ESPONENTI DI LIAPUNOV

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1 ESPONENTI DI IAPUNOV Ssem a empo dscreo, mono- e mul-dmensonal Problemache d calcolo Ssem a empo connuo C. Pccard e F. Dercole Polecnco d Mlano - 9/0/200 /8

2 MAPPE MONO-DIMENSIONAI Consderamo l ssema a empo dscreo x f x + d ordne n una sua raeora nomnale { x 0, x, x2,} una sua raeora perurbaa { 0, x } Poché vcno a x 0 ~ x ~, ~ x 2, che pare da ~ x0 x0 + x 0 ~ x x f ~ x0 f x0 f ~ 0 x0 x x0 + K ne segue che f x0 e l asso d espansone/conrazone della dfferenza nzale x0 se nfnesma ra le due raeore. C. Pccard e F. Dercole Polecnco d Mlano - 9/0/200 2/8

3 Dopo san d empo ~ x x f ~ x0 f x0 f x x x0 + K { f x f x 2 f x0 } x x0 + K x0 ~ 0 ~ 0 Qund l asso medo d separazone delle raeore vale, su emp lungh h x f x 2 f x0 lm x 0 f / x 0 x Se x0 è nfnesmo, per rsula allora x h 0 dove x 0 ln x 0 x x 0 x e 0, oppure h è l esponene d apunov della raeora che pare da 0 x. C. Pccard e F. Dercole Polecnco d Mlano - 9/0/200 3/8

4 Rassumendo, l esponene d apunov vale x0 lm ln f x + ln f x 2 + K + ln f x0 lm ln f x 0 Dmensonalmene, la sua unà d msura è l nverso dell unà d empo. : lungo la raeora γ che pare da x 0 Se x 0 > 0 medamene s allonanano da γ., le raeore vcne : lungo la raeora γ che pare da x 0 Se x 0 < 0 medamene s avvcnano a γ., le raeore vcne C. Pccard e F. Dercole Polecnco d Mlano - 9/0/200 4/8

5 Esempo: mappa logsca, x + r x x Se r 2. 5, l equlbro x r / r è asnocamene sable, poché lo Jacobano vale f ' x r 2rx 2 r 0.5 Da qualunque 0 0, per cu x x, la raeora ende a x, 0 lm ln f < 0 x ln f x ln Noa bene: quando la raeora ende asnocamene ad un equlbro x, x0 concde con l logarmo del modulo dello Jacobano. x asnocamene sable 0 x 0 < C. Pccard e F. Dercole Polecnco d Mlano - 9/0/200 5/8

6 Esempo: mappa a enda x + 2x 2 x se se x x / 2 > / 2 a raeora non ende ad un equlbro né ad un cclo: rmane per sempre non perodca. f x, per qualunque 0 0, Poché 2 x x rsula 0 lm ln f > 0 x ln f x ln 2 0 Aenzone: bsogna escludere le raeore che passano per x / 2. C. Pccard e F. Dercole Polecnco d Mlano - 9/0/200 6/8

7 Se la raeora è non perodca, l esponene d apunov può solo essere oenuo numercamene salvo eccezon ved mappa a enda. S calcola la raeora { 0, x, x2,} x e, nello sesso empo, s calcola la sma ˆ, x0 ln f 0 x fnché non s osserva che, al crescere d, ques ulma converge. Esempo: a sma dell esponene d apunov converge, al crescere d, ad un valore posvo. C. Pccard e F. Dercole Polecnco d Mlano - 9/0/200 7/8

8 MAPPE MUTI-DIMENSIONAI Consderamo ora l ssema a empo dscreo x f x + d ordne n qualunque. Prendamo una sfera nfnesma S d sa nzal, cenraa n x 0. All sane, la sfera s è rasformaa n un ellssode sfera: ellssode: T x 0 S x0 ε, S I T 2 2 E : x E x ε, E E T > 0 ma no sappamo che x J x J x 2 J x0 x0 H, x 0 T H,x0 H, x0 E soddsfa l eq. d E. qund I semass d x E normalzzando a l raggo d S sono gl auoveor 0 v d E, Ev λ v, λ λ2 λn, e hanno lunghezze r v : v Ev T con r λ λ [ H H ] σ [ H ], r r2 r λ [ ] / [ ],x0,x0, x0 n σ ndca l -esmo auovalore / valore sngolare della marce n parenes. T C. Pccard e F. Dercole Polecnco d Mlano - 9/0/200 8/8

9 Su emp lungh, ass d cresca med lungo n drezon orogonal sono qund da da numer d apunov / / / r, r, K, r 2 n Gl Esponen d apunov E sono defn come / T r lm ln λ [ H H ] lm σ [ H ],x 0 ln lm,x0,x0 ln, x0,,2, K, n Sono qund n numer real, che rsulano ordna n senso decrescene:, x0 2, x0 n, x0 Un espressone alernava per gl E, meno nerpreable ma ule n alcun cas: Noa bene: [ M] λ [ M] [ H ],x 0 lm ln λ, x0,,2, K, n σ se e solo se M M M M dagonalzzabl da una marce unara T T marc dee normal perché C. Pccard e F. Dercole Polecnco d Mlano - 9/0/200 9/8

