Soluzione di sistemi di equazioni differenziali
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- Alessandro Patti
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1 Soluzone d ssem d equazon dffeenzal Poese aee l mpessone d non sapee nulla sulle equazon dffeenzal e d non aene ma nconaa una. In ealà quesa mpessone è sbaglaa peché la legge d Neon F ma s può scee nella foma F m che mosa esplcamene come s aa n sosanza d una equazone dffeenzale del secondo odne. Nel seguo c feemo n modo esplco alla soluzone delle equazon del moo anche se meod llusa sono d aldà geneale Laboaoo d Calcolo B 6
2 Equazon dffeenzal lnea S aa d equazon del po: n a0 a a an doe è la funzone ncogna e le a n sono funzon noe. In geneale un equazone dffeenzale non possede una sngola soluzone oeo una sngola funzone che la soddsf ma una famgla d soluzon. La soluzone appopaa pe un dao poblema è quella che spea le condzon al conono. Nel caso s sa sudando una eoluzone empoale le condzon al conono sono dae come alo della funzone e delle sue deae fno alla n--esma ad un dao sane ad esempo pe 0. 0 Laboaoo d Calcolo B 7
3 Il meodo d Euleo Consdeamo un equazone del pmo odne: a b f cu è assocaa la condzone nzale 0 0. L equazone medesma c fonsce l aloe della deaa pma la elocà al empo 0: 0 f 00 Se assumamo che n un bee neallo la elocà es cosane poemo scee applcando la fomula del moo elneo unfome: 0 0 f Quesa elazone noa la poszone nzale 0 c fonsce al pmo odne. La pocedua può essee eaa pe caae a geneco. La pecsone è modesa. Laboaoo d Calcolo B 8
4 La see d Taylo Pe chae che cose s nende con caae al pmo odne dobbamo nodue la see d Taylo. S può dmosae che se una funzone f e ue le sue deae sono connue n un neallo ale la elazone f f 0 f n! 0 f n doe e 0 sono pun genec dell neallo. In ale paole la see d Taylo c gaansce che la conoscenza del aloe d una funzone e d ue le sue deae n un puno 0 è suffcene a deemnae l aloe della funzone n un puno geneco. Laboaoo d Calcolo B 9 f n 0 0
5 Pecsone degl slupp d Taylo Se applchamo la see d Taylo al noso poblema d esapolae l moo d un copo noe la poszone e le sue deae calcolae al empo 0 possamo oenee pecson dffeen oncando la see n dese poszon. Odne Zeo 0 O S assume che la elocà sa nulla coè che la poszone es cosane Laboaoo d Calcolo B 0
6 Pecsone degl slupp d Taylo Se applchamo la see d Taylo al noso poblema d esapolae l moo d un copo noe la poszone e le sue deae calcolae al empo 0 possamo oenee pecson dffeen oncando la see n dese poszon. Odne Zeo 0 O Pmo Odne 0 0 O S assume che l acceleazone sa nulla coè che la elocà es cosane Laboaoo d Calcolo B
7 Pecsone degl slupp d Taylo Se applchamo la see d Taylo al noso poblema d esapolae l moo d un copo noe la poszone e le sue deae calcolae al empo 0 possamo oenee pecson dffeen oncando la see n dese poszon. Odne Zeo 0 O S assume che la deaa dell acceleazone sa nulla coè che l acceleazone es cosane Pmo Odne 0 0 O Secondo Odne O Laboaoo d Calcolo B
8 Il meodo d Runge-ua Pe oenee una pecsone maggoe esegue uno sluppo al secondo odne: occoe Abbamo peò l poblema d caae 0. Sluppamo al pm odne /: da cu: Laboaoo d Calcolo B
9 Il meodo d Runge-ua Se sosuamo nell espessone al secondo odne d oenamo: 0 O Il aloe della elocà nel puno / può essee caao calcolando la poszone al pm odne con l meodo d Euleo ed ulzzando l equazone dffeenzale: 0 f 0 Laboaoo d Calcolo B 4
10 Il meodo d Runge-ua Rassumendo possamo de che l meodo d Runge- ua d odne due consse nell esegue una esapolazone del pmo odne da 0 a / nel aluae la deaa / e nell ulzzala pe oenee una sma d esaa al secondo odne. Vedamo la sequenza d calcolo: f f O Calcolo della deaa nel puno nzale Esapolazone al pmo odne n / e calcolo della deaa Esapolazone al secondo odne n Laboaoo d Calcolo B 5
