Soluzione di sistemi di equazioni differenziali

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1 Soluzone d ssem d equazon dfferenzal Porese aere l mpressone d non sapere nulla sulle equazon dfferenzal e d non aerne ma nconraa una. In realà quesa mpressone è sbaglaa perché la legge d Neon F ma s può screre nella forma F m che mosra esplcamene come s raa n sosanza d una equazone dfferenzale del secondo ordne. Nel seguo c rferremo n modo esplco alla rsoluzone delle equazon del moo anche se meod llusra sono d aldà generale Laboraoro d Calcolo B 6

2 Equazon dfferenzal lnear S raa d equazon del po: n a0 a a h an h 0 doe è la funzone ncogna e le a n sono funzon noe. In generale un equazone dfferenzale non possede una sngola soluzone oero una sngola funzone che la soddsf ma una famgla d soluzon. La soluzone appropraa per un dao problema è quella che rspea le condzon al conorno. Nel caso s sa sudando una eoluzone emporale le condzon al conorno sono dae come alor della funzone e delle sue derae fno alla n--esma ad un dao sane ad esempo per 0. Laboraoro d Calcolo B 7

3 Il meodo d Eulero Consderamo un equazone del prmo ordne: a b f cu è assocaa la condzone nzale 0 0. L equazone medesma c fornsce l alore della deraa prma la elocà al empo 0: 0 f 00 Se assumamo che n un bree nerallo la elocà res cosane poremo screre applcando la formula del moo relneo unforme: 0 0 f Quesa relazone noa la poszone nzale 0 c fornsce al prmo ordne. La procedura può essere eraa per rcaare a generco. La precsone è modesa. Laboraoro d Calcolo B 8

4 La sere d Taylor Per charre che cose s nende con rcaare al prmo ordne dobbamo nrodurre la sere d Taylor. S può dmosrare che se una funzone f e ue le sue derae sono connue n un nerallo ale la relazone f f 0 f 0 0 f 0 0 n n f 0 0 n! doe e 0 sono pun generc dell nerallo. In alre parole la sere d Taylor c garansce che la conoscenza del alore d una funzone e d ue le sue derae n un puno 0 è suffcene a deermnare l alore della funzone n un puno generco. Laboraoro d Calcolo B 9

5 Precsone degl slupp d Taylor Se applchamo la sere d Taylor al nosro problema d esrapolare l moo d un corpo noe la poszone e le sue derae calcolae al empo 0 possamo oenere precson dfferen roncando la sere n derse poszon. Ordne Zero 0 O S assume che la elocà sa nulla coè che la poszone res cosane Laboraoro d Calcolo B 0

6 Precsone degl slupp d Taylor Se applchamo la sere d Taylor al nosro problema d esrapolare l moo d un corpo noe la poszone e le sue derae calcolae al empo 0 possamo oenere precson dfferen roncando la sere n derse poszon. Ordne Zero 0 O Prmo Ordne 0 0 O S assume che l accelerazone sa nulla coè che la elocà res cosane Laboraoro d Calcolo B

7 Precsone degl slupp d Taylor Se applchamo la sere d Taylor al nosro problema d esrapolare l moo d un corpo noe la poszone e le sue derae calcolae al empo 0 possamo oenere precson dfferen roncando la sere n derse poszon. Ordne Zero 0 O S assume che la deraa dell accelerazone sa nulla coè che l accelerazone res cosane Prmo Ordne 0 0 O Secondo Ordne O Laboraoro d Calcolo B

8 Il meodo d Runge-Kua Per oenere una precsone maggore esegure uno sluppo al secondo ordne: occorre Abbamo però l problema d rcaare 0. Sluppamo al prm ordne /: da cu: Laboraoro d Calcolo B

9 Il meodo d Runge-Kua Se sosuamo nell espressone al secondo ordne d oenamo: 0 O Il alore della elocà nel puno / può essere rcaao calcolando la poszone al prm ordne con l meodo d Eulero ed ulzzando l equazone dfferenzale: 0 f 0 Laboraoro d Calcolo B 4

10 Il meodo d Runge-Kua Rassumendo possamo dre che l meodo d Runge- Kua d ordne due consse nell esegure una esrapolazone del prmo ordne da 0 a / nel aluare la deraa / e nell ulzzarla per oenere una sma d esaa al secondo ordne. Vedamo la sequenza d calcolo: f f O Calcolo della deraa nel puno nzale Esrapolazone al prmo ordne n / e calcolo della deraa Esrapolazone al secondo ordne n Laboraoro d Calcolo B 5

