θ 2 i r 2 r La multifunzione f (z) = z z i

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1 La multfunone f () = è l prodotto d 2 multfunon Z Z e W 3 W. È qund ragonevole supporre che Z =, coè = 1 e W =, coè = sano punt d dramaone d f. Con rfermento alla fgura a lato, e tenuto conto dell esempo analogo della seone. 4.2), ponamo r 1 r 2 θ 2 da cu = 1 + r 1 e θ 1 e = + r 2 e θ 2 f () = w = = r 1 3 r 2 e (θ 1/2+θ 2 /3 = r 1 3 r 2 e θ 1/2 e θ 2/3 questo corrsponde alla scelta d uno de valor d f n. Per dmostrare che è un punto d dramaone, consderamo un cammno chuso attorno a. I dettagl della curva sono rrlevant: conta soltanto la varaone angolare (cercho rosso della fgura). Dopo un gro completo s ha e θ 2/3 e (θ 2/3+2π/3, coè la radce ha cambato valore ed è passata nel suo secondo ramo. Mentre compe un gro attorno a, l angolo θ 1 va avant e ndetro: raggunge un valore massmo a snstra e po, quando rtorna al suo valore nale, anch esso rtorna al suo valore nale. Qund complessvamente f () vara n un gro completo per la sola varaone dovuta alla sola radce cubca. Fne della dmostraone che è un punto d dramaone. Analogo ragonamento per 1 porta alla conclusone che anche 1 è un punto d dramaone. Poché c voglono due gr per tornare al valore nale, = 1 è un punto d dramaone semplce; per ce ne voglo tre e dunque è dunque è d ordne 2. I tagl standard per ottenere ram ad un sol valore dalla funone d partena sono mostrat nella fgura a lato. Non è possble ottenere ram ad un sol valore con l solo taglo congungente l punt d dramaone perchè pur essendo le le veloctà angolar opposte n senso d rotaone sono d dverso modulo (una è 1/2 e l altra è 1/3), e non c può essere compensaone dopo un gro completo. S veda la fgura a lato f () = 2 1 = 1 + 1, al fnto, ha due punt d dramaone semplc n = ±1. Per valutare se f () ha un punto d dramaone all nfnto, s consdera F() = f (1/) per =. Ma F() = f ( 1 ) = = = θ 1

2 1-2 ntroduone a metod matematc della fsca Qund = non è un punto d dramaone d F e d conseguena = non è un punto d dramaone d f (a) f () = sn. Se s consdera un gro attorno a lungo l cercho untaro = 1, partendo, per esempo, da θ =, s ha: sn e (θ=)/2 = sn(1) = sn e (θ=2π)/2 = sn e π = sn( 1) = sn(1) Qund sn ha un punto d dramaone semplce nello ero. Pochè un gro lungo = 1 è anche un gro attorno all nfnto, anche l nfnto è un punto d dramaone della funone. (b) f () = sn. Il seno s annulla per = nπ ed è sngolare all nfnto C potrebbero essere de punt d dramaone n quest punt. Consderamo l punto = nπ. Possamo scrvere sn = ( nπ) sn nπ. La funone g() = sn nπ è non nulla e non ha una vera sngolartà n = nπ, n quanto 1 lm nπ sn nπ = lm cos = ( 1) n nπ 1 Allora, n un pccolo ntorno d nπ s ha 1 Quando la sngolartà è solo apparente e può essere elmnata s dce appunto sngolartà elmnable. sn = ( nπ)( 1) n Qund, poché nπ ha un un punto d dramaone semplce per = nπ anche sn avrà un punto d dramaone semplce per = nπ. Poché tutt punt d dramaone = nπ vanno fno all nfnto, l nfnto non è una sngolartà solata, ma un punto d accumulaone d sngolartà. Un punto d dramaone deve essere una sngolartà solata e qund l nfnto non è un punto d dramaone. (c) f () = sn. La funone è a un sol valore. Dmostraone veloce: 1/2 sn 1/2 = ± sn(± ) = ± (± sn( ) = sn (d) f () = sn 2. Poché sn 2 = per = (nπ) 1/2, quest potrebbero essere punt d dramaone. Possamo scrvere sn 2 = 2 sn 2 2