11 Runge-ua d odne quao Esse un meodo d Runge-ua esao al qua odne del quale poamo solo la sequenza d calcolo ma che è sempe conenene usae: 4 f f f 0 f Laboaoo d Calcolo B O 5
12 Soluzone d equazon dffeenzal: assuno È noa la poszone nzale condzon al conono 0 Laboaoo d Calcolo B 7
13 Soluzone d equazon dffeenzal: assuno 0 f00 0 S usa l equazone dffeenzale pe calcolae la deaa pma nel puno nzale Laboaoo d Calcolo B 8
14 Soluzone d equazon dffeenzal: assuno S assume che la deaa pma es cosane e s calcola lo sposameno nell neallo al pmo odne Laboaoo d Calcolo B 9
15 Soluzone d equazon dffeenzal: assuno / 0 0/ O 0 / f// 0 Alenaamene c s fema a meà sada e s calcola la deaa pma n / con l eq. dffeenzale Laboaoo d Calcolo B 0
16 Soluzone d equazon dffeenzal: assuno / O 0 0 / Sfuando l fao che [ / 0] 0 / possamo caae l aloe della deaa seconda nel puno nzale e qund deemnae la poszone a al secondo odne / O Laboaoo d Calcolo B
17 Ssem d equazon dffeenzal C sono e mo pe cu c dobbamo occupae d ssem d equazon dffeenzal e non d equazon sngole: poblem d dnamca del copo gdo sono poblem eoal pe cu aemo e equazon pe cascuna delle componen caesane; poblem neessan da un puno d sa fsco conolgono pù d un copo e qund aemo e equazon eoal pe cascun copo conolo; l equazone del moo è una equazone dffeenzale del secondo odne mene no abbamo un meodo d soluzone pe le equazon del pmo odne. Laboaoo d Calcolo B
18 Laboaoo d Calcolo B Equazon del secondo odne Equazon del secondo odne Una equazone lneae del secondo odne è del po: Possamo asfomae quesa equazone n un ssema d due equazon del pmo odne; basa poe e s oene: che è un ssema del pmo odne nelle aabl e. Naualmene sccome c sono due equazon saanno necessae due condzon nzal: 0 e 0. Il uccheo funzona anche pe gl odn supeo. f c b a f c b a
19 Esecazone n laboaoo Esecazone n laboaoo In laboaoo doee ealzzae un pogamma pe la soluzone d un geneco poblema del moo d N cop n D dmenson con D o. Queso pogamma poà essee applcao a des poblem fsc neessan. A scopo d esempo e pe efcae che uo funzon bene la pocedua d calcolo doà essee applcaa al poblema della deemnazone n due dmenson della aeoa d un saelle aono ad un panea assuno femo. Doee anche ealzzae l gafco della aeoa del saelle. Nel seguo c conceneemo nell anals deaglaa d queso poblema e specalzzeemo un poco ma non molo la geneca pocedua alda pe qualunque ssema d equazon dffeenzal lnea. Laboaoo d Calcolo B 4
20 Il calcolo della aeoa Il poblema che dobbamo solee é: F N m che come abbamo so a sco nella foma: f N Se abbamo N cop...n e solamo l poblema n e dmenson s aa d un ssema d N equazon del pmo odne. Dobbamo osseae che la quas oalà dell nedpendenza a le equazon del ssema sede nel emne d foza: la componene j-ma della foza che agsce sul puno è funzone d ue le componen delle poszon e delle elocà d u gl N cop. N N Laboaoo d Calcolo B 5
21 Laboaoo d Calcolo B 6 Soluzone del ssema Soluzone del ssema Vso che samo capac d solee una sngola equazone dffeenzale la soluzone d un ssema d mole equazon non pesena pacola poblem. D fao l meodo che usamo è gdamene sequenzale pe cu s dee solo fae aenzone ad esegue ogn passo del calcolo su ue le equazon pma d passae al passo successo. Poamo con l meodo d Runge-ua d odne due O O f f N N
22 Laboaoo d Calcolo B 7 Soluzone del ssema Soluzone del ssema O O f f N N Passo S calcola l aloe degl 0 Banale: 0 0
23 Laboaoo d Calcolo B 8 Soluzone del ssema Soluzone del ssema O O f f N N Passo S calcola l aloe de 0 usando l equazone
24 Laboaoo d Calcolo B 9 Soluzone del ssema Soluzone del ssema O O f f N N Passo S esapolano e al pmo odne a / e s calcola /