11 Runge-Kua d ordne quaro Esse un meodo d Runge-Kua esao al quar ordne del quale rporamo solo la sequenza d calcolo ma che è sempre conenene usare: 4 f f f 0 f Laboraoro d Calcolo B O 5

12 Soluzone d equazon dfferenzal: rassuno È noa la poszone nzale condzon al conorno 0 Laboraoro d Calcolo B 7

13 Soluzone d equazon dfferenzal: rassuno 0 f00 0 S usa l equazone dfferenzale per calcolare la deraa prma nel puno nzale Laboraoro d Calcolo B 8

14 Soluzone d equazon dfferenzal: rassuno S assume che la deraa prma res cosane e s calcola lo sposameno nell nerallo al prmo ordne Laboraoro d Calcolo B 9

15 Soluzone d equazon dfferenzal: rassuno / 0 0/ O 0 / f// 0 Alernaamene c s ferma a meà srada e s calcola la deraa prma n / con l eq. dfferenzale Laboraoro d Calcolo B 0

16 Soluzone d equazon dfferenzal: rassuno / O 0 0 / Sfruando l fao che [ / 0] 0 / possamo rcaare l alore della deraa seconda nel puno nzale e qund deermnare la poszone a al secondo ordne / Laboraoro d Calcolo B

17 Ssem d equazon dfferenzal C sono re mo per cu c dobbamo occupare d ssem d equazon dfferenzal e non d equazon sngole: problem d dnamca del corpo rgdo sono problem eoral per cu aremo re equazon per cascuna delle componen caresane; problem neressan da un puno d sa fsco conolgono pù d un corpo e qund aremo re equazon eoral per cascun corpo conolo; l equazone del moo è una equazone dfferenzale del secondo ordne menre no abbamo un meodo d soluzone per le equazon del prmo ordne. Laboraoro d Calcolo B

18 Laboraoro d Calcolo B Equazon del secondo ordne Equazon del secondo ordne Una equazone lneare del secondo ordne è del po: Possamo rasformare quesa equazone n un ssema d due equazon del prmo ordne; basa porre e s oene: che è un ssema del prmo ordne nelle arabl e. Nauralmene sccome c sono due equazon saranno necessare due condzon nzal: 0 e 0. Il ruccheo funzona anche per gl ordn superor. f c b a f c b a

19 Esercazone n laboraoro Esercazone n laboraoro In laboraoro doree realzzare un programma per la soluzone d un generco problema del moo d N corp n D dmenson con D o. Queso programma porà essere applcao a ders problem fsc neressan. A scopo d esempo e per erfcare che uo funzon bene la procedura d calcolo dorà essere applcaa al problema della deermnazone n due dmenson della raeora d un saelle aorno ad un panea assuno fermo. Doree anche realzzare l grafco della raeora del panea. Nel seguo c concenreremo nell anals deaglaa d queso problema e specalzzeremo un poco ma non molo la generca procedura alda per qualunque ssema d equazon dfferenzal lnear. Laboraoro d Calcolo B 4

20 Il calcolo della raeora Il problema che dobbamo rsolere é: F N N m che come abbamo so a rscro nella forma: f N Se abbamo N corp...n e rsolamo l problema n re dmenson s raa d un ssema d N equazon del prmo ordne. Dobbamo osserare che la quas oalà dell nerdpendenza ra le equazon del ssema rsede nel ermne d forza: la componene j-ma della forza che agsce sul puno è funzone d ue le componen delle poszon e delle elocà d u gl N corp. N Laboraoro d Calcolo B 5

21 Laboraoro d Calcolo B 6 Soluzone del ssema Soluzone del ssema Vso che samo capac d rsolere una sngola equazone dfferenzale la soluzone d un ssema d mole equazon non presena parcolar problem. D fao l meodo che usamo è rgdamene sequenzale per cu s dee solo fare aenzone ad esegure ogn passo del calcolo su ue le equazon prma d passare al passo successo. Proamo con l meodo d Runge-Kua d ordne due O O f f N N

22 Laboraoro d Calcolo B 7 Soluzone del ssema Soluzone del ssema O O f f N N Passo S calcola l alore degl 0 Banale: 0 0

23 Laboraoro d Calcolo B 8 Soluzone del ssema Soluzone del ssema O O f f N N Passo S calcola l alore de 0 usando l equazone

24 Laboraoro d Calcolo B 9 Soluzone del ssema Soluzone del ssema O O f f N N Passo S esrapolano e al prmo ordne a / e s calcola /

