettamo tutto nseme e (λ+µ) e (λ+µ) (λ + µ) (λ + µ) n (n )!! λ µ n e (λ+µ) ( ) n λ µ n P {X Z n} ( n ) λ µ n (λ + µ) (λ + µ) n e (λ+µ) e (λ+µ) ( n ) λ µ n (λ + µ) (λ + µ) n ( ) ( n λ ) ( µ ) n λ + µ λ + µ 5

6 Eserczo 6 La denstà dscreta congunta d X e Y è data da: p(1, 1) 1/8, p(1, 2) 1/4, p(2, 1) 1/8 e p(2, 2) 1/2. 1. S calcol la denstà dscreta condzonata d X dato Y, 1, 2; 2. X e Y sono ndpendent? [no] 3. S calcolno: P (XY 3), P (X + Y > 2) e P (X/Y > 1). [1/2, 7/8, 1/8] Calcolamo la denstà d X condzonata a Y con P {X j Y } P {X j, Y } P {Y } p(j, ) P {Y } Abbamo bsogno della margnale d Y che calcolamo nel seguente modo P {Y } P {X j, Y } p(1, ) + p(2, ) j1 Mettendo nseme ottenamo P {X j Y } p(j, ) p(1, ) + p(2, ) con cu calcolamo P {X j Y 1} { 1/2 se j 1 1/2 se j 2 e P {X j Y 2} Calcolamo anche la margnale d X. { 2/3 se j 1 1/3 se j 2 P {X j} P {X j, Y } p(j, 1) + p(j, 2) 1 P {X j} { 3/8 se j 1 5/8 se j 2 Dal momento che n generale P {X j Y } P {X j} concludamo che X e Y non sono ndpendent. Rsolvamo ora l ultmo punto. P {XY 3} p(1, 1) + p(1, 2) + P (2, 1) 1 2 P {X + Y > 2} p(1, 2) + p(2, 1) + p(2, 2) 7 8 P {X/Y > 1} p(2, 1) 1 8 6