10 Geomercamene, le quanà exp,x0 rappresenano qund l asso d cresca della dsanza x0 dalla raeora nomnale che pare da x 0 lungo n drezon orogonal. exp, x0 è relavo alla drezone d massma cresca drezone exp 2, x0 è relavo alla drezone d massma cresca, ra quelle orogonal alla drezone drezone 2 exp 3, x0 è relavo alla drezone d massma cresca, ra quelle orogonal alle drezon e 2 drezone 3 e così va fno a n. C. Pccard e F. Dercole Polecnco d Mlano - 9/0/200 0/8

11 Noa bene: se prendamo x0 generco non ale da mascherare la drezone d massma cresca, su emp lungh rsula, x x 0 x e 0 perché u gl alr esponenzal rsulano rascurabl. Il prmo massmo esponene d apunov deermna se, medamene, raeore nfnamene vcne s allonanano, x0 > 0 o s avvcnano, x0 < 0. C. Pccard e F. Dercole Polecnco d Mlano - 9/0/200 /8

12 Noa bene: n un ssema d ordne n, l asso d espansone/conrazone de volum m- dmensonal, medao lungo la raeora, vale m n S, dove m, x0, x0 2, x0 m, x0 exp m,x0 è la somma de prm m E. S + + K + C. Pccard e F. Dercole Polecnco d Mlano - 9/0/200 2/8

13 CACOO DEGI ESPONENTI DI IAPUNOV Se l ssema è d ordne n >, calcolare gl E usando dreamene la defnzone / T r lm ln λ [ H H ] lm σ [ H ],x 0 ln lm,x0,x0 ln, x0,,2, K, n è numercamene nsable J x J x 2 J 0. H, x 0 x Se v sono almeno una drezone d espansone, x0 > 0 e una d conrazone n, x0 < 0, al crescere d l maggore degl r vene ad essere mol ordn d grandezza pù grande rspeo al mnore. a precsone fna del compuer produce allora sgnfcav error d calcolo. Sono dsponbl var algorm d calcolo numercamene sabl. C. Pccard e F. Dercole Polecnco d Mlano - 9/0/200 3/8

14 Un algormo per l calcolo degl E della raeora { 0, x, x2,} passo 0 Pon 0. Defnsc la base oronormale x. [ 0 0] [ 0 0] e e 2 e n [ 0 0 ] passo Per cascuna delle n condzon nzal δ x 0 e, calcola l evoluzone d δ x + J x δx è l ssema lnearzzao lungo la raeora nomnale fno a τ prefssao pccolo!, oenendo così gl n veor v δx τ. C. Pccard e F. Dercole Polecnco d Mlano - 9/0/200 4/8

15 C. Pccard e F. Dercole Polecnco d Mlano - 9/0/200 5/8 Qund procedura d Gram-Schmd defnsc una nuova base oronormale + e : e e v v e e v v e v v e I denomnaor sono ass d espansone/conrazone lungo le n drezon orogonal della nuova base. Indchamole con N e memorzzamole. Pon + e rorna al passo. Dopo r pass, la sma degl E è daa da r r r r r N r N ln lm lm ln τ τ.

16 SISTEMI A TEMPO CONTINUO Consderamo ora l ssema a empo connuo x f x lo sao nzale x 0 & d ordne n qualunque E possble defnre una mappa d perodo T che, ad ogn sao x, assoca lo sao dopo T san d empo, vale a dre x + T F x T, > 0 T T arbraro S raa d un ssema a empo dscreo, d cu possamo calcolare gl E: ~ ~, Gl E d x & f x saranno da da: / T,,2, K, n. ~ x0, x0 T x T e, x0 e x 0 ~, ~, 2 n. Noa bene: n eora, può essere scelo qualunque T > 0. In praca, per problem d sablà numerca dell algormo d calcolo, è necessaro sceglere T pccolo. C. Pccard e F. Dercole Polecnco d Mlano - 9/0/200 6/8

17 Esempo: crcuo d Chua E una ree elerca con 3 elemen reav qund n 3 e un elemeno non lneare: Normalzzando le varabl d sao e paramer, e sceglendo per l elemeno non lneare una caraersca ensone-correne cubca, s oene: 3 x& α y ax cx y& x y + z z& βy C. Pccard e F. Dercole Polecnco d Mlano - 9/0/200 7/8

18 Per opporun valor de paramer, s oene una raeora non perodca: sere emporal d x, y, z raeora nello spazo d sao Calcolo degl E: s no che rsula > 0, 2 0, 3 < 0 C. Pccard e F. Dercole Polecnco d Mlano - 9/0/200 8/8