25 Laboraoro d Calcolo B 0 Soluzone del ssema Soluzone del ssema O O f f N N Passo 4 S calcola /

26 Laboraoro d Calcolo B Soluzone del ssema Soluzone del ssema O O f f N N Passo 5 S calcola al secondo ordne n

27 Laboraoro d Calcolo B Soluzone del ssema Soluzone del ssema O O f f N N Passo 6 S calcola al secondo ordne n

28 Soluzone del ssema In conclusone l calcolo della raeora d un ssema d N corp n D dmenson s rduce all esecuzone eraa d una sequenza d calcol: La sequenza non dpende dallo specfco problema n esame n quano dpende solo dalla cnemaca. La sequenza rchede l calcolo delle forze agen su ogn corpo. Quesa è la sola pare doe emergono le pecularà della dnamca del ssema La sequenza a esegua n parallelo su DN equazon. D conseguenza è necessaro manpolare eor o marc a DN componen. Laboraoro d Calcolo B

29 Schema a blocch Sar IN: OUT: Inpu de da Nome del fle ND Tmn Tma Tmn Tmn IN: OUT: Dnamca d componene d dell accelerazone del corpo -mo Tmn Grafco de pun Cnemaca IN: OUT: ND grafco IN: N D funzone Dnamca OUT: > Tma? End Laboraoro d Calcolo B 4

30 Manpolazone de eor Il programma dee manpolare eor d DN componen; sa D che N possono arare per cu è necessaro allocare dnamcamene. C sono due soluzon possbl: Soluzone : eore d DN componen Allocazone double *ec; ec double*mallocn*d*szeofdouble; Loop n nd; for n0; n<n; n { for d0; d<d; d { ec[n*d d]... } } Laboraoro d Calcolo B 5

31 Manpolazone de eor Il programma dee manpolare eor d DN componen; sa D che N possono arare per cu è necessaro allocare dnamcamene. C sono due soluzon possbl: Soluzone : marce [N][D] Allocazone double **ec; n n; ec double**mallocn*szeofdouble*; for n0; n<n; n { ec[n] double *mallocd*szeofdouble; } Loop n nd; for n0; n<n; n { for d0; d<d; d { ec[n] [d]... } } Laboraoro d Calcolo B 6

32 Manpolazone de eor Soluzone : eore d DN componen ec[0] ec[] ec[] ec[] ec[4] ec[5] ec[6] ec[7] ec[8]... Componen yz del corpo Componen yz del corpo Componen yz del corpo Laboraoro d Calcolo B 7

33 Manpolazone de eor Soluzone : marce [N][D] ec[0] ec[] ec[] ec[]... ec[0][0] ec[0][] ec[0][] ec[][0] ec[][] ec[][] ec[][0] ec[][] ec[][] Componen yz del corpo Componen yz del corpo Componen yz del corpo Laboraoro d Calcolo B 8

34 Vsualzzazone delle raeore Per sualzzare le raeore n due dmenson s può ulzzare la funzone R_Graphn n double * double *y che ga conoscee. Se è pccolo e la dmensone del marer pure R_SeMarerSze quesa funzone dsegna una lnea connua lungo la raeora. Allo scopo d fare speacolo pù che d capre l problema fsco s possono ulzzare R_GraphObjchar *name n n double * double *y M R_DGraphObjchar *obj n n double * double *y double *z M Quese funzon denfcano rame l paramero obj un parcolare grafco e ne consenono la modfca n emp success. In queso modo poee mplemenare l momeno d pallne n re dmenson per rappresenare pun. Laboraoro d Calcolo B 9

35 Verfca della precsone d calcolo È charo dalla raazone generale sulla soluzone numerca delle equazon dfferenzal che la precsone è ano mglore quano pù pccolo è. Il problema che s pone è quello d sceglere un alore sensao per l ncremeno emporale. Una ecnca possble consse nel calcolare ad ogn passo l energa oale del ssema. Tale energa dorebbe rmanere cosane. Se s ndduano delle arazon sgnfca che la precsone è nsuffcene o che l ssema non è conserao. In queso caso s può nerenre rducendo. Laboraoro d Calcolo B 40

36 Schema a blocch compleo Sar IN: OUT: Inpu de da Nome del fle ND Tmn Tma Tmn Tmn IN: OUT: Dnamca d N D componene d dell accelerazone del corpo -mo Tmn Grafco de pun Cnemaca Energa IN: OUT: ND grafco IN: N D funzone Dnamca OUT: IN: OUT: N D > Tma? End Laboraoro d Calcolo B 4