3 1-21 dove la funone sn 2 / 2 è non nulla e ha una sngolartà elmnable per = : per la funone tende a 1. Pochè 2 non ha un punto d dramaone n, lo stesso vale per f (). Consderamo adesso l punto = (nπ) 1/2, sn 2 = ( nπ ) sn 2 nπ sn 2 /( nπ) è non nulla e ha una sngolartà elmnable per = nπ lm nπ sn 2 nπ = lm 2 cos 2 nπ 1 = 2 nπ( 1) n Poché ( nπ ) 1/2 ha un punto d dramaone n = nπ, anche sn 2 lo avrà. Qund f () = sn 2 ha punt d dramaone semplc n = nπ per n = ±1, ±2 ± 3,.... Il punto all nfnto non è una sngolartà solata Per trovare punt d dramaone d f () = E pochè non è neanche un polo, è una sngolartà essenale (le defnon d polo e d sngolartà essenale saranno date n una leone successva). espandamo f (), f () = 1/3 ( 1) 1/3 ( + 1) 1/3 C sono punt d dramaone d ordne 2 n = 1,, 1. Facendo la sosttuone 1/ s vede che non c sono punt d dramaone all nfnto n quanto C sono tre possbl tagl: F() = f (1/) = 1 (1 )1/3 (1 + ) 1/3 S vede faclmente che l prmo taglo va bene e trasforma la multfunone n una funone a un solo valore. Il secondo taglo non va bene perché permette un gro ntorno a punt ±1. Un gro ntorno a quest due punt fa varare l valore d partena della funone d un fattore e 4π/3, qund la funone così ottenuta non è a un sol valore. Il tero taglo va bene: grando ntorno a tre tagl la funone non camba (e 6π/3 = e 2π = 1); s osserv che questo è anche conseguena dretta del fatto che l nfnto non è un punto d dramaone.

4 1-22 ntroduone a metod matematc della fsca Per prma cosa fattoramo f (), f () = ( ) 1/3 ( + ) 1/3. θ 2 = + r 2 e θ2 C sono punt d dramaone( d ordne 2) n = ±. Sceglamo n tagl secondo la convenone standard, come nella fgura a lato. S ha f () = ( ) 1/3 ( ) 1/3 r 1 e θ 1 r 2 e θ 2 = 3 r 1 r 2 e (θ 1+θ 2 )/3 θ 1 = + r 1 e θ1 S vuole determnare l ramo n cu f () = 1 ( 1 + ) 3 = e (2π/3+2πn), 2 coè l ramo n cu gl angol θ1 e θ 2 fgura a lato) soddsfano che ndvduano = (vedere θ 2 3 1e (θ 1 +θ 2 )/3 = e (2π/3+2πn), dunque, per avere l ramo rchesto, deve valere la relaone θ 1 + θ 2 = 2π + 6πn θ 1 Il ramo suggerto dalla fgura con θ1 = π/2 e θ 2 bene. Una scelta possble è = π/2 non va π < θ 1 π, 5π < θ 2 < 7π che corrsponde a n = 1. Naturalmente, altre scelte sono possbl. È possble anche fare una dfferente scelta de tagl. Per esempo, per la scelta d tagl della fgura a lato, s può sceglere l ramo θ 2 che corrsponde a n = π 2 < θ 1 5π 2, π 2 < θ 2 3π 2 (a) f () = log( 2 1) = log( 1) + log( + 1) C sono punt d dramaone n = ±1. Per sapere che cosa succede all nfnto, consderamo l comportamento nello ero d ( ) 1 F() = f (1/) = log 2 1 = log( 2 ) + log(1 2 ) log( 2 ) ha un punto d dramaone n =, log( 2 ) = ln 2 + arg( 2 ) = ln 2 2 arg() Ogn volta che gramo ntorno allo ero l valore della funone F() camba d 4π. Allora = è un punto d dramaone d f (). θ 1

5 1-23 Possamo rendere la funone ad un sol valore ntroducendo due tagl che partono da = ±1 e vanno all nfnto. (b) f () = log C sono punt d dramaone n = ±1. ( ) + 1 = log( + 1) log( 1) 1 F() = f (1/) = log ( ) F() non ha punt d dramaone nello ero, qund f () non ha punt d dramaone all nfnto. Possamo rendere la funone ad un sol valore ntroducendo due tagl che partono da = ±1 e vanno all nfnto. Possamo anche rendere la funone ad un sol valore ntroducendo un solo taglo che collega punt = ±1. Questo perché log( + 1) e log( 1) cambano rspettvamente d 2π e 2π quando s percorre un gro completo ntorno a due punt d dramaone nella dreone postva.