25 Laboaoo d Calcolo B 0 Soluzone del ssema Soluzone del ssema O O f f N N Passo 4 S calcola /
26 Laboaoo d Calcolo B Soluzone del ssema Soluzone del ssema O O f f N N Passo 5 S calcola al secondo odne n
27 Laboaoo d Calcolo B Soluzone del ssema Soluzone del ssema O O f f N N Passo 6 S calcola al secondo odne n
28 Soluzone del ssema In conclusone l calcolo della aeoa d un ssema d N cop n D dmenson s duce all esecuzone eaa d una sequenza d calcol: La sequenza non dpende dallo specfco poblema n esame n quano dpende solo dalla cnemaca. La sequenza chede l calcolo delle foze agen su ogn copo. Quesa è la sola pae doe emegono le peculaà della dnamca del ssema La sequenza a esegua n paallelo su DN equazon. D conseguenza è necessao manpolae eo o mac a DN componen. Laboaoo d Calcolo B
29 Schema a blocch Sa IN: OUT: Inpu de da Nome del fle ND Tmn Tma Tmn Tmn IN: OUT: Dnamca d componene d dell acceleazone del copo -mo Tmn Gafco de pun Cnemaca IN: OUT: ND gafco IN: N D funzone Dnamca OUT: > Tma? End Laboaoo d Calcolo B 4
30 Manpolazone de eo Il pogamma dee manpolae eo d DN componen; sa D che N possono aae pe cu è necessao allocae dnamcamene. C sono due soluzon possbl: Soluzone : eoe d DN componen Allocazone double *ec; ec ne double[n*d]; Loop n nd; fo n0; n<n; n { fo d0; d<d; d { ec[n*d d]... } } Laboaoo d Calcolo B 5
31 Manpolazone de eo Il pogamma dee manpolae eo d DN componen; sa D che N possono aae pe cu è necessao allocae dnamcamene. C sono due soluzon possbl: Soluzone : mace [N][D] Allocazone double **ec; n n; ec ne double*[n]; fo n0; n<n; n { ec[n] ne double[d]; } Loop n nd; fo n0; n<n; n { fo d0; d<d; d { ec[n] [d]... } } Laboaoo d Calcolo B 6
32 Manpolazone de eo Soluzone : eoe d DN componen ec[0] ec[] ec[] ec[] ec[4] ec[5] ec[6] ec[7] ec[8]... Componen yz del copo Componen yz del copo Componen yz del copo Laboaoo d Calcolo B 7
33 Manpolazone de eo Soluzone : mace [N][D] ec[0] ec[] ec[] ec[]... ec[0][0] ec[0][] ec[0][] ec[][0] ec[][] ec[][] ec[][0] ec[][] ec[][] Componen yz del copo Componen yz del copo Componen yz del copo Laboaoo d Calcolo B 8
34 Vsualzzazone delle aeoe Pe sualzzae le aeoe n due dmenson s può ulzzae un oggeo d po TGaph: TGaphn n double * double *y che ga conoscee. Se è pccolo e la dmensone del mae pue meodo SeMaeSze quesa funzone dsegna una lnea connua lungo la aeoa. Allo scopo d fae speacolo pù che d cape l poblema fsco poee ulzzae l meodo SePonn n double * double *y che consene lo sposameno de pun e qund ealzza una soa d anmazone del moo de cop lungo la aeoa calcolaa. Rcodae che dopo la chamaa a SePon doee chamae l meodo Updae d TCanas o TPad pe aggonae l gafco. Se po see appassona d effe specal poee ceae un ssema d ass D con un oggeo d po TVe e po un gafco D con TPolyMaeD. Laboaoo d Calcolo B 9
35 Vefca della pecsone d calcolo È chao dalla aazone geneale sulla soluzone numeca delle equazon dffeenzal che la pecsone è ano mgloe quano pù pccolo è. Il poblema che s pone è quello d sceglee un aloe sensao pe l ncemeno empoale. Una ecnca possble consse nel calcolae ad ogn passo l enega oale del ssema. Tale enega doebbe manee cosane. Se s ndduano delle aazon sgnfca che la pecsone è nsuffcene o che l ssema non è conseao. In queso caso s può neene ducendo. Laboaoo d Calcolo B 40
36 Schema a blocch compleo Sa IN: OUT: Inpu de da Nome del fle ND Tmn Tma Tmn Tmn Tmn IN: OUT: Dnamca d N D componene d dell acceleazone del copo -mo Gafco de pun Cnemaca Enega IN: OUT: ND gafco IN: N D funzone Dnamca OUT: IN: OUT: N D > Tma? End Laboaoo d Calcolo B 4
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